第1章 §4 一元二次函数与一元二次不等式 4.3 一元二次不等式的应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（北师大版）

**基本信息** 高中数学一元二次不等式的应用同步练，通过基础应用、综合情境、拓展探究三层设计，实现从概念理解到实际建模的知识巩固路径，培养数学思维与应用意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|单一实际问题（炮弹高度、矩形面积）|以简单情境直接应用公式，巩固概念理解| |综合情境|含参数与恒成立问题（不等式恒成立、有解问题）|引入参数讨论，强化逻辑推理与运算能力| |拓展探究|复杂情境与多维度应用（税收、企业生产、安全限速）|结合生活热点构建模型，提升数学建模与数据分析能力|

4.3　一元二次不等式的应用 一、选择题(本大题共9小题,每小题5分,共45分) 1.已知某炮弹的飞行高度h(单位:m)与时间t(单位:s)之间的关系式为h=130t-5t2,则炮弹飞行的高度大于240 m的时间为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.22 s B.23 s C.24 s D.25 s 2.[2024·广州白云中学高一期中] 若对任意的x∈R,ax2-3x+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D.(-∞,0)∪ 3.用一根长为100 m的绳子围成一个面积大于600 m2的矩形,则其中一条边的长的取值范围是 (　 ) A.(20,25) B.(25,30) C.(20,30) D.(30,40) 4.某地每年销售木材20万立方米,每立方米木材的价格为2400元,为了减少木材消耗,决定按销售收入的t%征收木材税,这样每年的木材销售量减少t万立方米.为了既减少木材消耗又保证每年的此项税收不少于900万元,则实数t的取值范围是 (　 ) A.[1,3] B.[3,5] C.[2,4] D.[4,6] 5.若关于x的不等式2x2-5x-1-m>0在[1,3]上有解,则实数m的取值范围为 (　 ) A.(-∞,2) B. C.(-∞,-4) D. 6.某礼服租赁公司共有300套礼服供租赁,若每套礼服每天的租价为200元,则所有礼服均可被租出;若将每套礼服每天的租价在200元的基础上提高10x元(1≤x≤20,x∈Z),则被租出的礼服会减少10x套.若要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,则该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为 (　 ) A.220元 B.240元 C.250元 D.280元 7.计划在如图所示的三角形空地中建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),设边EF=x m,则x的取值范围是 (　 ) A.15≤x≤30 B.12≤x≤25 C.10≤x≤30 D.20≤x≤30 8.(多选题)某杂志以每册2元的价格发行时,发行量为10万册(发行的杂志均可被售出).经过调查,若每册的发行价格每提高0.2元,则发行量就减少5000册.要使该杂志的销售收入不少于22.4万元,每册的发行价格可以为 (　 ) A.2.5元 B.3元 C.3.2元 D.3.5元 9.(多选题)在一个限速40 km/h的道路上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事发后,现场测得甲车的刹车距离略超过12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两辆汽车的刹车距离S甲 m,S乙 m与车速x km/h之间分别有如下关系:S甲=0.1x+0.01x2,S乙=0.05x+0.005x2.则下列说法错误的是 (　 ) A.甲车超速 B.乙车超速 C.两车均不超速 D.两车均超速 二、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 10.如图所示,某学校要在长为8米,宽为6米的一块矩形地面上进行绿化,计划四周种花卉,花卉带的宽度相同,均为x米,中间种植草坪.为了美观,要求草坪的面积大于矩形土地面积的一半,则x的取值范围为　　　　.  11.若对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,则m的取值范围是　　　　.  12.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t(t为正常数)万元.公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N+)人去从事新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造的产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是　　　　.  三、解答题(本大题共2小题,共20分) 13.(10分)[2024·湖南慈利一中高一期中] (1)若关于x的不等式x2+mx+m+3<0在(-∞,-1)上有解,求实数m的取值范围; (2)若对任意x∈[-2,1],不等式m(x2-x+1)<2恒成立,求实数m的取值范围. 14.(10分)国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策,已知某种酒每瓶的售价为70元,若不征收附加税,某公司每年销售100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税R元(即税率为R%),则该公司每年的销售量将减少10R万瓶. (1)求出每年该公司被征收的附加税税金S(单位:万元)关于R的函数关系式; (2)若要求附加税税金S不少于112万元,且不大于168万元,求R的取值范围. 15.(5分)已知某段铁道转弯处的圆弧半径不允许小于600 m,若该段铁道转弯处的圆弧所对的圆心角小于180°,而连接圆弧的两端所得的弦长为800 m,设圆弧对应的弓形的高为x m,0<x<600,则x的取值范围是　　　　　.  16.(15分)设某企业每月生产电机x台,根据企业月度报表可知,每月总产值m(单位:万元)与总支出n(单位:万元)满足下列关系:m=x-,n=-x2+5x+.当m-n≥0时,称企业不亏损;当m-n<0时,称企业亏损,且n-m为亏损额. (1)该企业要想不亏损,每月至少要生产多少台电机? (2)当月总产值为多少时,企业亏损最严重,最大亏损额为多少? 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3　一元二次不等式的应用 1.A　[解析] 根据题意可得130t-5t2>240,解得2<t<24,则炮弹飞行的高度大于240 m的时间为24-2=22(s).故选A. 2.C　[解析] 当a=0时,不等式化为-3x≥0,该不等式不恒成立,不合题意;当a<0时,由二次函数的图象和性质知不合题意;当a>0时,要使ax2-3x+a≥0对任意的x∈R恒成立,需满足解得a≥.综上可得实数a的取值范围是.故选C. 3.C　[解析] 设矩形一条边的长为x m,则与之相邻的另一条边的长为(50-x)m,0<x<50.由题意得x(50-x)>600,即x2-50x+600<0,解得20<x<30. 4.B　[解析] 设按销售收入的t%征收木材税时,每年的此项税收为y万元,则y=2400×t%=60(8t-t2).令y≥900,得60(8t-t2)≥900,解得3≤t≤5. 5.A　[解析] 不等式2x2-5x-1-m>0可化为m<2x2-5x-1.设y=2x2-5x-1,其中x∈[1,3],所以易知当x=3时,y取得最大值,最大值为18-15-1=2,所以实数m的取值范围是(-∞,2).故选A. 6.C　[解析] 依题意知,每套礼服每天的租价为(200+10x)元时,每天有(300-10x)套礼服被租出,则该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入为(300-10x)·(200+10x)=-100x2+1000x+60 000.因为要使该礼服租赁公司每天租赁礼服的收入超过6.24万元,所以应满足-100x2+1000x+60 000>62 400,即x2-10x+24<0,解得4<x<6.因为1≤x≤20且x∈Z,所以x=5,即该礼服租赁公司每套礼服每天的租价应定为250元.故选C. 7.C　[解析] 设矩形中与EF相邻的一条边的长为y m,因为△ABC∽△AEF,所以=,所以y=40-x.因为xy≥300,所以x(40-x)≥300,即x2-40x+300≤0,解得10≤x≤30.故选C. 8.BC　[解析] 设每册的发行价格为x(x>2)元,则发行量为万册,则该杂志的销售收入为x万元.由题意得x≥22.4,化简得x2-6x+8.96≤0,解得2.8≤x≤3.2,故选BC. 9.ACD　[解析] 设甲车的速度为x1 km/h,由题意得0.1x1+0.01>12,解得x1<-40(舍)或x1>30;设乙车的速度为x2 km/h,由题意得0.05x2+0.005>10,解得x2<-50(舍)或x2>40.结合题意知乙车超过限速.故A,C,D中说法错误,B中说法正确,故选ACD. 10.(0,1)　[解析] 由题意知中间草坪的长为(8-2x)米,宽为(6-2x)米,其中0<x<3,根据题意可得(8-2x)·(6-2x)>×8×6,整理得x2-7x+6>0,即(x-6)(x-1)>0,解得x<1或x>6,又0<x<3,所以0<x<1,故x的取值范围为(0,1). 11.[4,+∞)　[解析] 因为对任意的x∈[-1,0],-2x2+4x+2+m≥0恒成立,所以对任意的x∈[-1,0],m≥2x2-4x-2恒成立.因为当x∈[-1,0]时,2x2-4x-2=2(x-1)2-4∈[-2,4],所以m≥4,即m的取值范围是[4,+∞). 12.16　[解析] 由题意知,分流前产品A的年产值为100t万元,分流x人后,产品A的年产值为(100-x)(1+1.2x%)t万元,则由题意得解得0<x≤.因为x∈N+,所以x的最大值为16,即最多能分流的人数为16. 13.解:(1)当x∈(-∞,-1)时,x2+mx+m+3<0有解, 即(x+1)m<-x2-3有解, 因为x+1<0,所以(x+1)m<-x2-3等价于m>=-(x+1)++2, 故需满足m>. 因为-(x+1)>0,所以-(x+1)++2≥2+2=6, 当且仅当即x=-3时等号成立,所以m>6,即实数m的取值范围是(6,+∞). (2)当x∈[-2,1]时,m(x2-x+1)<2恒成立. 因为x2-x+1=+>0,且当x=-2时取得最大值7,所以m(x2-x+1)<2等价于m<. 所以当x∈[-2,1]时,m<恒成立. 易知y=在区间[-2,1]上的最小值为,故只需满足m<,所以实数m的取值范围是. 14.解:(1)依题意得S=70×(100-10R)×R%(0<R≤10). (2)依题意得解得2≤R≤4或6≤R≤8,即R的取值范围是[2,4]∪[6,8]. 15.(0,600-200]　[解析] 示意图如图所示,设圆弧的半径为R m,则OA=OB=OC=R,CD=x(0<x<R).在Rt△BOD中,DB=400,OD=R-x,则(R-x)2+4002=R2,∴R=,依题意有R≥600,即≥600,∴x2-1200x+160 000≥0,得0<x≤600-200或x≥600+200(不合题意,舍去),故x的取值范围为(0,600-200]. 16.解:(1)由m-n≥0,得x-≥-x2+5x+, 整理得x2-2x-8≥0,解得x≥4或x≤-2(舍去), 所以该企业要想不亏损,每月至少要生产4台电机. (2)由(1)可知当0<x<4时企业亏损,亏损额为n-m=-=-(x-1)2+, 所以当x=1时,n-m取得最大值, 此时m=×1-=,即当月总产值为万元时,企业亏损最严重,最大亏损额为万元. 学科网（北京）股份有限公司 $