2026—2027学年人教版九年级数学上册第一次月考常考题型综合训练卷

**基本信息** 2026年九年级数学月考卷聚焦第25-26章，以一元二次方程和二次函数为核心，通过选择、填空、解答题梯度设计，融合投壶游戏等现实情境，考查数学抽象、推理及应用意识，适配月考巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次项系数、抛物线对称轴等|基础巩固，直接考察核心概念| |填空题|6/18|根的判别式、函数增减性等|知识迁移，如定义新运算应用| |解答题|9/72|动态几何（矩形动点）、新定义“t相关函数”等|综合应用，投壶情境体现数学建模，新定义问题考察创新思维|

2026年9月份第一次月考常考题型综合训练卷人教版2026—2027学年九年级数学上册 测试范围：第25章、第26章 (考试时间:120分钟 试卷满分:120分) 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．一元二次方程的二次项系数是（   ） A．2 B． C．3 D．1 2．用配方法解方程时，变形结果正确的是（    ）． A． B． C． D． 3．抛物线的对称轴是（    ）． A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 4．抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 5．在函数的图象上有三点，，则下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　） A．4 B．2 C．1 D．﹣4 7．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（        ） A． B． C．且 D．且 8．对于二次函数（、、为常数，），定义其图象上点的“点值”．已知二次函数（为常数，且）图象的顶点的“点值”为，则的值为（     ） A．2 B． C． D． 9．已知函数与函数的图象如图所示．若，则自变量x的取值范围是（     ） A． B．或 C． D．或 10．矩形中，，．动点从点出发，以的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以的速度沿边、边向终点运动．设运动的时间为．当时，点，的位置如图所示．给出下面三个结论： ①当时，四边形是平行四边形； ②的最大面积为； ③当的面积为时，或． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11．抛物线与轴的交点的坐标是_____． 12．若一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______． 13．函数与直线交于点，当的取值范围是____________时，随的增大而增大． 14．定义新运算：，若，则的值为_________． 15．已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值为______． 16．已知二次函数（），当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则t的取值范围是________． 三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 19．如图，要设计一幅长52厘米，宽32厘米的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应设计横、竖彩条的宽度分别为多少厘米？ 20．已经抛物线与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C (1)求A、B、C三点的坐标； (2)若该抛物线的顶点为P，求的面积． 21．已知抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反，且图象上离轴最近的点与轴的距离为3． (1)求的值； (2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标． 22．已知二次函数（为常数且）． (1)当点在该二次函数图象上时，求的值． (2)已知在该函数图象上． ①若时，有且，求证：． ②若，存在，求的取值范围． 23．“投壶”是古人宴会时的一种娱乐游戏，参与者需站在一定距离外，将箭矢投入壶中，以投入的数量和方式计算得分．嘉嘉体验了投壶游戏后作出示意图如图1，以投壶者所站位置为原点，地面为轴，为1个单位长度建立平面直角坐标系，投掷过程中箭矢前端点的运动路径可看作抛物线的一部分，点从点处出手，矩形为壶，，，． (1)如图1，，若点为抛物线的顶点，，且抛物线经过点 ． ①求抛物线的解析式； ②竖直提高点的出手位置（点），使点落在上（不含边界），求的取值范围． (2)如图2，调整出手的力度和角度，使抛物线在点 处到达最高点．若点经过点正上方处，求出点在点正上方的距离（用含的式子表示）． 24．在平面直角坐标系中，对于给定的两个关于x的函数，任取自变量x的一个值，当时，它们对应的函数值互为相反数；当时，它们对应的函数值相等，则称这样的两个函数互为“相关函数”． (1)①在点，，，中， 在正比例函数的“相关函数”图象上的点是________； ②若一次函数的“相关函数”的图象是轴对称图形，则b的值为________； (2)已知，，，． ①若二次函数的“相关函数”图象与四边形始终有2个公共点，求h的取值范围； ②若二次函数的“相关函数”的图象与线段有2个公共点，直接写出n的取值范围． 25．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点． (1)用含a的代数式表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求a的取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A A C A D A C D 11． 12． 13． 14．或 15． 16． 17．【详解】（1）解：， ∴， ∴或， ∴，； （2）解：， ∴， ∴或， ∴，． 18．(1)证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 19．【详解】解：设竖彩条的宽度为厘米，因为横、竖彩条的宽度比为，所以横彩条的宽度为厘米． 解得（舍去），． 所以竖彩条的宽度厘米，横彩条的宽度厘米． 答：横彩条的宽度为3厘米，竖彩条的宽度为2厘米． 20．【详解】（1）解：令，则， 解得，， ∴，， 令，则， ∴； （2）解：∵， ∴顶点， ∴． 21．【详解】（1）解：∵抛物线与抛物线的形状相同，开口方向相反， ∴， 则抛物线为， ∴对称轴为直线，即对称轴为轴，开口方向向上 ∵图象上离轴最近的点与轴的距离为3，且 ∴； （2）解：由（1）得，，对称轴为轴，开口方向向上， 解析式为 把代入，得 即顶点坐标． 22．【详解】（1）解：把代入抛物线解析式， 得， 解得； (2)①证明：抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ， 为到抛物线对称轴直线的距离， 为到抛物线对称轴直线的距离， ， 抛物线上的点到对称轴的距离越小，则函数值越大， ； ②解： 或， 当时，， ， 解得， 解得， ∴不等式组无解； 当时，即， ， ， 解得， 解得， ∴不等式组的解集为， 综上，． 23．【详解】（1）解：①， 为顶点， 则抛物线， ∵过点 代入得： ， ∴， 抛物线解析式为； ②解：抛物线经过点时， ， ， 抛物线经过点时，， ， 当时，点落在上． （2）解：顶点， 抛物线解析式为， 抛物线过点， ， ， ，且抛物线过， ， ， 当时， ， ， 点在点正上方处． 24．【详解】（1）解：根据题意，当时，，当时，， 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 在点，中， ∵， ∴当时，， ∴点符合题意； 故答案为：，； ②一次函数是关于“相关函数”， ∴当时，，当时，， ∴时，，， ∵“相关函数”的图象是轴对称图形， ∴当时，两个函数的值相等，即， 解得； （2）解：①已知，，，，如图所示， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 当时，，与原函数图像关于轴对称， 当时，，与原函数一致， ∴二次函数的“相关函数”图象要与四边形始终有2个公共点， 需的图像与四边形始终有2个公共点， 结合图形得到，， 令，， 解得，， ∴如图所示，与四边形只有一个交点， 二次函数与四边形始终有2个交点， 则，解得， ∴的取值范围为； ②， 由题意得，当时，， 当时，， 作二次函数与的图像如下图， 情况一：当时的图象与线段有两个交点，时的图象与线段没有交点，如图， ∴， 解得， 情况二：当时的图象与线段有一个交点，时的图象与线段有一个交点，如图， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围为或． 25．【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ∴； （2）解：①若，则， ∴该抛物线为， 设直线的解析式为， ∵点 ∴，解得， ∴直线的解析式为， 当时，即点， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴点M、N的横坐标为2， 对于抛物线，当时，，即， 对于直线，当时，，即， ∴； ②如图所示，过点作于点， ∵直线的解析式为， ∴，则是等腰直角三角形，， ∵， ∴ ∴的面积， ∴当点P从点O运动到点的过程中，的面积随的长增大而增大， ∵， ∴ ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， ∵，则，即点在轴右侧， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， ∵, ∴若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 综上所述， $