精品解析：湖南省株洲市第五中学2025--2026学年上学期九年级第二次阶段数学试卷

株洲市第五中学2026年上学期初三第二次月考数学 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示，长方形中，，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，某学校积极推进学生综合素质评价改革，小明在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为，，，，，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 7. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为◆，♥，♥．若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（ ） A. ①②⑤ B. ①④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 9. 如图，在等腰中，，D是上一动点，以为底，在的右侧作等腰，若，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上总存在一点，使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：每小题3分，共24分． 11. 如图，直线∥，，若，则___________度． 12. 抛物线的顶点坐标是_______________. 13. 如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第____行第___列． 14. 已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____． 15. 有2022个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__，这2022个数的和是__． 16. 定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为________________． 17. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D是垂足，CG∥AB，BG分别交AD，AC于点E，F，若，则________． 18. 如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…，如此进行下去，直至得． （1）请写出抛物线的解析式：________； （2）若在第10段抛物线上，则______． 三、解答题：满分66分． 19. 计算：． 20. 某数学兴趣小组用高为1.2米的测角仪测量小树AB的高度，如图，在距AB一定距离的F处测得小树顶部A的仰角为50°，沿BF方向行走3.5米到G处时，又测得小树顶部A的仰角为27°，求小树AB的高度．（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.5，sin50°=0.77，cos50°=0.64，tan50°=1.2） 21. 如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 22. 已知，我们不妨约定：当自变量x满足：时，函数值y恰好满足：，此时我们就说该函数是“星联函数”，“”的值叫做该“星联函数”的“星联距离”，根据约定，解答下列问题： （1）当时，试判断下列函数哪些是“星联函数”？是“星联函数”的在括号内划“√”，不是“星联函数”的在括号内划“×”； ①（ ）；②（ ）；③（ ）． （2）若当时，一次函数（）是“星联函数”，试求出该一次函数的解析式，并求出该函数的“星联距离”； （3）当时，“星联函数”解析式为，求该函数的“星联距离”． 23. 如图，在菱形中，M为的中点，与的交点为E，点F在边上，交于点G，且． （1）求证：； （2）若，连接，求证：． 24. 对于给定的自然数，用1和作为元素填满行列的数表，数表中第行第列的元素记作，记为数表的第行的各数之和，为数表的第列的各数之和，其中． 记为数表的“代表数”．若数满足且，则称元素是“好的”，记是数表中“好的”元素的个数． （1）对以下数表，，则_______； （2）当自然数是偶数时，数表的“代表数”的最大值是______．（用含的代数式表示） （3）在数表中，若中恰有个正数，中恰有个正数，其中，，，则的最大值是_____．（用含，和的代数式表示） 25. 若抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且恰好是直角三角形并满足，则称抛物线是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”． （1）若“五有四化抛物线”的“五有线”为，求抛物线解析式； （2）已知“五有四化抛物线”与x轴的一个交点为，其“四化线”与反比例函数仅有一个交点，求反比例函数解析式； （3）已知“五有四化抛物线”的“五有线”、“四化线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是，令，且P有最大值t，求t的值． 26. 如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求劣弧与弦所围图形的面积． （3）若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市第五中学2026年上学期初三第二次月考数学 一、单选题：每小题3分，共30分． 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过，判断A选项不正确；C选项中、不是同类项，不能合并；D选项中，单项式与单项式法则：把单项式的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式；B选项正确． 【详解】A. ，故A不正确； B. ，故B正确； C. ，故C不正确； D. ，故D不正确； 故选B． 【点睛】本题考查二次根式的性质、有理数的除法及整式的运算，灵活运用相应运算法则是解题的关键． 2. 如图所示，长方形中，，，，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，先求出轴，由长方形的性质可得，则轴，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴轴， 由长方形的性质可得， ∴轴， ∴点的坐标是， 故选：C． 3. 为响应“双减”政策，进一步落实“立德树人、五育并举”的思想主张，某学校积极推进学生综合素质评价改革，小明在本学期德、智、体、美、劳的评价得分如图所示，其各项的得分分别为，，，，，则该同学这五项评价得分的众数，中位数，平均数分别为（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】利用众数、中位数及平均数的定义写出答案即可． 【详解】解：该同学五项评价得分从小到大排列分别为，，，，， 出现次数最多的数是，所以众数为， 位于中间位置的数是，所以中位数是， 平均数为． 故选：D． 【点睛】本题考查了统计的知识，掌握众数、中位数及平均数的计算方法是关键． 4. 如图，是外一点，，分别交于，两点，已知和所对的圆心角分别为和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接OC、OD、OA、OB，由圆周角定理，得到，，然后利用三角形的外角性质，即可求出答案． 【详解】解：如图：连接OC、OD、OA、OB， ∵和所对的圆心角分别为和， 即，， ∴，， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算后判断即可． 【详解】解：A. ，该选项计算错误； B. ，该选项计算正确； C. ，该选项计算错误； D. 等式左边不是同类项不能合并，故该选项计算错误． 故选：B． 【点睛】本题考查幂的乘方，乘方的符号法则，同底数幂的乘法和合并同类项，能掌握相关运算法则，并能正确计算是解题关键． 6. 如图，点，在反比例函数（，）的图象上，轴于点，轴于点，轴于点，连结．若，，，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设OD=m，则OC=，设AC=n，根据求得，在Rt△AEF中，运用勾股定理可求出m=，故可得到结论． 【详解】解：如图， 设OD=m， ∵ ∴OC= ∵轴于点，轴于点， ∴四边形BEOD是矩形 ∴BD=OE=1 ∴B(m，1) 设反比例函数解析式为， ∴k=m×1=m 设AC=n ∵轴 ∴A（，n） ∴，解得，n=，即AC= ∵AC=AE ∴AE= 在Rt△AEF中，， 由勾股定理得， 解得，（负值舍去） ∴ 故选：B 【点睛】此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 7. 现有三张背面完全一样的扑克牌，它们的正面花色分别为◆，♥，♥．若将这三张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取两张，则抽取的两张牌花色相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数和满足题意的情况数，然后根据概率公式即可解答． 【详解】解：三张扑克牌分别用A、B、B表示，列表如下： 共有种等可能的情况数，其中抽取的两张牌花色相同的有种情况， 则抽取的两张牌花色相同的概率为． 8. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有（ ） A. ①②⑤ B. ①④⑤ C. ①③④⑤ D. ①②③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线的对称轴公式可判断b与a的关系，由抛物线与y轴的交点判断c的取值范围，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：由图象可知该二次函数图象开口向上，与y轴的交点位于x轴下方，对称轴为直线， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； 由图象可知当时，二次函数值为0， 又∵对称轴为直线， ∴当时，二次函数值为0， ∴当时，二次函数值小于0，即，故②错误； ③∵该抛物线图象与y轴的交点B在和之间，，对称轴为直线， ∴顶点的纵坐标要小于， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵该抛物线图象与y轴的交点B在和之间， ∴． ∵与x轴交于点， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵，，， ∴，故⑤正确． 综上可知正确的为①③④⑤． 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，解题的关键是注意掌握数形结合思想的应用． 9. 如图，在等腰中，，D是上一动点，以为底，在的右侧作等腰，若，则的最小值为（ ）． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 先根据勾股定理求得，然后分当点D在点B处以及当点D在点C处两种情况可说明垂直平分，再运用相似三角形的判定与性质说明点E的运动轨迹，最后根据点到直线的距离垂线段最短即可解答． 【详解】解：∵在等腰中，， ∴, 如图1：当点D在点B处时，依题意作等腰, ∵是等腰直角三角形 ∴点为的中点, ∴, 当点D在点C处时,依题意作等腰， ∴, 如图2：设的中点为F，连接， ∵等腰，等腰， ∴,， ∴,即, ∴， ∴, ∴ ∴所在的直线为点E的运动轨迹， 如图1：连接交于点， ∴、， ∴垂直平分， ∴的最小值即为的长， ∴． 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，若直线上总存在一点，使，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】①在上方取一点，作于，则，连接，，可证明是正三角形，得到，作的外接圆，则所对上的圆周角为，当圆与直线相切时，如图1，圆与直线相切于点，根据勾股定理可求出圆的半径为，推出，延长交轴于，根据直线与坐标轴的交点可得，进而可得，得到，推出，结合，可求出；②在下方取一点，连接，，同理可得是正三角形，作其外接圆，与直线切于点，连接，，延长交轴于点，延长交轴于点，同理可得，结合可得；综合①②即可得解． 【详解】解：①如图，在上方取一点，作于，则，，连接，， 则，，， ，即是正三角形， 则， 作的外接圆，则所对上的圆周角为，当圆与直线相切时，如图1，圆与直线相切于点， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ， 延长交轴于， 在中，令，则，令，则， ，， ，，， ， 在中，，且， ， ，即， ， ， ， ， ， 在中，， ， 又， ，解得：； ②如图2，在下方取一点，连接，， 同理可得是正三角形，作其外接圆F，与直线切于点，连接，， 同上可知，，， ， 延长交轴于点，延长交轴于点， 同理可得，，， ， ， 又， ， 解得：， 则当时，两圆与直线相交必存在点使． 故选：B. 【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆，勾股定理，正三角形的判定与性质，圆与直线相切，圆周角定理，含角的直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些知识． 二、填空题：每小题3分，共24分． 11. 如图，直线∥，，若，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质先求解 利用，从而可得答案． 【详解】解：∥， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行线的性质，垂直的性质，掌握以上知识是解题的关键． 12. 抛物线的顶点坐标是_______________. 【答案】 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 13. 如图，将正整数按此规律排列成数表，则2022是表中第____行第___列． 【答案】 ①. 64 ②. 6 【解析】 【分析】根据每一行最后一个数得到规律：第n行最后一个数是1+2+3++n=，计算第63行最后一个数，由此得到答案． 【详解】解：第一行最后一个数是1， 第二行最后一个数是3=1+2， 第三行最后一个数是6=1+2+3， 第四行最后一个数是10=1+2+3+4， ∴第n行最后一个数是1+2+3++n=， =2080， ∴第63行最后一个数是2016， ∴2022是第64行第6个数， 故答案为：64，6． 【点睛】此题考查了数字的排列规律，正确理解各行数字的排列规律并总结规律运用是解题的关键． 14. 已知反比例函数y=（k是常数，k≠1）的图象有一支在第二象限，那么k的取值范围是_____． 【答案】k＜1 【解析】 【详解】【分析】由于在反比例函数y=的图象有一支在第二象限，故k﹣1＜0，求出k的取值范围即可． 【详解】∵反比例函数y=的图象有一支在第二象限， ∴k﹣1＜0， 解得k＜1， 故答案为k＜1． 【点睛】本题考查了反比例函数y=(k≠0，k为常数)的图象与性质，反比例函数的图象是双曲线，k>0时，图象位于一、三象限，k<0时，图象位于二、四象限，熟知这些相关知识是解题的关键. 15. 有2022个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是__，这2022个数的和是__． 【答案】 ①. 0 ②. 0 【解析】 【分析】结合题意，根据有理数加减运算的性质，依次得第3个数到第13个数，再根据数字规律的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵第1个数是0，第2个数是1 ∴第3个数是1 第4个数是0 第5个数是-1 第6个数是-1 第7个数是0 第8个数是1 第9个数是1 第10个数是0 第11个数是-1 第12个数是-1 第13个数是0 … ∴从第1个数起，每6个数为一个循环，每个循环的六个数依次为：0，1，1，0，-1，-1 ∴每个循环的六个数的和为： ∴前6个数的和是： ∵这2022个数，为个循环 ∴这2022个数的和是： 故答案为：，． 【点睛】本题考查了数字规律、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握数字规律的性质，从而完成求解． 16. 定义新运算：，即的取值为，，的中位数，例如：，，已知函数与直线有个交点时，则的取值范围为________________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查中位数，函数的图像等知识，解题的关键画出函数的图像，观察图像，利用图像法解决问题即可．也考查了函数图像之间的交点坐标． 【详解】解：由题意：函数的图像如图所示（图中实线）． 由，解得：或， ∴，， 由，解得：或， ∴，， 由，解得：， ∴， 由，当时，得， 即函数图像与轴的交点坐标为， ∵函数与直线有个交点，且， 观察图像可知：符合条件的的取值范围是：或． 故答案为：或． 17. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，D是垂足，CG∥AB，BG分别交AD，AC于点E，F，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】连接CE，由于AB=AC，AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可得BE=CE，再利用等边对等角可知∠EBC=∠ECB，易证∠ABE=∠ACE，结合CG∥AB，利用平行线的性质，可证∠CGF=∠FCE，再加上一组公共角，可证△CEF∽△GEC，即可得，从而有，再根据已知即可求得的值． 【详解】如图，连接CE， ∵AB=AC，AD⊥BC， ∴AD是∠BAC的角平分线， ∴BE=CE， ∴∠EBC=∠ECB， 又∵∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC-∠EBC=∠ACB-∠ECB， 即∠ABE=∠ACE， 又∵CG∥AB， ∴∠ABE=∠CGF， ∴∠CGF=∠FCE， 又∠FEC=∠CEG， ∴△CEF∽△GEC， ∴CE：EF=EG：CE， 即， 又CE=BE， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、等腰三角形三线合一定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质．关键是能根据所证连接CE，进而找出各边之间的比例关系并进行转化． 18. 如图，一段抛物线：，记为，它与轴交于点，；将绕点旋转得，交轴于点；将绕点旋转得，交轴于点；…，如此进行下去，直至得． （1）请写出抛物线的解析式：________； （2）若在第10段抛物线上，则______． 【答案】 ①. ②. 1 【解析】 【分析】（1）根据图象的旋转变化规律可得出旋转后函数的解析式， （2）利用已知得出图象与轴交坐标变化规律，进而求出的值． 【详解】解：（1）一段抛物线： ，记为，它与轴交于点，； 的图象过，两点， ∵将绕点旋转得， 抛物线的解析式二次项系数为：，且过点，， 同理得：抛物线的解析式二次项系数为：1，且过点，，抛物线的解析式二次项系数为：，且过点，， 抛物线的解析式为； 故答案为：； （2）一段抛物线：， 图象与轴交点坐标为：，， 将绕点旋转得，交轴于点，， 将绕点旋转得，交轴于，， 如此进行下去，直至得． 的与轴的交点坐标为，，且图象在轴上方， 的解析式为：， 把代入得，． 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了坐标与旋转规律问题和求二次函数的解析式，根据已知得出二次函数旋转后的解析式是解题关键． 三、解答题：满分66分． 19. 计算：． 【答案】-2 【解析】 【分析】根据零指数幂，负指数幂，特殊角度的三角函数值，绝对值化简规则依次计算即可得到答案． 【详解】解：原式 【点睛】本题主要考查了实数运算，零指数幂：；负指数幂：（，p为正整数）；去绝对值．准确掌握相关运算法则是解题关键． 20. 某数学兴趣小组用高为1.2米的测角仪测量小树AB的高度，如图，在距AB一定距离的F处测得小树顶部A的仰角为50°，沿BF方向行走3.5米到G处时，又测得小树顶部A的仰角为27°，求小树AB的高度．（参考数据：sin27°=0.45，cos27°=0.89，tan27°=0.5，sin50°=0.77，cos50°=0.64，tan50°=1.2） 【答案】4.2米 【解析】 【分析】首先设AC=x米，然后由在Rt△ACD中，tan50= ,求得CD，由在Rt△ACE中，tan27°= ，求得CE，又由CE-CD=DE，即可得方程，继而求得答案 【详解】解：设AC＝x米， 在Rt△ACD中，tan50°＝， ∴CD＝＝ ＝ x， 在Rt△ACE中，tan27°＝， ∴CE＝＝＝2x， ∵CE﹣CD＝DE， ∴2x﹣x＝3.5． 解得x＝3． ∴AB＝AC+CB＝3+1.2＝4.2（米）． 答：小树AB的高为4.2米． 【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，关键在于掌握直角三角形的性质 21. 如图，某农业合作社为农户销售草莓，经过测算，草莓销售的销售额（元）和销售量（千克）的关系如射线所示，成本（元）和销售量（千克）的关系如射线所示． （1）当销售量为 千克时，销售额和成本相等； （2）每千克草莓的销售价格是 元； （3）如果销售利润为2000元，那么销售量为多少？ 【答案】（1）20 （2）20 （3）设， 由题意得：，，解得： ， ∴的解析式为，的解析式为， ∵销售利润为2000元， ∴，解得， ∴如果销售利润为2000元，那么销售量为220千克． 【解析】 【分析】（1）即图中两条射线交点所对应的x值； （2）从图中发现销售20千克时，销售额为400元，即可求解； （3）依据利润=售价成本，分别求出销售额，成本关于销售量x的函数表达式，代入即可． 【小问1详解】 解：由图象可知当销售量为20千克时，销售额和成本相等， 故答案为：20． 【小问2详解】 解：每千克草莓的销售价格为（元）， 故答案为：20． 【小问3详解】 略 22. 已知，我们不妨约定：当自变量x满足：时，函数值y恰好满足：，此时我们就说该函数是“星联函数”，“”的值叫做该“星联函数”的“星联距离”，根据约定，解答下列问题： （1）当时，试判断下列函数哪些是“星联函数”？是“星联函数”的在括号内划“√”，不是“星联函数”的在括号内划“×”； ①（ ）；②（ ）；③（ ）． （2）若当时，一次函数（）是“星联函数”，试求出该一次函数的解析式，并求出该函数的“星联距离”； （3）当时，“星联函数”解析式为，求该函数的“星联距离”． 【答案】（1）①√；②×；③× （2）该一次函数的解析式为，“星联距离”为4 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“星联函数”的定定义，逐个判定即可； （2）分两种情形：情形一，当时，随的增大而增大；情形二，当时，随的增大而减小．分别求解即可． （3）分两种情形：情形一，若，则；情形二，若时，则，．分别求解即可． 【小问1详解】 解：①∵ ∴ 当时， ∴ ∴ 故①√； ②∵ ∴ 当时， ∴ ∴ 故②×； ③∵ 当时， ∴ 故③×． 【小问2详解】 解：情形一，当时，随的增大而增大． 当，一次函数是“星联函数”， ，；，， 可得方程解得 该一次函数的解析式为，“星联距离”为． 情形二，当时，随的增大而减小． 当，一次函数是“星联函数”， ，；，， 可得方程解得 又，情形二不存在． 综上，该一次函数的解析式为，“星联距离”为4． 【小问3详解】 解：“星联函数”解析式为的对称轴为． 情形一，若，则，由“星联函数”定义得 、是方程的两根， 由一元二次方程根与系数的关系，得，此种情形不存在． 情形二，若时，则，， 当时，． ①若，， ，， 此时星联距离为． ②若，则，不合题意，合去． 情形三，若，则由“星联函数”定义得 ①-②，得， 方程①可以化为， 方程②可以化为， 、是方程的两根，由一元二次方程根与系数的关系得，， 符合题意．该函数的“星联距离”为： ． 综上，该函数的“星联距离”为或． 【点睛】本题考查新定义，一次函数图象性质，二次函数图象性质，理解新定义，熟练掌握一次函数与二次函数图象性质是解题的关键． 23. 如图，在菱形中，M为的中点，与的交点为E，点F在边上，交于点G，且． （1）求证：； （2）若，连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴． （2） 证明：如图：连接CG，CM． ∵四边形为菱形， ∴． ∵， ∴为等边三角形． ∴． 又∵M为的中点， ∴． 又∵， ∴． 由（1）得， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由平行线的性质可得，再结合已知条件可得，再结合即可证明结论； （2）如图：连接CG，CM．根据菱形的性质可得，进而得到为等边三角形．再说明，根据可得，进而证明，最后根据相似三角形对应角相等即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 对于给定的自然数，用1和作为元素填满行列的数表，数表中第行第列的元素记作，记为数表的第行的各数之和，为数表的第列的各数之和，其中． 记为数表的“代表数”．若数满足且，则称元素是“好的”，记是数表中“好的”元素的个数． （1）对以下数表，，则_______； （2）当自然数是偶数时，数表的“代表数”的最大值是______．（用含的代数式表示） （3）在数表中，若中恰有个正数，中恰有个正数，其中，，，则的最大值是_____．（用含，和的代数式表示） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的定义求解即可； （2）当自然数是偶数时，可以为0，则可以存在，此时取最大值； （3）根据定义可得当元素是“好的”时，、、三个同号，在求出当、、三个都是正数时，最多有个；当、、三个都是负数时，最多有个，据此求解即可． 【小问1详解】 解：由定义可知，，，，，， ∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：当自然数是偶数时，1与数量相等时，， ∴的值可以为0， ∵， ∴的最大值是； 【小问3详解】 解：∵若数满足且，则称元素是“好的”， ∴元素是“好的”时，、、三个同号， ∵中恰有个正数，中恰有个正数， ∴中恰有个正数，个负数，中恰有个正数，个负数， ∵是数表中“好的”元素的个数，的值最大， ∴当、、三个都是正数时，最多有个； 当、、三个都是负数时，最多有个， ∴的最大值是． 25. 若抛物线与x轴交于两点，与y轴交于C点，且恰好是直角三角形并满足，则称抛物线是“五有四化抛物线”，其中较短直角边所在直线为“五有线”，较长直角边所在直线为“四化线”． （1）若“五有四化抛物线”的“五有线”为，求抛物线解析式； （2）已知“五有四化抛物线”与x轴的一个交点为，其“四化线”与反比例函数仅有一个交点，求反比例函数解析式； （3）已知“五有四化抛物线”的“五有线”、“四化线”及x轴围成的三角形面积S的取值范围是，令，且P有最大值t，求t的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）求出直线与坐标轴的交点，根据，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）将点代入解析式，得到，根据对称性求出抛物线与轴的另一个交点的坐标为，结合，求出的值，进而求出“四化线”的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，根据只有一个交点，得到，进而求出的值，即可得出结论； （3）根据根据与系数的关系，结合，求出的值，进而求出的值，再根据三角形的面积为，以及的取值范围求出的取值范围，再根据，结合二次函数的性质，分三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，， ∴不妨设，， ∴，， ∵， ∴， ∴或 ∵为直角三角形， ∴， ∵抛物线经过三点， ∴设抛物线的解析式为：，将代入，得： ， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵与轴的一个交点为， ∴，对称轴为直线， ∴，抛物线与轴的另一个交点为， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）或或， ∴或， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为或， ∵为直角三角形， ∴交点坐标为； 设， 则， ∴“四化线”为所在直线， 设直线的解析式为，把代入，得：， 解得：， ∴， 令，整理得：， ∵直线和双曲线只有一个交点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 【小问3详解】 ∵， ∴当时，， ∴， 设抛物线与轴的两个交点坐标为， 则：， ∴， ∵， ∴，解得：（舍去）或或， ∵抛物线的开口向上，当时，抛物线与轴的两个交点均在轴的正半轴，不是直角三角形， ∴， ∴， 令，则：， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， 当时，则当时，有最大值为：， 解得：或； 当时，则：当时，有最大值为：，解得：或（均舍去）； 当时，则：当时，有最大值为：，解得：（不满足题意，舍去）； 综上：或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及到二次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与反比例函数的交点问题，二次函数的最值问题，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，读懂题意，理解“五有线”“四化线”的定义，是解题的关键． 26. 如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与、相交于点、，连接，已知． （1）求证：是的切线； （2）若，，求劣弧与弦所围图形的面积． （3）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，如图1所示： ， ， ， ， 在中，， ， ， 则为的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】题是圆的综合题目，考查了切线的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、扇形面积公式、三角形面积公式等知识；本题综合性强，证明三角形相似是解决问题（3）的关键． （1）连接，由，利用等边对等角得到一对角相等，再由已知角相等，等量代换得到，求出为，即可证是的切线； （2）连接，作于，由直角三角形的性质得出，，得出，由直角三角形的性质得出，，得出，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出结果； （3）证明，得出，求出，由勾股定理得出，求出，再由切割线定理即可得出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，作于，如图2所示： ，， ， ， ，， ，， ， ， ，， ， 劣弧与弦所围图形的面积扇形的面积的面积； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， 即， 解得：，或（舍去）， ， ， ， ， ， 是的切线， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $