第一章立体几何与空间向量小结讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学讲义通过知识框架图系统梳理空间向量与立体几何知识体系，涵盖空间向量的概念运算、距离计算、空间角求解三大模块，清晰呈现核心知识点的内在联系与重难点分布，如空间向量运算律、线面距离公式、二面角向量求法等。 讲义亮点在于“问题情境-方法应用”的练习设计，例2通过三棱柱中面面垂直证明与动点存在性探究，培养空间观念与逻辑推理能力；例4结合四棱锥求二面角余弦值，强化数学运算。跟踪训练梯度分明，基础生可巩固方法，优秀生能深化思维，为教师实施精准教学提供有效支持。

第一章：立体几何与空间向量小结讲义答案 例1.答案　AB 解析　(-)-=-=，A正确； (+)-=-=+=，B正确； (-)-=-=-=≠，C错误； (-)+=(-)+=+≠，D错误. （2）答案　D 解析　由题意可知·=·(-)=·-·=2×2×-2×2×=0. 例2(1)证明　∵在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，AM⊂平面ABC， ∴AM⊥BB1， ∵AB=AC=2，M为BC的中点，∴AM⊥BC， ∵BC∩BB1=B，BC，BB1⊂ 平面BB1C1C，∴AM⊥平面BB1C1C， ∵AM⊂平面AMP，∴平面AMP⊥平面BB1C1C. (2)解　以A为坐标原点，AC，AB，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则B(0，2，0)，C1(2，0，3)，A(0，0，0)， 设PB=t(0≤t≤3)，则P(0，2，t)，=(2，-2，3)，=(0，2，t)， 若BC1⊥AP，则·=0-4+3t=0，解得t=<3， ∴存在点P，使得直线BC1⊥AP，此时PB=. 例3解　(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(1，0，0)，E(0，0，1)，A1(1，0，2)，C1(0，1，2)，B1(1，1，2)，F(1，1，1). =(-1，0，1)，=(-1，0，1)，故∥，故FC1∥AE. =(1，1，0)，设点F到直线AE的距离为d，又||=，||=，·=-1， d===， 则点F到直线AE的距离为. (2)设平面AB1E的法向量为n=(x，y，z)，由(1)可知，=(-1，0，1)，=(-1，-1，-1)，=(0，1，0)，则即 令x=1，则y=-2，z=1，所以n=(1，-2，1). 设点A1到平面AB1E的距离为d1，所以d1===， 则点A1到平面AB1E的距离为. 又==·AD=××1×2×1=， 即三棱锥A1-AB1E的体积为. 跟踪训练3解析　如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，N(4，2，4)， ∴=(2，2，0)，=(-2，0，4)， 易知平面AMN∥平面EFBD， 故平面AMN与平面EFBD的距离就是点B到平面AMN的距离. 设n=(x，y，z)是平面AMN的法向量， 则解得 取z=1，则x=2，y=-2， 得n=(2，-2，1)是平面AMN的一个法向量. ∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD的距离d==. 例4(1)证明　因为AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，平面PAB∩底面ABCD=AB，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面PAB， 又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA， 连接AC，因为AB⊥BC，所以AC==2， 因为PA2+AC2=PC2，所以AC⊥PA， 因为AC∩BC=C，AC，BC⊂平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD. (2)解　过点A作AE⊥CD，垂足为E，则CE=DE=1，AE=，由(1)知PA，AB，AE两两垂直，如图，以A为坐标原点，AE，AB，AP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，D(，-1，0)，C(，1，0)，P(0，0，1)， =(0，-1，1)，=(，0，0)，=(0，0，1)，=(，-1，0)， 设平面PBC的法向量为 m=(x1，y1，z1)， 则 令y1=1，可得m=(0，1，1)， 设平面PAD的法向量为n=(x2，y2，z2)，则 令x2=1，可得n=(1，，0)， 设平面PAD与平面PBC的夹角为θ，所以 cos θ====， 即平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为. 跟踪训练4解　(1)由题意得A(2，0，0)，F， B(2，2，0)，E(1，1，)，C(0，2，0). ∴=，=(-1，-1，)，∴·=1-2+1=0. ∴异面直线AF和BE所成角的大小为90°. (2)设平面BEC的法向量为n=(x，y，z)， 由(1)知=(-2，0，0)，=(-1，-1，)，则 ∴x=0，取z=1，则y=，∴平面BEC的一个法向量为n=(0，，1). 设直线AF和平面BEC所成的角为θ， 则sin θ=|cos〈，n〉|===. 即直线AF和平面BEC所成角的正弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章：空间向量与立体几何小结讲义 一、空间向量的概念及运算 例1　(1)(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式运算结果为向量的是(　　) A.(-)- B.(+)- C.(-)- D.(-)+ (2)如图，已知三棱锥A-BCD的每条棱长都为2，则·等于(　　) A.2 B. C.2 D.0 例2　如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，∠CAB=90°，AB=AC=2，AA1=3，M为BC的中点， P为侧棱BB1上的动点. (1)求证：平面AMP⊥平面BB1C1C； (2)试判断是否存在点P，使得直线BC1⊥AP.若存在，求PB的长；若不存在，请说明理由. 二、利用空间向量计算距离 例3　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A=2AB=2BC=2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点. (1)证明FC1∥AE，并求点F到直线AE的距离； (2)求点A1到平面AB1E的距离和三棱锥A1-AB1E的体积. 跟踪训练3　已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为　　　　. 三、利用空间向量求空间角 例4　如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥底面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，CD=2AB=2AP=2，BC=，PC=. (1)求证：PA⊥平面ABCD； (2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. 跟踪训练4　如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=，点E，F分别是底面A1B1C1D1、侧面BCC1B1的中心.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.试用向量方法解决下列问题： (1)求异面直线AF和BE所成角的大小； (2)求直线AF和平面BEC所成角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $