2026-2027学年北师大版九年级数学上册第一次月考提分特训

**基本信息** 北师大版九年级数学月考卷，聚焦特殊平行四边形与一元二次方程，通过“降次法”“平均数法”等创新题型及几何变换、利润应用问题，考查抽象能力、推理意识与应用意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、特殊平行四边形从属关系|第5题“降次法”考查抽象能力| |填空题|6/18|方程根的应用、菱形面积、折叠问题|第12题交叉矩形纸条求菱形面积最大值，体现空间观念| |解答题|8/72|方程解法、几何证明、利润应用、几何变换|22题核桃销售利润问题考查应用意识，24题正方形旋转探究体现推理能力|

2026-2027学年北师大版九年级数学上第一次月考提分特训 （范围：第一章特殊的平行四边形+第二章一元二次方程 时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1.若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 2.下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 3．用配方法解方程2x2﹣8x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝﹣ B．（x﹣2）2＝ C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7 4．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 5．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3 6．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 7.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 8.图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 9．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 10．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 二．填空题（18分） 11．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 12．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 13．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 14.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 15.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  16．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 三．解答题（72分） 17．（12分）解下列方程： （1）x2+3x﹣1＝0； （2）3x2﹣6x+1＝0（用配方法解） （3）（x+3）2＝5（x+3） （4）x2﹣2x+3＝0． 18．（6分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数． 19.（8分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 20.（8分）已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值． 21．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O，连接AN，CM. (1)求证：四边形AMCN是菱形； (2)若AB＝3，AD＝6，求出AE的长． 22．（9分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折销售？ （3）若该专卖店想获得最大利润W，核桃的单价应定为多少元？最大利润是多少？ 23.（9分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 24．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）【问题解决】：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）【问题探究】：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）【拓展延伸】：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年北师大版九年级数学上第一次月考提分特训 （范围：第一章特殊的平行四边形+第二章一元二次方程 时间：120分钟 满分：120分） 一．选择题（30分） 1.若方程(m-2)x|m|+3x-1=0是一元二次方程，则m的值为（ ） A.2 B.-2 C.±2 D.0 【答案】：B 【解析】：满足|m|=2并且m-2≠0，解得m=-2。 2.下列从属关系正确的是（ ） A.正方形⊂矩形⊂平行四边形 B.平行四边形⊂矩形⊂正方形 C.菱形⊂正方形⊂平行四边形 D.矩形⊂菱形⊂平行四边形 【答案】：A 【解析】：平行四边形包含矩形与菱形，正方形既是矩形又是菱形，因此正方形属于矩形。 3．用配方法解方程2x2﹣8x﹣3＝0时，原方程可变形为（　　） A．（x﹣2）2＝﹣ B．（x﹣2）2＝ C．（x+2）2＝7 D．（x﹣2）2＝7 【答案】：B 【解析】：∵2x2﹣8x﹣3＝0，∴2x2﹣8x＝3，则x2﹣4x＝，∴x2﹣4x+4＝+4，即（x﹣2）2＝，故选：B． 4．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子2m2+4m﹣mn的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．﹣1 D．1 【答案】：A 【解析】：∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣2，mn＝﹣1，m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴2m2+4m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1+1＝3，故选：A． 5．将关于x的一元二次方程x2﹣px+q＝0变形为x2＝px﹣q，就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3＝x•x2＝x（px﹣q）＝…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：x2﹣x﹣1＝0，且x＞0，则x4﹣2x3+x的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．3 【答案】：C 【解析】：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2＝x+1，∴x4﹣2x3+x＝（x2）2﹣2x2•x+x＝（x+1）2﹣2（x+1）•x+x＝x2+2x+1﹣2x2﹣2x+x＝﹣x2+x+1＝﹣（x2﹣x﹣1）＝0．故选：C． 6．关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（　　） A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2 【答案】：B 【解析】：解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±， ∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，∴﹣h﹣＝﹣3，﹣h+＝2，∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±，∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，故选：B． 7.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】B 【解析】A、①有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；B、③对角线相等的矩形不一定是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．故选：B． 8.图①是艺术家埃舍尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创造出立体效果.图②是一个菱形，将图②截去一个边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④中∠ABC的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.75° 【答案】C 【解析】如图,∵∠BAD=∠BAE=∠DAE,∠BAD+∠BAE+∠DAE=360°,∴∠BAD=∠BAE=∠DAE=120°,∵ BC∥AD,∴∠ABC=180°-120°=60°,故选 C. 9．如图，正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵正方形边长为，是中点，∴设，则，由折叠性质得．在中，由勾股定理：，即，，，．∴，，．故选：C． 10．如图所示，将矩形ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH，若EH＝3，EF＝4，那么线段AD与AB的比等于（　　） A．25：24 B．16：15 C．5：4 D．4：3 【答案】A 【解析】∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠2+∠3＝90°，∴∠HEF＝90°，同理四边形EFGH的其它内角都是90°，∴四边形EFGH是矩形．∴EH＝FG（矩形的对边相等）；又∵∠1+∠4＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠5（等量代换），同理∠5＝∠7＝∠8，∴∠1＝∠8，∴Rt△AHE≌Rt△CFG，∴AH＝CF＝FN，又∵HD＝HN，∴AD＝HF，在Rt△HEF中，EH＝3，EF＝4，根据勾股定理得HF＝＝5．又∵HE•EF＝HF•EM，∴EM＝，又∵AE＝EM＝EB（折叠后A、B都落在M点上），∴AB＝2EM＝，∴AD：AB＝5：＝．故选：A． 二．填空题（18分） 11．若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2030﹣2a+2b的值为________。 【答案】：2026 【解析】：将x＝﹣1代入方程，得：a﹣b﹣2＝0，则a﹣b＝2，所以原式＝2030﹣2（a﹣b）＝2030﹣2×2＝2030﹣4＝2026， 12．如图，将两张长为9，宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9，那么菱形面积的最大值是________. 【答案】15 【解析】：如图，此时菱形ABCD的面积最大．设AB＝BC＝x，则EB＝9﹣x，AE＝3，在Rt△ABE中，由勾股定理得到：AE2+EB2＝AB2，即32+（9﹣x）2＝x2，解得 x＝5，∴S菱形ABCD＝5×3＝15 13．两个正方形按如图所示位置摆放，若，则_______． 【答案】 【解析】如图，两个正方形，，， ， ，，． 14.如图，有一张长方形纸片ABCD，AB＝8cm，BC＝10cm，点E为CD上一点，将纸片沿AE折叠，BC的对应边B'C'恰好经过点D，则线段DE的长为_________cm． 【答案】5 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理．∵长方形纸片ABCD，AB＝8，BC＝10，∴AB'＝8，AD＝10，B'C'＝10．在Rt△ADB'中，由勾股定理，得DB'＝6．∴DC'＝4．设DE＝x，则CE＝C'E＝8－x．在Rt△C'DE中，由勾股定理，得DE2＝EC'2＋DC'2即x2＝(8－x)2＋42．∴x＝5．即线段DE的长为5cm． 15.如图,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点.要使四边形EFGH是正方形,则BD,AC应满足的条件是　 .  【答案】AC=BD且AC⊥BD　 【解析】满足的条件应为:AC=BD且AC⊥BD.理由:∵E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点, ∴在△ADC中,HG为△ADC的中位线,∴HG∥AC且HG==AC;同理EF∥AC且EF=AC,EH=BD. 则HG∥EF且HG=EF,∴四边形EFGH是平行四边形.又∵AC=BD,∴EF=EH,∴四边形EFGH是菱形.∵AC⊥BD,EF∥AC,∴EF⊥BD.∵EH∥BD,∴EF⊥EH,∴∠FEH=90°,∴菱形EFGH是正方形. 16．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 【答案】 【解析】：∵关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，， ∴，，∴， ∴ ，故答案为：． 三．解答题（72分） 17．（12分）解下列方程： （1）x2+3x﹣1＝0； （2）3x2﹣6x+1＝0（用配方法解） （3）（x+3）2＝5（x+3） （4）x2﹣2x+3＝0． 解：（1）∵x2+3x﹣1＝0，∴x2+3x＝1，∴x2+3x+＝1+，∴（x+）2＝， ∴x+＝±，解得x1＝﹣+，x2＝﹣﹣．（方法不唯一） （2）∵3x2﹣6x+1＝0，∴x2﹣2x+＝0，∴x2﹣2x＝﹣，∴x2﹣2x+1＝﹣+1， ∴（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±解得x1＝1﹣，x2＝1+． （3）∵（x+3）2＝5（x+3），∴（x+3）2﹣5（x+3）＝0，∴（x+3）（x+3﹣5）＝0，∴（x+3）（x﹣2）＝0，∴x+3＝0或x﹣2＝0，解得x1＝﹣3，x2＝2． （4）△=（-2）2-4×1×3=-8<0，无解。 18．（6分）如图，在菱形ABCD中，∠A＝72°，请用三种不同的方法将菱形ABCD分割成四个等腰三角形，标出必要的角度数． 解：如图(答案不唯一)． 19.（8分）在解一元二次方程时，发现有这样一种解法： 如：解方程x（x+8）＝4 解：原方程可变形，得[（x+4）﹣4][（x+4）+4]＝4 （x+4）2﹣42＝4 （x+4）2＝20 直接开平方，得x1＝﹣4+2，x2＝﹣4﹣2． 我们称这种解法为“平均数法”． （1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+2）（x+8）＝40时写的解题过程： 解：原方程可变形，得[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝40 （x+a）2﹣b2＝40 （x+a）2＝40+b2 直接开平方，得x1＝c，x2＝d． 上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是　  　，　  　，　  　，　  　． （2）请用“平均数法”解方程：（x﹣2）（x+6）＝4． 解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣3][（x+5）+3]＝40．（x+5）2﹣32＝40， （x+5）2＝40+32．直接开平方并整理，得．x1＝2，x2＝﹣12．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、3、2、﹣12，故答案为：5、3、2、﹣12； （2）原方程可变形，得：[（x+2）﹣4][（x+2）+4]＝4． （x+2）2﹣42＝4， （x+2）2＝4+42． ∴x＝﹣2±2， ∴x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2 20.（8分）已知关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根． (1)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实数根为x1，x2，且|x1－x2|＝4，求m的值． 解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－6x＋(4m＋1)＝0有实数根，∴Δ＝(－6)2－4×1×(4m＋1)≥0，解得m≤2. (2)∵方程x2－6x＋(4m＋1)＝0的两个实数根为x1，x2，∴x1＋x2＝6，x1x2＝4m＋1，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，即32－16m＝16，解得m＝1. 21．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与边AB和边CD的延长线交于点M，N，与边AD交于点E，垂足为点O，连接AN，CM. (1)求证：四边形AMCN是菱形； (2)若AB＝3，AD＝6，求出AE的长． 解:(1)∵MN是AC的垂直平分线，∴AO＝CO，∠AOM＝∠CON＝90°，AM＝CM，CN＝AN， ∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠AMO＝∠CNO，在△AOM和△CON中 ，∴△AOM≌△CON(AAS)，∴AM＝CN，∴AM＝CM＝CN＝AN，∴四边形AMCN是菱形； (2)连接CE，如图所示：∵MN是AC的垂直平分线，∴CE＝AE，设AE＝CE＝x，则DE＝6－x，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝90°，CD＝AB＝3，在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2＋DE2＝CE2，即32＋(6－x)2＝x2，解得x＝，即AE的长为. 22．（9分）某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元销售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销量可增加20千克．若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请回答： （1）每千克核桃应降价多少元？ （2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折销售？ （3）若该专卖店想获得最大利润W，核桃的单价应定为多少元？最大利润是多少？ 解：（1）设每千克核桃应降价x元，（60﹣x﹣40）（100+）＝2240， 解得，x1＝4，x2＝6，即每千克核桃应降价4元或6元； （2）由（1）可知每千克核桃可降价4元或6元，∵要尽可能让利于顾客，∴每千克核桃应降价6元，此时售价为：60﹣6＝54（元），∴＝9，即该店应按原价的九折出售； （3）设每千克应降价y元，W＝（60﹣y﹣40）（100+）＝﹣10（y﹣5）2+2250， ∴当y＝5时，W取得最大值，此时W＝2250，∴60﹣y＝60﹣5＝55，即该专卖店想获得最大利润W，核桃的单价应定为55元，最大利润是2250元． （2）设赣南脐橙售价为y元/kg，该商家购进akg奉节脐橙，则购进了akg赣南脐橙， 根据题意得：10a﹣8a+ay﹣12a≥（8a+12a）×20%，解得：y≥14，∴y的最小值为14． 答：赣南脐橙售价至少为14元． 23.（9分）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （I）判断与推理： （i）邻边长分别为2和3的平行四边形是　　阶准菱形； （ii）为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形． （Ⅱ）操作与计算：已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 解：（I）（i）利用邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2； （ii）由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF， ∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形， ∴四边形ABFE是菱形；（II）如图，必为a＞3，且a=4；②如图，必为2＜a＜3，且a=2.5；③如图，必为＜a＜2，且a﹣1+（a﹣1）=1，解得a=；④如图，必为1＜a＜，且3（a﹣1）=1，解得a=．综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 24．（12分）如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）【问题解决】：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）【问题探究】：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）【拓展延伸】：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 解:（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案为：PQBO，PQ⊥BO． （2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形； （3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ•PQ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $