学易金卷：九年级数学上学期9月学情自测卷（湖南长沙专用，新教材人教版）

**基本信息** 立足九年级上月考学情，以二次函数为核心，融合长沙景点调查、农产品销售等现实情境与“朴实点”新定义，梯度设计考查数学抽象、运算推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10/30|轴对称与中心对称、函数定义、配方法、二次函数图像|第5题结合一次函数与二次函数图像辨析，考查几何直观| |填空|6/18|因式分解、加权平均数、根的判别式、勾股定理|第16题喷水池水柱问题，用二次函数平移建模，体现应用意识| |解答|8/72|方程求解、菱形证明、统计分析、新定义函数、抛物线存在性|24题新定义“朴实点”“沉毅点”，考查创新思维；25题菱形存在性探究，发展空间观念|

■■■■ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选 准考证号 识 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 意事 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 45 4 破。 6 5. 正确填涂 678 456789 23456789 12345678 789 23456789 123456789 123456789 123456789 123456789 缺考标记 一、 选择题（每小题3分，共30分) 1.A][B][C][D] 5.[A][B][C][DJ 9.[A][B][C][D] 效翰 2.A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4,A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11 12 警 13. 14. 妇 15. 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或 演算步骤) 17.(6分) V1+64-(←5°+（分 18.(6分) (1)x(x+3)=6(x+3) (2)x2+2x-8=0 19.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20.(8分) 、B D 21.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.(8分) 23.(8分) 条形统计图 扇形统计图 人数/名 40 B 30H 25 A 20 20 25% 10 10 D 0 A BCDE豪点 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） (道9并)道9熊点豫 :华￥耄品明海☒马削到鲜每盖用群‘品4海☒瑶品阳目踞号安巢 图出男 a (O1)'s :g壬耄品明海☒马的狂毋遄用群‘品4每习醒品明目暗号巢 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 B C C B C A C A D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11． 12．90分 13．0或12 14． 15．10 16．1 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18题每题6分，19-23题每题8分，24-25题每题10分。 17．原式=11﹣4﹣1+4······（4分） =10······（6分） 18．解：（1）x(x+3)-6(x+3)=0 (x-6)(x+3)=0， 解得：，. ······（3分） (2)因式分解得：(x+4)(x-2)=0， 解得：，.······（6分） 19．化简求值：÷（x﹣2﹣）．其中x＝﹣3． 解：÷（x﹣2﹣） =÷ = =······（4分） 把x＝﹣3代入， 则=.······（8分） 20．(1)证明：由作图知：是的平分线，······（1分） ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形，······（4分） (2)连接交于 ······（5分） 在菱形中，， ∴， ∴，， ∴······（8分） 21．（1） ∵△=······（1分） = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根．······（4分） （2）∵ ∴ ∴=0 ∴，或， 当，时， ∵k与都为整数， ∴k=0或-2 当，时， ∴， ∵k与都为整数， ∴k=1或-1 ∴k所有可能的值为0或-2或1或-1······（8分） 22．（1）解：由题意得得：······（1分） ， ∴与的函数关系式为：；······（4分） （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去），······（7分） ∴该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为25元/千克；······（8分） 23.(1)100······（2分） (2)则补全条形统计图如下： ．······（4分） (3)解：， 即扇形统计图中“岳麓山”所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：72．······（6分） （4）解：（名）， ······（7分） 答：估计全校喜欢“湖南博物院”的人数是200名．······（8分） 24．（1）解：由题意得：，即， 解得：， “朴实点”为， 当时，即， 解得：， “沉毅点”为：；······（3分） （2）解：二次函数图象可以由二次函数平移得到， 则抛物线的表达式为：． ∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即， ∴抛物线的表达式为： ∵还经过一个“沉毅点”， 即， 将点代入抛物线表达式得：则， 解得：或6， 即抛物线的表达式为：或；······（6分） （3）解：由题意得，点， 当时，， 即点N的坐标为：， 设直线的表达式为：， 将点M的坐标代入上式得：，解得：， 直线的表达式为：， 经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合， 且， 解得：，． 抛物线的表达式为：. 当，函数有最小值， 抛物线在顶点处的最小值为， 不可能在和之间． 当时，当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 当时， 当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述，．······（10分） 25.（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ······（1分） 解得， ∴抛物线的解析式为．