周练 同步巩固与压轴训练 3.5.3～3.5.4～3.5.5 切线的判定与性质 切线长 三角形的内切圆 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 九年级上册数学圆章节周练，涵盖切线判定、切线长定理、内切圆等核心知识点，通过选择、填空、解答题分层设计，适配周测巩固与能力提升，选用多地模拟题素材，注重几何直观与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6题/30分|切线判定（第1题）、切线长计算（第2题）、内切圆半径（第3题）|结合动态图形（如第1题旋转纸片），辨析几何结论| |填空题|6题/30分|切线条件（第7题）、外切四边形周长（第8题）、直角三角形内切圆（第10题）|聚焦基础公式应用，如第8题外切四边形对边和性质| |解答题|8题/40分|切线证明（第13题）、切线长与周长（第14题）、内心与平行（第12题）|综合几何推理与计算，如第19题切线性质与全等证明结合，体现逻辑思维|

初中数学同步周练　|　苏科版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第3章 圆（3.5.3～3.5.4～3.5.5） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•承德月考）·【A】如图1，将直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°）的顶点C落在圆上，AC，BC分别与圆交于点M、N，转动直角三角形纸片，使点C，N重合，如图2． 嘉嘉说：“图1中的线段MN是圆的直径．” 淇淇说：“图2中的直线BN与圆相切．” 下列判断正确的是（　　） A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 2．（2026•长沙二模）·【A】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025秋•武汉期末）·【A】如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF＝BG＝CH＝DE．若EF＝17．△GCH的内切圆半径为3，则AB的长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 4．（2024秋•汉阳区期末）·【B】如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，下列条件中不能判断直线AB是⊙O切线的是（　　） A．CA＝CB B．∠AOC＝∠BOC C．∠ACO＝∠BCO D．OA＝2OC 5．（2026•西湖区校级模拟）·【B】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 6．（2026•安州区一模）·【B】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•湖南一模）·【A】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于 　 　 度时，AC才能成为⊙O的切线． 8．（2025秋•郓城县期末）·【A】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　 　 ． 9．（2025秋•宁夏期末）·【A】如图，PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相切于点B，M为上一点，过点M与⊙O相切的直线分别交PA，PB于点E，F．若△PEF的周长为12，则PA的长为　 　 ． 10．（2026•龙湖区一模）·【A】如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为　 　 ． 11．（2024秋•北京期末）·【B】在如图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 　 　 ．（写一个条件即可） 12．（2026•宁夏模拟）·【B】如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 　 　 cm． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•七星关区校级模拟）·【A】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当∠F＝30°，BD＝6，时，求BF的长． 14．（2024秋•四平期末）·【A】已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： （1）△PCD的周长； （2）若∠P＝50°，求∠COD的度数． 15．（2025秋•赣州期末）·【A】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F． （1）点O是△ABC的　 　 心； （2）如图1，若AB＝9，BC＝14，CA＝13．设AF＝x，求BF的值； （3）如图2，若∠B＝90°，AB，BC，CA的长分别是a，b，c，则⊙O半径是　 　 （用含a，b，c的式子表示）． 16．（2025秋•汉阳区期末）·【B】▱ABCD，过A，B，C三点的⊙O与AD相切于点A． （1）如图1，若∠ABC＝60°，则求证：CD是⊙O的切线； （2）如图2，若，求⊙O的半径． 17．（2025秋•武昌区校级月考）·【B】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm． （1）求证：∠BOC＝90°． （2）求BE的长． 18．（2025秋•广安区期末）·【B】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 19．（2026•铁东区三模）·【C】如图，点P是⊙O外一点，过点P的直线m是⊙O的切线，切点是A，过点A作弦AB，连接PB交⊙O于点E，连接AE． （1）在图1中，求证：∠PAE＝∠PBA； （2）在图2中，过点P作直线n∥AB，直线AE与直线n相交于点K，若直线n是圆的切线，切点是C，，求解⊙O的半径． 20．（2026•海州区二模）·【C】如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B B D C B 一．选择题（共6小题） 1．（2025秋•承德月考）·【A】如图1，将直角三角形纸片ABC（∠ACB＝90°）的顶点C落在圆上，AC，BC分别与圆交于点M、N，转动直角三角形纸片，使点C，N重合，如图2． 嘉嘉说：“图1中的线段MN是圆的直径．” 淇淇说：“图2中的直线BN与圆相切．” 下列判断正确的是（　　） A．两人的说法都正确 B．两人的说法都不正确 C．只有嘉嘉的说法正确 D．只有淇淇的说法正确 【答案】A 【解答】解：∵∠ACB＝90°， ∴图1线段MN是圆的直径，故嘉嘉的说法正确； ∵∠ACB＝90°， ∴MN⊥BC， ∵MN是圆的直径， ∴直线BN与圆相切，故淇淇的说法正确； 综上可得：两人的说法都正确， 故选：A． 2．（2026•长沙二模）·【A】如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B． 3．（2025秋•武汉期末）·【A】如图，E，F，G，H四点分别在正方形ABCD的四条边上，AF＝BG＝CH＝DE．若EF＝17．△GCH的内切圆半径为3，则AB的长为（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】B 【解答】解：设△GCH的内切圆的圆心为点O，⊙O与CH、CG、GH分别相切于点P、Q、R，连接OP、OQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠C＝∠A＝90°， 设AB＝BC＝CD＝AD＝m+n，AF＝BG＝CH＝DE＝m，则BF＝CG＝DH＝AE＝m+n﹣m＝n， ∴GH＝EF， ∴GH＝EF＝17， ∵CQ＝CP，GQ＝GR，HP＝HR， ∴GQ+HP＝GR+HR＝GH＝17， ∵CH⊥OP于点P，CG⊥OQ于点Q，⊙O的半径为3， ∴∠OPC＝∠OQC＝∠C＝90°，且OP＝OQ＝3， ∴四边形OPCQ是正方形， ∴CQ＝CP＝OQ＝3， ∴CG+CH＝CQ+GQ+HP+CP＝3+17+3＝23， ∴AB＝BC＝CG+BG＝CG+CH＝23， 故选：B． 4．（2024秋•汉阳区期末）·【B】如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，下列条件中不能判断直线AB是⊙O切线的是（　　） A．CA＝CB B．∠AOC＝∠BOC C．∠ACO＝∠BCO D．OA＝2OC 【答案】D 【解答】解：如图1，连接OC， ∵OA＝OC，CA＝CB， ∴OC⊥AB， ∵OC是⊙O的半径，且AB⊥OC， ∴AB是⊙O的切线， 故A不符合题意； ∵OA＝OC，∠AOC＝∠BOC， ∴OC⊥AB， ∵OC是⊙O的半径，且AB⊥OC， ∴AB是⊙O的切线， 故B不符合题意； ∵点C在直线AB上， ∴∠ACO+∠BCO＝180°， ∵∠ACO＝∠BCO， ∴2∠BCO＝180°， ∴∠BCO＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且AB⊥OC， ∴AB是⊙O的切线， 故C不符合题意； 如图2，直线m与⊙O交于点C、D，作直径CE，以O为圆心，线段CE长为半径作弧交直线m于点A、B， ∵OA＝OB＝CE＝2OC，直线AB与⊙O相交， ∴不能判断满足条件OA＝OB，OA＝2OC的直线AB是⊙O切线， 故D符合题意， 故选：D． 5．（2026•西湖区校级模拟）·【B】如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA＝8，则△PCD的周长为（　　） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，CD切⊙O于点E， ∴PA＝PB＝8，AC＝EC，BD＝ED， ∴PC+CD+PD＝PC+CE+DE+PD＝PA+AC+PD+BD＝PA+PB＝8+8＝16， 即△PCD的周长为16． 故选：C． 6．（2026•安州区一模）·【B】如图，⊙O是△ABC的外接圆，且BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，BE的延长线交⊙O于点F，连接CF．若BC＝5，，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】B 【解答】解：⊙O是△ABC的外接圆，点E为△ABC的内心，如图，连接OF交AC于点G，作FH⊥BC于点H， ∴∠CBF＝∠ABF，∠ACE＝∠BCE， ∴， ∴OG⊥AC，AG＝CG， ∵BC为⊙O的直径， ∴∠BFC＝90°， ∵∠CEF＝∠CBF+∠BCE，∠ECF＝∠ACF+∠ACE，∠CBF＝∠ABF＝∠ACF， ∴∠CEF＝∠ECF， ∴△CEF是等腰直角三角形，， 在直角三角形BCF中，由勾股定理得：BF2， ∵S△BCFBF•CFBC•FH， ∴FH2， ∵S△OCFOC•FHOF•CG，OC＝OF， ∴FH＝CG＝2， ∴AC＝2CG＝4， 故选：B． 二．填空题（共6小题） 7．（2026•湖南一模）·【A】如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于 　60　 度时，AC才能成为⊙O的切线． 【答案】60 【解答】解：∵△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝30°， ∴当∠CAB的度数等于60°时，OA⊥AC，AC才能成为⊙O的切线． 8．（2025秋•郓城县期末）·【A】如图，四边形ABCD是⊙O的外切四边形，且AB＝8，CD＝15，则四边形ABCD的周长为 　46　 ． 【答案】46． 【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的外切四边形，如图， ∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DH＝DG， ∴AD+BC＝AB+CD＝23， ∴四边形ABCD的周长＝AD+BC+AB+CD＝23+23＝46， 故答案为：46． 9．（2025秋•宁夏期末）·【A】如图，PA与⊙O相切于点A，PB与⊙O相切于点B，M为上一点，过点M与⊙O相切的直线分别交PA，PB于点E，F．若△PEF的周长为12，则PA的长为　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：由题意可得：PA＝PB．EA＝EM． 同理，∵FB，FM是⊙O的切线，切点分别为B，M， ∴FB＝FM． ∵C△PEF＝PE+EF+PF． ∴C△PEF＝PE+EM+FM+PF＝（PE+EA）+（PF+FB）＝PA+PB． 又∵PA＝PB， ∴C△PEF＝2PA． ∵△PEF的周长为12，即C△PEF＝12， ∴C△PEF＝2PA，可得2PA＝12， 解得PA＝6． 故答案为：6． 10．（2026•龙湖区一模）·【A】如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，已知∠ABC＝90°，CM＝2，AM＝3，则⊙O的半径为　1　 ． 【答案】1． 【解答】解：如图，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为M，N，Q，连接ON，OQ﹒ ∴ON⊥AB，OQ⊥BC， ∴∠ONB＝∠OQB＝90°， ∵∠B＝90°， ∴四边形ONBQ为矩形， ∵ON＝OQ， ∴矩形ONBQ为正方形﹒ 设⊙O的半径为r，则BN＝BQ＝ON＝r﹒ ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，CM＝2，AM＝3， ∴CM＝CQ＝2，AM＝AN＝3， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：（r+2）2+（r+3）2＝（2+3）2， 解得r＝1或﹣6（不合题意，舍去）， ∴⊙O的半径为1﹒ 故答案为：1． 11．（2024秋•北京期末）·【B】在如图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需要添加的一个条件是 　∠TAC＝∠B（答案不唯一）　 ．（写一个条件即可） 【答案】∠TAC＝∠B（答案不唯一）． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， 当∠TAC＝∠B时，∠TAC+∠BAC＝90°， 即∠OAT＝90°， ∵OA是圆O的半径， ∴直线AT是⊙O的切线， 故答案为：∠TAC＝∠B（答案不唯一）． 12．（2026•宁夏模拟）·【B】如图，△ABC的周长是18cm，点O是△ABC的内心，过点O作EF∥AB，与AC、BC分别交于点E、F，已知AB＝6cm，则△CEF的周长为 　12　 cm． 【答案】12． 【解答】解：连接OA、OB． ∵点O是△ABC的内心， ∴AO、BO分别是∠CAB和∠CBA的角平分线． ∴∠EAO＝∠BAO，∠FBO＝∠ABO． ∵EF∥BA， ∴∠EOA＝∠OAB，∠FOB＝∠OBA． ∴∠EAO＝∠EOA，∠FOB＝∠FBO． ∴EO＝EA，OF＝FB． ∴EF＝AE+BF， ∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+EA+CF+FB＝CA+CB＝18﹣6＝12（cm）， 故答案为：12． 三．解答题（共8小题） 13．（2026•七星关区校级模拟）·【A】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上不同于A，B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线CE与AB交于点F． （1）求证：CF是⊙O的切线； （2）当∠F＝30°，BD＝6，时，求BF的长． 【答案】（1）连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2， 又∵∠BOC＝∠1+∠2， ∴∠BOC＝2∠1， 又∵∠ABD＝2∠1， ∴∠ABD＝∠BOC， ∴OC∥DB， ∴∠OCF＝∠DEF， ∵CE⊥DB， ∴∠DEF＝90°， ∴∠OCF＝90° 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）6． （2）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，所以CF∥AD，则∠BAD＝∠F＝30°，最后通过30°角所对直角边是斜边的一半和线段和差即可求解． 【解答】（1）证明：连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠1＝∠2， 又∵∠BOC＝∠1+∠2， ∴∠BOC＝2∠1， 又∵∠ABD＝2∠1， ∴∠ABD＝∠BOC， ∴OC∥DB， ∴∠OCF＝∠DEF， ∵CE⊥DB， ∴∠DEF＝90°， ∴∠OCF＝90° 又∵OC为⊙O的半径， ∴CF为⊙O的切线； （2）解：连接AD，如图所示： ∵AB是⊙O直径， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ADB＝∠FED， ∴CF∥AD， ∴∠BAD＝∠F＝30°， ∴AB＝2BD＝12， ∴OB＝OC＝6， ∴OF＝2OC＝12， ∴BF＝OF﹣OB＝12﹣6＝6． 14．（2024秋•四平期末）·【A】已知：PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E三点，PA＝6．求： （1）△PCD的周长； （2）若∠P＝50°，求∠COD的度数． 【答案】见试题解答内容 （2）连接OE，根据切线的性质得出∠P+∠AOB＝180°，由切线长定理得出∠COD∠AOB，即可得出结果． 【解答】解：（1）∵PA、PB切⊙O于A、B，CD切⊙O于E， ∴PA＝PB＝6，ED＝BD，CE＝AC； ∴△PCD的周长＝PD+DE+PC+CE＝2PA＝12； （2）连接OE，如图所示： 由切线的性质得，OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD， ∴∠OAC＝∠OEC＝∠OED＝∠OBD＝90°， ∴∠AOB+∠P＝180°， ∴∠AOB＝180°﹣∠P＝130°， 由切线长定理得：∠AOC＝∠EOC，∠EOD＝∠BOD， ∴∠COD∠AOB130°＝65°． 15．（2025秋•赣州期末）·【A】如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F． （1）点O是△ABC的　内　 心； （2）如图1，若AB＝9，BC＝14，CA＝13．设AF＝x，求BF的值； （3）如图2，若∠B＝90°，AB，BC，CA的长分别是a，b，c，则⊙O半径是　　 （用含a，b，c的式子表示）． 【答案】（1）内； （2）5； （3）． （2）根据切线长定理可得AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，设AF＝x，则有BD＝BF＝9﹣x，CD＝CE＝13﹣x，进而可得BC＝9﹣x+13﹣x＝14，解得x的值，然后计算BF的值； （3）连接OD，OE，OF，设⊙O半径为r，证明四边形ODBF为正方形，易得BD＝BF＝r，进而可得AE＝AF＝a﹣r，CE＝CD＝b﹣r，结合AC＝AE+CE＝c，即可获得答案． 【解答】解：（1）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F， ∴点O是△ABC的内心， 故答案为：内； （2）∵△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，AB＝9，BC＝14，CA＝13， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD， 设AF＝x，则AE＝AF＝x， ∴BD＝BF＝AB﹣AF＝9﹣x，CD＝CE＝AC﹣AE＝13﹣x， ∴BC＝BD+CD＝9﹣x+13﹣x＝14， 解得：x＝4， ∴BF＝9﹣x＝5； （3）如图2，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，连接OD，OE，OF， ∴AE＝AF，BF＝BD，CE＝CD，∠OFB＝∠ODB＝90°， 设⊙O半径为r，则OD＝OF＝r， ∵∠B＝∠OFB＝∠ODB＝90°， ∴四边形ODBF为矩形， 又∵OD＝OF， ∴四边形ODBF为正方形， ∴BD＝BF＝r， ∴AE＝AF＝a﹣r，CE＝CD＝b﹣r， ∴AC＝AE+CE＝a﹣r+b﹣r＝c， ∴a+b﹣2r＝c， 解得：． 故答案为：． 16．（2025秋•汉阳区期末）·【B】▱ABCD，过A，B，C三点的⊙O与AD相切于点A． （1）如图1，若∠ABC＝60°，则求证：CD是⊙O的切线； （2）如图2，若，求⊙O的半径． 【答案】（1）如图1，，∠ABC＝60°，连接AC， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵⊙O与AD相切于点A， ∴∠DAO＝90°， ∴∠DAC＝∠DAO﹣∠OAC＝90°﹣30°＝60°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∴∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝60°+30°＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）⊙O的半径为5． （2）连接AO并延长AO与BC交于点E，连接OB，根据相切的性质和平行四边形的性质得到AE⊥BC，且平分BC，根据勾股定理求出AE的长，再设半径为r，根据勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：如图1，，∠ABC＝60°，连接AC， ∴∠AOC＝2∠ABC＝120°， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA＝30°， ∵⊙O与AD相切于点A， ∴∠DAO＝90°， ∴∠DAC＝∠DAO﹣∠OAC＝90°﹣30°＝60°， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠ABC＝∠D＝60°， ∴∠DCA＝180°﹣∠DAC﹣∠D＝180°﹣60°﹣60°＝60°， ∴∠DCO＝∠DCA+∠OCA＝60°+30°＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）如图2，⊙O与AD相切于点A，连接AO并延长AO与BC交于点E，连接OB， ∴∠DAO＝90°， ∵四边形ABCD为平行四边形，AD＝8，， ∴，AD＝BC＝8，AD∥BC， ∵AD∥BC，∠DAO＝90°， ∴∠OEB＝90°， ∴， 在Rt△AEB中，由勾股定理得：AE8， ∴设半径为r， ∴OA＝OB＝r，OE＝8﹣r， 在Rt△OBE中，由勾股定理得：OB2＝OE2+BE2， ∴r2＝（8﹣r）2+42， 解得：r＝5， ∴⊙O的半径为5． 17．（2025秋•武昌区校级月考）·【B】如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点，且AB∥CD，BO＝6cm，CO＝8cm． （1）求证：∠BOC＝90°． （2）求BE的长． 【答案】（1）证明：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴，， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴∠BOC＝90°， （2）cm． （2）勾股定理求出BC，进而利用等面积求出OF，再利用勾股定理求出BF，即可得BE． 【解答】（1）证明：∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G三点， ∴，， ∵AB∥CD， ∴∠ABC+∠DCB＝180°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠DCB）＝90°， ∴∠BOC＝90°， （2）解：∵OB＝6cm，OC＝8cm， ∴BC10cm， 连接OF，如图， ∵BC是⊙O的切线， ∴OF⊥BC， ∴， ∴6×8＝10OF， 解得OFcm， 在Rt△OBF中，BFcm， ∴BE＝BFcm． 18．（2025秋•广安区期末）·【B】如图，⊙O为△ABC的内切圆，切点分别为F、G、H，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线． （1）若∠C＝40°，求∠AOB的度数； （2）若AC＝8，AB＝6，BC＝9，求△CDE的周长． 【答案】（1）110°； （2）11． （2）设DE的切点为I，根据内切圆的性质得到EH＝EI，DI＝DG，推出△CDE的周长为CG+CH，再结合切线长定理可得CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣2AB，再计算即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝40°， ∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣40°＝140°， ∵⊙O为△ABC的内切圆， ∴∠BAO＝∠CAO，∠ABO＝∠CBO， ∴， ∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°； （2）∵⊙O为△ABC的内切圆，DE为⊙O的切线，设切点为I， ∴EH＝EI，DI＝DG， ∴△CDE的周长为：CD+CE+DE ＝CD+CE+EI+DI， ＝CD+CE+EH+DG， ＝CG+CH， ∵AF＝AH，BF＝BG，CG＝CH， ∴CG+CH＝（AB+BC+AC）﹣（AH+AF+BF+BG）， ＝8+6+9﹣2AB ＝8+6+9﹣2×6 ＝11． 19．（2026•铁东区三模）·【C】如图，点P是⊙O外一点，过点P的直线m是⊙O的切线，切点是A，过点A作弦AB，连接PB交⊙O于点E，连接AE． （1）在图1中，求证：∠PAE＝∠PBA； （2）在图2中，过点P作直线n∥AB，直线AE与直线n相交于点K，若直线n是圆的切线，切点是C，，求解⊙O的半径． 【答案】（1）见解析； （2）2． （2）连接AO，OC，PO，过O作OG⊥AB，由等腰三角形的性质及平行线的性质可得∠CPB＝∠APB，再根据切线的性质以及全等三角形的判定与性质可得△PAO≌△PCO（HL）可得∠APO＝∠CPO，再结合∠CPB＝∠APB可得点O在PB上，即PB为⊙O的直径，则∠EAB＝90°；再结合∠APB＝∠PBA＝∠PAE以及三角形内角和定理可得∠APB＝∠BPC＝∠PAE＝30°，进而得到∠AKP＝90°，∠PAE＝30°；再根据直角三角形的性质可得，即；由垂径定理可得，最后再解直角三角形即可解答． 【解答】解：（1）如图：连接OA，OE，设∠PBA＝x，则∠AOE＝2x， ∵OA＝OE， ∴， ∵直线m是⊙O的切线， ∴∠PAO＝90°， ∴∠PAE＝∠PAO﹣∠OAE＝90°﹣（90°﹣x）＝x， ∴∠PAE＝∠PBA． （2）如图：连接AO，OC，PO，过O作OG⊥AB， ∵AP＝BA， ∴∠APB＝∠PBA， ∵n∥AB， ∴∠CPB＝∠PBA， ∴∠CPB＝∠APB， ∵直线m是⊙O的切线，直线n是圆的切线， ∴∠PAO＝∠PCO＝90°， ∵PO＝PO，OA＝OC， ∴△PAO≌△PCO（HL）， ∴∠APO＝∠CPO，PA＝PC， ∵∠CPB＝∠APB， ∴点O在PB上，即PB为⊙O的直径， ∴∠EAB＝90°， ∵∠APB＝∠PBA，∠PAE＝∠PBA， ∴∠APB＝∠PBA＝∠PAE， ∵∠EAB+∠APB+∠PBA+∠PAE＝180°， ∴∠APB＝∠PBA＝∠PAE＝30°， ∴∠APB＝∠BPC＝∠PAE＝30°， ∴∠AKP＝90°，∠PAE＝30°， ∵， ∴，即， ∵OG⊥AB， ∴， ∵∠PBA＝30°， ∴． 20．（2026•海州区二模）·【C】如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长． 【答案】见试题解答内容 （2）作DF⊥AB，垂足为F，由AAS证明△EAD≌△FAD，得出AF＝AE＝8，DF＝DE，求出OF＝3，由勾股定理得出DF，即可得出结果． 【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠OAD， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠OAD， ∴∠ODA＝EAD， ∴EA∥OD， ∵DE⊥EA， ∴DE⊥OD， ∵点D在⊙O上， ∴直线DE与⊙O相切． （2）作DF⊥AB，垂足为F，如图2所示： ∴∠DFA＝∠DEA＝90°， 在△EAD和△FAD中， ， ∴△EAD≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE＝8，DF＝DE， ∵OA＝OD＝5， ∴OF＝3， 在Rt△DOF中，DF4， ∴DE＝DF＝4． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $