1.4 一元二次函数与一元二次不等式 课时作业- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

**基本信息** 同步练，高中数学新授课，聚焦一元二次函数与一元二次不等式，通过三阶分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养数学思维与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|函数概念、图象与性质|选择填空考查定义、顶点式及平移，夯实概念理解| |技能应用|不等式解法与参数问题|含参数不等式求解及解集反求参数，强化推理能力| |综合拓展|实际应用与恒成立问题|结合利润、面积等情境构建模型，提升应用意识|

北师大版 高中数学 必修第一册 · 课时作业 第一章 预备知识　§4 一元二次函数与一元二次不等式　课时作业 北师大版 高中数学 必修第一册　　含知识梳理 · 分层练习 · 参考答案与解析 知识梳理 一、一元二次函数（4.1） 1．一般式：函数 （）叫作一元二次函数（二次函数）。 2．配方与顶点式：。 顶点式：（），顶点为 ；交点式：，其中 ， 是图象与 轴交点的横坐标。 3．图象与性质： 项目 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 最值 最小值 最大值 变化趋势 对称轴左侧 随 增大而减小，右侧 随 增大而增大 对称轴左侧 随 增大而增大，右侧 随 增大而减小 图1　二次函数的图象 4．图象的平移： 的图象向右（）或向左（）平移 个单位长度，再向上（）或向下（）平移 个单位长度，得到 的图象。 【方法点拨】求二次函数在给定范围上的最值，要看对称轴与所给范围的位置关系：对称轴在范围内时，顶点处取到一个最值；对称轴在范围外时，最值在端点处取得。含参数时常分类讨论。 二、一元二次不等式及其解法（4.2） 1．定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 的整式不等式，叫作一元二次不等式，一般形式为 （或 ，，），其中 。 2．三个“二次”的关系（，）： 图2　二次函数 （）的图象 方程 的根 两个不等实根 两个相等实根 没有实根 的解集 的解集 3．解一元二次不等式的步骤：（1）化为标准形式，使二次项系数为正；（2）计算 ，求出对应方程的根；（3）结合二次函数图象写出解集。口诀：“大于取两边，小于取中间”。 4．简单分式不等式：； 且 。 三、一元二次不等式的应用（4.3） 1．实际应用问题：审题 → 设未知数，建立不等式模型 → 解不等式 → 结合实际意义写出答案（注意变量的实际取值范围）。 2．恒成立问题： （1） 对一切实数 恒成立 ，，或 ； （2） 对一切实数 恒成立 ，，或 。 3．已知解集求参数：不等式解集的端点就是对应方程的根，可利用根与系数的关系求参数。 四、典例精析 例1　求二次函数 在 上的最大值和最小值。 【解】，对称轴为直线 ，开口向下，且 在范围 内。所以当 时， 取最大值 ；又 距离对称轴更远，当 时， 取最小值 。 例2　解不等式 。 【解】原不等式可化为 ，即 ，所以 。故解集为 。 例3　若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围。 【解】当 时， 恒成立；当 时，需 ，解得 。综上， 的取值范围是 。 课时作业（一）　一元二次函数 一、选择题 1．二次函数 图象的对称轴和顶点坐标分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．将抛物线 向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，得到的抛物线是（　　） A． B． C． D． 3．二次函数 的图象如图所示，则（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．二次函数 在 上的最大值和最小值分别是（　　） A．， B．， C．， D．， 5．若二次函数 的图象与 轴有两个交点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．抛物线 的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 7．已知二次函数的图象经过点 ，，，则其解析式为（　　） A． B． C． D． 8．若函数 在 时 随 的增大而减小，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．二次函数 的最大值是 ______。 10．把 化成 的形式为 ____________。 11．已知二次函数图象的顶点为 ，且经过点 ，则其解析式为 ____________。 12．已知二次函数 的最小值为 ，则 = ______。 三、解答题 13．已知二次函数 。 （1）写出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； （2）画出函数的图象； （3）根据图象写出 时 的取值范围。 14．求二次函数 在 上的最小值。 15．某商品的进价为每件 元，售价为每件 元时，每月可卖出 件。市场调查发现：售价每上涨 元，每月少卖 件。每件售价定为多少元时，每月的利润最大？最大利润是多少元？ 课时作业（二）　一元二次不等式及其解法 一、选择题 1．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 3．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 4．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 5．已知不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 7．若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 8．不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．不等式 的解集是 ____________。 10．不等式 的解集是 ____________。 11．不等式 的整数解有 ______ 个。 12．若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是 ____________。 三、解答题 13．解下列不等式： （1）；（2）；（3）；（4）。 14．解关于 的不等式 。 15．已知关于 的不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。 16．解不等式 。 课时作业（三）　一元二次不等式的应用 一、选择题 1．某产品的总成本 （万元）与产量 （台）之间的关系为 （）。若每台产品的售价为 万元，则生产者不亏本时的最低产量是（　　） A． 台 B． 台 C． 台 D． 台 2．若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 4．若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．用一根长为 m 的绳子围成一个矩形，要使矩形的面积不小于 m²，则矩形一边长 （m）的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．若关于 的不等式 对一切 都成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏 元销售，每天能卖出 盏；若售价每提高 元，日销售量将减少 盏。为了使这批台灯每天获得 元以上的销售收入，每盏台灯的售价 （元）应满足（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．某汽车的刹车距离 （m）与车速 （km/h）之间满足关系式 。若在一次事故中，测得该车的刹车距离超过 m，则该车的车速超过 ______ km/h。 10．若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是 ____________。 11．某商店将进价为 元的商品按每件 元售出，每天可销售 件。若售价每提高 元，销售量就减少 件。为使每天的利润不少于 元，售价 （元）的取值范围是 ____________。 12．若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是 ____________。 三、解答题 13．如图，在一块长为 m、宽为 m 的矩形空地上，修建两条宽度相同且互相垂直的道路，其余部分种植草坪。要使草坪面积不少于 m²，道路的宽度 应在什么范围内？ 14．已知关于 的不等式 （）。 （1）若不等式的解集为 ，求 的值； （2）若不等式的解集为 ，求 的取值范围。 15．设 。若对于 ， 恒成立，求实数 的取值范围。 参考答案与解析 课时作业（一）　一元二次函数 1．A　【解析】，对称轴为直线 ，顶点坐标为 。 2．C　【解析】按“左加右减，上加下减”，向右平移 个单位长度得 ，再向上平移 个单位长度得 。 3．B　【解析】图象开口向下，；对称轴 ，所以 ；图象与 轴交于正半轴，。 4．A　【解析】，对称轴 在 内，最小值为 ； 距对称轴较远，最大值为 。 5．D　【解析】图象与 轴有两个交点，则 ，所以 。 6．B　【解析】，顶点坐标为 。 7．C　【解析】由图象与 轴交于 ，，设 ，代入 得 ，，所以 。 8．B　【解析】图象开口向上，对称轴为 ，在对称轴左侧 随 增大而减小。由题意 ，解得 。 9．　【解析】，当 时取最大值 。 10．　【解析】。 11．　【解析】设 ，代入 得 ，，所以 。 12．　【解析】，最小值为 ，所以 。 13．解：（1），开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 。令 得 或 ，与 轴交于 ，；令 得 ，与 轴交于 。 （2）列表、描点、连线，图象如下： （3）由图象可知，当 时，图象在 轴下方，即 。 14．解：，图象开口向上，对称轴为直线 。如图，分三种情况讨论： ①当 时，在 上 随 增大而增大，最小值为 时的 ； ②当 时，最小值为顶点纵坐标 ； ③当 时，在 上 随 增大而减小，最小值为 时的 。 综上，最小值为： 时为 ； 时为 ； 时为 。 15．解：设每件售价为 元（），每月利润为 元，则每月销售量为 （件）， 。 所以当 时， 取最大值 。 答：每件售价定为 元时，每月利润最大，最大利润为 元。 课时作业（二）　一元二次不等式及其解法 1．C　【解析】，所以 。 2．A　【解析】原不等式化为 ，即 ，所以 。 3．C　【解析】原不等式即 ，所以 。 4．B　【解析】，且二次项系数为正， 恒成立，所以原不等式解集为 。 5．B　【解析】由题意，， 是方程 的两根，且 。由根与系数的关系，，得 ；，即 ，得 。所以 。 6．C　【解析】原不等式等价于 且 ，所以 。 7．D　【解析】需 ，即 ，解得 。 8．A　【解析】原不等式化为 ，所以 。 9．　【解析】，所以 或 。 10．　【解析】，即 ，所以 。 11．　【解析】，，整数解为 ，，，，，共 个。 12．　【解析】需 ，所以 。 13．解：（1），解集为 ； （2）原不等式化为 ，即 ，解集为 ； （3）原不等式即 ，解集为 ； （4） 恒成立，解集为 。 14．解：原不等式可化为 。 当 时，解集为 ；当 时，不等式为 ，解集为 ；当 时，解集为 。 15．解：由题意，，且 ， 是方程 的两根，所以 ，，即 ，。 不等式 即 ，因为 ，两边同除以 得 ，即 ，解得 或 。 所以所求解集为 。 16．解：原不等式化为 ，即 ，等价于 且 ，解得 或 。所以解集为 。 课时作业（三）　一元二次不等式的应用 1．C　【解析】不亏本即 ，整理得 ，即 。因为 ，所以 ，最低产量为 台。 2．B　【解析】需 ，所以 。 3．A　【解析】不等式有解，即存在 使 。，在 上的最大值为 或 时的 ，所以 。 4．C　【解析】当 时， 恒成立；当 时，需 ，解得 。综上，。 5．B　【解析】矩形另一边长为 m，由 得 ，即 ，所以 。 6．D　【解析】 时， 不恒成立； 时，需 ，解得 。 7．C　【解析】由 ， 得 。当 时，，所以 ，当 时取等号，即 的最大值为 。所以 ， 的最小值为 。 8．A　【解析】售价为 元（）时，日销售量为 （盏），由 得 ，即 ，所以 。结合 ，得 。 9．　【解析】由 得 ，即 ，因为 ，所以 。 10．　【解析】，即 ，所以 。 11．　【解析】由 ，整理得 ，即 ，所以 。 12．　【解析】当 时， 恒成立；当 时，需 ，即 ，解得 。综上，。 13．解：把两条道路平移到矩形边缘，草坪可拼成长为 m、宽为 m 的矩形。由题意 ，整理得 ，即 ，解得 或 。又 ，所以 。 答：道路的宽度 的取值范围是 （单位：m）。 14．解：（1）由题意，，且 ， 是方程 的两根，所以 ，解得 。检验：两根之积 ，符合。所以 。 （2）由题意，，即 且 ，解得 。所以 的取值范围是 。 15．解：把 看作关于 的式子：。因为 ，所以 随 的增大而增大，在 上， 的最大值为 时的 。 要使 恒成立，只需 ，即 ，，解得 。 所以 的取值范围是 。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $