2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考重难点学情自测卷

**基本信息** 2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考自测卷，聚焦一元二次方程与二次函数核心内容，通过基础巩固（如方程定义、根的判别式）、能力提升（如根与系数关系应用）、创新应用（如二次函数面积最值探究）的梯度设计，考查数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、二次函数顶点坐标等|第5题商品降价问题体现应用意识| |填空题|6/24|方程解法、抛物线对称轴等|第14题抛物线与x轴交点距离考查几何直观| |解答题|6/66|方程求解、二次函数综合应用等|21题动点面积最值问题突出推理能力与数形结合|

2026—2027学年人教版九年级数学上册 第一次月考重难点学情自测卷 （范围：第25章 一元二次方程 ＋ 第26章 二次函数） 考试时间：120分钟 满分：120分 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________ 得分：__________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。每小题只有一个选项符合题意） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A．x²＋1÷x＝0 B．x²＋y－3＝0 C．3x²＝0 D．(x－1)²＝x²＋2 2．一元二次方程 x²－5x＋6＝0 的两个根为（ ） A．x₁＝2，x₂＝3 B．x₁＝－2，x₂＝－3 C．x₁＝1，x₂＝6 D．x₁＝－1，x₂＝－6 3．若关于 x 的方程 x²－2x＋m＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值为（ ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．已知一元二次方程 x²－3x＋1＝0 的两根为 x₁、x₂，则 x₁＋x₂ 的值为（ ） A．1 B．－3 C．3 D．－1 5．某商品原价为100元，连续两次降价 a％ 后售价为81元，则下列所列方程正确的是（ ） A．100(1＋a％)²＝81 B．100(1－a％)²＝81 C．81(1＋a％)²＝100 D．100(1－2a％)＝81 6．抛物线 y＝(x－1)²＋2 的顶点坐标是（ ） A．(1，2) B．(－1，2) C．(1，－2) D．(－1，－2) 7．二次函数 y＝－2x²＋4x 取得（ ） A．最大值2 B．最小值2 C．最大值－2 D．最小值－2 8．将抛物线 y＝x² 向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式为（ ） A．y＝(x－2)²＋1 B．y＝(x＋2)²＋1 C．y＝(x－2)²－1 D．y＝(x＋2)²－1 9．已知抛物线 y＝ax²＋bx＋c 如图1所示：开口向上，对称轴在 y 轴右侧，与 y 轴交于负半轴。下列判断正确的是（ ） 图1 A．a＞0，b＞0，c＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0 C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＞0，b＜0，c＞0 10．如图2，抛物线 y＝－x²＋2x＋3，当 y 随 x 的增大而减小时，自变量 x 的取值范围是（ ） 图2 A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜－1 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11．方程 (x－2)²＝9 的解为 x₁＝________，x₂＝________。 12．一元二次方程 x²＋x＋1＝0 的根的情况是________________（填“有两个不相等的实数根”“有两个相等的实数根”或“没有实数根”）。 13．抛物线 y＝x²－4x＋3 的对称轴为直线 x＝________。 14．如图3，抛物线 y＝x²－2x－1 与 x 轴交于 A、B 两点，则线段 AB 的长为________（结果保留根号）。 图3 15．若抛物线 y＝x²＋mx＋2 经过点 (1，5)，则 m 的值为________。 16．已知二次函数 y＝x²－2x－3，当 0≤x≤4 时，y 的最小值为________。 三、解答题（本大题共6小题，共66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）用适当的方法解下列方程： （1）x²－4x－1＝0；（4分） （2）3x²－6x＋2＝0；（3分） （3）x²－4x＋3＝0．（3分） 18．（本小题满分10分）某农户计划用长为20 m 的篱笆围成一个矩形花园（花园的一面靠墙，靠墙的一面不用篱笆）。若围成的花园面积为42 m²，求与墙垂直的一边的长。 19．（本小题满分10分）已知关于 x 的一元二次方程 x²－(2m－1)x＋m²－1＝0 有两个实数根 x₁、x₂。 （1）求实数 m 的取值范围；（4分） （2）当 x₁²＋x₂²＝16 时，求 m 的值。（6分） 20．（本小题满分10分）如图4，已知抛物线 y＝ax²＋bx＋c 经过 A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3) 三点。 图4 （1）求该抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标与对称轴；（6分） （2）求 △ABC 的面积。（4分） 21．（本小题满分12分）如图5，抛物线 y＝－x²＋2x＋3 与 x 轴交于点 B(3，0)，与 y 轴交于点 C(0，3)，点 P 是直线 BC 上方该抛物线上的一个动点（不与 B、C 重合），连接 PB、PC。 图5 （1）求直线 BC 的解析式；（3分） （2）当点 P 运动到何处时，△PBC 的面积最大？请求出这个最大面积及此时点 P 的坐标。（9分） 22．（本小题满分14分）抛物线 y＝x²－2x－3 的顶点为 D，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于 A(－1，0)、B 两点，对称轴为直线 x＝1。 （1）求直线 CD 的解析式；（3分） （2）在对称轴上是否存在一点 M，使 AM＋CM 的值最小？若存在，求出该最小值及点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；（6分） （3）点 N 是直线 CD 下方抛物线上一动点，求 △CDN 面积的最大值。（5分） 参考答案与解析 一、选择题 1．C 2．A 3．B 4．C 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 解析： 1．A 是分式方程，B 含两个未知数，D 化简后 x² 项抵消为一次方程，只有 C 是一元二次方程，故选 C。 2．因式分解 (x－2)(x－3)＝0，得 x₁＝2，x₂＝3，故选 A。 3．△＝(－2)²－4m＝4－4m＝0，解得 m＝1，故选 B。 4．由根与系数的关系 x₁＋x₂＝－(－3)÷1＝3，故选 C。 5．连续两次降价 a％，售价为 100(1－a％)²＝81，故选 B。 6．顶点式 y＝(x－1)²＋2 的顶点为 (1，2)，故选 A。 7．y＝－2(x－1)²＋2，a＝－2＜0，开口向下，最大值为 2，故选 A。 8．“左加右减、上加下减”，向右平移2再向上平移1得 y＝(x－2)²＋1，故选 A。 9．开口向上则 a＞0；对称轴 x＝－b÷(2a)＞0 且 a＞0，则 b＜0；与 y 轴交于负半轴则 c＜0，故选 B。 10．抛物线 y＝－x²＋2x＋3 的对称轴为 x＝1，开口向下，对称轴右侧 y 随 x 增大而减小，即 x＞1，故选 A。 二、填空题 11．5；－1 12．没有实数根 13．2 14．2 15．2 16．－4 解析： 11．x－2＝±3，所以 x₁＝5，x₂＝－1。 12．△＝1²－4×1×1＝1－4＝－3＜0，方程没有实数根。 13．对称轴 x＝－(－4)÷(2×1)＝4÷2＝2。 14．令 x²－2x－1＝0，得 x＝1±，所以 AB＝(1＋)－(1－)＝2。 15．把 (1，5) 代入得 5＝1＋m＋2，解得 m＝2。 16．y＝(x－1)²－4，顶点 x＝1 在 0≤x≤4 内，a＞0，故当 x＝1 时 y 取最小值－4。 三、解答题 17．解： （1）x²－4x＝1，配方 (x－2)²＝5，x－2＝±，得 x₁＝2＋，x₂＝2－。 （2）a＝3，b＝－6，c＝2，△＝36－24＝12＞0，x＝(6± )÷6＝(6±2 )÷6＝(3± )÷3，即 x₁＝(3＋ )÷3，x₂＝(3－ )÷3。 （3）因式分解 (x－1)(x－3)＝0，得 x₁＝1，x₂＝3。 18．解： 设与墙垂直的一边长为 x m，则与墙平行的一边长为 (20－2x) m。 依题意 x(20－2x)＝42，整理得 x²－10x＋21＝0，因式分解 (x－3)(x－7)＝0，得 x₁＝3，x₂＝7。 当 x＝3 时 20－2x＝14＞0；当 x＝7 时 20－2x＝6＞0，均符合题意。 答：与墙垂直的一边的长为 3 m 或 7 m。 19．解： （1）△＝(2m－1)²－4(m²－1)＝4m²－4m＋1－4m²＋4＝－4m＋5。方程有两个实数根，则 △≥0，解得 m≤5÷4。 （2）x₁＋x₂＝2m－1，x₁x₂＝m²－1。x₁²＋x₂²＝(2m－1)²－2(m²－1)＝2m²－4m＋3。 令 2m²－4m＋3＝16，即 2m²－4m－13＝0，△＝16＋104＝120＞0，m＝(4± )÷4＝(2±)÷2。 又 m≤5÷4＝1.25，而 (2＋ )÷2＞1.25 舍去，所以 m＝(2－ )÷2。 20．解： （1）设 y＝a(x＋1)(x－3)，把 C(0，－3) 代入得 －3＝－3a，所以 a＝1。 故 y＝x²－2x－3＝(x－1)²－4，顶点坐标 (1，－4)，对称轴直线 x＝1。 （2）AB＝3－(－1)＝4，点 C 到 x 轴距离为 3，S△ABC＝×4×3＝6。 21．解： （1）设直线 BC：y＝kx＋n，代入 C(0，3)、B(3，0) 得 n＝3，k＝－1，所以直线 BC：y＝－x＋3。 （2）设 P(x，－x²＋2x＋3)，0＜x＜3，过 P 作铅垂线段交 BC 于 H(x，－x＋3)，铅垂高 PH＝(－x²＋2x＋3)－(－x＋3)＝－x²＋3x。 S△PBC＝×PH×3＝(－3÷2)(x－3÷2)²＋27÷8，当 x＝3÷2 时取最大值 27÷8。 此时 y_P＝15÷4，即 P(3÷2，15÷4)。答：P 为 (3÷2，15÷4) 时 △PBC 最大，最大值为 27÷8。 22．解： （1）y＝(x－1)²－4，顶点 D(1，－4)，与 y 轴交点 C(0，－3)。设直线 CD：y＝kx＋n，代入得 k＝－1，n＝－3，直线 CD：y＝－x－3。 （2）存在。A(－1，0) 关于 x＝1 的对称点为 A′(3，0)。连接 A′C 交对称轴于 M，则 AM＋CM＝A′C 最小。 A′C＝＝√18＝3，最小值为 3。 直线 A′C 过 (3，0)、(0，－3)，y＝x－3，令 x＝1 得 y＝－2，所以 M(1，－2)。 （3）设 N(x，x²－2x－3)，0＜x＜1，铅垂高 NH＝(－x－3)－(x²－2x－3)＝－x²＋x＝－(x－ )²＋，最大 。 S△CDN＝ ×NH×1，最大值为 × ＝1÷8。 2 2 学科网（北京）股份有限公司 $