······（2分） （2）解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或，······（4分） 当时，， 当时，， ∴或．······（6分） （3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或，······（8分） 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或．······（10分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．_________________ 12．___________________ 13．__________________ 14．__________________ 15.___________________ 16.___________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 18．（6分） （1）               （2）   19．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（8分） 21.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22．（8分） 23．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版至九上二次函数。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．观察下列图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程x2－8x＋3＝0时,可将方程化为（  ） A．(x－8)2＝13 B．(x＋4)2＝13 C．(x－4)2＝13 D．(x＋4)2＝19 4．对于函数y=-2x+5，下列说法正确的是（　　） A．图象一定经过（2，-1） B．图象经过一、二、四象限 C．图象与直线y=2x+3平行 D．y随x的增大而增大 5．在同一直角坐标系内，函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 7．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分解因式：________． 12．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为2：2：1，则该名教师的综合成绩为_____． 13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 14．已知 ，是一元二次方程的两个根，则______． 15．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________． 16．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为______m． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18题每题6分，19-23题每题8分，24-25题每题10分。 17．计算：． 18．用适当的方法解下列方程： （1）               （2）   19．化简求值：÷（x﹣2﹣）．其中x＝﹣3． 20．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；再分别以点B、F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接． (1)根据以上尺规作图的过程，求证四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的长． 21．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 22．长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种农产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？ 23．长沙作为中国中部地区的文化和旅游中心，近年来也逐渐成为了旅游的热门城市．某校组织学生去长沙进行研学，对研学的同学进行“我最喜欢的长沙景点”调查活动，从长沙的五个景点（A 湖南博物院，B 岳麓山，C橘子洲，D 五一广场，E梅溪湖国际文化艺术中心）中选出自己最喜欢的一个景点，将调查问卷整理后绘制成如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据所给信息解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中“B 岳麓山”所在扇形的圆心角度数为______； (4)若该学校共有2000名学生，根据调查估计全校喜欢“A 湖南博物院”的人数是多少？ 24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． (1)函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版至九上二次函数。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．观察下列图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 3．用配方法解一元二次方程x2－8x＋3＝0时,可将方程化为（  ） A．(x－8)2＝13 B．(x＋4)2＝13 C．(x－4)2＝13 D．(x＋4)2＝19 4．对于函数y=-2x+5，下列说法正确的是（　　） A．图象一定经过（2，-1） B．图象经过一、二、四象限 C．图象与直线y=2x+3平行 D．y随x的增大而增大 5．在同一直角坐标系内，函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c的图象可能是（    ） A． B． C． D． 6．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 7．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 8．已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 9．红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分解因式：________． 12．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为2：2：1，则该名教师的综合成绩为_____． 13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 14．已知 ，是一元二次方程的两个根，则______． 15．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________． 16．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为______m． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18题每题6分，19-23题每题8分，24-25题每题10分。 17．计算：． 18．用适当的方法解下列方程： （1）               （2）   19．化简求值：÷（x﹣2﹣）．其中x＝﹣3． 20．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；再分别以点B、F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接． (1)根据以上尺规作图的过程，求证四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的长． 21．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 22．长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种农产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？ 23．长沙作为中国中部地区的文化和旅游中心，近年来也逐渐成为了旅游的热门城市．某校组织学生去长沙进行研学，对研学的同学进行“我最喜欢的长沙景点”调查活动，从长沙的五个景点（A 湖南博物院，B 岳麓山，C橘子洲，D 五一广场，E梅溪湖国际文化艺术中心）中选出自己最喜欢的一个景点，将调查问卷整理后绘制成如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据所给信息解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中“B 岳麓山”所在扇形的圆心角度数为______； (4)若该学校共有2000名学生，根据调查估计全校喜欢“A 湖南博物院”的人数是多少？ 24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． (1)函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式； (3)已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期9月学情自测卷 （考试时间：90分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版至九上二次函数。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．观察下列图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：根据轴对称图形和中心对称图形的定义， A、是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义即可求出答案． 【详解】解：根据函数的定义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应； A.图中一个x值有时对应的不是一个y值，因此y不是x的函数，故A错误； B.图中一个x值有时对应的不是一个y值，因此y不是x的函数，故B错误； C.图中一个x值对应一个y值，因此y是x的函数，故C正确； D.图中一个x值有时对应的不是一个y值，因此y不是x的函数，故D错误． 故选：C． 3．用配方法解一元二次方程x2－8x＋3＝0时,可将方程化为（  ） A．(x－8)2＝13 B．(x＋4)2＝13 C．(x－4)2＝13 D．(x＋4)2＝19 【答案】C 【分析】先把3移到方程的右边，然后方程两边都加16，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，然后两边同时开平方即可. 【详解】∵x2－8x＋3＝0, ∴x2－8x=-3， ∴x2－8x+16=-3+16， ∴(x－4)2＝13， 故选C. 4．对于函数y=-2x+5，下列说法正确的是（　　） A．图象一定经过（2，-1） B．图象经过一、二、四象限 C．图象与直线y=2x+3平行 D．y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】利用一次函数的性质逐个分析判断即可得到结论． 【详解】A、把x=2代入代入y=-2x+5，得y=1≠-1，所以A不正确； B、∵k=-2＜0，b=5＞0，∴图象经过一、二、四象限，所以B正确； C、∵y=-2x+5与y=2x+3的k的值不相等， ∴图象与直线y=2x+3不平行，所以C不正确； D、∵k=-2＜0，∴y随x的增大而减小，所以D不正确； 故选B． 5．在同一直角坐标系内，函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据a、b的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除． 【详解】解：选项A、B、C中，二次函数图像开口向上， ∴a＞0， A：对称轴在y轴左侧，故b＞0，∴直线经过一、二、三象限，故A错误； B、C：对称轴在y轴右侧，故b＜0，∴直线经过一、三、四象限，故C正确，B错误； 选项D中，二次函数图像开口向下， ∴a＜0， D：对称轴在y轴右侧，故b＜0，∴直线经过二、三、四象限，故D错误； 故选：C． 6．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求抛物线顶点坐标的方法．掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（5，2）． 故选A 7．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得：抛物线的顶点为 ，从而得到平移后的抛物线的顶点坐标，即可求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点为 ， ∴将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后所得点 ， ∴平移后抛物线的解析式为． 故选：C 8．已知，，是抛物线上的点，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线的对称性可得抛物线对称轴，由a＜0可得抛物线开口向下，进而求解． 【详解】解：根据题意，则 ∵， ∴对称轴是：， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：A 9．红光公司今年月份生产儿童玩具万件，计划之后两个月增加产量，如果月平均增长率为，那么第三季度儿童玩具的产量（万件）与之间的关系应表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数解析式即可，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故选：． 10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图像的一部分，与x轴的交点A在点（2，0）和（3，0）之间，对称轴是x=1．对于下列说法：①ab＜0；②2a+b=0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m为实数）；⑤当﹣1＜x＜3时，y＞0，其中正确的是（　　） A．①②④ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤ 【答案】A 【分析】根据二次函数各项系数与图像的关系，逐个判断即可． 【详解】解∶∵对称轴 ∴，2a+b=0；故②正确； ∴a、b异号， ∴ab＜0，故①正确； ∵2a+b=0， ∴b=﹣2a， ∵当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0， ∴a﹣（﹣2a）+c=3a+c＜0，故③错误； 根据图示知，当m=1时，有最大值； 当m≠1时，有am2+bm+c≤a+b+c， 所以a+b≥m（am+b）（m为实数）．故④正确． 如图，当﹣1＜x＜3时，y不只是大于0．故⑤错误． 故选：A． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 12．某校拟招聘一批优秀教师，其中某位教师笔试、试讲、面试三轮测试得分分别为95分、85分、90分，综合成绩按笔试、试讲、面试的占比为2：2：1，则该名教师的综合成绩为_____． 【答案】90分 【分析】计算出该教师的加权平均数即可． 【详解】由题意知，该名教师的综合成绩为：（分）， 故答案为：90分 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是关键． 13．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为__________． 【答案】0或12 【分析】根据一元二次方程的根的判别式即可得． 【详解】由题意得：此方程的根的判别式 整理得： 解得或 故答案为：0或12． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键． 14．已知 ，是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，． 直接利用根与系数的关系求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ． 故答案为：． 15．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好分别是方程的两根，则此三角形的斜边长为___________． 【答案】10 【分析】先解方程，得出两根，再利用勾股定理来求解即可． 【详解】解：∵， ∴（x−6）（x−8）＝0， ∴x＝6或8； ∴两直角边为6和8， ∴此三角形的斜边长＝＝10， 故答案是：10． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关键是根据方程的特点选择合适的解法． 16．公园要建造圆形的喷水池如图①，水面中心O处垂直于水面安装一个柱子，柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下．安装师傅调试发现，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．如图②，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．现要使水柱落点距O点，则喷头高应调整为______m． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为，将代入解析式得出①；喷头高时，可设抛物线形水柱解析式为；将代入解析式得②，联立①②可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距O点，则此时的解析式为，将代入求解，即可解题． 【详解】解：由题知，喷头高时，水柱落点距O点； 设抛物线形水柱解析式为， 则①， 喷头高时，水柱落点距O点．且抛物线形水柱竖直上下平移， 这时抛物线形水柱解析式为， 则②， 联立①②解得，， 设喷头高应调整为米， 调整后抛物线形水柱解析式为， 要使水柱落点距O点， 过点， 即， 解得， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18题每题6分，19-23题每题8分，24-25题每题10分。 17．计算：． 【答案】10. 【详解】整体分析： 由=，可得；(-4)3=-64，可得；底数不等于0的0次幂为0；底数不等于0的负整数次幂等于它的正整数次幂的倒数. 解：原式=11﹣4﹣1+4=10． 18．用适当的方法解下列方程： （1）               （2）   【答案】（1）；(2) . 【详解】试题分析：（1）移项后用因式分解法解答即可； （2）用因式分解法解答即可． 试题解析：解：（1）x(x+3)-6(x+3)=0 (x-6)(x+3)=0， 解得：，. (2)因式分解得：(x+4)(x-2)=0， 解得：，. 19．化简求值：÷（x﹣2﹣）．其中x＝﹣3． 【答案】 【分析】根据分式的除法和减法化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：÷（x﹣2﹣） =÷ = = 把x＝﹣3代入， 则=. 【点睛】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的计算方法． 20．如图，在中，以点为圆心，长为半径画弧交于点；再分别以点B、F为圆心，大于的相同长为半径画弧，两弧交于点；连接并延长交于点，连接． (1)根据以上尺规作图的过程，求证四边形是菱形； (2)若菱形的周长为16，，求的长． 【答案】(1) 证明：由作图知：是的平分线， ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， (2) 【分析】（1）由由作图可知是的平分线，推出，由，推出，得到，由此即可证明； （2）连接，交于G．根据菱形的性质得出，，再根据勾股定理求出，可得的长，根据菱形面积公式计算即可； 【详解】（1）略 （2）（2）连接交于 （3） （4） 在菱形中，， ∴， ∴，， ∴ 【点睛】本题考查菱形的判定和性质、平行四边形的性质、作图-基本作图等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，利用勾股定理解直角三角形． 21．已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）如果方程的两个实数根为，，且k与都为整数，求k所有可能的值． 【答案】 （1） ∵△= = ∴无论k取何值， 方程都有两个不相等的实数根． （2）0或-2或1或-1 【分析】（1）计算判别式的值，然后根据判别式的意义得到结论； （2）先利用因式分解法得出方程的两个根，再结合k与都为整数，得出k的值； 【详解】解：（1）略 （2）∵ ∴ ∴=0 ∴，或， 当，时， ∵k与都为整数， ∴k=0或-2 当，时， ∴， ∵k与都为整数， ∴k=1或-1 ∴k所有可能的值为0或-2或1或-1 【点睛】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解． 22．长沙市政府出台了一系列“乡村振兴战略”优惠政策，使广大农户收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种农产品的成本价为每千克20元，经市场调查发现，该农产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：．设这种农产品每天的销售利润为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若物价部门规定这种农产品的销售价不得高于30元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为多少元/千克？ 【答案】(1)； (2)25元/千克． 【分析】（1）根据销量乘以每千克利润总利润，进而得出答案； （2）根据（1）所列关系式建立方程求解即可； 【详解】（1）解：由题意得得： ， ∴与的函数关系式为：； （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得或（舍去）， ∴该农户想要每天获得150元的销售利润，则销售价应定为25元/千克； 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，列函数关系式，根据题意列出w关于x的函数关系式是解题的关键． 23．长沙作为中国中部地区的文化和旅游中心，近年来也逐渐成为了旅游的热门城市．某校组织学生去长沙进行研学，对研学的同学进行“我最喜欢的长沙景点”调查活动，从长沙的五个景点（A 湖南博物院，B 岳麓山，C橘子洲，D 五一广场，E梅溪湖国际文化艺术中心）中选出自己最喜欢的一个景点，将调查问卷整理后绘制成如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图． 根据所给信息解答下列问题： (1)本次调查共抽取了______名学生； (2)请补全条形统计图； (3)扇形统计图中“B 岳麓山”所在扇形的圆心角度数为______； (4)若该学校共有2000名学生，根据调查估计全校喜欢“A 湖南博物院”的人数是多少？ 【答案】(1)100 (2) 则补全条形统计图如下： ． (3)72 (4)200名 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）利用最喜欢的人数除以其所占的百分比即可得； （2）先求出最喜欢景点的人数，再补全条形统计图即可得； （3）利用乘以最喜欢的人数所占的百分比即可得； （4）利用该校的学生总人数乘以最喜欢的人数所占的百分比即可得． 【详解】（1）解：本次调查共抽取学生人数为（名）， 故答案为：100． （2）解：最喜欢景点的人数为（名）， （3）解：， 即扇形统计图中“岳麓山”所在扇形的圆心角度数为， 故答案为：72． （4）解：（名）， 答：估计全校喜欢“湖南博物院”的人数是200名． 24．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横，纵坐标相等的点称为“朴实点”，横，纵坐标互为相反数的点称为“沉毅点”，把函数图象至少经过一个“朴实点”和一个“沉毅点”的函数称为“朴实沉毅函数”． (1)函数是一个“朴实沉毅函数”，求出该函数图象上的“朴实点”和“沉毅点”： (2)已知二次函数图象可以由二次函数平移得到，二次函数的顶点就是一个“朴实点”，并且该函数图象还经过一个“沉毅点”，求该二次函数的解析式： (3)已知二次函数（为常数，）图象的顶点为，与轴交于点，经过点的直线上存在无数个“朴实点”，当，函数有最小值，求的值． 【答案】(1)“朴实点”为，“沉毅点”为：； (2)或 (3) 【分析】（1）直接根据一次函数是一个“朴实沉毅函数”即可 得出结论； （2）先由平移确定出二次函数的a值，再由二次函数的顶点就是一个“朴实点”，得出，二次函数图象经过一个“沉毅点”得出，然后代入，即可得出结论； （3）由题意得，点，求得点N的坐标为：，设直线的表达式为：，将点M的坐标代入上式得：，直线的表达式为：，由经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合，解得：，．从而抛物线的表达式为：.进而得不可能在和之间．分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：，即， 解得：， “朴实点”为， 当时，即， 解得：， “沉毅点”为：； （2）解：二次函数图象可以由二次函数平移得到， 则抛物线的表达式为：． ∵抛物线的顶点就是一个“朴实点”，即， ∴抛物线的表达式为： ∵还经过一个“沉毅点”， 即， 将点代入抛物线表达式得：则， 解得：或6， 即抛物线的表达式为：或； （3）解：由题意得，点， 当时，， 即点N的坐标为：， 设直线的表达式为：， 将点M的坐标代入上式得：，解得：， 直线的表达式为：， 经过点M，N的直线l上存在无数个“朴实点”，即，则直线和重合， 且， 解得：，． 抛物线的表达式为：. 当，函数有最小值， 抛物线在顶点处的最小值为， 不可能在和之间． 当时，当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）． 当时， 当时，函数取得最小值， 即， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述，． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质在新定义中的应用，新定义“朴实点”和“沉毅点”的理解和掌握，用方程的思想解决问题是解本题的关键． 25.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或； (3) 在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． （3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． / 学科网（北京）股份有限公司 $