专题02 确定圆的条件八大题型专项训练（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题02 确定圆的条件八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 确定圆的条件 题型02 根据点确定圆的个数 题型03 确定圆心的位置 题型04 三角形外接圆概念的辨析 题型05 确定三角形外心的位置 题型06 利用三角形外心的性质求角度 题型07 利用三角形外心的性质求线段长 题型08 三角形的外接圆的综合题 ▌题型01 确定圆的条件 1. 圆的两大决定要素：圆心定位置，半径定大小，二者同时确定，圆唯一。 2. 三点定圆核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆；三点共线时，不存在同时过三点的圆。 3. 基础结论： · 过 1 个点：无数个圆； · 过 2 个点：无数个圆，圆心都在两点连线的垂直平分线上； 易错关键词：判断正误题必须看清有无 “不共线” 前提。 【典例1】下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 【变式1-3】已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 ▌题型02 根据点确定圆的个数 1. 分类讨论依据：点是否共线、选取三点是否共线。 2. 通用计数规则： · 平面内一组点，任选 3 个不共线的点，就能画出 1 个圆； · 只要三点共线，这组三点不能画圆； 3. 解题步骤： ① 找出所有三点组合； ② 剔除共线三点组； ③ 剩余组数即为可画圆的数量； 4. 典型模型：直线上 3 点 + 直线外 1 点，最多可画 3 个圆。 【典例2】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作　 个． 【变式1-2】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-3】平面内有A，B，C，D四个点，试探索： （1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作　 　个圆； （2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作　 　圆； （3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作　 　个圆； （4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？ ▌题型03 确定圆心的位置 1. 几何作图原理：弦的垂直平分线交点 = 圆心（两条垂直平分线即可定位）。 2. 作图步骤（复原破损圆 / 找外心通用）： ① 在圆弧 / 三角形上取两组两点，连线段（弦）； ② 分别作两条弦的垂直平分线； ③ 交点即为圆心； 3. 坐标系求圆心方法： ① 设圆心； ② 利用圆心到圆上各点距离相等列等式； ③ 联立方程求解坐标； 4. 生活应用：碎玻璃配镜片、到三个地点距离相等的站点选址。 【典例3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（     ） A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1) 【变式1-1】如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【变式1-2】如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　 　． （2）求⊙M的面积（结果保留π）． ▌题型04 三角形外接圆概念的辨析 1. 基础定义（必背） · 外接圆：经过三角形三个顶点的圆； · 内接三角形：相对于外接圆，该三角形叫圆的内接三角形； · 外心：外接圆圆心，三角形三边垂直平分线交点； 2. 易混对比（区分内心 / 外心，选择题高频） · 外心：垂直平分线交点，到三个顶点距离相等； · 内心：角平分线交点，到三边距离相等； 【典例4】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【变式1-1】下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【变式1-2】已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-3】（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（  ）． A．个 B．个 C．个 D．个 ▌题型05 确定三角形外心的位置 1. 按三角形形状分类记忆（必考） · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部； 2. 判定技巧： · 看到直角三角形，直接取斜边中点为外心； · 作图判断：作两条边垂直平分线，看点落在三角内外 / 边上； 3. 坐标题快速判断：算出外心坐标，对比三角形顶点范围。 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【变式1-1】如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【变式1-2】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【变式1-3】在中，，． (1)求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的半径． ▌题型06 利用三角形外心的性质求角度 主要考查了三角形的外接圆与外心，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【典例6-1】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是的外心，且，则________． 【典例6-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知O为的外心，，则________． 