26.2.2 二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质(第3课时) 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y = a(x - h)^2 + k\)的图象和性质，课堂导入先回顾\(y = a(x - h)^2\)与\(y = ax^2 + k\)的平移变换，再通过“两种变换合并会怎样”的问题引出新知，构建从单一变换到复合变换的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于通过探究画图、喷水池实例分析培养几何直观和推理意识，采用问题驱动与分层练习（必做、选做、综合拓展），系统小结性质与变换规律。学生能提升数学思维和应用能力，教师可借助清晰流程和多样练习提高教学效率。

第二十六章 二次函数 26.2.2 二次函数的图象和性质(第3课时) 1．认识顶点式，综合掌握a、h、k对抛物线的影响． 2．直接由顶点式读出顶点坐标、对称轴，分析函数增减与最值． 3．理解完整的抛物线平移变换过程． 说一说二次函数y＝a(x－h)²(a≠0)的图象和性质. (1) 图象形状：图象是抛物线，形状、开口大小和完全相同，可由抛物线左右平移得到：向右平移个单位；向左平移个单位. (2) 对称轴：直线. (3) 顶点坐标：. (4) 开口方向、最值及增减性 ①当时，开口向上；顶点是最低点，函数最小值为； 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大. ②当时，开口向下；顶点是最高点，函数最大值为； 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小. 注意：只改变抛物线左右位置，不改变开口大小、开口方向. 我们知道抛物线是由左右平移得到的，抛物线是由上下平移得到的，如果把两种变换合并，得到，抛物线会发生怎样的变化？ 下面，我们再来讨论当 时，二次函数 的图象和性质. 4 探究：(1)画出二次函数 的图象，并指出它的开口方向、对称轴和顶点. 解：(1)列表: ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 ... ... -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 ... 然后描点画图，得到 的图象（如图所示） 抛物线 的开口向下，对称轴是 ，顶点是 . 解：(2)如图所示，把抛物线 向下平移 1 个单位长度，再向左平移 1 个单位长度，就得到抛物线 . 一般地，抛物线 与 形状相同，位置不同. 把抛物线 向上 (或向下)、向左 (或向右) 平移，可以得到抛物线 . 平移的方向、距离要根据 的值来决定. (2)抛物线 与抛物线 有什么关系? 抛物线 有如下特点: (1)当 时，开口向上； 当 时，开口向下. (2)对称轴是 . (3)顶点是( ). 从二次函数 的图象可以看出: 如果 ，那么当 时， 随 的增大而减小，当 时， 随 的增大而增大，当 时， 取最小值，最小值为 ；如果 ，那么当 时， 随 的增大而增大， 当 时， 随 的增大而减小，当 时， 取最大值，最大值为 . 例 ：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为 处达到最高，高度为 ，水柱落地处离池中心 ，水管的长应为多少？ 解：如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为 轴，水管所在直线为 轴，建立平面直角坐标系. 点 是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式为 由这段抛物线经过点 ，可得 解得 因此 当 时， ，也就是说，水管的长应为 . 【知识技能类练习】必做题： 1．二次函数的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． D 【知识技能类练习】必做题： 2．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． D 【知识技能类练习】必做题： 3．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． 解：（1）由题意，将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度，即可得到的图象， ∴； ∴，，； 【知识技能类练习】必做题： 3．把二次函数的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数的图象． (1) ； ； ； (2)指出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值． （2）∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，随增大而增大，当 时，随增大而减小，当时，函数有最大值为． 【知识技能类练习】选做题： 4．抛物线，当时，随增大而减小，则的取值范围是________． 【综合拓展类练习】 5．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． 解：（1）∵抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线平移后的解析式为 ， ∴，，， ∴； 【综合拓展类练习】 5．将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线． (1)求a，h，k的值； (2)指出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)说明此二次函数的增减性和最大（小）值． （2）由（1）知，抛物线为抛物线 ， ∴抛物线的开口方向向下，对称轴为，顶点坐标为； （3）∵， ∴当时，y随x的增长而增大，当时，y随x的增长而减小，当时，y的最大值是． 二次函数 y＝ax2 (a≠0) 的图象和性质 向上（下）平移 向左（右）平移 a＞0 a＜0 二次函数 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 的图象和性质 【知识技能类作业】必做题： 1．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 B 【知识技能类作业】必做题： 2．已知点，都在二次函数的图象上，则的大小关系是_________． 【知识技能类作业】必做题： 3．画出下列抛物线的大致图象： (1)；(2)． 解：（1）函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为，则图象开口向上，对称轴在轴右侧，顶点在第四象限，函数图象如图所示： 【知识技能类作业】必做题： 3．画出下列抛物线的大致图象： (1)；(2)． （2）函数的顶点坐标为，对称轴为，令得，即该抛物线与轴的交点为， 则图象开口向下，对称轴在轴右侧，顶点在第一象限，函数图象如图所示 【知识技能类作业】选做题： 4．已知点，，都在抛物线上，当，，时，三者之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． C 【综合拓展类作业】 5．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 解：（1）， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． （2）， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． 【综合拓展类作业】 5．通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． （3）， ， 该抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为． （4）， ， 该抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 二一教育 $