2.3.1两条直线的交点坐标 同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过基础-中档-提升三级分层，覆盖从交点坐标计算到几何综合应用的知识路径，培养数学推理能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一交点坐标计算|直接应用概念（如第1题过交点直线方程）| |中档|交点与垂直/象限/直线位置关系|多考点融合（如第3题交点象限范围判断）| |提升|几何综合应用|情境化问题解决（如第13题三角形中直线方程求解）|

数学人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3.1 两条直线的交点坐标 同步练习 一、单选题（本大题共 6 小题，每小题只有一个正确选项） 1. 过直线 与 的交点，且一个方向向量为 的直线方程为（　　） A. B. C. D. 2. 已知点 ，点 在直线 上，若直线 垂直于直线 ，则点 的坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 若直线 与直线 的交点在第一象限内，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. 若直线 ，， 不能围成一个三角形，则下列实数 的取值中符合条件的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知 与 是直线 （ 为常数）上两个不同的点，则关于直线 和 的交点情况，下列说法正确的是（　　） A. 无论 ，， 如何，总有唯一交点 B. 存在 ，， 使之有无穷多个交点 C. 无论 ，， 如何，总是无交点 D. 存在 ，， 使之无交点 6. 已知直线 经过两条直线 和 的交点，且垂直于直线 ，则直线 的方程为（　　） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共 3 小题，每小题有多个正确选项） 7. 直线 ，， 不能构成三角形，则实数 的取值可以是（　　） A. B. C. D. 8. 已知直线 ，则下列结论正确的是（　　） A. 直线 的一个方向向量为 B. 直线 过定点 C. 直线 一定过第一象限 D. 若直线 不经过第二象限，则 9. 已知集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A. ， B. 当 时， C. 当 时， D. ，使得 三、填空题（本大题共 3 小题） 10. 已知 为坐标原点，直线 与 交于点 ，则 的值为 。 11. 过点 作直线 ，使它被两条相交直线 和 所截得的线段恰好被点 平分，则直线 的一般式方程为 。 12. 过直线 与直线 的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 。 四、解答题（本大题共 2 小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本小题满分 12 分） 在 中，， 边上的高 所在直线的方程为 ， 的平分线所在直线的方程为 ，点 的坐标为 。 （1）求直线 的方程； （2）求直线 的方程及点 的坐标。 14.（本小题满分 12 分） 已知 的一个顶点为 ， 边上的中线 所在的直线方程为 ， 边上的高 所在的直线方程为 ，求点 的坐标。 学科网（北京）股份有限公司 $数学人教A版(2019)选择性必修第一册 2.3.1两条直线的交点坐标 同步练习 一、单选题（本大题共6小题，每小题只有一个正确选项) 1.过直线x+2y+2=0与2x-y-6=0的交点，且一个方向向量为n=(1,-2)的 直线方程为（) A.2x+y+2=0 B.2x+y-2=0 C.x+2y+4=0 D.x-2y-6=0 2.已知点M(0,1),点N在直线x-y+2=0上，若直线MN垂直于直线 x+2y-5=0,则点N的坐标是() A.(1,3 B.(2,4) C.(-1,1) D.(-2,0j 3.若直线11：y=kx+k+2与直线l2:y=-2x+4的交点在第一象限内，则实数k 的取值范围是() 2 A. B.（-00,2 C D. -0,3 U(2,+∞) 4.若直线l1:x-y+1=0,12:2x+y-4=0,3:x+ay+2a-1=0不能围成一个三角形， 则下列实数a的取值中符合条件的是() A.-2 B.-1 C.1 D.2 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 5.已知P1(a1,b1)与P2a2,b2)是直线y=kx+3(k为常数)上两个不同的点， 则关于直线1：a1x+b1y-3=0和l2:a2x+b2y-3=0的交点情况，下列说法正确的 是() A.无论k,P,2如何，总有唯一交点 B.存在k,P,P2使之有无穷多个交点 C.无论k,P,P2如何，总是无交点 D.存在k,P,P2使之无交点 6.已知直线1经过两条直线2x+y-5=0和x-2y=0的交点，且垂直于直线 3x-y+1=0,则直线1的方程为() A.x+3y-5=0 B.X+3y+5=0 C.3x+y-7=0 D.3x-y-5=0 二、多选题（本大题共3小题，每小题有多个正确选项) 7.直线1：3x+y-3=0,2:mx+y=0,13:x-2my-2=0不能构成三角形，则实数 m的取值可以是（) A.-1 B.2 c D.3 8.已知直线：(3a-2)x+(2-a)y-1=0,则下列结论正确的是() A.直线1的一个方向向量为n=(2-a,3a-2) B.直线1过定点 C.直线1一定过第一象限 D.若直线1不经过第二象限，则a<2 9.已知集合A={(x,y)|x+ay+2a=0},B={(x,y)|ax+ay-1=0},则下列结论 正确的是() 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 A.Va∈R,A≠g B.当a=-1时，AnB= C.当AnB=0时，a=1 D.a∈R,使得A=B 三、填空题（本大题共3小题） 10.已知0为坐标原点，直线l1:x+my-2=0与l2:mx-y+2m=0交于点P,则 IOP|的值为口。 11.过点P(4,0)作直线1，使它被两条相交直线x-y-2=0和2x+y-4=0所 截得的线段恰好被点P平分，则直线1的一般式方程为口。 12.过直线2x+y-1=0与直线x-y+2=0的交点且在两坐标轴上截距相等的直 线方程为口。 四、解答题（本大题共2小题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13.（本小题满分12分) 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC边上的高AD所在直线的方程为X-2y-1=0, ∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,点B的坐标为(4,3)。 (1)求直线BC的方程； (2)求直线AC的方程及点C的坐标。 14.(本小题满分12分) 已知△ABC的一个顶点为A(3,-1),AB边上的中线CM所在的直线方程为 2x-y-3=0,AC边上的高BH所在的直线方程为x-2y+2=0,求点C的坐标。 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 参考答案与详细解析 一、单选题 1.答案：B 解析： 第一步，求两直线交点。联立方程组 x+2y+2=0 2x-y-6=0 由第二个方程得y=2x-6,代入第一个方程得 x+2(2x-6)+2=0一5x-10=0一x=2. 将x=2代入y=2x-6,得y=-2,故交点为(2，-2)。 第二步，求直线斜率。方向向量n=(1,2)对应的斜率 子2 第三步，写直线方程。由点斜式y-(-2)=-2(x-2),即y+2=-2x+4,整理得 2x+y-2=0, 2.答案：A 解析： 因点N在直线x-y+2=0上，设N的坐标为(t,t+2)。 1 直线MN垂直于x+2y-5=0,而x+2y-5=0的斜率为2， 根据垂直直线斜率 互为负倒数，可知MN的斜率为2。 由点M(0,1)和N(t,t+2),根据斜率公式 (t+2-1=2, t-0 即-2，解得+1=2，即t=1,枚N的华标为(1,3. 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 3.答案：C 解析： 联立两直线方程 y=kx+k+2 y=-2x+4 消去y得kx+k+2=-2x+4,整理得 (k+2)x=2-k. 当k=-2时，左边为0，右边为4，矛盾，故k≠-2，此时 x=2-k k+2 将x代入y=-2x+4,得 y=-2.2:k+4=4+2k+4k+86k+4 k+2 k+2 k+2 X>0 因交点在第一象限，需满足 y>0,即 x>0:2:k>0=(2-k)0k+2)>0=-2<k<2: k+2 y0:6>0一(6k+410k+2>0一k-2或k>号 k+2 2<k<2。 取两者的交集，得 4.答案：B 解析： 三条直线不能围成三角形，包含三种情况：①13与11平行；②l3与2平行： ③三条直线共点。 情况①：11 4xy+1=0的斜率为1，g:x+ay+2a-1=0的斜率为。(a≠0)。由1= 得a=-1。 数学人教A版(2019)选择性必修第-册 情况②：1‖12 4:2x+y4=0的斜率为2，由2=日得a号 2 情况③：三条直线共点 先求1与2的交点，联立 x-y+1=0 2x+y-4=0 两式相加得3x-3=0,解得x=1,代入得y=2,故交点为(1,2)。 将(1,2)代入13的方程，得1+a2+2a-1=0,即4a=0,解得a=0。 综上，不能围成三角形时，。的值为-1，之，0。对比选项，只有B选项Q=-1 符合。 5.答案：A 解析： 因P1(a1,b1)和P2a2,b2)在直线y=kx+3上，故 b1=ka1+3,b2=ka2+3. 将b1=ka1+3代入1：a1x+b1y-3=0,得 a1x+ka1+3)y-3=0, 整理为 a1x+ky)+3(y-1)=0 同理，2的方程可整理为 a2x+ky)+3(y-1)=0. 两直线均过方程组 x+y=0 y-1=0 的解，解得定点为(-k,1)。 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 又因P1与P2是不同的点，且两点在同一条直线y=心+3上，故a1≠a2(否则 b1=b2,两点重合，矛盾)，因此11与2不重合，总有唯一交点(-k,1)。 6.答案：A 解析： 第一步，求两直线的交点。联立 2x+y-5=0 x-2y=0 由第二个方程得x=2y,代入第一个方程得2(2y)+y-5=0,即5y-5=0,解得 y=1;将y=1代入x=2y,得x=2,故交点为(2,1)。 第二步，求直线1的斜率。直线3x-y+1=0的斜率为3，因1与该直线垂直， 故1的斜率为3 第三步，写直线1的方程。由点斜式y-1=x-2,两边乘3得3y-3x+2, 整理得 x+3y-5=0. 二、多选题 7.答案：ACD 解析： 三条直线不能构成三角形，包含三种情况：两直线平行或三线共点。 情况①：两直线平行 。1‖l2:11:4x+y-4=0的斜率为-4,12：mx+y=0的斜率为-m,由 -4=-m,得m=4; 。L:12x-3my-4=0的率为3m0),由42 3m得m=. 6 (无对应选项，舍去)： :由m3,得3m=2,无实解，舍 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 情况②：三条直线共点 先求1与2的交点，联立 4x+y-4=0 mx+y=0 两武指减得4-mx-4=0,解得x=4n(m≠4)，代入m+y=0得y=m, 4 4m 4 4m 故交点为 4-m 4-m 将交点代入的方程： 2 4-3m 4m 4-m -4=0, 4-m 两边乘(4-m）得 8+12m2-44-m)=0一12m+4m-8=0=3m+m-2=0. 2 因式分解得(3m-2(m+1)=0,解得m=3或m=-1。 综上，m的取值为-1，系4，故选AD。 8.答案：BC 解析： 选项A: 直线Ax+y+C=0的方向向量为(B,-A)。 对于直线1：(3a-2)x+(2-a)y-1=0,A=3a-2,B=2-a, 故方向向量为 (B,-A)=(2-a,-3a+2)=(2-a,2-3a). 与选项中的(2-a,3a-2)相比，第二个分量符号相反，故A错误。 选项B: 将直线1的方程整理为 a3x-y)+-2x+2y-1)=0. 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 令 3x-y=0 -2x+2y-1=0 由第一个方程得y=3x,代入第二个方程得-2x+6x-1=0,即4x=1,解得 3 即直线1恒过定点 B正确。 选项C: 3 因直线1恒过定点 4’4 该点在第一象限，故直线1一定过第一象限，C正确。 选项D: 直线1不经过第二象限，需满足斜率大于0且在y轴上的截距小于等于0。 斜率k=. 3a-2_3a-2 2-aa-2’ y轴截距b= 2-a(令x=0,得(2-ay=1,即y-2:a)。 .k20,302>0=a号或a2 .2 a-2 。bs0:2a≤0=2-a<0-0>2. 取交集得Q>2,即当a>2时直线1不经过第二象限，与选项中”a<2“不符，D 错误。 综上，选BC。 9.答案：AB 解析： 选项A: 对于集合A中的直线x+ay+2a=0,无论a取何值，直线均有解： ·当a=0时，直线为x=0(y轴)，有无数解： ·当a≠0时，直线斜率存在，有无数解。 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 故A≠②恒成立，A正确。 选项B: 当a=-1时，集合A的直线为x-y-2=0,集合B的直线为x-y-1=0。联立 x-y-2=0 -x-y-1=0 两式相加得-2y-3=0,解得y=多代入第一个方程得X之 故An日 =。 正确 选项C: 当AnB=0时，分两种情况： 。若B=o:直线ax+ay-1=0无解，即a=0(此时方程变为-1=0，矛盾， 无实解)。此时A的直线为x=0,AnB=o,符合条件； ●若B≠0(a≠0)：两直线平行，即 1=Q≠2a a a-1 由日1得a=1,此时9=-21，满足平行条件。 综上，a=0或a=1时AnB=0,C错误。 选项D: 若A=B,则两直线完全相同，需满足 1=0=2a a a-1 由日1得0=1，但9=-21，不后。故不存在这样的Q,D错误。 综上，选AB。 三、填空题 10.答案：2 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 解析： 联立两直线方程 x+my-2=0 mx-y+2m=0 由第一个方程得x=2-my,代入第二个方程得 m2-my)-y+2m=0=2m-my-y+2m=0, 整理得 (m2+1y=4m一y=4m m2+1 将y代入x=2-my,得 x=2-m 4m_ 2(m2+1)-4m2_2-2m2 m2+1 m2+1 m2+1 计算OP|(O为原点)： OP-+y2 2-2m1 4m m2+1 m2+1 化简： X+y-41-2m+m)+16m-41+2m2+m-4m2+1=4. (m2+12 (m2+12 (m2+12 故1OP1=4=2。 11.答案：4x-y-16=0 解析： 设直线1与X-y-2=0的交点为A(x1,y1),与2x+y-4=0的交点为B(x2,y2) 因P(4,0）是AB的中点，故 +=4,y业=0， 2 2 即X2=8-X1,y2=-y1。 又B(x2,y2)在2x+y-4=0上，代入得 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 2(8-x1)+(-y1-4=0一16-2x1y1-4=0一2x1+y1=12. 而A(1,y1)在x-y-2=0上，故y1=1-2。联立 y1=X1-2 2x1+y1=12 将y1=x12代入第二个方程得 2x*%-212-3x14一义片 则=2 ,即A 148 3’3 直线1过P(4,0)和A 148 33, 斜率 80 8 k= 3 3 4 4. 3 23 由点斜式y-0=4(x-4),整理得 4x-y-16=0. 12.答案：5x+y=0或3x+3y-4=0 解析： 第一步，求两直线的交点。联立 2x+y-1=0 (x-y+2=0 两武相如得3x+1=0,解得X=令，代入第二个方程得y=X+2-号，故交点为 15 3'3° 第二步，分情况讨论截距： 情况1：截距为0（直线过原点）。 设直线方程为y=k心，将交点 15 33 代入，得 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 3 =k=-5 方程为y=-5x,整理得5x+y=0。 情况2：截距不为0（横、纵截距相等且不为0）。 设直线方程为盖+岩1(a0)，将交点代入，得 15 +豆-1-4.1-a-号 3a +y=1 3x+3y=1,整理得 方程为44，即4+4 33 3x+3y-4=0. 综上，所求直线方程为5x+y=0或3x+3y-4=0。 四、解答题 13.解： (1)因AD是BC边上的高，故AD⊥BC。 直线AD的方程为X-2y-1=0,其斜率为2。 根据垂直直线斜率互为负倒数，可 知BC的斜率为-2。 又点B的坐标为(4,3，由点斜式得 y-3=-2(x-4), 整理得直线BC的方程为 2x+y-11=0. (2)①求点A的坐标： ∠BAC的平分线所在直线为y=0(即x轴)，且A在AD上，联立 y=0 x-2y-1=0 解得x=1,y=0,故A(1,0)。 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 ②求直线AC的斜率： 因∠BAC=90°，故ABLAC。 直线AB的斜率 3-0=3-1. kAB=4-1 3 根据垂直直线斜率互为负倒数，可知AC的斜率为-1。 ③求直线AC的方程： 由点斜式y-0=-1·(x-1),整理得 y=-x+1即x+y-1=0, ④求点C的坐标： 点C是直线BC与AC的交点，联立 2x+y-11=0 x+y-1=0 用第一个方程减第二个方程消去y,得 x-10=0=x=10, 将x=10代入x+y-1=0,得y=-9,故C(10,-9)。 综上，直线AC的方程为x+y-1=0,点C的坐标为(10，-9)。 14.解： (1)求直线AC的方程： 因BH是AC边上的高，故BH⊥AC。 直线BH的方程为X-2y+2=0,其斜率为7。根据垂直直线斜率互为负倒数， 可知AC的斜率为-2。 又点A的坐标为(3,1)，由点斜式得 y--1)=-2(x-3, 整理得直线AC的方程为 2x+y-5=0. 数学人教A版(2019)选择性必修第一册 (2)求点C的坐标： 点C在AC边上，也在中线CM上，故C是直线AC与CM的交点。 联立 2x+y-5=0 2x-y-3=0 两式相加消去y,得 4X-8=0=x=2. 将x=2代入2x-y-3=0,得4-y-3=0,解得y=1。 故C(2,1)。