26.2.2 第三课时 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质，课堂导入通过复习y=a(x-h)²的性质表格及y=ax²的平移口诀，引导学生猜想新函数平移方法，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点在于以具体函数图象探究性质，结合“上加下减、左加右减”口诀归纳平移规律，培养几何直观和推理意识。通过喷水池实际问题建模提升模型意识，多样化训练帮助学生巩固应用，教师可借助系统流程提高教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2.2 第三课时 二次函数y=a(x-h)²+k的 图象和性质 学习目标 1.会用描点法画出y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象. 2.掌握二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质并会应用. 3.理解二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系. 重点：二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象的性质． 难点：二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)与y=ax2(a≠0)之间的联系． 复习导入 1.二次函数 y=a(x-h)2(a≠0)的性质 y=a(x-h)2 a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 直线x=h 顶点坐标 （h,0） （h,0） 最值 当x=h时，y最小值=0 当x=h时，y最大值=0 增减性 当x＜h时，y随x的增大而减小；x＞h时，y随x的增大而增大. 当x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大. 复习导入 2.抛物线y=ax2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？抛物线y=a(x-h)2怎样由抛物线y=ax2平移得到？ 向左平移 h个单位 向右平移 h个单位 口决：左加右减 y=ax2 向上平移 k个单位 y=ax2+k(k＞0) y=ax2 向下平移 k个单位 y=ax2-k(k＞0) 口决：上加下减 猜想：抛物线y=a(x-h)2+k怎样由抛物线y=ax2平移得到？ 探究新知 知识点1 二次函数的图象和性质 在直角坐标系中，画出二次函数 的图象. 1.先列表 -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 2.在坐标系内，描点. 3.用平滑的曲线连线. 直线x=－1 探究新知 知识点1 二次函数的图象和性质 在直角坐标系中，画出二次函数 的图象. 直线x=－1 1.抛物线 的开口方向、对称轴、顶点各是什么？ 抛物线 的开口______、对称轴_________、顶点是_______. 向下 直线x=－1 (-1,-1) 探究新知 知识点1 二次函数的图象和性质 在直角坐标系中，画出二次函数 的图象. 直线x=－1 2.抛物线 的最值、增减性又如何？ (1)顶点都是最____点，函数都有最____值，最____值为_______; (2) 当x＞-1(对称轴右侧)时_______________，当x＜-1时(对称轴左侧) _______________. 高 大 y=-1 y随x增大而增大 y随x增大而减小 大 探究新知 知识点1 二次函数的图象和性质 在直角坐标系中，画出二次函数 的图象. 3.怎样移动抛物线 就可以得到抛物线 ？ 平移方法1： 向下平移 1个单位 向左平移 1个单位 平移方法2： 向左平移 1个单位 向下平移 1个单位 口决：上加下减，左加右减 针对训练 1.将抛物线y=-5x2的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位后，则所得抛物线解析式为( ) A.y=-5(x+1)2-2 B. y=-5(x-1)2+2 C.y=-5(x-1)2-2 D.y=-5(x+1)2+2 D 2.二次函数y=x2的图象平移后经过点(2，0)，则下列平移方法正确的是( ) A.向左平移2个单位，向下平移2个单位 B.向左平移1个单位，向上平移2个单位 C.向右平移1个单位，向下平移1个单位 D.向右平移2个单位，向上平移1个单位 C 针对训练 二次函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=-2(x-3)2+5 向下 (-1,2) 向下 向下 (4,5) (3,-4) 向上 直线x=3 直线x=-1 直线x=4 直线x=3 (3,5) y=-3(x+1)2+2 y=4(x-4)2+5 y=-2(3-x)2-4 2.完成下列表格: 探究新知 知识点2 二次函数的顶点式 顶点式 针对训练 3.二次函数y=2(x-5)2+3的图象的顶点坐标是( ) A.(-5，3) B.(5，3) C.(5，-3) D.(-5，-3) 4.已知二次函数y=2(x-3)2+1，下列说法:①其图象开口向下;②其图象的对称轴为直线x=-3;③当x=3时，函数有最大值1;④当x<3时，y随x增大而减小其中正确说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的 对称轴，则下列关系正确的是( ) A.m=n，k>h B.m=n,k<h C.m>n，k=h D.m<n，k=h B A A 典例解析 题型1 二次函数的性质 例1.把二次函数y=a(x-h)2+k的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位，得到二次函数y=-(x+1)2-1的图象. (1)试确定a，h，k的值; (2)指出二次函数y=a(x-h)2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标. 解:(1)依题意得，二次函数y=a(x-h)2+k的图象可由二次函数y=-(x+1)2-1的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到，即y=-(x+1-2)2-1-4 ∴a=-，h=1，k=-5. (2)二次函数y=-(x-1)2-5图象的开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标为(1,—5). 针对训练 6.将抛物线y=-2(x-3)2+2向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到抛物线的顶点坐标是_________. (2,-1) 7.已知抛物线y＝a(x﹣2)2+k(a＞0，a，k为常数)，A(﹣3，y1)，B(3，y2)，C(4，y3)是抛物线上三点，则y1，y2，y3由小到大依序排列为（　　） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y2＜y3＜y1 D．y3＜y2＜y1 C 典例解析 题型1 二次函数的性质 例2.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系. 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 因此可设这段抛物线对应的函数是 ∵这段抛物线经过点(3,0)， ∴0=a(3－1)2＋3. y=a(x－1)2＋3 (0≤x≤3). 解得: a=－ 典例解析 题型1 二次函数的性质 例2.要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管.在水管的顶端安装一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长? 因此抛物线的解析式为: 当x=0时,y=2.25. 答:水管长应为2.25m. y=-(x－1)2＋3 (0≤x≤3) 典例解析 题型1 二次函数的性质 例3.已知二次函数y＝a(x－1)2－c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋c的大致图象可能是(　　) A 针对训练 8.直线不经过第三象限，则抛物线 可以是（    ） D 针对训练 9.已知二次函数y=a(x+m)2+n的图象如图所示，则直线y=mx+n不经过第___象限. 一 典例解析 题型1 二次函数的性质 例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系． 解：(1)将(3，0)代入y＝a(x－1)2－4， 得0＝4a－4，解得a＝1； (2)方法一： 根据题意，得y1＝(m－1)2－4，y2＝(m＋n－1)2－4， ∵y1＝y2， ∴(m－1)2－4＝(m＋n－1)2－4，即(m－1)2＝(m＋n－1)2. ∵n＞0，∴m－1＝－(m＋n－1)，化简，得2m＋n＝2； 典例解析 题型1 二次函数的性质 例4.已知二次函数y＝a(x－1)2－4的图象经过点(3，0)． (1)求a的值； (2)若A(m，y1)、B(m＋n，y2)(n＞0)是该函数图象上的两点，当y1＝y2时，求m、n之间的数量关系． 方法二： ∵函数y＝(x－1)2－4的图象的对称轴是经过点(1，－4)，且平行于y轴的直线， ∴m＋n－1＝1－m，化简，得 2m＋n＝2. 针对训练 10．已知抛物线C：y＝(x﹣m)2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝-2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． 解：（1）∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（，）， ∵抛物线的顶点坐标在第二象限， ∴ ∴； 针对训练 10．已知抛物线C：y＝(x﹣m)2+m+1． （1）若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围； （2）若m＝-2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积． （2）当时，抛物线解析式 为， 令，即， 解得或， 令，， ∴如图所示，A(-3,0),B(-1,0),D(0,3), ∴OD=3，AB=2， ∴， ∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积是3． 针对训练 12.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0，2)，点B的坐标为(4，2).若抛物线 y=-3(x-h)2+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点，且AB=2CD，则k的值为_______. 5 归纳总结 向左(或右) 平移h个单位 平移k个单位 向上(或下) 向左(或右) 平移h个单位 平移k个单位 向上(或下) (h＞0、k＞0) 作业布置 课堂作业:P44习题26.2的勾选做在课堂作业本上;(写清页码和题号，不抄题目) 家庭作业:打印的习题，完成对应内容到课后作业本上； (写清日期和题号，不抄题目) Lavf57.83.100 $