【变式1-1】如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 【变式1-2】如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【变式1-3】如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． ▌题型07 利用三角形外心的性质求线段长 1. 核心性质：外心到三顶点距离相等，即 外接圆半径； 2. 直角三角形速算：外接圆半径 斜边长； 3. 普通三角形计算模型（勾股方程）： ① 连接圆心与顶点，构造直角三角形； ② 设半径为，用表示直角边； ③ 勾股定理列一元一次方程求解； 4. 常见求线段：外接圆半径、边长、圆心到顶点距离。 【典例7-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【典例7-2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 【变式1-1】在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【变式1-2】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【变式1-3】已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． ▌题型08 三角形的外接圆的综合题 1. 综合考点整合：三点定圆、外心位置、垂直平分线、勾股定理、坐标计算； 2. 通用解题流程： ① 先判断三点是否共线，确定存在外接圆； ② 作垂直平分线求出外心（圆心）； ③ 利用结合勾股 / 坐标求半径、边长； ④ 结合三角形形状判断外心位置辅助验证； 3. 典型考法： · 坐标系中求外接圆半径、外心坐标； · 破损圆形零件求半径； · 证明线段相等、判断三角形类型； 4. 答题规范：证明题必须写明 “垂直平分线交点为外心，外心到三顶点距离相等” 作为推理依据。 【典例8】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【变式1-1】如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF． （1）证明：AB＝AC； （2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心． 【变式1-2】定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【变式1-3】定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30° （2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 确定圆的条件八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 确定圆的条件 题型02 根据点确定圆的个数 题型03 确定圆心的位置 题型04 三角形外接圆概念的辨析 题型05 确定三角形外心的位置 题型06 利用三角形外心的性质求角度 题型07 利用三角形外心的性质求线段长 题型08 三角形的外接圆的综合题 ▌题型01 确定圆的条件 1. 圆的两大决定要素：圆心定位置，半径定大小，二者同时确定，圆唯一。 2. 三点定圆核心定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆；三点共线时，不存在同时过三点的圆。 3. 基础结论： · 过 1 个点：无数个圆； · 过 2 个点：无数个圆，圆心都在两点连线的垂直平分线上； 易错关键词：判断正误题必须看清有无 “不共线” 前提。 【典例1】下列说法中，错误的是（ ） A．经过点P的圆有无数个 B．以点P为圆心的圆有无数个 C．半径为且经过点P的圆有无数个 D．以点P为圆心，长为半径的圆有无数个 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是圆的相关知识，解题的关键是熟练掌握确定圆的条件．根据圆的相关知识逐一分析即可． 【详解】解：由于圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．则： A、经过一个点P的圆有无数个，正确； B、以点P为圆心的圆，半径不确定，所以有无数个，正确； C、半径为且经过点P的圆，圆心不确定，所以有无数个，正确； D、以点P为圆心，以为半径的圆，圆心半径都确定，所以只有唯一的一个圆，错误． 故选：D． 【变式1-1】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．经过已知点M B．以点O为圆心，10cm长为半径 C．以10cm长为半径 D．以点O为圆心 【答案】B． 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴B选项正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 【变式1-2】下列条件中，能确定一个圆的是（　　） A．已知圆心O B．已知半径r＝5cm C．已知圆心O，半径r＝5cm D．已知点A为圆上一点 【答案】C． 【分析】确定一个圆有两个重要因素，一是圆心，二是半径，据此可以得到答案． 【详解】解：∵圆心确定，半径确定后才可以确定圆， ∴C选项正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，确定圆要首先确定圆的圆心，然后也要确定半径． 【变式1-3】已知点A，B，且AB＜4，画经过A，B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C． 【分析】作AB的垂直平分线，在垂直平分线上找到A、B两点距离为2的点，该点有两个． 【详解】解：根据题意作图如下， 由图可知经过A，B两点且半径为2的圆有2个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查确定圆的条件的知识点，此题不是很难，但需要有较强的作图能力． ▌题型02 根据点确定圆的个数 1. 分类讨论依据：点是否共线、选取三点是否共线。 2. 通用计数规则： · 平面内一组点，任选 3 个不共线的点，就能画出 1 个圆； · 只要三点共线，这组三点不能画圆； 3. 解题步骤： ① 找出所有三点组合； ② 剔除共线三点组； ③ 剩余组数即为可画圆的数量； 4. 典型模型：直线上 3 点 + 直线外 1 点，最多可画 3 个圆。 【典例2】已知为平面内不重合的四个点，且这四点不在同一直线上，它们可以确定圆的个数不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了确定圆的条件，根据题意分两种情况讨论（）有三点共线；（）任意三点不共线，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆． 【详解】解：∵四点不在同一直线上， ∴根据题意分两种情况讨论：（）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作个圆； （）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作或个圆； ∴确定圆的个数为、或，不可能为， 故选：． 【变式1-1】如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作　 个． 【答案】3． 【分析】根据“不在同一直线上的三点确定一个圆”确定圆的个数即可． 【详解】解：过A、B、M；A、C、M；B、C、M共能确定3个圆， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，注：过三点作圆，分两种情况：①三点共线；②三点不共线． 【变式1-2】如图，点，，，均在直线上，点在直线外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ）    A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解． 【详解】解：依题意，；；；；，加上点可以画出一个圆， ∴共有6个， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定圆的条件，熟练掌握不共线三点确定一个圆是解题的关键． 【变式1-3】平面内有A，B，C，D四个点，试探索： （1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作　 　个圆； （2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作　 　圆； （3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作　 　个圆； （4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作几个圆？最少可以作几个圆？ 【答案】（1）0;（2）3;（3）1或4;（4）最多可以作4个圆，最少可以作0个圆. 【分析】（1）根据不共线的三点可以作圆得知四点共线不可以作圆； （2）线上的任意两点和线外的一点可以构成一个圆； （3）四个点中的任意三点可以作圆； （4）共线时同（1），不共线时同（4）； 【详解】解：（1）若四点共线，则过其中三点作圆，可作0个圆； （2）若有三点共线，则过其中三点作圆，可作3圆； （3）若任意三点不共线，则过其中三点作圆，可作1或4个圆； （4）过A，B，C，D四个点中的任意三点作圆，最多可以作4个圆，最少可以作0个圆． 故答案为：0；3；1或4；最多可以作4个圆，最少可以作0个圆. 【点睛】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是了解不在同一直线上的三点确定一个圆，难度不大． ▌题型03 确定圆心的位置 1. 几何作图原理：弦的垂直平分线交点 = 圆心（两条垂直平分线即可定位）。 2. 作图步骤（复原破损圆 / 找外心通用）： ① 在圆弧 / 三角形上取两组两点，连线段（弦）； ② 分别作两条弦的垂直平分线； ③ 交点即为圆心； 3. 坐标系求圆心方法： ① 设圆心； ② 利用圆心到圆上各点距离相等列等式； ③ 联立方程求解坐标； 4. 生活应用：碎玻璃配镜片、到三个地点距离相等的站点选址。 【典例3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（     ） A．(－1，－2) B．(－2，－1) C．(1，2) D．(2，1) 【答案】A 【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点圆心D的坐标即可． 【详解】连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示： 在CB的垂直平分线上找到一点D， CD=DB=DA=， 所以D是过A，B，C三点的圆的圆心， 即D的坐标为（﹣1，﹣2）， 故选：A． 【点睛】此题考查圆心的确定方法，垂直平分线，勾股定理，点的坐标，正确作图确定圆心是解题的关键． 【变式1-1】如图，在8×8正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（    ） A．点E B．点F C．点G D．点H 【答案】D 【详解】如图，连接AB，BC，分别作弦AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点H即为圆心． 故选D. 【变式1-2】如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为．B的坐标为．则该圆弧所在圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂径定理的应用．如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心，即可求解． 【详解】解：如图以图中每个小方格的边长为单位1，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，B的坐标为，分别连接，分别作线段的垂直平分线，两条直线交于点D，则点D是所给圆弧所在圆的圆心， 由图得点D的坐标为． 故该圆弧所在圆的圆心坐标是． 故选：B． 【变式1-3】如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系． （1）过A，B，C三点的圆的圆心M坐标为 　 　． （2）求⊙M的面积（结果保留π）． 【答案】（1）（1，﹣2）； （2）10π． 【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标； （2）由勾股定理即可求得圆的直径，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M， 则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）； （2）连接MB， 由勾股定理得MB， 故圆的面积为10π． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置． ▌题型04 三角形外接圆概念的辨析 1. 基础定义（必背） · 外接圆：经过三角形三个顶点的圆； · 内接三角形：相对于外接圆，该三角形叫圆的内接三角形； · 外心：外接圆圆心，三角形三边垂直平分线交点； 2. 易混对比（区分内心 / 外心，选择题高频） · 外心：垂直平分线交点，到三个顶点距离相等； · 内心：角平分线交点，到三边距离相等； 【典例4】（2025九年级上·江苏苏州·专题练习）对于三角形的外心，下列说法正确的是（　　） A．它到三角形三边的距离相等 B．它是三角形三条高的交点 C．它一定在该三角形的内部 D．它到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外心的定义．根据三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，据此即可求得答案． 【详解】解：三角形的外心是三角形外接圆的圆心，到三角形三个顶点的距离相等，它是三角形三条边垂直平分线的交点，故A、B错误；D正确；锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外部，故C错误． 故选：D． 【变式1-1】下列说法正确的是（     ） A．三点确定一个圆 B．到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的内心 C．三角形三条高的交点是三角形的重心 D．直角三角形的外心在斜边上 【答案】D 【详解】选项A：只有不在同一直线上的三点才能确定一个圆，选项A错误，不符合题意； 选项B：到三角形三个顶点距离相等的点是三角形的外心，到三角形三边距离相等的点才是三角形的内心，所以B错误，不符合题意； 选项C：三角形三条高的交点是三角形的垂心，三角形三条中线的交点才是三角形的重心，所以C错误，不符合题意； 选项D：直角三角形的外心是其斜边的中点，因此直角三角形的外心在斜边上，所以D正确． 【变式1-2】已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心、外心的定义等知识． 结合网格线特点、以及三角形的重心的定义即可判断⑤，进而可判断②；利用勾股定理求出、的长，进而得出其数量关系，得出的形状特点，结合⑤以及“三线合一”的性质可判断①③；利用勾股定理求出，再利用网格线可知、的长即可判定④． 【详解】解：如图： 结合网格线的特点可知：在中，点P既在边的中线上，又在边的中线上， 即：点P是中、边上的中线的交点， ∴点P是的重心，故⑤正确； ∴点P也在边的中线上， ∵点P在的边的中线上， 又∵三角形的中线可将三角形分成面积相等的两个部分， ∴直线可以把分成面积相等的两部分，故②正确； 根据勾股定理有：，，即， ∴是等腰三角形， ∵在等腰三角形中，底边上的中线和顶角的角平分线， 又∵点P也在底边的中线上， ∴点P在的平分线上，故①正确； ∵是等腰三角形，， ∴，故③正确； 连接，如图， 根据勾股定理有：， ∵， ∴点P到的三个顶点的距离不相等， ∴点P不是的外心，故④错误； 即正确的结论有4个． 【变式1-3】（2026九年级上·全国·专题练习）在中，，为所在平面内一点，且点与的任意两个顶点构成的，，均为等腰三角形．满足上述条件的点有（  ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以的外心满足条件； 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作等腰的底边的垂直平分线，再以点为圆心为半径作圆，这个圆与的垂直平分线的两个交点也满足条件； 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，这两个圆相交于两点，其中一点是点，另一点为满足条件的点； 以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点； 同理以点为圆心为半径画圆，这个圆和以点为圆心为半径的圆有两个交点，其中一个交点是点，另一个交点为满足条件的点． 【详解】解：如图所示，作的垂直平分线， 的外心为满足条件的一个点， 以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点， 分别以点、为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点， 综上所述，满足条件的所有点的个数为． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质． ▌题型05 确定三角形外心的位置 1. 按三角形形状分类记忆（必考） · 锐角三角形：外心在三角形内部； · 直角三角形：外心在斜边中点； · 钝角三角形：外心在三角形外部； 2. 判定技巧： · 看到直角三角形，直接取斜边中点为外心； · 作图判断：作两条边垂直平分线，看点落在三角内外 / 边上； 3. 坐标题快速判断：算出外心坐标，对比三角形顶点范围。 【典例5】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上，则外接圆的圆心坐标为(　) A．(3，2) B．(2，3) C．(2，2) D．(3，3) 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆心，然后写出点坐标即可． 【详解】解：如图所示，作和的垂直平分线，它们的交点为外接圆圆 即外接圆圆心的坐标为． 故选：A． 【变式1-1】如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（网格线的交点）上，点是（   ） A．的外心 B．的外心 C．的内心 D．的内心 【答案】B 【分析】本题考查了网格与勾股定理，外接圆，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合网格与勾股定理得出，即可得出是的外接圆． 【详解】解：观察网格，得 即， ∴是的外接圆， ∴点是的外心， 故选：B． 【变式1-2】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 【变式1-3】在中，，． (1)求作：的外接圆O（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，求的半径． 【答案】(1) 如图所示，的外接圆O即为所求， (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的半径求解． （1）分别作出，，的垂直平分线，三条垂直平分线交于一点，则该点为的外心，即为外接圆的圆心O，以为半径画出，的外接圆O即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点D，连接，由为的垂直平分线，得出点D为的中点，求得，再利用勾股定理求得的长度，设，则，利用勾股定理和线段的和差关系列出方程求解x的值，再将x代入即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵为的垂直平分线， ∴点D为的中点， ∴， 在中，， 设，则， 在中，，即， 又∵， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴． ▌题型06 利用三角形外心的性质求角度 主要考查了三角形的外接圆与外心，有时要利用等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 【典例6-1】（24-25九年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，点是的外心，且，则________． 【答案】 【分析】根据点是的外心，可得，从而，再利用三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵点为的外心， ∴点、、均在以点为圆心，长为半径的圆上， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了三角形的外心，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形的外心位置是解题的关键． 【典例6-2】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知O为的外心，，则________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，圆内接四边形的性质，利用分类讨论的思想方法解答是解题的关键．分圆心与点在的同侧和圆心与点在的两侧两种情况解答，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得结论；延长交于点，连接，利用一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半即可求得，再利用圆内接四边形的性质即可求得结论． 【详解】解：当圆心与点在的同侧时，如图， ； 当圆心与点在的两侧时，如图， 延长交于点，连接， ， ． 四边形为圆的内接四边形， ． ． 综上，或． 故答案为：或 【变式1-1】如图，点是外心，，是的中点， （1）连接，则______； （2）若，是边上的高，则的大小为______． 【答案】 30°/30度 23°/23度 【分析】（1）连接OC，由点是外心得OA=OB=OC，从而可以得到，，，再根据即可求出答案． （2）先求出利用等腰三角形的性质求出=90°-30°=60°，进而求出，然后利用三角形的内角和定理求出，最后利用直角三角形两锐角互余即可求出答案． 【详解】解：（1）如图1，连接OC， 点是外心， OA=OB=OC， ，，， ，， ． 故答案为：30°； （2）如图2，连接OC， OB=OC，是的中点， =30°，，， =90°-30°=60°， ， ，，，，， ， ， 是边上的高， ． 故答案为：23°． 【点睛】本题考查了三角形的外心性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 【变式1-2】如图，在中，，，O为的外心，为等边三角形，与相交于D点，连接． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 【变式1-3】如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长线交边AC于点D． （1）求证：∠BAC＝2∠ABD； （2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小． 【答案】（1）见详解；（2）67.5°或72°． 【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论， （2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案． 【详解】解（1）连接OA并延长AO交BC于E， ∵AB＝AC， ∴， ∵AE过圆心O， ∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAE， ∴∠BAC＝2∠ABD； （2）设∠ABD＝x， 由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x， ∴∠BDC＝3x， △BCD是等腰三角形， ①若BD＝BC， 则∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴3x+3x+2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠BCD＝3x＝67.5°， ②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x， ∴∠ABC＝∠ACB＝4x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴4x+4x+2x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠BCD＝4x＝72°， 综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°． 【点睛】本题考查圆及内接三角形，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用． ▌题型07 利用三角形外心的性质求线段长 1. 核心性质：外心到三顶点距离相等，即 外接圆半径； 2. 直角三角形速算：外接圆半径 斜边长； 3. 普通三角形计算模型（勾股方程）： ① 连接圆心与顶点，构造直角三角形； ② 设半径为，用表示直角边； ③ 勾股定理列一元一次方程求解； 4. 常见求线段：外接圆半径、边长、圆心到顶点距离。 【典例7-1】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是上的三点，是等边三角形．若，则的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定理和勾股定理解题是关键． 连接、，过点作，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角形内角和为得到，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出的半径． 【详解】解：连接、，过点作， ∵是等边三角形的外接圆， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， 在中，利用勾股定理得，． 故选：． 【典例7-2】（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，中，是的平分线，是的垂直平分线，交于点O．若，则外接圆的半径为________． 【答案】3 【分析】本题考查三线合一，三角形外接圆的圆心位置的确定，熟练掌握以上性质是解题的关键．根据三线合一，得到垂直平分，根据是的垂直平分线，得到点即为外接圆的圆心，即为半径，即可得出结果． 【详解】解：∵是的平分线， ∴， ∴垂直平分， ∵是的垂直平分线，交于点O， ∴点即为外接圆的圆心， ∵， ∴外接圆的半径为3； 故答案为：3． 【变式1-1】在中，，，，那么的外接圆半径为（     ） A．5 B．3 C．2 D． 【答案】D 【分析】先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再利用直角三角形外接圆半径等于斜边一半计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，则是直角三角形， ∵直角三角形的外接圆直径等于斜边长， ∴的外接圆半径为． 【变式1-2】在中，，，，则它的外心与顶点的距离为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查直角三角形外心的性质、勾股定理以及直角三角形斜边上的中线性质等，熟练掌握直角三角形外心在斜边中点，外接圆半径等于斜边的一半是解题的关键．先运用勾股定理求出的值，再通过外心为斜边的中点，求出外接圆半径，即得外心与顶点的距离． 【详解】解：∵，，，， ∴． ∵ 外心为斜边的中点， ∴ 外接圆半径． ∴ 外心与顶点的距离为． 故选：D． 【变式1-3】已知为的外接圆，且圆心O在的内部，分别过点O作，垂足分别为点，若，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了三角形外心的性质，三角形的中位线等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键； 由点是的外心，，得到是的中位线，根据三角形中位线定理即可求得． 【详解】解：如图， 是的外心，，， ，， 为的中位线， ． 故答案为：16 ▌题型08 三角形的外接圆的综合题 1. 综合考点整合：三点定圆、外心位置、垂直平分线、勾股定理、坐标计算； 2. 通用解题流程： ① 先判断三点是否共线，确定存在外接圆； ② 作垂直平分线求出外心（圆心）； ③ 利用结合勾股 / 坐标求半径、边长； ④ 结合三角形形状判断外心位置辅助验证； 3. 典型考法： · 坐标系中求外接圆半径、外心坐标； · 破损圆形零件求半径； · 证明线段相等、判断三角形类型； 4. 答题规范：证明题必须写明 “垂直平分线交点为外心，外心到三顶点距离相等” 作为推理依据。 【典例8】已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC． （1）求证：△ABC是等腰三角形； （2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长． 【答案】（1）见详解； （2）3． 【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证； （2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC． 【详解】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴， 解得，， ∴BC＝2a＝3． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组． 【变式1-1】如图，D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点O在AD上，AO＝CO，BC∥EF． （1）证明：AB＝AC； （2）证明：点O是△ABC的外接圆的圆心． 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【分析】（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可证得AD⊥BC，又由D是△ABC的边BC的中点，即可得AD是线段BC的垂直平分线，则可证得AB＝AC； （2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB＝OC，又由AO＝CO，则可得AO＝BO＝CO，则问题得证． 【详解】（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点， ∴BD＝CD， ∵BC∥EF，AD⊥EF， ∴AD⊥BC， ∴AB＝AC； （2）证明：连接BO， ∵BD＝CD，AD⊥BC， ∴BO＝CO， ∵AO＝CO， ∴AO＝BO＝CO， ∴点O是△ABC的外接圆的圆心． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内接圆的性质等知识．此题综合较强，但难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用． 【变式1-2】定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． (1)在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． (2)的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 【变式1-3】定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心． （1）如图①，△ABC是等边三角形，点O是△ABC的外心，求证∠ABO＝30° （2）如图②，△ABC是等边三角形，分别延长等边三角形ABC的边AB、BC、CA到点D、E、F，使BD＝CE＝AF，连接DE，EF，DF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心． 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠OBC，于是得到结论； （2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵点O是△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， 在△AOB与△COB中， ， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°； （2）连接OF，OD，OE， 由（1）得，∠ABO＝30°， ∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝30°， ∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°， ∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO， ∴∠FAO＝∠DBO， 在△FAD与△DBO中， ， ∴△FAD≌△DBO（SAS）， ∴OF＝OD， 同理，OF＝OE， ∴OF＝OE＝OD， ∴点O也是△DEF的外心． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 确定圆的条件八大题型专项训练 （题型突破·举一反三） 题型01 确定圆的条件 题型02 根据点确定圆的个数 题型03 确定圆心的位置 题型04 三角形外接圆概念的辨析 题型05 确定三角形外心的位置 题型06 利用三角形外心的性质求角度 题型07 利用三角形外心的性质求线段长 题型08 三角形的外接圆的综合题 ▌题型01 确定圆的条件 【典例1】【答案】D 【变式1-1】【答案】B． 【变式1-2】【答案】C． 【变式1-3】【答案】C． ▌题型02 根据点确定圆的个数 【典例2】【答案】B 【变式1-1】【答案】3． 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】（1）0;（2）3;（3）1或4;（4）最多可以作4个圆，最少可以作0个圆. ▌题型03 确定圆心的位置 【典例3】【答案】A 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】B 【变式1-3】 【答案】（1）（1，﹣2）； （2）10π． 【分析】（1）连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M，就是过A，B，C三点的圆的圆心，有图形可得M的坐标； （2）由勾股定理即可求得圆的直径，根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：（1）如图所示：连接AB，AC，分别作AB、AC的垂直平分线，两直线交于点M， 则点M就是过A，B，C三点的圆的圆心，由图形可知M的坐标为M（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）； （2）连接MB， 由勾股定理得MB， 故圆的面积为10π． 【点睛】此题考查三角形的外接圆与外心，垂径定理，勾股定理，解题的关键是根据垂径定理得出圆心位置． ▌题型04 三角形外接圆概念的辨析 【典例4】【答案】D 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】C 【变式1-3】【答案】D ▌题型05 确定三角形外心的位置 【典例5】【答案】A 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】 【答案】(1) 如图所示，的外接圆O即为所求， (2) 【分析】本题考查了三角形外接圆的作图，等腰三角形的性质，勾股定理及圆的半径求解． （1）分别作出，，的垂直平分线，三条垂直平分线交于一点，则该点为的外心，即为外接圆的圆心O，以为半径画出，的外接圆O即为所求； （2）作的垂直平分线，交于点D，连接，由为的垂直平分线，得出点D为的中点，求得，再利用勾股定理求得的长度，设，则，利用勾股定理和线段的和差关系列出方程求解x的值，再将x代入即可求得的半径． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作的垂直平分线，交于点D，连接， ∵，， ∴为等腰三角形， ∵为的垂直平分线， ∴点D为的中点， ∴， 在中，， 设，则， 在中，，即， 又∵， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴． ▌题型06 利用三角形外心的性质求角度 【典例6-1】【答案】 【典例6-2】【答案】或 【变式1-1】【答案】 30°/30度 23°/23度 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了三角形的外心的性质以及等边三角形的性质等知识，得出是解题关键． （1）连接，通过证得，从而问题得解； （2）利用三角形外心的性质以及利用等腰三角形的性质得出，然后根据三角形内角和得出．再根据，即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵O为的外心， ， ， ， ， ， （2）解：∵由（1）得，， ， ∴ 为正三角形， ， ． 【变式1-3】 【答案】（1）见详解；（2）67.5°或72°． 【分析】（1）连接OA并延长AO交BC于E，证明∠BAC＝2∠BAE和∠ABD＝∠BAE即可得结论， （2）设∠ABD为x，用x表示出有关的角，再列方程即得答案． 【详解】解（1）连接OA并延长AO交BC于E， ∵AB＝AC， ∴， ∵AE过圆心O， ∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦）， ∴AE平分∠BAC， ∴∠BAC＝2∠BAE， ∵OA＝OB， ∴∠ABD＝∠BAE， ∴∠BAC＝2∠ABD； （2）设∠ABD＝x， 由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x， ∴∠BDC＝3x， △BCD是等腰三角形， ①若BD＝BC， 则∠C＝∠BDC＝3x， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝3x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴3x+3x+2x＝180°， 解得x＝22.5°， ∴∠BCD＝3x＝67.5°， ②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x， ∴∠ABC＝∠ACB＝4x， 在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°， ∴4x+4x+2x＝180°， ∴x＝18°， ∴∠BCD＝4x＝72°， 综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°． 【点睛】本题考查圆及内接三角形，关键是垂径定理及等腰三角形性质的应用． ▌题型07 利用三角形外心的性质求线段长 【典例7-1】【答案】C 【典例7-2】【答案】3 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】【答案】16 ▌题型08 三角形的外接圆的综合题 【典例8】 【答案】（1）见详解； （2）3． 【分析】（1）连接OB、OC，先证明∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，再证明△OAB≌△OAC得AB＝AC，问题得证； （2）延长AO交BC于点H，先证明AH⊥BC，BH＝CH，设OH＝b，BH＝CH＝a，根据OA＝4，AB＝6，由勾股定理列出a、b的方程组，解得a、b，便可得BC． 【详解】解：（1）连接OB、OC， ∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC， ∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO， 在△OAB和△OAC中， ， ∴△OAB≌△OAC（AAS）， ∴AB＝AC 即△ABC是等腰三角形； （2）延长AO交BC于点H， ∵AH平分∠BAC，AB＝AC， ∴AH⊥BC，BH＝CH， 设OH＝b，BH＝CH＝a， ∵BH2+OH2＝OB2，BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6， ∴， 解得，， ∴BC＝2a＝3． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，第（1）关键在证明三角形全等；第（2）题关键由勾股定理列出方程组． 【变式1-1】 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【分析】（1）由BC∥EF，AD⊥EF，可证得AD⊥BC，又由D是△ABC的边BC的中点，即可得AD是线段BC的垂直平分线，则可证得AB＝AC； （2）由AD是线段BC的垂直平分线，可证得OB＝OC，又由AO＝CO，则可得AO＝BO＝CO，则问题得证． 【详解】（1）证明：∵D是△ABC的边BC的中点， ∴BD＝CD， ∵BC∥EF，AD⊥EF， ∴AD⊥BC， ∴AB＝AC； （2）证明：连接BO， ∵BD＝CD，AD⊥BC， ∴BO＝CO， ∵AO＝CO， ∴AO＝BO＝CO， ∴点O是△ABC的外接圆的圆心． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内接圆的性质等知识．此题综合较强，但难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用． 【变式1-2】 【答案】(1) 解：如图，即所求． (2)不是， 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【详解】（1）略 （2）解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 【变式1-3】 【答案】（1）见详解；（2）见详解. 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC，根据全等三角形的性质得到∠ABO＝∠OBC，于是得到结论； （2）连接OF，OD，OE，由（1）得，∠ABO＝30°，推出∠FAO＝∠DBO，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝BC， ∵点O是△ABC的外心， ∴OA＝OB＝OC， 在△AOB与△COB中， ， ∴△AOB≌△COB（SSS）， ∴∠ABO＝∠OBC， ∵∠ABO+∠OBC＝∠ABC＝60°， ∴∠ABO＝30°； （2）连接OF，OD，OE， 由（1）得，∠ABO＝30°， ∵点O为△ABC的外心， ∴OA＝OB， ∴∠OAB＝∠ABO＝30°， ∴∠OAC＝60°﹣30°＝30°， ∴180°﹣∠OAC＝180°﹣∠ABO， ∴∠FAO＝∠DBO， 在△FAD与△DBO中， ， ∴△FAD≌△DBO（SAS）， ∴OF＝OD， 同理，OF＝OE， ∴OF＝OE＝OD， ∴点O也是△DEF的外心． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $