精品解析：江苏连云港市东海城北高级中学2026-2027学年第一学期第一次质量监测高三数学试题

2026—2027学年度第一学期第一次质量监测 高三数学 一、单选题（每题5分，共40分） （2本二必备A-1-1） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，再结合交集的运算即可求解. 【详解】解得，即集合， 所以. （本二必备A-1-1） 2. 已知复数，.在复平面内，对应的点所在的象限为（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数乘法及复数的几何意义即可求解． 【详解】，则对应点的坐标为，在第二象限． （本二必备A-1-1） 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. （本二必备A-2-3） 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由偶次根式被开方数非负，结合定义域为的条件，将问题转化为二次不等式恒成立问题，利用判别式求解参数范围. 【详解】要使函数的定义域为， 需满足对任意，被开方数恒成立， 二次函数的二次项系数为，图像开口向上， 其恒大于等于0的充要条件为判别式， ， 解不等式，得， 即实数的取值范围是. （本二必备A-1-2） 5. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 【答案】D 【解析】 【分析】将对数式化为指数式，根据指数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，， 所以，所以. （本一必备B-2-3） 6. 已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令，则， 因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. （本一必备B-3-4） 7. 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可画出函数图象，根据图象和，且，分析各个选项即可. 【详解】画出的图象： 对于A，不能同时成立，因为时，函数单调递减，得不到，故A错误； 对于B，如图，当时，有，则可能小于零，也可能大于零，故B错误； 对于C，如图，当时，，故C错误； 对于D，由图象可知，，所以， 又，所以， 所以，故D正确. 故选：D. （211本一必备B-3-4） 8. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用的单调性和奇偶性，转化不等式为在恒成立，再构造函数，利用导数研究其最小值，即可求得的范围，从而求得其最大值. 【详解】，定义域为，且， 所以是奇函数. 又，且，， 所以恒成立. 所以在上单调递增. 因为， 所以，即. 所以，即在恒成立； 令，则； 令，则， 所以在单调递增. 又， 所以存在，使得，即. 则当，，故，此时单调递减； 当，，故，此时单调递增. 所以当时，取得最小值. 又，两边取对数可得，也即； 所以的最小值. 所以，则的最大值为. 【点睛】处理本题的关键，一是熟练掌握利用函数单调性和奇偶性求解不等式的方法；二是熟练掌握利用导数求函数最小值的问题，尤其是本题中涉及隐零点的处理，属综合困难题. 二、多选题（每题6分，共18分） （本二必备A-2-3） 9. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求，再求可知A正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和方程可判断BC正误；分别在和的情况下，结合一次函数和二次函数的值域求法可知D不正确. 【详解】对于A:由题，故A正确； 对于B:当时，，解得（舍去）； 当时，，又，，故B正确； 对于C: 当时，； 当时，. 故的值域为，故C正确； 对于D: 当时，，解得； 当时，解得. 综上的解集为， 故D不正确. 故选：ABC （本二必备A-2-3） 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三个二次的关系，结合韦达定理用表示，再逐项判断即得. 【详解】由不等式的解集为或， 得是方程的两个实根，且， 则，即，ACD正确； 不等式，解得，B错误. （211本一必备B-3-4） 11. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】采用构造函数法，设，，则原问题转化为存在唯一的整数，使得，对求导可判断函数在处取到最小值，再结合两函数位置关系，建立不等式组，即可求解. 【详解】设，， 由题设可知存在唯一的整数，使得， 因为，故当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故，且，， 由图可知，即，解得，BC选项符合题意. 三、填空题（每题5分，共15分） （本二必备A-1-1） 12. 如果函数满足，则______． 【答案】 （或） 【解析】 【分析】令，可得，代入求值即可. 【详解】令，则，所以， 则 （本二必备A-1-2） 13. 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】设切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标将切线条数转化为方程实根个数，构造函数求值域即可得到的取值范围. 【详解】设过原点的切线与曲线相切于点，， 对求导得，因此切线斜率， 切线方程为：  ， 将原点代入切线方程，得：  整理得， 由于过原点可作两条切线，故关于的方程有两个不同的实根。 构造函数，，求导得：  ，令，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此的最小值为， 又当时，；当时，，且， 因此当且仅当时，直线与的图象有两个不同交点，对应存在两条切线， 故的取值范围是. （211本一必备B-3-4） 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合韦达定理可得，，然后代入目标不等式化简即可得解. 【详解】不等式的解集为， 则，且分别为方程的两根， 由根与系数的关系，得即. 将代入不等式， 化简得，即. 容易判断或时，均不符合题意，所以. 所以原不等式即为， 依题意应有且，所以. 故答案为： 四、解答题 （本二必备A-6-8）（26-27高三上·河北沧州·开学考试） 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）由题设结合交集，补集定义可得答案； （2）由题可得是的真子集，据此可得答案. 【小问1详解】 当时，， 又，结合， 则，，从而. 则，或，； 【小问2详解】 由（1）知. 由题可得是的真子集， 若为空集，则； 若不为空集，且等号不同时成立，解得， 综上可得. （本二必备A-6-8） 16. 已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）根据等差数列的通项公式，再结合成等比数列即可求出公差，从而可得数列的通项公式； （2）由（1）可得，可得，然后利用乘公比错位相减求和即可. 【详解】（1）设数列的公差为， ，且成等比数列， ，即， 解得（舍）或， . （2）由（1）可知， 数列的前项和， ， 相减得， . 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式，考查了乘公比错位相减求和，属于中档题. （本二必备A-6-8） 17. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，记函数的最小值，求的解析式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）根据二次函数对称轴与所给区间的相对位置分类讨论进行求解即可. 【小问1详解】 已知是二次函数，设，因 解得，故. 【小问2详解】 当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间上单调递增，则的最小值是； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则的最小值是； ③当时，函数在区间上单调递减，的最小值是. 综上，函数的最小值为. （本一必备B-8-10） 18. 甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望． 【答案】（1）；（2）的分布表为 1 2 3 4 5 的数学期望． 【解析】 【详解】试题分析：（1）求概率问题关键在于明确题意，即事件是什么. 甲同学至少有4次投中，指甲同学在5次投篮中“恰投中4次”及“恰投中5次”这两个互斥事件.其概率为=．（2）求概率分布，首先正确确定随机变量取值情况，本题，其次要正确确定随机变量对应各个概率，本题中的概率，直接求时要注意，第5次乙同学不论是否投中都停止，即第5次不考虑乙同学是否投中.也可间接求,利用各概率和为1，即，这也是一种验证方法. 试题解析：解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则 == （2）由题意． ，，，， ． 的分布表为 1 2 3 4 5 的数学期望． 考点：概率分布，数学期望值 （本一必备B-12-15）（25-26高三上·湖南湘西·期末） 19. 已知函数. （1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求. 【答案】（1） （2） 当时，，要证， 即证. 设，则. 令，得，由于，故， 等号仅在时取得，故是R上的增函数，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据为偶函数，求出a，可得函数解析式，根据导数的几何意义即可求得答案； （2）将原不等式转化为证，构造函数，利用导数判断其单调性，即可证明结论； （3）将对任意恒成立转化为恒成立，构造函数，利用导数求解的最小值，即可求得答案. 【小问1详解】 若为偶函数，即， 则，即得， 即，由于，则， 此时， 所以， 故所求的切线方程为，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 恒成立，即恒成立，则. 设函数，即， 则，由（2）可知是增函数，且易知其值域为， 故存在，使得，即， 当时， ，单调递减，当时， ，单调递增， 所以， 要使最大，则取，再分析的最大值. 设函数， 则， 因为，且仅在处等号成立， 所以当时， ，单调递增，当时， ， 单调递减， 所以 即的最大值为，当时， ， 得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年度第一学期第一次质量监测 高三数学 一、单选题（每题5分，共40分） （2本二必备A-1-1） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. （本二必备A-1-1） 2. 已知复数，.在复平面内，对应的点所在的象限为（ ） A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 （本二必备A-1-1） 3. 已知函数的导函数为，且，则（ ） A. B. C. D. （本二必备A-2-3） 4. 已知函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （本二必备A-1-2） 5. 已知且，若，，则（ ） A. 6 B. 36 C. 72 D. 108 （本一必备B-2-3） 6. 已知函数（，且）在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. （本一必备B-3-4） 7. 已知，当时，有，则必有（ ） A. B. C. D. （211本一必备B-3-4） 8. 已知函数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） （本二必备A-2-3） 9. 已知函数，则下列关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 若，则的值是 C. 的值域为 D. 的解集为 （本二必备A-2-3） 10. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的解集为 C. D. （211本一必备B-3-4） 11. 设函数，若存在唯一的整数，使得，则实数的取值可以为（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每题5分，共15分） （本二必备A-1-1） 12. 如果函数满足，则______． （本二必备A-1-2） 13. 已知函数（），若过坐标原点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是__________． （211本一必备B-3-4） 14. 已知不等式的解集为.若不存在整数满足不等式，则实数的取值范围是__________. 四、解答题 （本二必备A-6-8）（26-27高三上·河北沧州·开学考试） 15. 设为全集，集合，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． （本二必备A-6-8） 16. 已知数列是公差大于0的等差数列，，且成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和 （本二必备A-6-8） 17. 已知二次函数满足条件，且. （1）求函数的解析式； （2）若函数，，记函数的最小值，求的解析式. （本一必备B-8-10） 18. 甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次． （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望． （本一必备B-12-15）（25-26高三上·湖南湘西·期末） 19. 已知函数. （1）当为偶函数时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，证明：； （3）若实数使得对任意恒成立，当取最大值时，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $