2.3.1两条直线的交点坐标课时练习 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，基础与素能层题量配比7:5，知识覆盖从单一概念到综合应用，通过坐标计算、定点探究、参数讨论等题型，培养抽象能力、推理能力与模型意识，适配新授课基础巩固与能力提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础落实|交点坐标计算、过交点直线方程、两直线相交条件、定点问题|以选择、填空、证明题为主，聚焦单一知识点，如第1题直接考查交点坐标，第7题证明直线过定点，强化概念理解与基本运算| |素能提升|三条直线交点、直线围成三角形条件、含参数直线应用、面积最值|以解答题为主，综合多知识点，如第11题结合定点探究直线方程与象限问题，第12题通过参数讨论面积最值，提升推理与模型应用能力|

2.3.1　两条直线的交点坐标 一、基础落实 1.直线x=1和直线y=2的交点坐标是(　　) A.(2,2) B.(1,1) C.(1,2) D.(2,1) 2.过两直线l1:x-3y+4=0和l2:2x+y+5=0的交点和原点的直线的方程为(　　) A.19x-9y=0 B.9x+19y=0 C.19x-3y=0 D.3x+19y=0 3.若直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交,则实数k的取值范围为(　　) A.k≠1或k≠9 B.k≠1或k≠-9 C.k≠1且k≠9 D.k≠1且k≠-9 4.若直线l1:kx-y+2k-1=0恒过定点A,且点A也在直线l2:mx+ny+2=0上,其中m,n均为正数,则mn的最大值为(　　) A. B. C.1 D.2 5.若直线l1:y=-x+b与直线l2:5x+3y-31=0的交点在第一象限,则实数b的取值范围是　　　　　.  6.已知关于x,y的方程组有唯一解,则实数m的取值范围是　　　　　　　　.  7.求证:不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都通过一定点. 二、素能提升 8.若三条直线2x+ky+8=0,x-y-1=0和2x-y=0交于一点,则k的值为(　　) A.-2 B.- C.3 D. 9.若三条直线2x+y-4=0,x-y+1=0与ax-y+2=0共有两个交点,则实数a的值为(　　) A.1 B.-2 C.1或-2 D.-1 10.三条直线l1:x+y-1=0,l2:x-2y+3=0,l3:x-my-5=0围成一个三角形,则m的取值范围是 　　　　　　　　　　.  11.已知直线l:(2a+3)x-(a-1)y+3a+7=0,a∈R. (1)证明:不论a取何值,直线l均过定点A,并求出点A的坐标; (2)在(1)的条件下,若直线l'过点A,且在y轴上的截距是在x轴上的截距的,求直线l'的方程; (3)若直线l不经过第四象限,求a的取值范围. 12.已知直线l:(2m+1)x+(3-4m)y+10m-15=0(m∈R). (1)证明:无论m取何值,直线l与直线x-2y+5=0一定相交; (2)若m∈(-),直线l与x轴、y轴分别交于A,B两点,C(2,0),求△ABC面积的最小值. 参考答案 一、基础落实 1.C 解析由得交点坐标为(1,2),故选C. 2.D 解析联立解得 所以直线l1与l2的交点为P(-),所以过点P与原点的直线斜率为-,直线方程为y=-x, 即3x+19y=0. 3.D 解析因为直线3x-(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k-3)y+2=0相交, 所以3(2k-3)-k[-(k+2)]≠0,即(k+9)(k-1)≠0,解得k≠1,且k≠-9, 所以实数k的取值范围为k≠1,且k≠-9.故选D. 4.B 解析直线l1的方程可整理为k(x+2)-(y+1)=0, 因为直线l1恒过定点A, 所以令解得 即点A的坐标为(-2,-1). 又因为点A也在直线l2上,所以-2m-n+2=0, 可得2m+n=2,且m,n>0, 则2m+n=2≥2,即0<mn≤,当且仅当2m=n=1时,等号成立, 所以mn的最大值为. 故选B. 5.() 解析设直线l2:5x+3y-31=0与y轴交于点A,与x轴交于点B.令x=0,可得y=; 令y=0,可得x=,即A(0,),B(,0), 如图所示, 当直线l1:y=-x+b过点A(0,)时,可得b=; 当直线l1:y=-x+b过点B(,0)时,可得b=, 要使得直线l1与直线l2的交点在第一象限,则<b<,即实数b的取值范围是(). 6.(-∞,4)∪(4,+∞) 解析方程组的两个方程对应两条直线,方程组的解就是两直线的交点,由mx+4y-2=0,得y=-x+,此直线的斜率为-.由x+y-1=0,得y=-x+1,此直线的斜率为-1.若方程组有唯一解,则两直线的斜率不相等,即-≠-1,∴m≠4.故m的取值范围是(-∞,4)∪(4,+∞). 7.证明将原方程按m的降幂排列,整理得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数值都成立,根据恒等式的要求,m的一次项系数与常数项均等于零, 故有解得所以不论m为何值,所给直线必通过定点(9,-4). 二、素能提升 8.C 解析联立 把代入2x+ky+8=0得k=3. 故选C. 9.C 解析由题意可得三条直线中,有两条直线互相平行, ∵直线x-y+1=0和直线2x+y-4=0不平行, ∴直线x-y+1=0和直线ax-y+2=0平行或直线2x+y-4=0和直线ax-y+2=0平行, ∵直线x-y+1=0的斜率为1,直线2x+y-4=0的斜率为-2,直线ax-y+2=0的斜率为a, ∴a=1或a=-2. 经检验,a=1或a=-2均符合题意. 故选C. 10.(-∞,-4)∪(-4,-1)∪(-1,2)∪(2,+∞) 解析当直线l1:x+y-1=0平行于l3:x-my-5=0时,m=-1;当直线l2平行于l3时,m=2; 当三条直线经过同一个点时,由 解得故l1与l2的交点为,代入l3方程,得m=-4.综上,m为-1或2或 -4时,三条直线均不能围成三角形. 故当三条直线围成一个三角形时,m的取值范围是(-∞,-4)∪(-4,-1)∪(-1,2)∪(2,+∞). 11.(1)证明整理直线l的方程,得(2x-y+3)a+3x+y+7=0,所以直线l过直线2x-y+3=0与3x+y+7=0的交点, 联立方程组解得 所以直线l过定点A,点A的坐标为(-2,-1). (2)解当截距为0时,直线l'的方程为y=x,即x-2y=0,当截距不为0时,设直线l'的方程为=1,则解得 直线l'的方程为=1,即x+2y+4=0, 故直线l'的方程为x-2y=0或x+2y+4=0. (3)解当a=1时,直线l的方程为x=-2,符合题意; 当a=-时,直线l的方程为y=-1,不符合题意; 当a≠1,且a≠-时,y=x+, 所以 解得a>1或a≤-. 综上所述,当直线l不经过第四象限时, a的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞). 12.(1)证明直线l:(2m+1)x+(3-4m)y+10m-15=0(m∈R)的方程可化为(2x-4y+10)m+x+3y-15=0.令解得故直线l经过定点(3,4).当直线l的斜率不存在时,方程为x=3,显然与x-2y+5=0相交;当直线l的斜率存在时,直线l的斜率为, 故直线l与直线x-2y+5=0不重合. 又因为(3,4)满足x-2y+5=0,即(3,4)是直线x-2y+5=0上一点,所以(3,4)是直线l与直线x-2y+5=0的公共点.综上,无论m取何值,直线l与直线x-2y+5=0一定相交. (2)解由(1)可知,直线l经过定点(3,4),不妨设直线l的方程为y=k(x-3)+4.因为m∈,4m-3∈(-5,0),,所以k=<0. 令x=0,得y=4-3k>0; 令y=0,得x=-+3>0, 所以A,B(0,4-3k), 所以△ABC的面积S=(4-3k)=(16+2)=8+4,当且仅当-=-3k(k<0),即k=-时,等号成立.所以△ABC面积的最小值为8+4. 学科网（北京）股份有限公司 $