第一次质量测试卷（9月）2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程全章核心，通过基础辨析、情境应用（如停车场车道计算、砗磲生长模型）及跨学科探究，分层考查抽象能力、推理意识与模型观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|概念辨析（如一元二次方程定义）、解法步骤（配方法错误判断）、增长率问题|基础巩固，结合错误辨析情境| |填空题|6/18|根与系数关系（相反数根）、图象变换（翻折后交点）|能力提升，渗透数形结合| |解答题|8/72|解方程、实际应用（停车场宽度）、生物模型（砗磲生长）、根与系数综合|创新应用，关联科技情境与逻辑推理|

2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第25章一元二次方程~第26章二次函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分) 1.下列各方程是一元二次方程的是() A+ B.（x-1)(x-2)=x2+1 C.ax2+bx+c=0 D.x2-5=0 2已知二次函数'=r-3x+2 则其二次项系数“、一次项系数乃、常数项分别为 () A.a=2,b=-3,c=1 B.a=2,b=3,c=1 C.a=1,b=3,c=2 D.a=1,b=-3,c=2 3.某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤. 如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是() 原方程 甲 乙 2x2+4x-1=0→2x2+4x=1→x2+2x=1→ 丙 丁 x2+2x+1=1+1, x,=2-1 即(x+1)2=2 x2=√2-1 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 4.2023年青山村种水稻平均每公顷产7200kg,2024和2025年水稻平均每公顷产量和为 16450kg ,设水稻每公顷产量的年平均增长率为'，则下列所列的方程中正确的是() A.72000-x2-16450 72001+x)2=16450 B C.7200(1+2x)2=16450 7200(1+x)+72001+x)2=16450 D 试卷第1页（共3页） 5 1 2 3 … y 3 -1 0 m … y=ax2-2x+c 则下列关于二次函数 的说法正确的是() A.二次函数图象的开口向下 B.二次函数图象的对称轴为直线x=-1 C. 点-2川)在该函数图象上，则>3 D.当x>0时，y随x的增大而增大 6.下列说法：①关于x的一元二次方程x+m=0无实数解：②无论m为何值，关于x的 一元二次方程x2-4x-m2=0都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程 x2-4x+m=0 m<4m≠0 有两个不相等的实数根，则的取值范围是” .其中正确的有 () A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 7.抛物线=+m+m-2与产拍交于4,8两点，且4B=5则m的值为() A I B或3 C.1+V2 D.1+V2 或v2 8.如图，已知正方形ABCD的边长是1，正方形EFGH的顶点分别在AB,BC,CD, AD上.设正方形EFGH的面积是S,AE的长是x,则下列说法正确的是() D G H E 试卷第2页（共3页） 1 A,当x=2时，S有最小值2 B.当x=2时，S有最大值) C.S随x的增大而减小 D,S随x的增大而增大 9.甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方 程的两个根为-4和-5，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和 9,则原来的方程是() A.x2-9x+18=0 B.x2+9x+18=0 C.x2+5x+18=0 D.x2-9x+14=0 10.已知两个多项式M=a2+a+1,N=a2-a+l, ①若2N-M=5时，则有a=-1或4： 2N ②若a为整数，且M-N+4为整数，则a=-1或5； @的0时若“分则动 3a2 1 17 ④若当式子M+ma中a取值为2n2与3n-2时，对应的值相等，则L的最大值为8， 以上结论正确的个数是() A.4 B.3 C.2 D.1 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 2-a-3=0 11.已知方程 的两个根互为相反数，则k一 一，方程的根为 12.若关于x的一元二次方程a2+bx+5=0有一个根为2026，则一元二次方程 ax++b(x+)=-5必有一个根为 y=ax+bx+c (a+c)2 13.如图，抛物线 的对称轴为直线=1，则9 填之、<或 试卷第3页（共3页） X 14.已知二次函数少=-+x+ 及直线少=m ,将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折 到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y=m与这个新 图象有四个交点时，的取值范围是 15.若m,n为正实数，设长-m =n,t是关于x的方程x2+2x=n2的一个正实数根。 (1)当k=t=1时，则m的值是 (2)当k=2时，则n的值是 16。如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=×+2x-3与x轴交于点A和点 (1,0) .与y 轴交于点C,E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动 点，连接PE并延长垂直x轴于点D,过点E作AC的垂线，与y轴交于点G,则 PE+2EG 的最大值为 试卷第4页（共3页） D G A E 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17.(6分)用适当的方法解下列方程 a)x-}2=2 2-3x+1=0 8)5x(3r+2)=6x+4 18。(8分)已知反比例函数y=《-5 x（k为常数). 四者点42 在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围： B (3)若k=13,试判断点 有在这个改图象上，苏波间 19.(8分)已知代数式x+4x+5, (I)用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数： (②)求当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 20.(8分)如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为31m,宽为17m,停车场 内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为275m2,求停车场内车道的宽度. 试卷第5页（共3页） 入口 车道 宽度 车场 17m 车道 宽度 俸场 车道 宽度 31m 出方 21.(8分)综合与实践：生物生长规律的模型研究. y(μm/天) 30 25A 2 15 10 5 0 5101520253x(岁) 图1 图2 如图1，砗磲(chqú)是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行 分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：m天)的数据如 下表： 10 15 20 25 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 =140k2=142.5 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为 k x·为减少 飞=140，飞，=137.5，猜想当x≥10时y与x符合反比例关系，设解析式为y= 偏差，取k=+店++ 4 ,求反比例函数解析式 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低， (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速 率 22.(9分)如图，在平面直角坐标系x0少中，一次函数y=-x+4的图象与反比例函数 x的图象相交于A(,n),B(m,l)两点. 试卷第6页（共3页） (1)求反比例函数的表达式： k Q直接写出当一x+4>x时，x的取值范围： (3)点P是x轴上一点，若△ABP的面积为6，求点P的坐标. 23.(12分)若，名是一元=次方程m+hx+c=0(a≠0)的两根，则有+=合、 5=C 。,由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把 这个关系称为一元二次方程根与系数的关系. 2-2(k-1)x+k2-1=0 (1)已知关于x的一元二次方程 的两个不相等的实数根分别为， 女，且满足：K+=X,求k的值： @岩“，B是方程-x-1=0的两根，记8=a+B及=+，.=+P ,…, ①当”为不小于3的整数时，证明： Sa2+S=S ②计算，品的位。 24.(13分)反比例函数片=” =x（m>0)和正比例函数为=x（n>0)相交于A、B两 点，点C在-上，点AC均在第一象限，且点c在点4的无上方，直线AC、C 与y轴分别交于点F、G. 试卷第7页（共3页） G 图1 图2 1)如图1，已知点A(3,1),点C(1,3), 直接写出：①点B的坐标是；②CG与CF的数量关系是_： (2)若(1)中的条件点A坐标不变，随着点C的变化，判断(1)中的“CG与CF的数量 关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由： B)如图2，直线AC、BC与x轴分别交于点E、D,经过探索发现：随着点A、C的变 化，DE与FG的乘积只与m的取值有关，请用只含m的代数式表示DE与FG的乘积. 试卷第8页（共3页） 2026-2027学年人教版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第25章一元二次方程 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．下列各方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程．据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项：是分式方程，不是一元二次方程； B选项：展开左边得，整理得，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：未明确，不一定是一元二次方程； D选项：是一元二次方程． 2．已知二次函数，则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：∵二次函数为一般形式， ∴二次项系数，一次项系数，常数项． 3．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（     ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】根据配方法解一元二次方程的步骤即可得出结果． 【详解】解：对于乙的步骤：方程两边同时除以2，得； 故出现错误的是乙同学. 4．年青山村种水稻平均每公顷产，和年水稻平均每公顷产量和为，设水稻每公顷产量的年平均增长率为，则下列所列的方程中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】两年的产量和是，分别表示、年的每公顷产量后相加列方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为． 年平均每公顷产量为， 年平均每公顷产量为, 由题意得 ． 5． … 1 2 3 … … 3 0 … 则下列关于二次函数的说法正确的是（     ） A．二次函数图象的开口向下 B．二次函数图象的对称轴为直线 C．若点在该函数图象上，则 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】根据表格中所给数据，可利用待定系数法求出函数解析式，并化为顶点式，进而得到开口方向，增减性和对称轴，再对所给选项依次进行判断，据此可得答案． 【详解】解：将点、代入中， 得：， 解得， ∴二次函数解析式为， A、∵， ∴函数图象开口向上， 故A不符合题意； B、∵二次函数解析式为， ∴对称轴为直线， 故B不符合题意； C、当时，， 故C符合题意； D、∵二次函数解析式的对称轴为直线，函数图象开口向上， ∴当时，的值随值的增大而增大， 故D项不符合题意． 6．下列说法：①关于x的一元二次方程无实数解；②无论m为何值，关于x的一元二次方程都有两个不相等的实数根；③若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是且．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】计算各一元二次方程的判别式，根据判别式的符号判断根的情况，逐一验证三个说法的正误即可． 【详解】解：①对于方程，，当时，，方程有两个相等的实数根，即有实数解，故①错误； ②对于方程，， ∵， ∴， ∴无论为何值，方程都有两个不相等的实数根，故②正确； ③对于方程，由方程有两个不相等的实数根得，即，解得， 当时，方程为一元二次方程且有两个不相等的实数根，故错误，③错误； 综上，正确的说法有1个． 7．抛物线与轴交于，两点，且，则的值为（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】将抛物线与x轴的交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及两点距离列方程求解. 【详解】解：设，，则，是方程的两个实数根. 由根与系数的关系，得，， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，， ∵恒成立， ∴的值为或． 8．如图，已知正方形的边长是1，正方形的顶点分别在，，，上．设正方形的面积是S，的长是x，则下列说法正确的是（   ） A．当时，S有最小值 B．当时，S有最大值 C．S随x的增大而减小 D．S随x的增大而增大 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定定理得到，根据全等三角形的性质得到，利用勾股定理，在中，，所以，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：四边形为正方形，四边形也是正方形， ，， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在中，， 面积，， ， 当时，S有最小值. 9．甲、乙两人在解一道一元二次方程的题时，甲在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根为和，乙在化简中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为2和9，则原来的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由甲的错误结果可求出正确的一次项系数，由乙的错误结果可求出正确的常数项，进而确定原方程． 【详解】解：设原一元二次方程为， ∵甲写错常数项，一次项系数正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴， ∵乙写错一次项系数，常数项正确，两根为和， ∴根据根与系数的关系，， ∴原方程为． 10．已知两个多项式，， ①若时，则有或4； ②若a为整数，且为整数，则或5； ③当时，若，则； ④若当式子中a取值为与时，对应的值相等，则m的最大值为． 以上结论正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据整式、分式的运算法则进行化简，并运用函数思想对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①∵， ∴， ∴， ∴或4， ∴①的结论正确； ② ∵为整数， ∴为整数，即为整数， ，，，． ∴②的结论错误； ③，即， 化简得，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴③的结论错误； ④， ∵中a取值为与时，对应的值相等， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴，则当时，m有最大值． ∴④的结论正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式、分式的运算法则，及二次函数图像性质，综合运用以上知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．已知方程的两个根互为相反数，则________，方程的根为________． 【答案】 0 【分析】先设两根是，根据根与系数的关系可得，而两根又互为相反数，据此易求k值，将k值代入原方程求解，即可解题． 【详解】解：设两根为 ， 由题意得， 由根与系数的关系得：， ， 方程化为 ， 则，， ． 12．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 13．如图，抛物线的对称轴为直线，则______(填、或)． 【答案】 【分析】先将因式分解得到；由对称轴，顶点在x轴的下方可知，时函数值小于0；时函数值大于0，代入判断乘积正负． 【详解】解：． 当时，，由图，顶点横坐标为1，顶点在x轴下方， ． 当时，，从图象可知，对应点在x轴上方， ． ， 即， ． 14．已知二次函数及直线，将二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据题意画出对应的图象，先解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，然后求出直线经过该抛物线的顶点C时的坐标，从而得到m的值，进而得出m的取值范围． 【详解】解：如图，在x轴下方作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，此时点C为翻折抛物线的顶点，则直线在x轴与切线的两条直线之间，两个图象有4个交点， 令，解得：或2，即，， ∴翻折抛物线的表达式为：， ∴顶点C的坐标为， 当直线与这个新图象有四个交点时，m的取值范围是． 15．若，为正实数，设，是关于的方程的一个正实数根． （1）当时，则的值是________； （2）当时，则的值是________． 【答案】 / 【分析】（1）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，再解方程即可； （2）根据t是关于x的方程的一个正实数根得到，配方即可得，根据，，得到，即可得到，化简后两边同时除以，将方程转化为，解方程即可． 【详解】解：（1）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵，为正实数， ∴． （2）∵是关于的方程的一个正实数根， ∴， ∴， 即． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵n、t均为正实数， ∴． 16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A和点，与y轴交于点C，E为线段AC上一动点（不与点A、C重合）。P为第三象限内抛物线上一动点，连接PE并延长垂直x轴于点D，过点E作AC的垂线，与y轴交于点G，则的最大值为_______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，过点作轴于点，设，则，说明，从而得出，用含有m的式子表示，再运用二次函数求最值方法即可. 【详解】解：当时，， 点． 当时，， 解得：， . 设直线的解析式为， 把代入， 得：，解得：. 直线的解析式为：． ， ． 过点作轴于点， ， . . . . 设，则， . . 由题意有， 当时，取最大值，最大值为. 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（6分）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ，； （3）解： ， 移项，得， 对提取公因式，变形为， 提取公因式，得， 则或， 解得，． 18．（8分）已知反比例函数（为常数）． (1)若点在这个函数的图象上，求的值； (2)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围； (3)若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 解：点在该函数的图象上，点不在该函数的图象上，理由如下： 当时，反比例函数解析式为， 将代入，得，与点的纵坐标相等，故点在函数图象上； 将代入，得，故点不在函数图象上． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式，列方程求解的值； （2）根据反比例函数的增减性与比例系数的符号关系，列不等式求解的取值范围即可； （3）先确定时的函数解析式，代入点的横坐标计算纵坐标，与已知纵坐标对比判断点是否在图象上即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵反比例函数的每一支上，随的增大而减小， ∴， 解得． （3）略． 19．（8分）已知代数式， (1)用配方法说明，不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)求当取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) 证明： ， ∵， ∴， ∴不论取何值，这个代数式的值总是正数； (2)当时，代数式的值最小，最小值为1 【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题关键． （1）首先将原式变形为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数； （2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值． 【详解】（1）略 （2）解：令， ∴， ∵， ∴函数开口向上，有最小值， ∴当时，最小值为1． 20．（8分）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度． 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设车道宽为，用含的式子表示停车位矩形的长和宽，根据面积列一元二次方程，求解后舍去不符合实际的根． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，则停车位可合成长为，宽为的矩形，根据题意得： ， 整理得：， 解得：，， ∵停车场的长为， 又∵，不符合实际意义， ∴， 答：停车场内车道的宽度为． 21．（8分）综合与实践：生物生长规律的模型研究． 如图1，砗磲（）是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x（单位：岁）与平均日生长速率y（单位：/天）的数据如下表： x 10 15 20 25 y 14.0 9.5 7.0 5.5 【模型构建】 (1)数学小组观察表格中数据，发现数据中x与y的乘积分别为，，，，猜想当时y与x符合反比例关系，设解析式为．为减少偏差，取，求反比例函数解析式． 【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低． (2)为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请计算砗磲样本35岁时的平均日生长速率． 【答案】(1) (2)该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天 【分析】（1）把数值代入求出即可得出表达式； （2）把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，， ， ∴反比例函数解析式为； （2）解：当时，． 答：该砗磲样本35岁时的平均日生长速率为/天． 22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)直接写出当时，的取值范围； (3)点是轴上一点，若的面积为6，求点的坐标． 【答案】(1)； (2) 或 (3)或． 【分析】（1）因为点A在一次函数上，所以将A点横坐标代入一次函数可求出n的值，得到A点完整坐标，再代入反比例函数即可求出k，得到反比例函数表达式． （2）先求出B点坐标，结合函数图象的上下位置关系，分、判断一次函数值大于反比例函数值的x范围． （3）先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，那么的面积可表示为与的面积的差，设P点坐标为，根据面积公式列方程求解即可得到P点坐标． 【详解】（1）解：∵点在一次函数上， ∴， 即． 把代入反比例函数， 得， 解得， ∴反比例函数表达式为． （2）解：将代入， 得， 解得， 即． ∵不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象上方时对应的范围． 结合两个函数的图象：反比例函数在和两个分支，两个交点横坐标为1和3， ∴满足条件的范围是或． （3）解：对：令，得， 即． 设点坐标为， 则轴上线段的长度为． ∵ ， 代入，，，得 ， 化简得， 解得或， ∴的坐标为或． 23．（12分）若，是一元二次方程的两根，则有，，由上式可知，一元二次方程的两根和、两根积是由方程的系数确定的，我们把这个关系称为一元二次方程根与系数的关系． (1)已知关于的一元二次方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足：，求的值； (2)若，是方程的两根，记，，…，， ①当为不小于的整数时，证明：； ②计算，的值． 【答案】(1) (2)①证明：，是方程的根， ∴，， ∴， 因为，， 所以原式 ②； 【分析】（1）先计算根的判别式，根据原方程有两个不相等的实数根，得出不等式，解不等式，得出，根据一元二次方程根与系数的关系，结合已知可得或，解一元二次方程，即可求解． （2）①由，是方程的根得到，，结合的定义进行证明； ②根据根与系数的关系写出、的值，运用完全平方公式变形求得的值，利用①中的结论求得的值． 【详解】（1）解：． 原方程有两个不相等的实数根， ，解得， 由根与系数的关系，，， ， ，化简得，或， 或， 又， ； （2）①略 ②，是方程的两根， ，， ； 由①知： ． 24．（13分）反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点，点在上，点、均在第一象限，且点在点的左上方，直线、与轴分别交于点、． (1)如图1，已知点，点， 直接写出：①点的坐标是 ；②与的数量关系是 ； (2)若（1）中的条件点坐标不变，随着点的变化，判断（1）中的“与的数量关系”是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由； (3)如图2，直线、与轴分别交于点、，经过探索发现：随着点、的变化，与的乘积只与的取值有关，请用只含的代数式表示与的乘积． 【答案】(1)，相等， (2)解：成立，理由如下： 反比例函数（）过，点， ∴，即， 设，设直线为， ∵， ∴，解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为：， ∴， ∴，， ∵，， ∴. (3) 【分析】（1）由反比例函数的性质可得，分别求解直线为，直线为，进一步结合勾股定理求解； （2）设，求解直线为，直线为：，进一步结合勾股定理求解； （3）设点，点，点，求解直线的解析式为： 直线的解析式为：，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵反比例函数（）和正比例函数（）相交于、两点， ∴， 设直线为，而点， ∴， 解得：， ∴直线为， ∴， ∵，， 同理可得直线为， ∴， ∴，， ∴. （2）略 （3）解：设点，点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 当，， 当，， 解得：， ∴点，点， 同理可得：直线的解析式为：， 同理：点，点， ∴，， 与的乘积． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $