精品解析：江苏南京市2027届高三年级上学期9月学情调研数学试卷

南京市2027届高三年级学情调研 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由知，所以. 因为，其中满足的元素是和，所以. 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以是的充要条件. 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数平移变换原则直接判断即可. 【详解】， 只需将的图象向右平移个单位长度即可. 故选：B. 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，再根据诱导公式可求出结果. 【详解】依题意得，又，所以. 5. 甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】从甲袋中取出球放入乙袋中的情况数为，之后从乙袋中取出两个球的情况数为， 只有从甲袋中取出一个红球放入乙袋中，才可以从乙袋中取出两个红球， 因此从乙袋中取出两个球均为红球的情况数为1， 故根据古典概型的计算公式. 6. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意，切线的斜率为2， 设切点为， 由，得，则，即， 则切点为，代入，得，即. 7. 某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（ ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 12人 B. 18人 C. 24人 D. 30人 【答案】B 【解析】 【分析】由有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关可得，列方程求男生人数的范围，结合条件确定男生人数的最小值. 【详解】设喜欢该软件的有人，则不喜欢的有人，总人数，列联表为： 喜欢 不喜欢 合计 男 女 合计 于是，所以， 若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则，即， 又表中数据须为整数，故的最小值为9， 此时男生的人数为18，即参与调查的男生至少有18人. 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数周期性得到函数周期为6，然后利用周期性对已知条件进行化简，找到不等式关系，最后得到，再判断选项即可. 【详解】∵， ∴①，将换成可得 ②，将②式代入到①式， 化简得，将换成，则， 再将换成可得， 即函数的周期为6，∴，， ，∵，， ∴，⑴，又∵， ，⑵，依次回代可以得到 ，同理可得， ∵，⑶，联立⑴⑵⑶得到 ，解得， 又∵，故C正确，D错误， ，∴可能大于0， 也可能不大于0，AB错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某果园收获苹果的果实横径 (单位：)服从正态分布，且，.从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间的个数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由正态分布的对称性求得对称轴，再求得，然后由二项分布的期望和方差分别求得. 【详解】因为， 所以， 由正态分布的对称性可知，即， 所以，A错误，B正确， 所以，所以，C错误， ，D正确. 10. 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】引入中间变量将原等式转化为、和，随后通过对赋不同的正数值来验证选项即可. 【详解】令，因为恒成立，所以， 则有， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即恒成立， 即，即， 令，则有，进而有， 令，因为.所以，即，即，进而， 因此，即恒成立，排除D选项， 取，， 此时，即，B选项正确， 取，， ，，，所以，进而有，A选项正确， 取，， 由上知，所以，即，进而，故C正确. 11. 已知正方体的棱长为是正实数，点分别满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与平面所成角为定值 C. 当时，平面将正方体分成体积比为的两部分 D. 当时，点到平面距离的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用空间向量法求解，选项A，利用向量的数量积求解；选项B，求出平面的法向量，利用向量的数量积求出与平面所成角的正弦值，通过反例得到结论；选项C，求出点的轨迹方程，从而得到平面截正方体的截面，得到截面将正方体截得的一部分为三棱台，利用棱台的体积公式求出三棱台的体积，从而得到结论；选项D，求出平面的法向量，利用距离公式求出点到平面的距离，利用二次函数的图像和性质求出点到平面的距离的最大值. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 因为正方体的棱长为， 所以，，，， ，，，， 则，， 因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 则，， 选项A：当时，因为， 所以，则A正确. 选项B：因为平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，则， 且， 因为，所以， 因为不是定值，所以不是定值，则B错误. 选项C：因为，所以， 将代入点，得到转化为， 设，则，则， 取的中点，的中点， 则点的轨迹为的中位线， 则平面截正方体得到梯形， 且为的中点，为的中点， 所以为三棱台， 因为，所以， 因为，所以， 则， 因为正方体的体积为， 所以另一部分的体积为， 则，则C正确. 选项D： ， 向量， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，则， ， 则点到平面的距离为 ， 令，则， 因为，所以，当且仅当时取等号， 则 设，对称轴为，， 则，则D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数是______. 【答案】160 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】由， 由，可得． 在的展开式中，含项的系数是. 故答案为：160 13. 已知函数的零点为，极值点为，则_________，_________. 【答案】 ①. ## ②. #### 【解析】 【分析】由函数零点为可得，可得，进而结合平方关系求解即可；求导，根据极值点的定义可得，进而得到，再得到，进而根据两角差的正切公式求解即可. 【详解】由， 由于函数零点为，则，则， 所以. 而， 由于极值点为，则，即，则， 而， 则. 14. 已知符号函数及函数，.若对任意的，，则实数的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由符号函数和题意可知函数的关系，然后讨论的不同取值得到函数的值域，并通过函数的关系作出判断或者列出不等式组，即可求得实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 由符号函数及可知恒成立， 当时，，恒成立，故不满足题意， 当时，令，则， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 要想使得恒成立，则，解得. 当时，，函数在上单调递减， 所以，，不满足恒成立， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：利用二倍角公式及两角和的正弦公式得.法①：由得，利用正弦函数性质求得单调递减区间.法②：利用正弦函数性质求得总的单调递减区间，结合即可求解. 方法2：利用二倍角公式及两角差的余弦公式得. 法①：由得，利用余弦函数性质求得单调递减区间.法②：利用余弦函数性质求得总的单调递减区间，结合即可求解. （2）方法1：结合已知得，然后利用二倍角公式及弦的齐次式计算求解即可. 方法2：利用同角三角函数关系及二倍角公式求解即可. 方法3：联立解得或，代入二倍角公式求得. 【小问1详解】 方法1： . 法①：因为，所以. 令，解得，所以在上的单调递减区间为. 法②：令，，解得，. 又，所以，即在上的单调递减区间为. 方法2： . 法①：因为，所以. 令，解得，即在上的单调递减区间为. 法②：令，，解得，. 又，所以，即在上的单调递减区间为. 【小问2详解】 因为， 又，所以. 方法1：若，则，与矛盾， 所以，故. 所以. 方法2：将代入，解得. 所以. 方法3：由解得或， 当，时，； 当，时，. 综上，. 16. 已知函数，且是奇函数. （1）求的值； （2）记函数，若在区间的最小值为，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：求得，由定义域关于原点对称，求解后再检验即可； 方法2：取一组特殊值，例如，求解后再检验即可； 方法3：由，求解后再检验即可； （2）由题意可得，令，则原问题转化为：函数的最小值为. 方法1：分和，结合二次函数的性质求解即可； 方法2：转化为，由对勾函数的性质求解即可. 【小问1详解】 方法1：函数的定义域为， 因为是奇函数， 所以定义域关于原点对称，所以，即. 此时，定义域, 检验：对于，都有，满足f1(x)是奇函数， 所以. 方法2：因为为奇函数，取一组特殊值，例如，即. 此时， 检验，定义域，关于原点对称， ，都有，满足f1(x)是奇函数， 所以. 方法3：为定义域)， 都有， 从而， 所以. 此时，函数的定义域，满足题意. 【小问2详解】 ， 令，因为，所以，当且仅当时，， 所以原问题转化为：函数的最小值为. 方法1：当时，在区间单调递减，在区间单调递增， 所以，解得 (舍去). 当时，在区间上单调递增， 所以，解得， 综上，实数的值为. 方法2：问题可转化为对恒成立且等号可以取到， 即对恒成立且等号可以取到， 所以. 易知函数在上递增， 所以. 所以，. 17. 如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，D是BC的中点，. （1）证明：∥平面； （2）已知到平面的距离为1，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）方法1：如图，连结，交于点E，连结DE. 三棱柱中，平面是平行四边形，则E是的中点. 又D是BC的中点，所以DE∥. 因为平面，平面， 所以∥平面. 方法2：如图，取中点，连结，，. 三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为D，分别为BC，的中点，所以BD∥，BD， 因此四边形是平行四边形，所以∥. 又平面，平面，所以∥平面. 同理可得，四边形为平行四边形，所以∥，. 三棱柱中，因为∥，. 所以∥，. 所以四边形是平行四边形，所以∥AD. 又平面，平面，所以∥平面. 又，平面，所以平面∥平面. 又平面，所以∥平面. （2） 【解析】 【分析】（1）方法1：连结，交于点E，连结DE.利用棱柱性质及线面平行的判定定理证明∥平面. 方法2：取中点，连结，，.利用棱柱性质及线面平行的判定定理得∥平面，∥平面. 所以利用面面平行的判定定理得平面∥平面，进而利用线面平行的判定定理证明 ∥平面. （2）方法1：建立空间直角坐标系.，求得点的坐标，易得平面的一个法向量为. 求出平面的法向量.利用夹角的向量公式求得. 方法2：结合勾股定理利用线面垂直的判定定理证得BC⊥平面，由线面距离得，连结PC，交于点E，连结ED，作于F.可得即为二面角的平面角，求得，利用面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，利用相似三角形的性质求得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1：由题干得是等边三角形，且D是BC的中点， 所以. 因为三棱柱的所有棱长均相等，设棱长为2a， 则，，，此时， 所以. 又，平面，所以BC⊥平面. 所以BD即为到平面的距离，所以，因此三棱柱的棱长均为2. 因为平面平面，平面，， 平面平面，所以平面. 又，故以D为原点，DA，DB，分别为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，， 所以，，. 易得平面的一个法向量为. 设 ()， 所以. 设平面的一个法向量为， 则即， 取，可得. 设二面角的大小为，则， 又，解得 (舍去)，所以. 方法2：由题干得是等边三角形，且D是BC的中点，所以. 因为三棱柱的所有棱长均相等，设棱长为2a， 则，，，此时， 所以. 又，平面，所以BC⊥平面. 所以BD即为到平面的距离，所以，因此三棱柱的棱长均为2. 如图，连结PC，交于点E，连结ED，作于F. 因为平面，平面，平面， 所以，， 因此即为二面角的平面角. 于是，所以. 因为平面平面，平面，， 平面平面， 所以平面. 因为平面，所以. 在中，因为，，所以EF∥，且EF＝AF. 又AC∥，所以，因此. 18. 某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习.设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为. （1）求； （2）已知. ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点. 【答案】（1） （2）①或；② 【解析】 【分析】（1）由题意可得第次投中且前次中有次投中，从而得，求解即可； （2）①由题意求得，从而得＝，分别令，，，求解后即可判断； ②求得，利用导数求解即可. 【小问1详解】 表示结束练习时投篮的总次数为， 表明第次投中且前次中有次投中， 所以. 【小问2详解】 ① 所以＝. 令，解得； 令，解得； 令，解得. 所以 所以，当或时，最大. ②， 则， 设， 则 令，得； 令，得. 所以在上递增，在上递减. 