第二章 有理数 单元培优卷 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

**基本信息** 苏科版七年级上册《有理数》单元培优卷，通过基础巩固、能力提升与创新应用的梯度设计，覆盖有理数概念、运算及实际应用，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|正负数意义、绝对值、近似数|结合足球质量检测等情境，考查抽象能力| |填空题|10/30|数轴、相反数、倒数、24点游戏|融入数轴点位置关系，培养几何直观| |解答题|10/96|混合运算、实际应用（螺蛳粉称重、无人驾驶行程）、新定义（除方、进位制）|设置分层任务，如进位制转换、好的集合探究，发展推理意识与创新意识|

第二章《有理数》 单元培优卷 2026-2027学年苏科版数学七年级上册 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分. 1．厂家检测甲、乙、丙、丁四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检测结果如图所示，其中最接近标准质量的足球是（　　） A． B． C． D． 2．一只蚂蚁在一条数轴上爬行，从表示的点A出发，沿着数轴爬行5个单位长度，到达点B，则点B表示的数是（　　） A．7或3 B．7或 C．或3 D．或 3．下列计算中，可以用来验证成立的是（　　） A． B． C． D． 4．下列说法：①a一定是正数；②0的倒数是0；③最大的负整数是-1；④只有负数的绝对值是它的相反数；⑤倒数等于本身的有理数只有1；不正确的是（　　） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤ 5．下列说法正确的是（　　） A．近似数32与的精确度相同 B．近似数万是精确到百位 C．近似数是精确到十分位 D．近似数是精确到百分位 6．下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 7．在数学课上，老师让甲、乙，丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲： 乙： 丙： 丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．高度每增加1千米，气温就下降2℃，现在地面气温是10℃，那么高度增加7千米后，高空的气温是（　　） A．-4℃ B．-14℃ C．-24℃ D．14℃ 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分. 9．设a是最小的正整数，b是最大的负整数，则　 　． 10．数轴上，到原点距离为5的点表示的数是　 　． 11． 如图，四个有理数 m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的是　 　。 12．在，，，，，，，中，正有理数有个，非负整数有个，正分数有个，则　 　． 13．若、互为相反数，c、d互为倒数，则＝　 　． 14．已知与互为相反数，则　 　． 15．做数学“24点”游戏时，抽到的数是：，3，4，；你列出算式是：　 　（四个数都必须用上，而且每个数只能用一次．可以用加、减、乘、除、乘方运算，也可以加括号，列一个综合算式，使它的结果为24或）． 16．冰箱启动时内部温度是，如果每小时冰箱内部的温度降低，那么4小时后，冰箱内部的温度是　 　． 17．如果与的和是单项式，那么　 　． 18．已知数轴上的两点A和B，A表示数，若点B与点A的距离为5个单位长度，则点B表示的数是　 　． 三、解答题：本大题10小题，共96分. 19．计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 20．计算： （1） （2） 21．现有5张卡片写着不同的数，利用所学过的加、减、乘、除运算按要求解答下列问题（每张卡片上的数只能用一次）： （1）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是_________；差的最小值为_________； （2）从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数相除的商最大，这2张卡片是______；则商的最大值为______； （3）从中取出3张卡片，使这3张卡片上的数的乘积最小，这3张卡片是_______；则乘积的最小值为_______； （4）从中取出乘积为较大负数的4张卡片，使这4张卡片上的数的运算结果为24．写出3个不同的算式，分别为_________，_________，_________． 22．阅读下列材料： 计算： 解法一：原式； 解法二：原式； 解法三：原式的倒数为，所以原式 （1）上面三种解法得出的结果不同，肯定有错误的解法，其中解法_________是错误的； （2）请你运用合适的方法计算：． 23．“大米小珍馐，小吃大灵魂．粉好度日月，螺小赛乾坤．”广西螺蛳粉日渐成为风靡全国的“舌尖网红”．现有8箱螺蛳粉，称后的纪录如下（单位：千克） 回答下列问题： （1）如果每箱螺蛳粉以4千克为标准，这8箱螺蛳粉中最接近标准重量的是哪一箱？ （2）以每箱4千克为标准，与标准重量比较，8箱螺蛳粉总计超过或不足多少千克？ （3）若螺蛳粉每千克售价25元，则出售这8箱螺蛳粉可卖多少元？ 24．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素.如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，2015-a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合.例如集合{2015，0}就是一个好的集合. （1）集合{2015}　 　好的集合，集合{-1，2016}　 　好的集合(两空均填“是”或“不是”)； （2）若一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合是否存在最小的元素?如果存在，请直接写出答案，否则说明理由； （3）若一个好的集合所有元素之和为整数M，且22161<M<22170，则该集合共有几个元素?说明你的理由. 25．数学课上，老师给同学们布置了一个探究任务： 第一组数据 9+1； 8+2； 7+3； 6+4； 5+5； 第二组数据 9﹣1； 8﹣2； 7﹣3； 6﹣4； 5﹣5； 第三组数据 9×1； 8×2； 7×3； 6×4； 5×5． 请你观察各组数据的特征，算一算，结合三组数据的变化规律，提出一个合理的猜想： 当 两数和相等时，两数相差越大，它们的积越小． 26．无人驾驶技术逐步走向成熟，在今年7月无人驾驶网约车在我国各个城市开始试运营．无人驾驶网约车在东西走向的道路上运行，往东行驶的路程记作正数，往西行驶的路程记作负数．全天行程的记录如下（单位：）：6，，，7，5，，9，，，8． （1）当无人驾驶网约车将最后一位乘客送到目的地时，距出发地点的距离为多少千米？ （2）若无人驾驶网约车每公里耗电度，电费单价元/度，问该网约车当天消耗电费多少元？ 27．【概念学习】定义新运算：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方．比加，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”．一般地，把记作：，读作“a的圈n次方”．特别地，规定：． （1）直接写出计算结果：______； （2）若n为任意正整数，下列关于除方的说法中，正确的有____；（横线上填写序号） A．任何非零数的圈2次方都等于1 B．任何非零数的圈3次方都等它的倒数 C．圈n次方等于它本身的数是1或 D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 （3）计算：． 28．综合与实践 进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统，约定逢十进一就是十进制，逢二进一就是二进制．也就是说，“逢几进一”就是几进制，几进制的基数就是几．为了区分不同的进位制，常在数的右下角标明基数．例如：就是二进制数1101的简单写法，十进制数一般不标注基数，表示这个进制数从右起，第一位上的数字为，第二位上的数字为，第三位上的数字为．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式．例如十进制数（当时，），同理，二进制数转换为十进制数为：．一个十进制数转换为进制数时，把十进制数表示成与基数的幂的乘积之和的形式．例如，将十进制数46转换为三进制数，因为，即，则，所以46转换为三进制数为． 根据上述材料，解答下列问题． （1）二进制数转换为十进制数___________； （2）十进制数25转换为二进制数___________； （3）把十进制数79转换为四进制数． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解： ∴其中最接近标准质量的足球是标记的这个， 故选：C． 【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据题意，求得各个选项中数据的绝对值，结合绝对值最小的最接近标准，即可得到答案． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：从数轴表示数的点A出发，沿着数轴爬行了5个单位到达点B， 从A点向右爬行时：， 从A点向左爬行时：， 故答案为：C． 【分析】分类讨论，再利用数轴上两点之间的距离公式求出点B表示的数即可. 3．【答案】A 【解析】【解答】解：∵， ∴根据减法的逆运算，有，从而验证原等式成立， 故答案为：A. 【分析】根据减法的逆运算写出即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解：①a取值范围未知，故不一定是正数，不正确； ②0没有倒数，不正确； ③最大的负整数为1，正确； ④负数和0的绝对值是它的相反数，不正确； ⑤倒数等于本身的有理数有1和1，不正确； ∴不正确的是①②④⑤； 故答案为：C. 【分析】利用有理数，正数与负数，相反数，绝对值，以及倒数的性质判断即可． 5．【答案】B 【解析】【解答】解：A、近似数32精确到个位，近似数精确到十分位，二者精确度不相同，原说法错误，不符合题意； B、近似数万是精确到百位，原说法正确，符合题意； C、近似数是精确到百位，原说法错误，不符合题意； D、近似数是精确到千分位，原说法错误，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】 根据精确度和科学记数法，逐一判断即可． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：A．∵，， ∴，故此选项不符合题意； B．∵，， ∴，故此选项不符合题意； C．，故此选项符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故答案为：C． 【分析】根据有理数的四则运算法则：先算乘除，后算加减，然后再对各个选项进行逐一验证即可。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：，故甲的做法是错误的； ，故乙的做法是错误的； ，故丙的做法正确； ，故丁的做法错误； 综上分析，做的对的是丙同学． 故选：C． 【分析】根据有理数的混合运算逐项进行判断即可求出答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意得： . 故答案为：A. 【分析】根据题意，先求得7千米高空气温下降了多少摄氏度，再根据该地区高度每增加1千米，气温就下降大约 ，这一条件进行求解. 9．【答案】2 【解析】【解答】解：依题意得：，， ∴． 故答案为2． 【分析】 由a是最小的正整数，b是最大的负整数 ，可得，，再代入计算即可. 10．【答案】 【解析】【解答】解：在数轴上，与原点距离为5的点表示的数是． 故答案为：． 【分析】根据与原点距离为5个单位长度的点在原点左右各有一个，写出即可. 11．【答案】m 【解析】【解答】解：∵四个有理数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0 ∴数n与q互为相反数， ∴原点是线段NQ的中点， ∴四个点M、N、P、Q中离原点距离最近的点是点M， ∴点M表示的数m绝对值最小. 故答案为：m. 【分析】根据互为相反数的两个数在数轴上表示的时候，位于原点的两侧，且到原点的距离相等可得原点是线段NQ的中点，根据绝对值的几何意义“一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点离开原点的距离”，从而找出距离远点最近的点即可得出答案. 12．【答案】5 【解析】【解答】解：在，，，，，，，中，正有理数有，，， ，共4个；非负整数有，，共2个；正分数有，，，共3个， ∴，，， ∴， 故答案为：． 【分析】利用正有理数、非负整数和正分数的定义判断求出，，，再将其代入计算即可. 13．【答案】-2 【解析】【解答】解：根据题意得：a+b=0，cd=1， 则原式=0-2=-2. 故答案为：-2. 【分析】利用相反数，倒数的性质确定出a+b，cd的值，代入原式计算即可求出值. 14．【答案】 【解析】【解答】解：由与互为相反数，可得+=0， 再根据平方和绝对值的非负性可得，且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 【分析】根据相反数的概念可得+=0，再根据平方和绝对值的非负性，可得且，求得a，b即可求解. 15．【答案】 【解析】【解答】解：抽到的数是：，3，4，，列出的算式是． 故答案为：． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算法则及其应用，根据“24点”游戏规则，结合加、减、乘、除、乘方运算，得出，即可求解. 16．【答案】 【解析】【解答】解：4小时后，冰箱内部的温度为：． 故答案为：． 【分析】用启动时的温度－4个小时下降的温度即可得4小时后冰箱内部的温度． 17．【答案】3 【解析】【解答】解：与的和是单项式 与是同类项 ， ， 故答案为：3． 【分析】先利用同类项的定义可得，，求出a、b的值，最后将其代入a+b计算即可. 18．【答案】4或 【解析】【解答】解：根据题意得： 当点B在点A的左边时，点B表示的数是：. 当点B在点A的右边时，点B表示的数是：. ∴点B表示的数为：4或． 故答案为：4或． 【分析】根据点B与点A的距离为5个单位长度，结合两点间的距离公式，当点B在点A的左边时，点B表示的数是：，同理得当点B在点A的右边时，点B表示的数即可. 19．【答案】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）根据有理数的加减，结合绝对值的性质即可求出答案. （2）根据有理数的乘除即可求出答案. （3）根据有理数的乘法，加法即可求出答案. （4）根据有理数的减法，乘法，结合有理数的乘方即可求出答案. （1）解：， ， ； （2）， ， ， ； （3）， ， ， ； （4）， ， ， ， ． 20．【答案】（1）原式=-1-3+1=-3 （2）原式=-12-20+14=-18 【解析】【分析】（1）根据有理数的混合运算法则即可得出答案； （2）根据有理数乘法的运算律进行计算即可得出答案. 21．【答案】（1），； （2），；6 （3），，5； （4）；； 【解析】【解答】（1）解：这五个数中，最小的两个数是，最大的数是5，因此从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是，，差的最小值为；故答案为：，； （2）解： 取出和，相除得． 所以商的最大值为6； 故答案为：，；6 （3）解：取出，，5，则乘积的最大值为． 故答案为：，，5； （4）解：从中取出乘积为较大负数的4张卡片为、、、2， 则：， ， ． 故答案为：；；. 【分析】（1）要使差最小，需用最小数减最大数，先确定卡片中最小数和最大数. （2）要使商最大，需用绝对值大的负数除以绝对值小的负数（同号相除为正 ），找符合的数. （3）要使乘积最小，需考虑负数个数和绝对值大小，让负数为奇数个且绝对值大的数相乘. （4）先选乘积为较大负数的4张卡片（如含，，等负数 ），再通过四则运算组合得到24. （1）解：这五个数中，最小的两个数是，最大的数是5，因此从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数的差最小，这2张卡片是，，差的最小值为； （2）解： 取出和，相除得． 所以商的最大值为6； （3）解：取出，，5，则乘积的最大值为． （4）解：从中取出乘积为较大负数的4张卡片为、、、2， 则：， ， ． 22．【答案】（1）一 （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 【解析】【解答】（1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； 【分析】（1）根据四则运算进行判断即可求出答案. （2）根据有理数的混合运算即可求出答案. （1）解：观察解题过程可知，解法一是错误的，原因是除法没有分配律， 故答案为：一； （2）解：原式的倒数为 ． 所以． 23．【答案】（1）解：∵，，，，，，，，∴这8箱螺蛳粉中最接近标准重量的是质量为3.98的一箱； （2）解：（千克）， 答：8箱螺蛳粉总计超过0.22千克； （3）解：这8箱螺蛳粉可卖： （元）， 答：这8箱螺蛳粉可卖805.5元． 【解析】【分析】（1）根据表格中的数据，求得每箱螺蛳粉与标准质量之差的绝对值，结合绝对值最小的即为最接近标准重量的哪一箱，即可得到答案； （2）根据题意，结合有理数的加减运算法则，列式算式，进行计算，即可得到答案； （3）根据 螺蛳粉每千克售价25元， 结合重量乘以单价，列出算式，进行计算，即可求解. （1）解：∵，，，，，，，， ∴这8箱螺蛳粉中最接近标准重量的是质量为3.98的一箱； （2）解：（千克）， 答：8箱螺蛳粉总计超过0.22千克； （3）解：这8箱螺蛳粉可卖： （元）， 答：这8箱螺蛳粉可卖805.5元． 24．【答案】（1）不是；是 （2）解：存在，该集合的最小元素为-1986； （3）解：该集合共有22个元素. 理由如下： ∵在好的集合中，如果一个元素为a，则另一个元素为2015-a， ∴好的集合中的元素一定是偶数个. ∵好的集合中的每一对对应元素的和为： a+2015-a=2015，2015×11=22165，2015×10=20150，2015×12=24180， 又∵一个好的集合所有元素之和为整数M，且22161<M<22170， ∴这个好的集合中的元素个数为：11×2=22个. 【解析】【解答】解（1）∵2015-2015=0，而集合{2015}中没有元素0， ∴{2015}不是好的集合； ∵2015-(-1)=2016，2015-2016=-1，而2016与-1都是 集合{-1，2016} 的元素， ∴集合{-1，2016}是好的集合； 故答案为：不是，是； （2）一个好的集合中最大的一个元素为4001，则该集合存在最小的元素，该集合最小的元素是-1986； ∵2015-a中a的值越大，则2015-a的值越小， ∴一个好的集合中最大的一个元素为4001，则最小的元素为：2015-4001=-1986； 【分析】（1）根据有理数a是集合的元素时，2015 -a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合，从而可以可解答本题； （2）根据被减数一定，减数越大，差越小，求解即可； （3）根据题意可知好的集合都是成对出现的， 并且这对对应元素的和为2015，然后通过估算即可解答本题. 25．【答案】解：根据表中数据可知： 第一组数据 9+1＝10； 8+2＝10； 7+3＝10； 6+4＝10； 5+5＝10； 第二组数据 9﹣1＝8； 8﹣2＝6； 7﹣3＝4； 6﹣4＝2； 5﹣5＝0； 第三组数据 9×1＝9； 8×2＝16； 7×3＝21； 6×4＝24； 5×5＝25． 猜想：当两数和相等时，两数相差越大，它们的积越小． 【解析】【分析】分别根据加减乘法计算三组数据，进而找到规律，提出猜想即可. 26．【答案】（1）解：根据题意得()， 答：距出发地点的距离为千米． （2）解：网约车行驶的路程为： (元) ， 答：该网约车当天消耗电费元． 【解析】【分析】（1）根据有理数的加减列式计算即可求出答案. （2）根据有理数的加法，乘法，结合有理数的绝对值即可求出答案. （1）解：根据题意得()， 答：距出发地点的距离为千米． （2）网约车行驶的路程为： (元) ， 答：该网约车当天消耗电费元． 27．【答案】（1）1 （2）ABD （3）解： ． 【解析】【解答】解：（1）根据题意，得， 故答案为：1； （2）A、任何非零数的圈2次方都等于1，正确，符合题意； B、任何非零数的圈3次方都等它的倒数，正确，符合题意； C、圈次方等于它本身的数是1，-1的圈偶数次方等于1，-1的圈奇数次方等于-1，错误，不符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，符合题意； 故答案为：ABD. 【分析】（1）根据新定义运算规则列式进行计算即可； （2）根据新定义运算规则，可分别判断各个选项中的说法是否正确； （3）根据新定义运算规则以及有理数的乘方运算，展开进行计算即可. （1）解：由题意可得，， 故答案为：1； （2）解：A、任何非零数的圈2次方都等于1，正确，符合题意； B、任何非零数的圈3次方都等它的倒数，正确，符合题意； C、圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次方等于，错误，不符合题意； D、负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，正确，符合题意； 故答案为：； （3）解： ． 28．【答案】（1）18 （2） （3）解：，即， ∴最高位为43， ∵79-1×43=79-64=15， 15-0×42=15-0=15， 15-3×41=15-12=3， 3-3×40=3-3=0， ， 79转换为四进制数为. 【解析】【解答】（1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ∵24=16，25=32，16≤25＜32， ∴最高位为24， ∵25-1×24=25-16=9， 9-1×23=9-8=1， 1-0×22=1-0=1， 1-0×21=1-0=1， 1-1×20=1-1=0， ∴， 故答案为：； 【分析】（1）根据二进制数转换为十进制数的方法，将每个数位上的数字乘以2的相应次幂（从右其第n位对应2n-1），再将所有乘积相加，解答即可； （2）根据十进制转换为二进制的方法，需找到2的最高次幂使得2k≤25＜2k+1，确定最高位系数，再用剩余数依次除以2的低次幂，得到各数位系数即可； （3）根据十进制转换为四进制的方法， 需找到2的最高次幂使得4k≤79＜4k+1，确定最高位系数，再用剩余数依次除以4的低次幂，得到各数位系数即可. （1）解：二进制数转换为十进制数， 故答案为：； （2）解：十进制数25转换为二进制数， ， 故答案为：； （3）解：，即， ， 79转换为四进制数为； 学科网（北京）股份有限公司 $