26.3 二次函数与一元二次方程 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数与一元二次方程的关系，通过复习一次函数与一元一次方程的联系（如方程解对应函数值为0的x值、图像与x轴交点横坐标）搭建学习支架，引导学生迁移理解二次函数图像与x轴交点和方程根的关系。 其亮点是以探究活动为主线，通过具体函数实例观察、填表对比交点个数与方程根的情况，培养几何直观和抽象能力（数学眼光），用表格归纳关系发展推理意识（数学思维），结合小球飞行高度等实际问题强化模型意识（数学语言）。学生能深化知识理解，教师可提升教学效率。

人教版教材九年级上册 数学第二十六章《二次函数》 26.3 二次函数与一元二次方程 学习目标 通过二次函数的图像观察解决一元二次方程的解（近似解）等问题.（难点） 二 知道二次函数的图像与x轴的交点个数与一元二次方程的根的个数之间的关系.（重点） 一 知识回顾 1.关于x的一元一次方程kx+b=0的解为x=1,则当x= 时，一次函数y=kx+b的函数值为0. 2.一次函数y=kx+b的图象如图所示，则关于x的一元一次方程kx+b=0的解为 . O 1 2 1 x y 知识回顾 关于x的一元一次方程kx+b=0的解 一次函数y=kx+b,当y=0,所对应的x的值. 直线y=kx+b与x轴交点的横坐标. 数形结合 函数解析式 函数图象 观察思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？ (1) y=x2+x-2； (2) y=x2-8x+16； (3) y=x2-x+1. 探究新知 由此，你能说说一元二次方程y=x2+x-2，y=x2-8x+16，y=x2-x+1 的根的情况吗？ y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 抛物线 与x轴公共点个数 公共点 横坐标 相应的一元二次方程的根 y = x2－x＋1 0 无 无解 y = x2－8x＋16 1 4 x1=x2=4 y = x2＋x－2 2 -2, 1 x1=-2, x2=1 再探新知 通过图中的函数图象可以看出： y=x2−8x+16 y=x2+x−2 y=x2−x+1 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应二次函数的图象与 x 轴的公共点的情况. 一般地，从二次函数 y=ax2+bx+c的图象，可得如下结论： 　 （1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点,公共点的横坐标是x0,那么当x=x0时,函数值是0,因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根． 新知归纳 （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程 ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根（b2–4ac<0），有两个相等的实数根（b2–4ac=0），有两个不等的实数根（b2–4ac＞0）. 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 有两个不相等的实数根 b2-4ac>0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac=0 没有交点 没有实数根 b2-4ac<0 有两个交点 新知归纳 不画图象,判断下列二次函数图象与x轴的交点情况. （1）y＝x2－1； （2）y＝－2x2＋3x－9； （3）y＝x2－4x＋4； （4）y＝－ax2＋（a＋b）x－b（a、b为常数，a≠0） 随堂练习 分析：一元二次方程 x²-2x-2=0 的根就是抛物线 y=x2-2x-2 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标,这种解一元二次方程的方法叫作图象法. 典例解析 例1:利用函数图像求方程x2-2x-2=0的实数根(结果保留小数点后一位). 1. 抛物线y＝x2－2x－3的图象与x轴的交点有 ( )　 C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 不能确定 A. x1＝2，x2＝－4 B. x1＝－2，x2＝4 C. x1＝－1，x2＝3 D. x1＝1，x2＝－3 随堂练习 A B 2. 如图，抛物线y＝x2＋mx－n与x轴的交点分别是A(－2，0)和B(4，0)，则关于x的一元二次方程x2＋mx－n＝0的根是( ) B 4. 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为 ⁠. x1＝－1，x2＝3　 随堂练习 3. 抛物线y＝2x2＋4x＋m与x轴只有一个公共点，则m的值为 2 例2 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的关系近似为：h=20t-5t2.小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 典例解析 小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 20 4 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. 当球飞行2秒时，它的高度为20米. h=20t-5t2 你能结合图形指出 为什么只在一个时间球的高度为20m？ 典例解析 (1) 球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1, t2=3. h=20t-5t2 你能结合上图，指出为什么在两个时间球的高度为15m吗？ 随堂练习 关于例1，回答下列问题： (2) 球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 20.5 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即球的飞行高度达不到20.5米. h=20t-5t2 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 随堂练习 (3) 球从飞出到落地要用多少时间？ O h t 解：依题意得： 20t-5t2=0 , t2-4t = 0, t1=0, t2=4. 当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米. 即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面. h=20t-5t2 随堂练习 有两个不相等的实数根 有两个交点 b2-4ac > 0 有一个交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式Δ=b2-4ac 课堂小结 $