所以，的极大值点为. 19. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 【答案】（1）当时，，. 令，得. 当时，，是单调递减函数； 当时，，是单调递增函数. 则，即. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入参数得到具体函数,求导判断单调性，根据单调性得到函数最小值，证明最小值非负即可. （2）代入的取值得到含参函数，先求一阶导数，再分析一阶导数的单调性，根据的取值范围分类讨论的单调性，保证时最小值非负，求解对应的范围. （3）函数单调递增等价于导数在上恒成立，先计算导数的导数，然后讨论的正负，再将转化到用表示，构造函数，利用单调性求出最大值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法1： 当时，，易得， ，， 当时，结合（1）易得， 所以在上是单调递增函数， 所以，符合题意． 当时，令，． 因为，所以递增． 又，由(1)得，将换作可得，即， 所以， 所以存在唯一的，使得． 当时，，单调递减，则，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 方法2：当时，，易得， 设，当，，所以， 所以在单调递增； 又因为， 当时，，所以在上递增， 所以，符合题意. 当时，，又时，， 存在唯一的，使得. 当时，，递减，所以，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 方法1：若在上单调递增，则恒成立． 令，则． 当时，，故在上单调递增． ，则，不合题意． 当时，恒成立，所以，此时的最大值为0． 当时，由，得． 当时，，递减； 当时，，递增． 所以， 得，此处不等号可以取等． 所以. 求最值法①：令，，则． 令，得． 当时，，递增； 当时，，递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 求最值法②： 令，则． 令，，则． 令，得． 当时，，单调递增；时，单调递减． 所以． 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为． 方法2：若递增，则恒成立． 当时，令，因为，所以递增. 取，则，不合题意. 当时，恒成立，所以，此时的最大值为. 当时，由恒成立，得对恒成立. 令，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则. 则，当时等号可以取到， 再令，，然后求解最大值的过程同方法1中的法①、法②. 综上，当且仅当时，取得最大值，且最大值为. 方法3：若单调递增，则恒成立. 当时，可得，解得. 下面证明：当时，存在和，可使恒成立. 当时，，令，则. 当时，，故单调递增. 因为，所以不合题意. 当时，由，得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 则， 令，则. 令，，则.令，得. 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 则. 则不等式的解为， 则的解为. 则时，存在，可使恒成立， 则的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京市2027届高三年级学情调研 数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试卷及答题卡上. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设向量，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4. 已知点在角的终边上，将的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则＝（ ） A. － B. － C. D. 5. 甲袋中有1个白球和1个红球，乙袋中也有1个白球和1个红球.先从甲袋中任取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球.则从乙袋中取出的是2个红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线是函数图象的一条切线，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 某校对“学生性别与喜欢某款社交软件是否有关”作了一次调查，结果显示喜欢该软件的学生人数是不喜欢该软件的，喜欢该软件的学生中男生占比为，不喜欢该软件的学生中男生占比为.若有99%的把握认为是否喜欢该软件与性别有关，则参与调查的男生至少有（ ） 参考公式：. 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 A. 12人 B. 18人 C. 24人 D. 30人 8. 已知函数的定义域为，，且，，则下列结论中一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某果园收获苹果的果实横径 (单位：)服从正态分布，且，.从收获的苹果中随机抽取100个，记其中果实横径在区间的个数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，满足，则a，b，c的大小关系可能是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正方体的棱长为是正实数，点分别满足，，，则（ ） A. 当时， B. 当时，与平面所成角为定值 C. 当时，平面将正方体分成体积比为的两部分 D. 当时，点到平面距离的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，含项的系数是______. 13. 已知函数的零点为，极值点为，则_________，_________. 14. 已知符号函数及函数，.若对任意的，，则实数的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求在区间上的单调递减区间； （2）若，求的值. 16. 已知函数，且是奇函数. （1）求的值； （2）记函数，若在区间的最小值为，求实数的值. 17. 如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，D是BC的中点，. （1）证明：∥平面； （2）已知到平面的距离为1，P为线段上一点.若二面角的余弦值为，求的长. 18. 某同学进行连续投篮练习，累计投中次后结束练习.设该同学每次投中的概率均为，记结束练习时投篮的总次数为. （1）求； （2）已知. ①若，求当为何值时，最大； ②若为常数，记函数，求的极大值点. 19. 已知函数. （1）若，证明：； （2）若，且对任意，，求的取值范围； （3）若在上单调递增，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $