第一章 空间向量与立体几何（单元自测·提升卷）-2026-2027学年高二数学上学期重点•题型讲义（人教A版选择性必修第一册）

第一章 空间向量与立体几何（单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 2．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 3．伊帕姆维泽蒂博物馆收藏了达·芬奇方砖，这些方砖是在正六边形上绘制具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，再转成图3所示的几何体． 若图3中每个正方体的棱长都为1，则下列说法错误的是（   ） A． B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为3 C．点P到直线CQ的距离为 D．异面直线CQ与所成角的正切值为 4．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 7．已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 8．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．可以作为空间的一个基底 B． C．长为 D．直线与所成角的余弦值为 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下结论正确的是（   ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点，使得平面 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若平面，则点的轨迹长度为 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 13．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB = 8，AD =，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角与相等，则EF长度的取值范围为________．    14．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．在三棱锥中，已知. (1)若与垂直，求； (2)求点到平面的距离. 16．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求的值. 17．如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，点，分别为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)点为线段上的点，且满足平面. （i）确定点在上的位置； （ii）若，求直线与直线所成角的余弦值. 18．如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．    (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 19．如图，在三棱柱中，，点在平面上的射影为的中点O. (1)若. ①求证：； ②求平面与平面夹角的余弦值； (2)记线段的中点为，线段的中点为，线段 的中点为，如此得到点列.已知三棱柱 的体积为常数，三棱锥的体积为，数列前n项和为，求证: 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 空间向量与立体几何（单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．） 1．如图，已知A，B，C是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点P为平面ABC外一点，且，．若，则（   ） A．3 B． C． D．7 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用 【分析】先根据条件可得，然后采用先平方再开方的方法结合空间向量的数量积运算求解出结果. 【详解】由图可知，且； 所以 . 所以. 故选：B. 2．如图，在斜三棱柱中，为的中点，为靠近的三等分点，设，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算 【分析】根据空间向量的加法、减法运算得解. 【详解】 故选：A 3．伊帕姆维泽蒂博物馆收藏了达·芬奇方砖，这些方砖是在正六边形上绘制具有视觉效果的正方体图案（如图1）．把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，再转成图3所示的几何体． 若图3中每个正方体的棱长都为1，则下列说法错误的是（   ） A． B．若M为线段CQ上的一个动点，则的最大值为3 C．点P到直线CQ的距离为 D．异面直线CQ与所成角的正切值为 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】点到直线距离的向量求法、求异面直线所成的角 【分析】连接，根据向量的数乘及加减运算计算即可验证A；建立空间直角坐标系，得到相关点的坐标，B计算出，结合二次函数的性质求解即可；C根据向量法求点到直线的距离公式求解即可；D根据向量法求异面直线的夹角即可. 【详解】连接，如图所示： 因为，故选项A正确； 以为原点，以为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为M为线段CQ上的一个动点，所以设， 因为，则，所以， 所以， 所以， 令，则在上单调递减，在上单调递增. 又因为，所以在上的最大值为3，即的最大值为3，故B正确； 因为， 所以点P到直线CQ的距离为,故选项C错误； ，设异面直线CQ与所成角为， 则，所以， 所以，故选项D正确； 故选：C. 4．如图，在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，若，且，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】由，借助模长公式能求出的长． 【详解】， ， ． 故选：A 5．如图，在平行六面体中，，则直线与直线AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】空间向量数量积的应用、异面直线夹角的向量求法 【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义可得、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值. 【详解】因为，， 可得，， 又因为，， 可得， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：D. 6．如图，在棱长为的正方体中，为的中点，点在底面上（含边界）移动，且满足，则线段长度的最大值等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由已知条件得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求出的最大值，即为所求. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、，设点， ，， 因为，所以，所以， 由可得， ， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 且，，故线段长度的最大值为. 故选：A. 7．已知空间中三点则下列说法不正确的是（    ） A．与方向相同的单位向量的坐标是 B．在上的投影向量的坐标是 C．与夹角的余弦值是 D．A､B两点间距离为 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求投影向量、空间向量夹角余弦的坐标表示、空间向量模长的坐标表示 【分析】分别根据单位向量的定义，投影向量的公式，向量夹角的公式及模长公式即可判断. 【详解】， 由单位向量的定义可知与方向相同的单位向量的坐标是，故A正确. 在上的投影向量的坐标是，故B正确； ，故C错误； 两点间的距离即，故D正确. 故选：C 8．如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，点在上底面正方形（含边界）内运动，满足，则点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求空间向量的数量积、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，借助空间向量数量积确定点的轨迹即可. 【详解】如图，以点为坐标原点，分别为 轴，建立空间直角坐标系， 则，，设，， 所以，， 由，得，整理得， 所以点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，此圆在正方形内部， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 9．给出下列命题，其中正确的有（   ） A．若非零空间向量，，满足，，则有 B．若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C．若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D．已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【难度】0.94 【知识点】空间向量基底概念及辨析 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 10．如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（    ） A．可以作为空间的一个基底 B． C．长为 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】异面直线夹角的向量求法、用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用 【分析】应用空间向量共面判断A，根据空间向量数量积公式及运算律求解判断B，应用模长公式计算求解判断C，应用异面直线所成角公式计算判断D. 【详解】对于A，设，所以为空间中的一组基底， 则，，， 则，所以共面， 则不能作为空间的一个基底，故A错误； 对于B，因为 ，所以，故B正确； 对于C，由， 则 ，即，故C正确； 对于D，因为，，，， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：BCD 11．如图，在棱长为2的正方体中，点是正方体的上底面内（不含边界）的动点，点是棱的中点，则以下结论正确的是（   ）    A．三棱锥的体积是定值 B．存在点，使得平面 C．直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D．若平面，则点的轨迹长度为 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】锥体体积的有关计算、线面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】由等体积法可判断A，建系，由向量法逐项判断BCD. 【详解】对于A，三棱锥的体积等于三棱锥的体积， 是定值，A正确； 以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 对于B，设，则， 若存在点，使得平面，则， 解得：不符合，故不存在点，使得平面，故B错误， 对于C，，易知平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以， 所以，所以， 即直线与平面所成角的正弦值的取值范围为，故C正确； 对于D， ， 则， 所以，又平面， 所以平面，若平面，则， 即，即，则， 即，如下图：取正方体的上底面，建立平面直角坐标系， 设直线与交于，线段（不包括端点）即为点的轨迹， 由直线方程为，直线方程为，可得，则    故D正确， 故选：ACD 三、填空题（本题共3小题，每小题6分，共18分．） 12．已知点关于坐标平面的对称点为，点关于z轴的对称点为，则 ______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】关于坐标轴、坐标平面、原点对称的点的坐标、求空间中两点间的距离 【详解】因为空间点关于坐标平面对称时，坐标取反，坐标不变， 所以关于坐标平面的对称点为， 因为空间点关于轴对称时，坐标不变，坐标都取反， 所以关于轴的对称点为， 所以． 13．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF是一个刍甍，其中四边形ABCD为矩形，其中AB = 8，AD =，△ADE与△BCF都是等边三角形，且二面角与相等，则EF长度的取值范围为________．    【答案】 【难度】0.85 【知识点】由二面角大小求线段长度或距离 【分析】利用二面角的定义，结合题意分析即可求解. 【详解】△ADE与△BCF都是等边三角形，且边长为，所以高为， 当二面角与相等且趋于0时，趋于； 当二面角与相等且趋于时，趋于. 所以EF长度的取值范围为. 故答案为：. 14．定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标.已知是空间的基底，若是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】空间向量基本定理及其应用、用空间基底表示向量 【分析】先由向量在基底下的坐标，写出关于的线性组合，再整理成关于的一个线性组合，即得向量在基底下的坐标. 【详解】因向量在基底下的坐标是， 则， 故向量在基底下的坐标是. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．在三棱锥中，已知. (1)若与垂直，求； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)； (2). 【难度】0.85 【知识点】求平面的法向量、空间向量的坐标运算、点到平面距离的向量求法、空间向量垂直的坐标表示 【分析】（1）利用空间向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示求解. （2）求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求解. 【详解】（1）由，得，而， 由与垂直，得，即， 所以. （2）设平面的法向量为，则，取，得， 所以点到平面的距离. 16．如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，，，为与的交点.设，，. (1)用表示； (2)求对角线的长； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】用空间基底表示向量、空间向量数量积的应用 【分析】（1）根据空间向量的线性运算直接求解即可； （2）利用基底表示出，结合向量数量积的运算可求得，由此可得结果； （3）利用基底法求解出，，根据向量夹角运算可求得结果. 【详解】（1）连接， ，，， ，， 为线段的中点，， . （2）以顶点为端点的三条棱长都是，，， ，，， 由（1）知：，， ， ，即对角线的长为. （3）由（1）（2）知：，， ，， ， . 17．如图，四棱锥的底面为矩形，平面，，点，分别为棱的中点. (1)证明：平面平面； (2)点为线段上的点，且满足平面. （i）确定点在上的位置； （ii）若，求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）点为的一个三等分点，靠近点的位置（ii） 【难度】0.4 【知识点】证明面面垂直、异面直线夹角的向量求法、由线面平行的性质判断线段比例或点所在的位置 【分析】（1）平面即为平面，因此可先证平面，利用面面垂直的判定定理可得平面平面，或直接建立空间直角坐标系，证明两个平面的法向量相互垂直，得到两个平面垂直. （2）先利用线面平行的性质定理确定点的位置；再以为基底表示，利用向量法求得与所成角的余弦值，即直线与直线所成角的余弦值.或根据题意可建立空间直角坐标系，利用点为线段上的点，设，用表示出点H的坐标，求出平面的法向量，根据平面求得的值，进而确定点在上的位置； （ii）然后用坐标表示得与，并求得与所成角的余弦值，即直线与直线所成角的余弦值. 【详解】（1）证明：连接，如图所示. 因为四棱锥的底面为矩形，，点为棱的中点， 所以，且，所以，同理， 所以，即. 因为平面平面，所以. 又因为，且平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面， 即平面平面. （方法二）证明：因为四棱锥的底面为矩形，且平面， 故以点为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 因为，所以， 所以. 设平面的法向量为， 则所以 令，得； 设平面的法向量为， 则所以 令，得； 所以，所以， 所以平面平面； （2）（i）如图，连接交于点. 因为平面平面，平面平面，所以. 因为点为棱的中点，所以点为的中点. 设为的中点，连接交于点. 又因为点为的中点，四边形为矩形， 所以，且， 所以，所以，故，所以， 即点为的一个三等分点，靠近点的位置. （ii）因为四棱锥的底面为矩形，且平面，所以两两垂直. 因此以为基底，表示， 则有， 因为，所以， 所以， 所以 所以直线与直线所成角的余弦值为 （方法二）（i）接（1）方法二，得， 因为点为线段上的点，设，则， 所以， 设平面的法向量为， 则所以令， 得； 因为平面，所以， 所以，解得， 所以，即点为的一个三等分点，靠近点的位置. （ii）因为，所以， 由（i）知，，故， 所以， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. （方法三）（i）由平面可知，唯一确定. 如图，取中点，连接的延长线交于点， 则即为所求. 理由如下： 因为分别为中点，所以， 因为平面平面，所以平面. 设，由得， 因为三点共线，所以，解得， 所以，点为的一个三等分点，靠近点位置. （ii）在Rt中，， 连接，取中点，连接， 因为点为中点，所以. 所以为直线与直线所成角或其补角. 取中点，连接，则，， 因为平面，所以平面. 在Rt中，， 所以. 在Rt中，. 取中点，连接，则， 所以. 在中，由余弦定理得 所以直线与直线所成角的余弦值为. 18．如图所示，正四棱锥中，点是棱的中点．    (1)证明：平面； (2)已知异面直线与所成角的余弦值为， （i）求二面角的正弦值； （ii）在线段上是否存在点，使平面．若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）；（ii）存在，. 【难度】0.65 【知识点】空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法、证明线面平行 【分析】（1）根据中位线得出，从而可得平面； （2）设，根据向量法结合异面直线与所成角的余弦值为得出，进而求所成角的余弦值，最后应用同角三角函数关系计算求解； （3）假设存在点F，设，使平面，计算得出. 【详解】（1）    连接，，连接，因为是中点，点是棱的中点， 则， 因为平面，平面，所以平面． （2）（i）    因为平面，，所以两两垂直， 以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则， 所以，又异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得，故， 所以， 设平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，得，取，得． 设二面角的平面角为，观察图形可知为锐角， 所以，； （ii）设线段上存在点，且， 因为， 设，， 因为 ， 又因为， 所以， 所以 所以 ， 当 时， 平面，所以平面， 所以当时，平面； 19．如图，在三棱柱中，，点在平面上的射影为的中点O. (1)若. ①求证：； ②求平面与平面夹角的余弦值； (2)记线段的中点为，线段的中点为，线段 的中点为，如此得到点列.已知三棱柱 的体积为常数，三棱锥的体积为，数列前n项和为，求证: 【答案】(1)①证明见解析；②； (2)证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】裂项相消法求和、由定义判定等比数列、面面角的向量求法、线面垂直证明线线垂直 【分析】（1）①首先连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，再利用线面垂直的性质证明； ②首先以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系.然后分别求平面与平面的法向量，最后利用面面角的夹角公式进行求解即可. （2）首先根据三棱锥的体积公式确定数列是等比数列，并求其通项公式，再利用裂项相消法求和，并结合放缩法即可得证. 【详解】（1）①如图，连接，因为为的中点，，所以， 因为点在平面上的射影为的中点，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以， ②由①知，，两两垂直，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：， 设平面的法向量为， 则，即， 取，得：. 设平面与平面夹角为， 则. （2）由题可得：， 因为为线段的中点，所以， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以. 所以， 所以， 由于，所以，因此得证：. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $