第三章 代数式（基础+培优）（题集）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 以“概念生成-表示方法-意义理解-求值应用”为逻辑主线，基础与培优分层设计，突出代数式建模与转化的专项突破，培养抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |列代数式|基础4题/培优2题|实际情境符号化，多位数表示规则|从具体数量关系抽象代数式| |代数式求值|基础3题/培优1题|直接代入、整体代入法|代数运算与条件转化结合| |反比例关系|基础2题/培优1题|乘积为定值判断法|函数关系的初步识别| |几何与实际综合|基础2题/培优2题|公式建模（体积/面积）|代数表达与几何应用融合|

第三章 代数式 (一)基础训练 根据实际问题写出代数式 1.填空： （1）温度由t℃下降2℃后是 ℃； （2）如果手机通话每分钟收费m元，那么通话n min收费 元; （3）ɑ个人n天完成一项工作，那么平均每人每天完成的工作量为 ； （4）李明和张华都是集邮爱好者，已知李明收集了x张邮票，张华收集的邮票张数比李明收集的邮票张数的一半多5张，则张华收集了 张邮票. 代数式的意义 （1）说出下列代数式的意义： ①0.2x-8； ②10%（m+5）； ③ɑ2+b2； ④． （2）代数式0.5x+12可以表示不同实际问题中的数量或数量关系，请举例说明. 列代数式表示稍复杂的数或数学运算 3.用代数式表示： ①比x的立方的4倍大y的数； ②m的3倍与n的差的平方； ③ɑ，b两数的和的平方减去它们的积的2倍； ④ɑ，b两数的平方的差除以ɑ，b两数的和的平方的商. . 列代数式表示多位数 4.一个两位数,个位上的数字是ɑ,十位上的数字比个位上的数字大1,则这个两位数是 . 列代数式解决实际问题 5.某工厂需要生产n个零件，原计划每天生产ɑ个零件，实际每天比原计划多生产b个零件，则实际生产所用的天数比原计划少 天. 识别反比例关系 6.下列选项中y与x的关系是反比例关系的是（ ） A.xy=0 B.2xy=5 C. =32 D.x2y=1 7.下列数量关系中，成反比例关系的是（ ） A.橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量 B.学校计划种植500棵树，已种的棵数与未种的棵数 C.两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数 D.一个人的体重与他的年龄 求代数式的值 8.（1）直接代入求值 求下列代数式的值： 3a2-2ab，其中a=6,b=-；   8.（2）先求字母的值，再代入求值 若|a-2|+(b+3)2=0，则代数式a2-ab+b2的值为 . 利用几何公式进行代数式求值 9.长方形ABCD的长是ɑ，宽是b，分别以点A，C为圆心，长方形的宽为半径画弧，得到如图所示的图形. （1）请你用代数式表示阴影部分的周长和面积（结果保留π）. （2）当ɑ=5，b=2时，阴影部分的周长和面积是多少(π取3.14)？ 10.如图（图中长度单位：cm），一截钢管外径是R cm，内径是r cm，长度为 ɑ cm. (1)用代数式表示钢管的体积； (2)若R=10，r=8，ɑ=20，求钢管的体积(π取3.14，结果取整数). 参考答案 1.（1）（t-2）；（2）mn；（3）;（4）(+5). 2.（1）解：①0.2x-8的意义是x的0.2倍与8的差； ②10%（m+5）的意义是m与5的和的10%； ③ɑ2+b2的意义是ɑ的平方与b的平方的和； ④的意义是n与1的和除以n与1的差的商. （2）解：①一根弹簧长12cm，在弹性限度内，所挂物体质量每多1kg，弹簧伸长0.5cm，则所挂物体质量为x kg时，弹簧长度为（0.5x+12）cm. ②某件衣服的标价是x元，现在打五折后又提价12元出售，则现在的售价为（0.5x+12）元. 3. 解：①4x3+y；②（3m-n）2；③（ɑ+b）2-2ɑb；④ . 4. 10(ɑ+1)+ɑ 5.（-） 6.B 7.C 解析： 选项 判断理由 是否成反比例关系 A 橘子的单价一定，购买橘子的总价与购买数量成正比例关系 否 B 已种的棵数与未种的棵数的和是定值500，而乘积不是定值 否 C 两地之间铺设全长一定的铁轨，每日铺设长度与所需天数的乘积是定值，即为铁轨全长 是 D 一个人的体重与他的年龄的乘积不为定值 否 8.解：(1)当a=6,b=-时，原式=362-26-= 116. (2)a=2,b=-3. a2-ab+b2 = 22 - 2(-3) + (-3)2 = 19. 9. 10. 分析：钢管可看作空心圆柱，它的体积是大圆柱体积-小圆柱体积，而圆柱的体积=底面积×高，由此易得解. 解：（1）钢管的体积为(πR2ɑ-πr2ɑ)cm3. （2）当R=10，r=8，ɑ=20时，πR2ɑ-πr2ɑ=3.14×102×20-3.14×82×20≈2261. 因此，钢管的体积约为2 261cm3. (一)培优训练 培优点 整体代入法求代数式的值 1.已知4a-b+3=8；那么-8a+2b+3的值为 . 培优点 根据实际问题写出代数式 2.某快递站员工将快递包裹装进无人物流配送车车厢内，轻点显示屏操作后，无人车按照系统预设线路自动上路行驶，并将快递投送到指定快递自提点．已知某天甲配送车投送了m件快递，乙配送车比甲配送车多投送6件，丙配送车投送的快递件数比乙配送车投送的多2件. （1）乙配送车这天投送了多少件快递？ （2）丙配送车这天投送了多少件快递？ 培优点 列代数式解决特殊实际问题 3.某校举办了一场篮球联赛，计划采用循环赛制，最后根据比赛积分决出冠军归属。 (1) 若联赛采用单循环制 (无主客场之别，即每两队之间都比赛一场)，共有 6 支球队参赛，总的比赛场数是多少？若有n支球队参赛呢？ (2) 若联赛采用双循环制 (有主客场之别，每两队之间都要各自在自己主场与对手比赛一次，即两队之间都比赛两场)，共有 6 支球队参赛，总的比赛场数是多少？若有n支球队参赛呢？ 培优点 判断实际问题中的反比例关系 3.某兴趣小组通过对固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩M（使物体发生转动的力矩，单位：N·m)和转速n（发动机曲轴的转动速度，单位：kr/min)的数据如表： （1） 用式子表示M与n的关系，M与n成什么比例关系? （2）当转速为2.4kr/min时，扭矩是多大？当转速为5kr/min时呢? 培优点 实际问题中的代数式求值 4.请你查询气象相关资料，了解气温与海拔之间的变化关系，并以此解决以下问题： (1) 我国著名风景区黄山的天都峰的海拔约为 1800 m，当地面气温为 18 ℃时，山顶气温约是多少? (2) 若某山海拔约为x m，地面气温为 20 ℃，则山顶气温约是多少℃? (3) 若某地海拔y m 位置的气温为 -2 ℃，则地面气温约是多少？当y=2000时呢? 培优点 几何问题与实际问题综合的代数式求值问题 5. 如图（图中长度单位：m）是一扇窗户，窗框为铝合金材料，上面是由三个大小相 等的扇形组成的半圆形窗框，下面是两个大小相等的长x m，宽y m的长方形窗框， 窗户全部安装玻璃. （1） 一扇这种窗户共需要铝合金多少米（用代数式表示）？ （2） 一扇这种窗户共需要玻璃多少平方米（用代数式表示，铝合金窗框宽度忽略不计）？ （3）某公司需要购进10扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两个厂商分别给出如表报价： 当x=4，y=2时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算(π取3)？ 参考答案 1.根据题意，得4a-b+3=8，所以4a-b=5，则8a-2b=10,所以-8a+2b=-10，原式=-10+3=-7. 2. 解：（1）根据甲配送车投送了m件快递，乙配送车比甲配送车多投送6件，可知乙配送车这天投送了（m+6）件快递. （2）根据丙配送车投送的快递件数比乙配送车的多2件，且由（1）知乙配送车这天投送了（m+6）件快递，则丙配送车这天投送了[（m+6）+2]件快递. 3.单 (双) 循环问题及其相关公式 (1) ； (2) 双循环总次数=参与循环的队伍数参与循环的队伍数-1. 解：(1) 若 6 支球队参赛，各自与其他队比赛一次，则共有6(6-1)=30(次).因为是单循环制，所以每场比赛都被重复计算了一次，所以总的比赛场数是302=15（次）.同理，若n支球队参赛，则总的比赛场数为 . (2) 若 6 支球队参赛，各自与其他队比赛一次，则共有6(6-1)=30(次).因为是双循环制，所以比赛没有被重复计算，即总的比赛场数为 30.同理，若n支球队参赛，则总的比赛场数为n(n-1). 4.解：（1）由表可知，表中所有扭矩与对应转速的乘积为定值600，所以Mn=600. M与n成反比例关系. （2）当转速为2.4kr/min时，扭矩为 = 250（N·m）； 当转速为5kr/min时，扭矩为 = 120（N·m）. 5.分析： 查阅资料得知气温与海拔之间的变化关系为海拔每增加 1 000 m，气温降低 6 ℃，所以当知道地面气温时，可以知道某个海拔位置的气温；反过来，当知道某个海拔位置的气温时，也可以据此知道地面气温（逆向思考列出代数式，再求值）. 解： 查阅资料得知气温与海拔之间的变化关系为海拔每增加 1 000 m，气温降低 6 ℃。 (1) 当地面气温为 18 ℃时，山顶气温约是 18-6=7.2(). (2)(20-) . (3) 若某地海拔y m 位置的气温为-2 ℃，则地面气温约为-2+) ℃. 当y=2000时，-2+=-2+=10， 故此时地面气温约为 10 ℃. 6. 分析：（1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可，注意其中半圆形窗框的两条半径之和是长方形的长； （2）求出窗框的面积即可，窗框的面积=半圆形的面积+两个长方形的面积； （3）由表分别求出在甲厂、乙厂购买窗户的费用，再比较大小即可判断. 学科网（北京）股份有限公司 $