第二章 有理数的运算（基础+培优）（题集）-2026-2027学年人教版数学七年级上册

**基本信息** 以运算技能为核心，分层设计基础与培优训练，整合法则应用、运算技巧及数学思想，形成“基础巩固-方法提炼-综合应用”逻辑链条。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |有理数加减运算|4类16题|加法法则/运算律、减法法则、混合运算转化|从法则到运算律，从单一运算到混合运算递进| |乘除运算|3类12题|乘法法则/运算律、倒数求法、混合运算顺序|结合符号法则，渗透简便运算技巧| |乘方与科学记数法|4类15题|偶次幂非负性、幂的符号规律、科学记数法表示|从概念到应用，关联实际问题| |分类讨论/拆分法|3类8题|绝对值多解分类、带分数拆分整数与分数|数学思想与运算技巧结合，提升解题灵活性|

第二章 有理数的运算 （一）基础训练 利用有理数加法法则进行计 1.（1）＋（－0.75）； （2）（－1.5）＋（－2）； （3）（－1）＋； （4）（－2）＋3. 利用加法运算律简化计算 2.计算： （1） （－）＋（－）＋1＋（－0.75）＋0.4； （2）18.56＋（－5.16）＋（－1.49）＋2.16＋（－18.56）； （3）3＋（－2）＋（－3）＋（－1）＋5＋5； （4）＋0.5＋（－6.25）＋＋（－）＋（－）. 利用有理数减法法则进行计算 3.计算： （1）12－21－9； （2）（3－9）－（21－3）； （3）0－4－（－5）－（－6）； （4）|（－1）－（－2）|－（－1）； （5）（－32）－（－12）－5－（－15）； （6）（－3）－（－1）－（－1.75）－（－2）. 有理数的加减混合运算 4.计算： （1） （＋14）－（＋4）＋（－2）－（－26）＋（－3）； （2） （2）（－）－（－2.3）＋（－0.1）－（＋2.2）＋（＋）＋（＋3.5）； （3） （－）－（－）＋（－0.75）＋－（＋）； （4） （－6）＋|0－2|－（＋8）＋|－3|. 利用有理数乘法法则进行计算 5.计算： （1）（－8）×（－0.75）； （2）×（－1）； （2） （－0.9）×|－|； （4）（－5.6）×（－1.25）. 求有理数的倒数 6.写出下列各数的倒数： －4，－，0.39，－3，－1.4. 运用乘法运算律进行简便运算 7.计算： （1）29×（－）×（－4）×（－）×1.3×0×61； （2）（－）×（－3）×（－4）×（－1）×（－25）×5； （3） （－3）×（3－7）××（－）； （4）0.7×19＋2×（－14）＋×－3.25×14. 有理数的加减乘除混合运算 8.下面是李明同学计算一道题的过程： 7÷（－－）×2.5 ＝［7÷（－Ａ）－7÷］×2.5……① ＝7×（－2）×2.5－7×3×2.5……② ＝－35－52.5……③ ＝－87.5.……④ （1） 李明同学开始出现错误的步骤是 （填序号）； （2） 请写出正确的解题过程. 9.计算： 利用偶次幂的非负性解决问题 10.（1）若（x－4）2＋|y＋1|＝0，则x的值为 ，y的值为 . （2）如果（a＋3）2＋|b－2|＝0，那么（a＋b）2 025＝ . 互为相反数的两个数的幂与几个特殊值的幂 11. （1）下列各组数中，互为相反数的有（ ） ①（－3）3和33；②（－1）4和－14；③23和32；④（－2）3和－23. A.④ B.①② C.①②③ D.①②④ （2）计算：（－1）2n＋（－1）2n＋1＝ （n为正整数）. 有理数的混合运算 12. 计算－22÷（－）－（－2）3.王刚同学的过程如下： （1）王刚同学最开始出错的一步是 （填序号）； （2）写出你的解答过程. 13. 计算： （1）－10＋8÷（－2）2－（－4）×（－3）； （2）4×（－3）2－5×（－2）3＋6； （3）（－2）4×（0.25＋0.53－）； （4）－÷÷（－）3－1. 用科学记数法表示带计数单位的数 14. （1）从2024年全国教育工作会议上了解到，我国高校目前有博士研究生61.2万人，成为高校科研的生力军.将61.2万用科学记数法表示应为（ ） A.0.612×106 B.61.2×105 C.6.12×105 D.6.12×106 （2）地球离太阳约有一亿五千万千米，用科学记数法表示为 km. 根据精确度取近似数 15.用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似数： （1）0.651 48≈ （精确到千分位）； （2）1.567 3≈ （精确到0.01）； （3）199.5≈ （精确到个位）； （4）34 550≈ （精确到百位）； （5）450 600≈ （精确到千位）； （6）67 294≈ （精确到万位）. 参考答案 1.解：(1)原式＝＋（－）＝0； （2）原式＝（－1.5）＋（－2.5）＝－（1.5＋2.5）＝－4； （3）原式＝（－）＋＝－（－）＝－； （4）原式＝（－）＋＝＋（－）＝＝. 2.解：（1）原式＝（－）＋（－）＋1＋（－）＋ ＝［（－）＋（－）］＋［（－）＋］＋1 ＝（－1）＋0＋1 ＝0； （2）原式＝［18.56＋（－18.56）］＋［（－5.16）＋2.16］＋（－1.49） ＝0＋（－3）＋（－1.49） ＝－4.49； （3）原式＝（3＋5）＋［（－2）＋（－1）］＋［（－3）＋5］ ＝9＋（－4）＋2 ＝7； （4）原式＝6＋＋（－6）＋＋（－）＋（－） ＝［6＋（－6）］＋［＋＋（－）］＋（－） ＝0＋0＋（－） ＝－. 3.解：（1）原式 ＝12＋（－21）＋（－9） ＝12＋［（－21）＋（－9）］ ＝12＋（－30） ＝－18； （2）原式 ＝（－6）－18 ＝（－6）＋（－18） ＝－24； （3）原式 ＝（－4）＋5＋6 ＝（－4）＋11 ＝7； （4）原式 ＝|（－1）＋2|＋1 ＝（－1）＋2＋1 ＝［（－1）＋1］＋2 ＝＋2 ＝2； （5）原式 ＝（－32）＋12＋（－5）＋15 ＝［（－32）＋（－5）］＋（12＋15） ＝（－37）＋27 ＝－10； （6）原式 ＝（－3）－（－1）－（－1）－（－2） ＝（－3）＋1＋1＋2 ＝［（－3）＋1］＋（1＋2） ＝（－2）＋4 ＝2. 4.解：（1）原式＝14－4－2＋26－3 ＝14＋26－4－2－3 ＝40－9 ＝31； （2）原式＝－＋2.3－0.1－2.2＋＋3.5 ＝（－＋）＋（2.3－0.1－2.2）＋3.5 ＝0＋0＋3.5 ＝3.5； （3）原式＝－＋－＋－ ＝（－－）＋（＋）－ ＝－1＋1－ ＝－； （4）原式＝－6＋2－8＋3 ＝－6－8＋2＋3 ＝－15＋6 ＝－9. 5. 解：（1）原式＝8×0.75＝8×＝6； （2）原式＝×（－）＝－； （3） 原式＝（－）×＝－3； （4） 原式＝（－5）×（－1）＝（－）×（－）＝7. 6.解：它们的倒数分别为－，－，，－，－. 7.解：（1）29×（－）×（－4）×（－）×1.3×0×61＝0； （2）（－）×（－3）×（－4）×（－1）×（－25）×5 ＝－（×3×4××25×5） ＝－［（×）×（4×25）×3×5］ ＝－（1×100×3×5） ＝－1500； （3） （－3）×（3－7）××（－） ＝（－）×（－）××（－） ＝××（－）× ＝×－× ＝3－7 ＝－4； （4）0.7×19＋2×（－14）＋×－3.25×14 ＝0.7×（19＋）－14×（2＋3.25） ＝0.7×20－14×6 ＝14－84 ＝－70. 8.解：(1) ① (2)原式＝7÷（－）×＝7×（－）×＝－7××＝－21. 9.解：（1）原式＝（×24＋×24－×24）÷（－5） ＝（9＋4－18）÷（－5） ＝－5÷（－5） ＝1； （2） 原式＝（－65）××（－）×4 ＝65×××4 ＝（65＋）× ＝65×＋× ＝13＋ ＝13； （3）原式＝（－）÷［（×）－3］＋（－） ＝（－）÷（1－3）＋（－） ＝（－）÷（－2）＋（－） ＝（－）×（－）＋（－） ＝＋（－）＝； （4）原式＝－－|－|－|－|－5＝－－－－5＝－6. 10.解析：（1）因为（x－4）2＋|y＋1|＝0，（x－4）2是非负数，|y＋1|是非负数，所以（x－4）2＝|y＋1|＝0，所以x＝4，y＝－1. （2）因为（a＋3）2＋|b－2|＝0，（a＋3）2是非负数，|b－2|是非负数，所以（a＋3）2＝|b－2|＝0，所以a＝－3，b＝2.所以（a＋b）2 025＝［（－3）＋2］2 025＝（－1）2 025＝－1. 11.（1）B(2)0. 12.（1）① （2）解：原式＝－4÷（－）－（－8）＝－4÷＋8＝－24＋8＝－16. 13.解：（1）原式＝－10＋8÷4－12 ＝－10＋2－12 ＝－20； （2）原式＝4×9－5×（－8）＋6 ＝36＋40＋6 ＝82； （3）原式＝16×［＋（）3－］ ＝16×（＋－） ＝16×＋16×－16× ＝4＋2－7 ＝－1； （3） 原式＝－÷÷（－）－ ＝－××（－）－ ＝××－ ＝－ ＝3. 14.(1)C(2)1.5×108 15. （1）0.651； （2）1.57； （3）200； （4）3.46×104； （5）4.51×105； （6）7×104. (二）培优训练 培优点 利用分类讨论思想计算有理数的加法 1.（1）已知|x|＝3，|y|＝4，则x＋y的值为 . （2）已知|a|＝1，|b|＝5，a＞b，则a＋b的值为 . 培优点 利用拆分法计算多个有理数的加法 2.下面是某数学兴趣小组探究用不同方法进行“有理数加法”运算的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务. 试题：计算：－5＋（－9）＋17＋（－3）. 王芳：我是先把原带分数化成假分数，然后直接按照有理数加法的运算法则从左到右依次计算. 刘伟：我认为王芳的方法很单一，而且有点麻烦，下面是我按照“拆分法”进行解答的过程： 解：原式＝［（－5）＋（－）］＋［（－9）＋（－）］＋（17＋）＋［（－3）＋（－）］ ＝［（－5）＋（－9）＋（－3）＋17］＋［（－）＋（－）＋（－）＋］ ＝0＋（－1） ＝－1. 老师：刘伟的方法很有创意，值得提倡与学习. 任务：请根据片段中的“拆分法”，进行下面的计算： （1）17＋（－7）； （2）（－2 023）＋（－2 024）＋4 048. 培优点 利用分类讨论思想计算有理数的减法 3.已知有理数x，y满足|x|＝5，|y|＝6. （1）若x＞0，y＜0，则x－y的值为 ； （2）若|x＋y|＝x＋y，则x－y的值为 . 培优点 利用有理数的减法求数轴上两点之间的距离 4.阅读材料：数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示，这样能够运用数形结合的方法解决一些问题.例如：|4－（－1）|表示4与－1的差的绝对值，实际上也可以理解为4与－1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；类似地，|5＋3|＝|5－（－3）|表示5，－3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.一般地，A，B两点在数轴上表示有理数a，b，那么点A，B之间的距离可以表示为|a－b|. 解决问题：如图，已知数轴上两点A，B表示的数分别为－3和8，数轴上另有一个点P表示的数为x，试探索： （1）①点A，B之间的距离为 ； ②点P，A之间的距离为 ；（用含x的式子表示） （2）①若点P在A，B两点之间，则|x＋3|＋|x－8|的值为 ； ②若|x＋3|＋|x－8|＝13，则点P表示的数x为 . 培优点 与有理数乘法有关的新定义问题 5.已知a，b是有理数，定义一种新运算“”，满足ab＝（a＋1）×（b－1）. （1）求（－2）3的值；（2）求2［2（－3）］的值. 培优点 利用有理数除法法则进行分析 6.（1）若两个有理数相除，商是负数，则这两个有理数（ ） A.都是负数 B.都是正数 C.一个是正数、另一个是负数 D.有一个是0 （2）如果两个有理数的和除以它们的积，所得的商是0，那么这两个有理数（ ） A.互为相反数，且都不等于0 B.互为倒数 C.有一个等于0 D.都等于0 培优点 利用倒数法简化有理数的混合运算 7.阅读下列材料：计算÷（－＋）. （1）上述的三种解法中有错误的解法，你认为 的解法是错误的； （2）通过上述解题过程，请你根据王芳的解法计算（－）÷（－－＋）. 培优点 有理数乘方的应用 8. 一根1 m长的铜丝，第一次剪去铜丝的，第二次剪去剩下铜丝的，如此剪下去，第2 025次剪完后剩下铜丝的长度是（ ) A.（）2 025m B.（）2 024m C.（）2 025m D.（）2 024m 培优点 与科学记数法相关的运算 9. 在一次水灾中，大约有2.5×107个人无家可归，假如一顶帐篷占地100 m2，可以放置40个床位（一人一床位），为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多少地方？若某广场面积为5 000 m2，要安置这些人，大约需要多少个这样的广场（所有结果均用科学记数法表示）？ 培优点 根据近似数确定准确数的取值（范围） 10.（1）数a由四舍五入法得到的近似数为35.0，则数a可能是（ ） A.34.049 B.34.947 C.35.052 D.34.959 （2）王惠测量一根木棒的长度，由四舍五入法得到的近似数为2.82 m，则下列对这根木棒的实际长度（单位：m）的范围估计最准确的是（ ） A.大于2.8，小于2.9 B.大于2.81，小于2.83 C.大于2.815，小于2.824 D.大于或等于2.815，小于2.825 参考答案 1. 解析：（1）因为|x|＝3，所以x＝3或－3.因为|y|＝4，所以y＝4或－4. ①当x＝3，y＝4时，x＋y＝7； ②当x＝3，y＝－4时，x＋y＝－1； ③当x＝－3，y＝4时，x＋y＝1； ④当x＝－3，y＝－4时，x＋y＝－7.综上，x＋y的值为±1或±7. （2）因为|a|＝1，所以a＝1或－1.因为|b|＝5，所以b＝5或－5. 又因为a＞b，所以b＝－5. ①当a＝1，b＝－5时，a＋b＝－4； ②当a＝－1，b＝－5时，a＋b＝－6.综上，a＋b的值为－4或－6. 2.解：（1）原式＝（17＋）＋［（－7）＋（－）］ ＝［17＋（－7）］＋［＋（－）］ ＝10＋（－） ＝9； （2）原式＝［（－2 023）＋（－）］＋［（－2 024）＋（－）］＋（4 048＋） ＝［（－2 023）＋（－2 024）＋4 048］＋［（－）＋（－）＋］ ＝1＋（－） ＝. 3.解析：因为|x|＝5，所以x＝5或－5.因为|y|＝6，所以y＝6或－6. （1）当x＞0，y＜0时，x＝5，y＝－6，所以x－y＝5－（－6）＝11. （2）因为|x＋y|＝x＋y，所以x＋y是正数或0. 只有当x＝5或－5，y＝6时x＋y才是正数或0，所以分两种情况讨论： ①当x＝5，y＝6时，x－y＝5－6＝－1； ②当x＝－5，y＝6时，x－y＝（－5）－6＝－11. 综上，x－y的值为－1或－11. 4.解析：（1）①点A，B之间的距离为|－3－8|＝11. ②点P，A之间的距离为|x－（－3）|＝|x＋3|. （2）①根据题意，|x＋3|＋|x－8|的值就等于点P到A，B两点的距离之和.因为点P在A，B两点之间，所以易得|x＋3|＋|x－8|的值等于点A，B之间的距离，即为11. ②因为|x＋3|＋|x－8|＝13，所以点P到A，B两点的距离之和为13，此时点P应在点A的左侧或点B的右侧.当点P在点A左侧时，点P到点A的距离应为（13－11）÷2＝1，所以此时点P表示的数为－3－1＝－4；同理，当点P在点B右侧时，点P到点B的距离应为1，此时点P表示的数为8＋1＝9.所以点P表示的数x为－4或9. 5.解：（1）（－2）3 ＝（－2＋1）×（3－1） ＝（－1）×2 ＝－2. （2）2［2（－3）］ ＝2［（2＋1）×（－3－1）］ ＝2（－12） ＝（2＋1）×（－12－1） ＝－39. 6.（1）C(2)A 7.(1)李明 (2)解：原式的倒数＝（－－＋）÷（－） ＝（－－＋）×（－42） ＝×（－42）－×（－42）－×（－42）＋×（－42） ＝－7＋9＋28－18 ＝12， 所以（－）÷（－－＋）＝. 8.C 解析：第一次剪去铜丝的，剩下铜丝的长度是1×（1－）＝m，第二次剪去剩下铜丝的，剩下铜丝的长度是×（1－）＝（）2，……，依次类推，第2 025次剪完后剩下铜丝的长度是（）2 025m.故答案为C. 9.解：帐篷数：2.5×107÷40＝6.25×105（个）；这些帐篷的占地面积：6.25×105×100＝6.25×107（m2）； 需要广场的个数：6.25×107÷5000＝1.25×104. 10.解析：（1）由近似数为35.0可知精确度为0.1，34.049精确到0.1为34.0，故A错误；34.947精确到0.1为34.9，故B错误；35.052精确到0.1为35.1，故C错误；34.959精确到0.1为35.0，故D正确.故选D. （2）由近似数为2.82可知精确度为0.01，因为是根据四舍五入法取得的近似数，所以对应的准确数应大于或等于2.82－0.01÷2，且小于2.82＋0.01÷2，即准确数大于或等于2.815，小于2.825.故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $