第一次练习数学学科试卷2026-2027学年北师大版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦一元二次方程与特殊四边形，通过茶园面积计算、正方形旋转探究等问题，融合运算能力、几何直观与模型意识，适配九年级上册月考综合练习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|一元二次方程定义、根的判别式、菱形性质|基础概念辨析，如第6题对比菱形与矩形对角线性质| |填空题|5/15|方程求解、矩形面积、新定义运算|结合几何直观，如第12题矩形中阴影面积计算| |解答题|8/75|解方程、菱形证明、应用题、新定义探究|分层设计，如21题茶园面积体现模型意识，23题正方形旋转综合推理能力|

· 第一次练习数学学科试卷 · 2026-2027学年北师大版数学九年级上册 一、选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．下列方程是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．一元二次方程配方后可变形为（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程根的情况为（     ）． A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根 4．已知三角形两边长分别为6和8，第三边长是方程的解，则这个三角形的周长是（     ） A． B． C． D． 5．若，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 6．菱形具有而矩形不具有的性质是（　　） A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 7．如图，顺次连接长方形 四边中点，得四边形 ，则这个四边形是 A．一般四边形 B．正方形 C．菱形 D．长方形 8．如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件能够判定四边形是菱形的是（    ）．    A． B． C． D． 9．如图，面积为36的菱形ABCD中，O为对角线的交点，点E在BC上，且，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点G，则四边形EFOG的面积为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 10．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分交BC于点E，．连接OE，则下面的结论：①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二、填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．若，该方程的解为______． 12．如图矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E，F，AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积为_____． 13．已知一元二次方程（）的两根分别为、，则一元二次方程（）的两根分别为________． 14．对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 15．如图，四边形ABCD为菱形，对角线，，且AE垂直于CD，垂足为点E，则AE的长为______． 三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 16．解方程 (1)；（配方法） (2)；（公式法） 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程总有实数根； (2)若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 18．如图，在矩形中，点E，F分别在边上，，且，与相交于点G．求证：矩形为正方形； 四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分） 19．如图，在平行四边形中，，点E是上一点，且． (1)尺规作图：过点E作，交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） (2)已知平行四边形的周长是20，，求证：四边形为菱形． 20．如图菱形中，，点E在边上，点F在边上，且． (1)求证：是等边三角形． (2)若，求的面积． 21．某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长，另外三面用长的篱笆围成，其中一边开有一扇宽的门（不包括篱笆）． (1)若矩形面积为，求这个茶园的长和宽． (2)当，分别为多少米时，茶园的面积最大？最大面积是多少？ 五、解答题（三）（第 22 题 13 分，第 22 题 14 分） 22．阅读材料并解答相关问题． 材料1：规定：如果实数a，b，c满足，那么称一元二次方程为“和差”二次方程． 材料2：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为，则 (1)【概念辨析】问题1：下列方程是“和差”二次方程的有__________（填写序号） ①；②；③；④． (2)【特例感知】①问题2：分别求出“问题1”中所有“和差”二次方程的根． ②问题3：若“和差”二次方程的一个根5，求这个方程的另一个根． (3)【结论归纳】问题4：设m，n是“和差”二次方程的两个根，请写出你发现的关于两根m，n的结论，并说明理由． 23. 综合探究 (1)如图1，已知正方形和正方形中，点，，在同一直线上，连接，，则和的数量关系为__________，位置关系为__________； (2)如图2，将图1中的正方形绕点按顺时针方向旋转一定角度，旋转角为，和交于点．试判断和的数量和位置关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，，，则长为__________． …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页（共4页） ◎ 第4页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A A B D C C C B 11．， 12． 13．， 14．或 15． 16．(1)， (2)， 【分析】（1）把方程化为：，可得，再进一步解方程即可； （2）先求解，再利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 配方得：，即， 开方得：， ∴，； （2）解：，即， ∴，，， ∴， ∴， 即，． 17．(1)证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； (2)的值为，方程的另一个实数根为． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 18．【答案】 ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴四边形是正方形； 【知识点】证明四边形是正方形 【分析】由推导，利用有一组邻边相等的矩形是正方形解题． 【详解】略 【点睛】本题考查正方形的判定，掌握正方形的判定方法是解题的关键． 19．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在的上方作，交于点 F，则即为所求； （2）由题意得四边形为平行四边形，根据平行四边形的周长是20，可得，则，进而可得，则，可知四边形为菱形． 本题考查作图一复杂作图、平行四边形的性质、菱形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的周长是20， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为菱形． 20．(1)证明：连接，如图， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）解：过点作于点，过点作于点， ∵ ∴， ∴在菱形中，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴同理可求：，， ∴． 21．(1)这个茶园的长为，宽为 (2)当，时，茶园的面积最大，最大面积是 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设这个茶园的宽为，则长为，由题意可得方程，进而求解即可； （2）设，则有，茶园的面积为，由题意易得，然后可得，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：设这个茶园的宽为，则长为，由题意得： ， 解得：， ∵墙长， ∴，且， 解得：， ∴， ∴长为； 答：这个茶园的长为，宽为 （2）解：设，则有，茶园的面积为， 由题意得：， 由（1）可知：， ∵， ∴当时，茶园的面积为取得最大值，最大值为； 答：当，时，茶园的面积最大，最大面积是． 22. (1)②③ (2)①方程②的根为，  ；方程③的根为 ；② (3) 或， 理由： 是“和差”二次方程的两个根， ， 又， ， ， ， ， 或， 或． 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，理解“和差”二次方程的定义是解此题的关键． （1）根据“和差”的二次方程的定义判断即可； （2）①利用公式法和因式分解法求解即可； ②设方程的另一根是，利用韦达定理求解即可； （3）根据韦达定理以及“和差”的二次方程的定义列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①中，不是“和差”的二次方程； ②中，是“和差”的二次方程； ③中，是“和差”的二次方程； ④中，不是“和差”的二次方程； 故答案为：②③； （2）解：①解方程， ， ， ， ； 解方程， ， ； ②设方程的另一根是， 由韦达定理可得，． ， ， 即， 解得：； （3）略 23. 【答案】(1)， (2)解：，，理由如下： ∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，设和交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴． (3) 【知识点】二次根式的乘法、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质说明线段或角相等 【分析】（1）先证出，则，，再延长，交于点，得出，由此即可得； （2）先证出，则，，再设和交于点，得出，由此即可得； （3）先求出的长，，再得出点在上，点与点重合，则，在中，利用勾股定理可得的长，进而可得的长，然后根据即可得． 【详解】（1）解：∵四边形和四边形都是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 如图，延长，交于点， 由对顶角相等得：， ∴，即， ∴， ∴和的数量关系为，位置关系为． （2）解：略． （3）解：如图，连接，交于点， ∵四边形和四边形都是正方形，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴如图，点在上，此时点与点重合， ∴， ∴在中，， ∴， 同理可得：， ∴． 答案第4页（共9页） 答案第9页（共9页） 学科网（北京）股份有限公司 $