2026—2027学年湘教版九年级数学上册第一次月考模拟卷拔尖卷（测试范围1、2章）

**基本信息** 湘教版九年级数学月考卷聚焦1-2章核心内容，通过人脸识别终端、斜坡工程等真实情境题与矩形旋转、线段旋转变换等探究题，融合几何直观与推理能力，适配月考分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相似三角形、锐角三角函数、平行四边形性质|结合位似变换、轴对称图形考查空间观念| |填空题|6/18|正方形性质、斜坡坡比、矩形面积平分|动态几何（平移、旋转）与计算结合，如正方形中点垂直问题| |解答题|8/72|位似作图、四边形证明、实际应用、综合探究|分层设计，23题矩形中点旋转从特殊到一般推理，24题线段旋转结合角平分线考查创新意识|

2026年9月份第一次月考模拟卷拔尖卷（测试范围1、2章） 湘教版2026一2027学年九年级数学上册 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分) 1.c0s60°的值等于() √3 B.√2 A.2 C.2 D.2 a-b 3 2,已知a=5,则6的值是（) B.子 D.5 3.如图，在△MBC中，D、B分别是AB和AC的中点， Sg边形0D=15 ( D A.30 B.25 C.22.5 D.20 4.如图，在RuA4BC中，∠C=90,casA=,则mB的值为() A 3W2 2 A.2 B.3 C.4 D.4 5.如图，直线AD∥BE∥CF,若AB:BC=l2,DE=9,则EF的长是() B E A.4.5 B.18 C.9 D.12 6.如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度AB=a米， ∠0AB=70°，则点0到桥面的距离（单位：米）是（) A.2asin70° B.2acos70° D.2atan70 1 C.atan70° 7.已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC=21,AD=8 ,sinB=5,则an∠EDC的值为（） 8 A 6 B.15 C.3 n. 8.下列条件中，不能判定△ABCAA'B'C'的是() AB BC AC A.∠A=∠A,∠B=∠B B.4BB'C" A'C AB BC AB AC C.AB=B'C,且∠B=∠B D.B=A'C,且∠C=∠C 9.如图，在oABCD中，E为CD上一点，连结AE,BD,且AE,BD交于点F, S.DEF S.AOF=4:25 SADEF =8 S4DF= ,若 ,则 () D D. 16 A.25 B.15 C.20 1O.如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O,点E是OA的中点，连接BE 并延长交MD于点卫.已知 ，则下列结论：①FD=2AF.2Sar=36 ；② ；③ SAABE=1 6,④△MEF∽△4CD,⑤4F.CE=MDAE其中一定正确的个数是() A.2 B.3 C.4 D.5 二、填空题（每小题3分，满分18分） 1l.如图，一道斜坡AB坡比为l:2,AC=6m,则斜坡的高度BC= m. 12.在△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC=6,则tanB的值为 13.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE,垂足为G 若EG=3,则正方形ABCD的边长为」 14.如图，将△ABC沿BC边向右平移得到△DEF,DE交AC于点G.若BC:EC=3:L, SMDG =16 , SAcG的值为 B 15.如图，在矩形ABCD中，AD=3,AB=2,连接BD,点E、F分别在BD、BC上， BE=AD,若EF把△BCD的面积平分，则EF的长为 A D 16.如图，在正方形ABCD中，点E为对角线BD上的一点，连接AE并延长，交CD于点 G,交BC的延长线于点F,连接CE.给出下面四个结论： D B C ①AE=CE: ②LECG=LF; ③AE2-EG·EF: ④若DE:BE=1:2,则EG:GF=2:3. 上述结论中，正确结论的序号有一 三、解答题（17、18题每题8分，19、20、21、22每题9分，23、24每题10 分，共计72分，解答题要有必要的文字说明) 17.按要求进行计算 2cos245°+tan60°-sin30 x=上= (2)已知234，且x+y+z=18,求x的值. 18.如图，平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上. (I)以O点为位似中心，位似比的绝对值为2，将△ABC放大为△ABCG,请在网格图中画出 △4B,C (只画出其中一种)； (2)若△MBC.△4B 的面积分别为又8， ,写出S、的数量关系。 19.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，点E在AB上，DE⊥CE. A D (I)求证：△ADE∽aBEC. (2)若AD=1,BC=2,AB=3,求AE的长， 20.随着智慧校园的建设和推动，人脸识别系统被广泛应用于各学校，记录师生的入校时 间，仪表检查，实现多效功能；如图①是一款人脸识别终端，图②是其侧面示意图，其中 AB为底座，撑板BC=52cm,屏幕CD=26cm,底座与撑板的夹角∠ABC=70°，屏幕 CD可绕点C旋转.当撑板与屏幕的夹角∠BCD=37°时，求点D到底座AB的距离.（结 果精确到0.1cm.参考数据：sinl7°≈0.29，cos17°≈0.96，tanl7°≈0.31，sin70°≈0.94 ,c0s70°≈0.34，tan70°≈2.75) 图① 图② 21.如图所示，点D在直角三角形ABC的斜边BC上，连接AD,作DA⊥AE,使得 AB AC AD=AE,连接DE交AC于点F,若AC=6,AB=8· D 求证： (I)△ABD~AACE (2)若BD=4,求tan∠EDC的值. 22.如图，在oABCD中，点E是AB的中点，AF⊥BC,且AF=FC=3,BF=1. E (1)求EF的长： (2)求tan∠ADE的值. 23.矩形4BCD中，BC=1B(k≥)，0为对角线4C的中点，M为边4B上一点，连接 OM,过点O作OM的垂线，交BC于点N,连接MN. 图2 图3 (I)如图1，当k=1时，请完成填空：OM与ON的数量关系为 ;用 等式表示线段AM,MN,NC的数量关系为 (2)如图2，当k>1时， ①写出OM与ON的数量关系，并证明： ②用等式表示线段AM,MN,NC的数量关系，并证明： 4 (3)如图3，当k=3,AB=6时，连接OB,过点N作NH⊥OB,垂足为点H:E为AD上 一点，连接EC,将线段EC绕点E逆时针旋转9O°得到线段EF,连接MF,DF，当NO 平分∠CNH时，求MF+DF的最小值. 24.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，点D为AB的中点，连接CD,将线 段CD绕点D顺时针旋转&(60°<a<I2O°)得到线段ED,且ED交线段BC于点G, LCDE的平分线DM交BC于点H. M G D D D 图1 图2 图3 GD (I)如图1，若u=90°，则线段ED与BD的数量关系是 CD (2)如图2，在(1)的条件下，过点C作CF∥DE交DM于点F,连接EF,BE ①试判断四边形CDEF的形状，并说明理由； BE3 ②求证：FH3: B)如图3，若AC=2,an(a-60)=m,过点c作CF∥DE交DM于点B连接EF, BE BE, 请直接写出下H的值（用含m的式子表示）· 参考答案 题号 1 2 3 6 6 7 8 9 10 答案 D A 0 B D 0 47.3 3 48. 49.2V5 50.4 5L5 52.①②3 17.【详解】(1)解：2cos245°+tan60°-sin30° 2 +月 2 =1+5-1 2解- nx=y=名=k(k≠0)， :设234 .x=2k,y=3k,z=4k, .x+y+z=18 .2k+3k+4k=18, 解得k=2, .x=2k=4」 18.(1)解：如图所示：△4BC即为所求；（另一种同样给分） B B (2)解：：△ABC,△4BG位似比的绝对值为2，△ABC放大为△4BG, .△ABC和△4BC相似比为2， 周 S1=4S 即： 19.(I)证明：AD∥BC,AB⊥BC, .AB⊥AD, ∴.∠A=∠B=90° .∠ADE+∠AED=90° .∠DEC=90° .∠BEC+∠AED=90° .∠ADE=∠BEC」 ∴.△ADEABEC: (2)解：△BEC△ADE,AD=1,BC=2,AB=3, BE BC 3-AE 2 ·ADAE,即1=AE, .AE=1或AE=2, .AE的长为1或2 20.【详解】解：如解图，过点D作DM⊥AB于点M,过点C作CN⊥AB于点N,过点 D作DE⊥BN于点E, 在RtACNB中， ABC=70 BC=52cm:sinNBC=C BC CNC.sin x.8(em) :∠ABC=70° ∴.∠BCW=90°-70°=20° 又，∠BCD=37° .∠DCE=17° 在RtACED中， :∠DCE=170,CD=26cm, cos∠DCE=CE CD B NM CE=CD.cos17°≈26×0.96=24.96(cm) :∠DMN=∠MNE=∠NED=90°， .四边形MNED是矩形 DM=EN=CN-CE=48.88-24.96≈23.9(cm) 答：点D到底座AB的距离约为23.9cm. 21.(1)证明：.∠BAC=∠DAE=90°， ∴，∠BAD=∠EAC AB AC 又：ADAE’ ,△ABD△ACE (2)解：△ABD~aACE」 .∠B=∠ACE :∠B+∠BCA=90° ∴.∠ACE+∠BCA=90° ∴.∠BCE=90° ,在RI△ABC中，AC=6,AB=8, :BC=VAC2+AB2=V6+8=10 ,BD=4, .DC=BC-BD=10-4=6 .△ABD~△ACE AB BD AC CE' 84 6 CE' .CE=3 EC 3 1 ·在RIADEC中，tan∠EDC= DC=62: an∠EDC=2 22.【详解】(1)解：AF⊥BC,AF=3,BF=1, 4B-VAR+BF-10 ,点E是AB的中点， .在Rt△ABF中， EF=14B=10 2 2. (2)解：如图，延长FE交DA的延长线于点G,连接FD, G B ,点E是AB的中点， .AE=BE, :四边形ABCD是平行四边形，FC=3,BF=1, :ADII BC,AD=BC=BF+FC=4. ∴.∠G=∠BFE,∠EAG=∠B, 在△AEG和△BEF中， ∠G=∠BFE ∠EAG=∠B AE=BE △AEG≌△BEF(AAS) GE=EF= 2,AG=BF=1, ∴.DG=AD+AG=5, 又：ADI BC,AF⊥BC, .AF⊥AD, :在Rt△ADF中，DF=VAF+AD=5 .DF=DG 又.GE=EF :.DE⊥FG(等腰三角形的三线合一)， .在 中，DE=VDG-GE /10 310 RtADEG 2 2 V10 tan∠ADE=GE、 2 DE3V103· 2 23.(1)OM=ON:AM2+NC2 MN2 【详解】(1)解：如图所示，过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,连接OB, D E B FN ,k=1, :.BC=AB,即此时矩形ABCD是正方形， 又：O为对角线AC的中点， .OB=AO=OC,OB⊥AC 又：OE⊥AB,OF⊥BC ∴E为AB中点，F为BC中点， E-4 OF-C 2 ..OE=OF :OE⊥AB,OF⊥BC,矩形ABCD是正方形， .OE⊥OF. .OM⊥ON. .∠EOM+∠MOF=90°，∠FON+∠MOF=90°， (当AM<AE时，∠EOM+∠EON=90°，∠FON+∠EON=90°) .∠EOM=∠FON. 在△EOM与△FON中 ∠MEO=∠NFO EO=FO ∠EOM=∠FON △EOM≌△FON(ASA) ..OM=ON :OB⊥AC,OM⊥ON, .∠MOB+∠BON=90°，∠NOC+∠BON=90°， ∴.∠MOB=∠NOC. 在△MOB与△NOC中 MO=NO ∠MOB=∠NOC BO=CO △MOB≌△NOC(SAS) .MB=NC, AB=BC .AB-BM BC-NC,MA=NB, :在Rt△MBN中，MB2+NB2=MW2」 .AM2+NC2 MN2 (2)①OM=kON 证明如下： 如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作OO⊥AB,垂足为点O, 0 B PN :OQ⊥ABBC⊥AB ∴.OOl BC A0 1 又：点0为4C中点，即4C2 :4g=A01 ABAC2,即Q为AB的中点，OQ为AABC的中位线， 1 同理可得：OP=2 AB .00_Bc OP AB k ,四边形ABCD为矩形， ∴.∠B=90° 又O0⊥AB,OP⊥BC, 四边形QBPO为矩形，即∠OOP=90° :∠MOQ+∠MOP=90°∠NOP+∠MOP=90° (当4M<40时，∠M00+∠0ON-=90,∠N0P+20oN=90) ∴.∠MOQ=∠NOP 又：∠0QM=∠OPW=90° ∴.△OQM△OPN OM_O9=k,即OM=k0N ON OP ②AM2+NC2-MW2, 证明如下： 如图，延长NO,交AD于点N',连接MN', N D C 四边形ABCD是矩形， ∴.ADIBC ∴.∠OCN=∠OAN' 又∠CON=∠AON',OA=OC, :△OCN≌△OAW'(ASA) ..ON=ON'CN=AN' OM⊥NW',即MO垂直平分NW', .MN MN', ,在Rt△MAW'中，由勾股定理得AM2+AN2=MN2, .AM2+NC2=MW2」 (3)解：如图，过点O作OP⊥BC,垂足为点P,过点O作OQ⊥AB,垂足为点， D' O Fo 由题意得，BC=4 4B=8,0P=B0=40=3,00=BP=4,0B=3+年=5 NO平分∠CNH,OP⊥BC,OH⊥HN, .OH=OP=3,BH=5-3=2, 又.OW=ON. ,Rt△OHN≌Rt△OPN(HL) ∴设WH=NP=x,BN=4-x 在RaBN中，由勾股定理得2+=4-，解得x= 2 由(2)得：AOQMAOPN, MO OM 4 ·NP=ON3' g-p-2 .AM A0-MO=1 Fo 当点E与点D重合时，点F落在点的位置， DC=DF。=6∠CDF。=90° 此时 CE=2, :.LDFC=∠DCE=45°，CD 连接FCF% :EF=EC,∠FEC=90°， :ECF=45:CE=2 ZDCR=ZECF :.∠DCF。-LDCF=∠ECF-∠DCF (当B<2时. ∠DCF。+∠DCF=∠ECF+∠DCF ∠ECD=∠FCF。 即 C5_CF=反 ·CDCE :.△EDC∽△FFC .∠FFC=∠EDC=90° ∴点PF在过点F并日垂直于C的射线 F上运动， FF⊥CF ∠FF。D=∠FF。C-∠DF。C=45° F 当点E与点A重合时，点F落在点的位置， FoF ·点尸的轨迹是线段 作D关于 G的对称点D,连接MD,过点M作MG1D,交DR。 ,交D”的延长线于点G, :MF+DF=MF+DF≥MD,∠DFD'=2∠DF,F=90°=∠GFA D'F,=DR=6 .当M,F,D'三点共线时，MF+DF取最小值， ·∠G=∠GFA=∠MAE,=90° AMGF ·四边形 ”是矩形， :MG=AF=14 AM=FG=1 :.D'G=DE+FG=6+1=7 .MD'=MG2+D'G2=15 MF+DF的最小值为7N5 24.【详解】(1)解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点， 4D=CD=BD=14B. 2 ∠A=60°. ∠B=90°-∠A=30°，△ACD是等边三角形， .∠ACD=∠ADC=60° ∴.∠DCB=∠ACB-∠ACD=30°， ,∠CDE=a=90 :an∠cGD=tam60°=GD=V5 DG GD3 :CD 3. 线段CD绕点D顺时针旋转a(60°<a<120°)得到线段ED, ∴.ED=CD=BD: (2)(2)①四边形CDEF是正方形，理由如下， :DM平分∠CDE,∠CDE=90°， ∴.∠CDM=∠EDM=45°， CF∥DE ∴.∠CFD=∠EDM=45°， ∴.∠CFD=LCDM, ..CF=CD 又CD=ED .CF=ED 又CF∥DE, ∴.四边形CDEF是平行四边形， 又CD=ED ∴.平行四边形CDEF是菱形， .∠CDE=90° 菱形CDEF是正方形. ②由(1)可知，∠ADC=60°，∠CGD=60°，BD=DE, .∠BDE=180°-∠ADC-∠CDE=30°，∠EGB=∠CGD=60°. :∠DBE=∠DEB=)(180-∠EDB)=75°」 ∠EBG=∠DBE-∠ABC=75°-30°=45， ∠GDB=30°，∠ABC=30°， ∴.∠GDB=∠ABC」 ..DG=BG. 由①知∠CFD=∠CDF=45°，∠DCF=90°， ∴.∠FCH=60° :ZEGB=ZFCH,ZEBG=ZCFD, .△BEG∽aFHC, BE BG .FH FC .DG=BG,CD=CF BE BG GD .FH FC CD =tan∠DCG=an30= 3 (3)解：如图3，过点D作DN⊥BC于点N, M C E G D 图3 .AC∥DN, .∠ACD=∠CDN, :△ACD是等边三角形，AC=2, ∴.CD=AC=2,∠CDN=∠ACD=60° :∠NDG=a-60°，DN=1BN=5 :tan∠NDG=tan(a-60)= NG DN =m】 .NG-m BG-3-m :∠ADC=60°，∠CDG=a, ∴.∠BDE=120°-a, .∠BEG=∠EBD=30°+ 2 :∠EBG=C 2’ .∠BGE=150°-a, :DM平分∠CDE,∠CDE=a, &∠CDM=∠EDM=g :CF∥DE. :∠CFD=∠EDM=C 2’∠DCF+∠CDE=180° .∠DCF=180°-a,CF=CD=2, ∴.∠FCG=150°-a, ∴.∠EGB=∠FCG,∠EBG=∠CFD, .△BEG∽△FHC, BE BG ∴.FHFC, BE BG3-m ..FH FC 2.