全国中学生物理竞赛学习讲义 牛顿动力学

全国中学生物理竞赛 牛顿动力学 全国中学生物理竞赛 牛顿动力学学习讲义 学生自学与教师备课用书 牛顿运动学模块 从受力分析到约束建模 概念推导 经典例题 方法总结 分层训练 24 道经典例题　8 个进阶专题　30 道分层练习 每道例题给出分析与解答，独立练习另附完整解析。 覆盖牛顿定律、重力、弹力、摩擦力、绳杆约束、接触与脱离。 2026年9月 目录 学习范围与使用方法 3 牛顿运动定律的准确理解 4 重力与接触弹力 5 胡克定律与弹簧模型 7 摩擦力与状态判定 8 受力分析与运动方程的组织 11 绳长约束与滑轮系统 12 杆与接触面的约束 14 活动斜面与加速参考系 15 圆周运动与接触临界 17 瞬时变化与分阶段运动 18 从运动方程到变力运动 19 解题规律与方法选择 20 常见错误的逐项剖析 22 八个进阶专题 23 分层练习 27 分层练习完整解析 30 公式速查与学习自检 34 参考资料与继续学习 36 学习范围与使用方法 从运动学进入动力学 运动学描述物体怎样运动，动力学研究力怎样决定运动。本书对应“牛顿运动学”模块，按通常的物理术语称为牛顿动力学。学习目标是把真实情境化为明确的研究对象、相互作用、几何约束和运动方程，并能判断所求结果在哪些条件下成立。 本书覆盖牛顿运动定律，重力、弹力和摩擦力，胡克定律，整体与隔离分析，绳、杆、滑轮、斜面与曲面约束，连接体、临界状态、瞬时变化以及简单微分方程。进阶部分补充加速参考系、摩擦角、自锁、约束乘子、含质量的绳与滑轮、变质量系统和数值建模。动量、能量和刚体转动只在服务本模块时引入，不代替这些专题的系统学习。 本书按基础、综合、进阶三个学习层次编排；这三个标签是学习顺序，并不直接等同于某一级竞赛的正式考纲标记。正文含24道经典模型例题、8个进阶专题以及30道独立练习。题目均以标准模型自主设置，未标作历届竞赛真题。 建议的阅读顺序 第一遍精读牛顿定律、三类常见力和受力分析方法，完成B组练习。第二遍集中处理绳长约束、连接体、摩擦分段、圆周运动和瞬时问题，完成M组练习。第三遍研读进阶专题并完成C组练习；遇到微积分内容，可先读物理建模，再补数学推导。 做题时先遮住解析，至少写出研究对象、参考系、受力图、正方向、约束式和状态检验。不能只把答案与书后数字对照；若没有写出接触力、张力或静摩擦的允许范围，解答往往仍不完整。 符号与模型约定 除另作说明，地面视为近似惯性系，取。一般公式中的保留为符号。忽略空气阻力，物体视为质点；涉及物体转动、支承力矩或质量分布时另行说明。 “轻”表示质量可忽略；“光滑”表示接触处切向摩擦可忽略；“不可伸长”表示绳长不变；“绷紧”表示绳长约束正在起作用。这些假设互不替代。未特别说明的滑轮为轻质、轴无摩擦，绳与轮间关系按题目指定。 符号 物理意义 使用提醒 质量 必须对应明确的物体或封闭系统 支持力、绳张力、摩擦力 标量大小与有符号分量要区分 弹簧劲度系数、伸长量 压缩时有符号伸长量为负 最大静摩擦系数、动摩擦因数 静摩擦通常不等于极限值 角度、角度、圆周或曲率半径 每题重新说明角度起算方向 物体加速度、参考系平动加速度 向量方程须在同一基底中写出 牛顿运动定律的准确理解 第一定律与惯性参考系 牛顿第一定律指出：不受合外力的质点保持静止或匀速直线运动。它同时刻画惯性系，并强调力改变运动状态，而不是维持速度。相对于某惯性系作匀速直线平动、坐标轴不转动的参考系也是惯性系。 惯性以质量衡量，不随速度增大而增大。高速物体难以停下，通常是其动量较大，并不是其惯性质量在牛顿模型内改变。匀速圆周运动的速度方向不断变化，所以加速度不为零，合外力也不为零。 “合力为零”只给出加速度为零，不给出速度为零。“某一时刻速度为零”也不能推出该时刻合力为零；上抛物体最高点是直接反例。 第二定律的对象性与瞬时性 在惯性系中，对质量恒定的质点有 这里的合力是该物体所受真实力的矢量和；加速度必须是同一物体在该惯性系中的加速度。不能把甲物体的合力与乙物体的质量配对，也不能把地面系受力直接等同于车厢系的相对加速度。 第二定律是瞬时关系：同一时刻的合力决定同一时刻的加速度。若合力依赖位置、速度或时间，加速度就会变化。质量恒定时，把该式沿时间累积可得到冲量与动量变化的关系；变质量子系统则必须额外处理流入流出的动量。 对于质量恒定的质点组，内力成对抵消后，合外力等于总质量乘质心加速度。只有各部分具有相同平动加速度时，才可直接把这个质心加速度当作每个物体的加速度。 第三定律与平衡力的区别 甲对乙的力与乙对甲的力大小相等、方向相反、作用在不同物体上，并属于同一种相互作用。两力同时存在，不是先有“作用”再有“反作用”。相互作用双方质量不同，加速度一般不同，力仍然等大。 平衡力作用在同一物体上，合力为零。桌面对书的支持力与地球对书的重力，在书静止时可以是一对平衡力，却不是一对相互作用力。支持力的反作用是书对桌面的压力；重力的反作用是书对地球的引力。 例题1 电梯中的视重 题目　质量60千克的人站在电梯地板上的测力计上。分别求电梯以向上加速、向下加速时的示数。若电梯正在向上运动但减速，示数属于哪一种情况？ 分析　测力计测支持力的大小，不是速度或真正的重力。对人取竖直向上为正。 解答　向上加速时；向下加速时。向上运动但减速意味着加速度向下，若大小仍为2，则示数480牛顿。 边界　自由落体时，支持力为零。若把公式外推到得到负值，普通地板无法向下拉人，此时人将与地板分离，不能继续维持共同加速度。 规律　超重、失重由加速度方向决定，不由速度方向决定；视重变化不意味着重力本身变化。 例题2 两物体互推 题目　质量分别为40千克和60千克的两名滑冰者在光滑水平冰面上相互推开。某时刻接触力为120牛顿，求两人的水平加速度，并检验系统的质心加速度。 解答　设40千克者受到向左的力，取右正，则，。水平外力为零，且 易错点　不能因为轻者加速度更大，就认定重者受到的推力更大；也不能把两人之间的力都画在其中一人的受力图上。 重力与接触弹力 重力和万有引力的联系 近地小范围问题可把重力写成，大小为，方向按当地竖直向下处理。严格说，地面系测得的有效重力还受地球自转影响；本书普通题忽略该修正，进阶加速系采用明确的有效重力定义。 对于球对称天体外的质点，引力大小为 是距天体中心的距离，而不是离表面的高度。均匀球壳对壳内质点的合引力为零；对壳外质点的引力等效于全部质量集中在球心。均匀实心球内部半径处只有内侧球体的质量贡献合引力，故正比于。这些结论不能直接套到任意非球对称物体。 支持力的方向与大小 光滑接触面只提供法向作用力，通常记为；一般接触面还可提供切向摩擦。支持力来自接触形变，不因物体“放在水平面上”就必然等于重力。若有额外竖直分力、曲面运动或竖直加速度，应沿法向列方程求解。 普通无黏附接触只能推不能拉，必须满足。算出负支持力通常表示接触假设失效。曲面法向加速度常不为零，因此“没有穿入接触面”与“法向加速度为零”不能画等号。 图1 受力图只画作用在所选物体上的真实力 分力不与原力重复计入 绳与杆的受力方向 理想柔绳只能沿绳方向拉物体，不能推物体；张力满足。轻绳直线段在无其他分布切向力作用、加速度有限时，两端张力相等。绳绕过有转动惯量的滑轮后，两侧张力未必相等。 只有理想二力杆，即忽略杆质量、仅两端通过理想铰接受力、无中间载荷或外加力矩时，杆力才沿杆轴线。轻杆可受拉也可受压；一般刚杆受三力、分布力或端部力矩时，端点作用力不能先验地画成沿杆方向。 例题3 斜向拉力下的支持力 题目　质量2千克的物块在光滑水平面上，受到大小10牛顿、向右上方且与水平夹角的恒定拉力。求加速度和支持力。 解答　先假定保持接触，竖直加速度为零。水平与竖直方程分别为 代入得，，假设自洽。 迁移规律　若增大拉力至，保持接触的解给出负，实际应改为，物块离开水平面，竖直加速度变为。 例题4 拱桥顶部的脱离条件 题目　小车可视为质点，驶过曲率半径20米的圆弧拱桥顶部。车速为，质量500千克，求桥对车的支持力和保持接触的最高速度。 分析　顶部法向指向下方圆心。车速方向水平不代表加速度水平。 解答　支持力为2500牛顿；接触要求。等号对应支持力刚为零的边界。高速超过此值后，车按脱离轨道的运动规律飞行，不能仍强行令其沿桥面圆弧运动。 胡克定律与弹簧模型 标量伸长量与矢量方向 在线性弹性范围内，沿弹簧轴选定坐标，有；是相对自然长度的有符号形变量，负号表示恢复力反向于形变。弹簧力的大小为。胡克定律中的零点是自然长度，振动方程的零点却可以选在受重力后的平衡位置，二者不能混用。 对连接两个端点的弹簧，令从固定端指向运动端，，自然长为，则在且弹簧能受压受拉的模型下 弹簧不一定竖直或水平，力的方向随两端相对位置改变。若装置只能拉不能压，应另外限定，缩短后不再使用压缩弹力。 串联与并联的推导 串联的轻弹簧中间无质量节点：两弹簧所受拉力大小相等，总伸长等于各自伸长之和。因此 并联且几何安排保证伸长相同：总力为两弹簧力之和，故。若两个弹簧与位移方向成角度，端点运动改变力的方向，不能只凭“看起来并排”直接相加劲度系数。 同种材料、横截面相同的均匀理想弹簧，在线性近似中劲度系数反比于有效长度。将其等分为段，每段劲度系数为。剪断改变了有效长度，不能仍用原来的。 平衡位置附近的运动 竖直向下取正，质量悬在轻弹簧下，伸长满足。平衡伸长，令后，有 恒定重力只移动平衡位置，不改变这一理想线性模型的小振动角频率。若弹簧方向转动、接触状态切换或超出线性范围，结论需要重新判断。 例题5 串并联与切分 题目　两根轻弹簧劲度系数分别为100和300牛顿每米，求串联和并联的等效劲度系数。若原来100牛顿每米的均匀弹簧剪成长度比为1比3的两段，求各段劲度系数。 解答　串联为75牛顿每米，并联为400牛顿每米。短段长为原长的四分之一，故劲度系数400牛顿每米；长段为原长的四分之三，故为牛顿每米。把两段重新串联，应恢复100牛顿每米，可作反向检验。 例题6 从自然长度释放的竖直弹簧 题目　质量0.5千克的小球接在劲度系数50牛顿每米的竖直轻弹簧下端。弹簧上端固定，小球从弹簧自然长度处由静止释放。求平衡伸长、最大伸长、最大速度与首次到达最低点的时间。 分析　运动从平衡点上方开始，振幅等于平衡伸长。规定弹簧始终沿竖直方向，模型允许整个过程中正常受力。 解答　最大伸长为0.20米；最大速度为；第一次最低点对应，故。 易错点　最低点速度为零，但弹力为，合力向上，故加速度不为零。平衡点合力为零、加速度为零，但此时速度最大。 摩擦力与状态判定 静摩擦是一个待求约束力 接触点之间没有相对滑动时，切向静摩擦力由动力学和不滑动条件共同决定，大小满足 不能先把所有静摩擦都写成。只有达到将要相对滑动的边界时，才可取等号。静摩擦方向反对相对滑动趋势；判断趋势时可暂时去掉该接触处的摩擦，再比较接触双方的切向运动倾向。 接触面之间发生相对滑动时，在库仑动摩擦模型内，大小，方向反对接触点的相对速度。它不一定反对物体的地面速度；传送带可以通过动摩擦把物体向前加速。摩擦因数视为常数是一种近似，实际表面可能随速度、温度和材料状态变化。 在相对速度恰为零的瞬间，不能只凭上一阶段方向继续使用动摩擦。应先试算维持无相对滑动所需的静摩擦；若不超限就转为共同运动，若超限再确定新的滑动方向。 图2 静摩擦先由方程求需求值 滑动摩擦由相对速度确定方向 摩擦角的几何意义 把支持力与静摩擦合成接触合力，若它与法线的夹角为，则。极限摩擦角给出合力的允许方向范围。摩擦角是受力几何工具，不表示所有情形下摩擦都达到极限。 例题7 水平面上逐渐增大的拉力 题目　质量2千克的物块静止在水平面上，，。水平拉力从零缓慢增大。分别讨论、即将启动以及滑动后的状态。 解答　支持力20牛顿，最大静摩擦8牛顿。拉力5牛顿时，静摩擦大小为5牛顿，物块保持静止。拉力达到8牛顿时处于极限静平衡；略超过8牛顿才不能维持静止。若已向右滑动且拉力10牛顿，摩擦6牛顿，加速度为。 易错点　拉力恰好8牛顿不必然意味着已经运动；状态还受初始条件影响。若物体已经向右滑动，即使拉力降至7牛顿仍可继续向右加速，因为此时动摩擦只有6牛顿。 例题8 固定粗糙斜面上的上滑与下滑 题目　斜面倾角，，。物块以沿斜面向上运动，求上滑距离、到最高点后是否下滑，以及回到出发点的速度大小。 解答　上滑时摩擦与重力切向分量都沿斜面向下。上滑减速度大小为 因此上滑距离。停止后检验，静摩擦不足以平衡下滑趋势，物块开始下滑。 规律　上滑、静止候选、下滑是三个不同状态。若，到最高点后可停住，不能强行计算“返回速度”。 例题9 叠块不滑动的最大拉力 题目　上块质量，下板质量。板与地面光滑，上块与板之间、。水平向右拉下板，求不相对滑动的最大拉力；再求拉力30牛顿时二者的加速度。 分析　共同运动时先对整体求加速度，再隔离上块求维持该加速度的摩擦。摩擦在上块上向右，在板上向左。 解答　最大拉力20牛顿。拉力30牛顿时，若仍设共同运动，需摩擦12牛顿，超过最大值8牛顿，所以发生滑动。动摩擦6牛顿，上块加速度为，板的加速度为。 检验　板比上块向右加速更快，上块相对板向左滑，所取上块摩擦向右确实正确。 例题10 匀速传送带上的分段运动 题目　足够长的水平传送带以向右匀速运动。小物块轻放在带上，初速度为零，。求达到带速的时间、这段时间内物块对地位移和相对带的滑动距离。 解答　物块相对带向左滑，摩擦向右，加速度。达到带速所需，对地位移4米，传送带移动8米，相对滑动距离4米。 达到同速后若无其他水平外力，维持共同匀速所需静摩擦为零，物块随带匀速运动。不能把此前的加速度继续延长，否则会错误地让物块超过带速后仍受向右摩擦。 迁移规律　热量计算使用相对滑动距离，；摩擦对物块做的功则使用物块对地位移。两者一般不同。 受力分析与运动方程的组织 六步建模法 第一步确定对象和阶段。对象可以是单个质点、若干物体组成的系统，或为求内力而选取的子系统。阶段由接触、滑动、绳是否绷紧等物理状态划分，不只是按题目中的时间词分段。 第二步选择参考系和坐标。默认先用地面惯性系；斜面问题常选沿面和垂直面，圆周问题常选切向和法向。坐标正方向可以任意，但所有加速度和力的分量必须遵守同一约定。 第三步逐一寻找相互作用来源。先画重力，再检查接触面、绳、杆、弹簧及已知外力。每一个力都要能回答“谁施加给谁”。不把运动方向、加速度、向心力或重力分力当成额外的真实力。 第四步先写约束，再列动力学。约束给出位置、速度或加速度之间的关系；第二定律给出力与加速度关系。多个物体的加速度是否相同应从约束推出。 第五步联立求解并保留符号。负加速度通常只表示方向与正方向相反；负支持力或负绳张力则可能表示当前模型不允许。两类负号不能混为一谈。 第六步检验单位、极限和状态。常用检验包括质量趋于零、摩擦趋于零、斜角趋于零、加速度趋于零，以及、、。若违背不等式，应更换状态方程重新求解。 整体法和隔离法各解决什么 整体法通过消去内力快速求共同加速度或质心运动；隔离法用于求接触力、张力和摩擦。系统受到的外力必须包含来自所有外界接触的力。内力是否抵消，取决于两相互作用对象是否都包含在系统中。 对含绳和滑轮的系统，“所有张力都是内力”并不总成立；例如固定在外部支架上的滑轮，支架反力是外力。即使内力成对抵消，仍不能在不同物体加速度不同时写成总质量乘某一个物体的加速度。 例题11 三块物体的接触力 题目　三个物块质量依次为1、2、3千克，在光滑水平面上从左到右接触排列。对最左侧物块施加12牛顿向右的力，求各块加速度和两处接触力。 解答　整体加速度为。隔离最右侧3千克物块，接触力为6牛顿；隔离右侧两块组成的5千克子系统，左侧接触力为10牛顿。 检验　最左块合力为牛顿，中间块合力为牛顿，均与各自质量乘共同加速度一致。 方法提炼　求某处内力时，优先选择该截面一侧、外力最少的子系统。若施力位置改到最右侧且仍向右拉它，无连接的其余物块不会被接触面“拉走”。 例题12 粗糙桌面与悬挂物 题目　桌上物块质量3千克，通过跨过桌边轻定滑轮的绷紧轻绳连接悬挂的2千克物块。桌面、，系统由静止释放。求运动方向、加速度和张力。 分析　若静止，悬挂物要求张力20牛顿，桌上物块所需静摩擦也为20牛顿，超过15牛顿的极限，所以悬挂物下落。定滑轮固定且两直绳段方向固定，绳长约束给出两块沿各自运动方向的加速度大小相等。 规律　“存在悬挂物”不保证系统运动，必须先做静止可行性检验。本题中动摩擦只在启动后的运动阶段使用。 绳长约束与滑轮系统 从几何长度开始 一根绷紧、不可伸长的绳，其各段几何长度之和为常数。应先画清绳路，定义每个活动端和滑轮中心的位置，再对长度关系求导。固定半径滑轮的包绕弧长若不随构形改变，可并入常数；如果切点或包角改变，则不能无条件略去。 对一段两端运动的直绳，令端点相对位置，长度，单位方向，相对速度为。有 第二次求导多出方向变化项。只有该段长度固定且无横向相对速度时，才能进一步把沿绳加速度分量简单等同。绳连接两物体并不普遍意味着加速度大小相等。 张力相等需要什么条件 直线轻绳段若无其他切向外力，因质量可忽略，其两端张力等大。对轻质且轴无摩擦的滑轮，有限角加速度要求合力矩为零，两侧张力也相等。若滑轮有转动惯量且绳不打滑，则张力差负责角加速度；若绳与固定粗糙圆柱接触，摩擦也可使张力沿绳变化。 动滑轮上受到两根平行绳段的张力时，合拉力是；若两绳段成角，则必须先做矢量相加。轻动滑轮的挂钩拉力可以为，不等于每段绳的张力。 图3 一端固定的动滑轮 绳长约束和动滑轮受力必须分别写出 例题13 阿特伍德机 题目　质量和的物块通过轻绳跨过轻定滑轮连接，由静止释放。求加速度和张力。 解答　较重物块向下为其正方向，较轻物块向上为其正方向。两块沿各自方向的加速度大小相同。列式 检验　张力介于两重力之间，使轻者向上、重者向下。两质量相等时加速度为零；极轻的一端质量趋零时，重端接近自由落体，张力趋零。 例题14 动滑轮与不同加速度 题目　一根轻绳一端固定在天花板，向下绕过挂有质量物体的轻动滑轮，再向上跨过轻定滑轮，末端悬挂质量的物体。两活动物体下方空间足够，绳绷紧。求从静止释放后的加速度和张力；取、给出数值。 分析　以两物体竖直向下的位置分别为。两根绳段随动滑轮同时增长，故，于是。 把代入第二式，得，再代入第一式可得 解答　数值为向下，即向上，。当时才平衡，不是。 易错点　整体净重不是乘任一物体的加速度。若只把两物块当系统，绳对它们的作用都是外力；应回到各自方程或质心方程。 例题15 斜绳牵引的非线性约束 题目　光滑水平面上物块距桌面上方固定导向点的水平距离为，导向点高为。绷紧轻绳从物块经导向点引出，另一端被匀速收绳，速度大小为。忽略导向点尺寸。求物块水平速度、水平加速度和绳张力，并说明接触限制。 分析　斜绳长，收绳使。物块向导向点靠近，故。对再次求导。 水平受力为，竖直支持力满足。因此 解答　以上关系只在且驱动能维持恒定收绳速率时成立。若从接触状态逐渐靠近，在达到脱离边界，此后须重建二维运动。不能把的数学发散当作可实现的无限速度。 方法提炼　约束系数随位置变化时，必须从长度关系求两次导数。只把速度关系中的换成，会漏掉本题全部加速度。 杆与接触面的约束 定长杆的速度与加速度关系 设两端A、B间固定距离为，。对求导两次得 第一式表示两端沿杆方向的速度分量相等；第二式并不表示两端沿杆方向的加速度分量相等，因为杆转动时存在相对速度平方项。杆的长度固定并不意味着它的方向固定。 固定面与移动面的接触条件 对固定平面，物体持续接触意味着法向位置固定，法向速度与法向加速度都为零。对加速平移的平面，持续接触要求物体与平面的相对法向加速度为零，而非物体对地法向加速度为零。 对固定曲面，约束曲率带来法向加速度。对移动、转动曲面，最好先写其几何方程再求导，或在适当参考系中建模。普通接触还须满足支持力非负。 例题16 两端在光滑导轨上的轻杆 题目　轻二力杆长，下端A连接质量的小滑块，可沿水平直导轨运动；上端B连接相同质量的小滑块，可沿竖直直导轨运动。导轨可从两侧提供约束力，两导轨相交于O。初始杆与水平夹角为，，从静止释放。求释放瞬间两端加速度及杆轴力。 分析　设A在O右方，B在O上方，、。释放瞬间速度为零，故。先设杆受压，压力大小，杆对A向右下、对B向左上。 联立约束得，因此 检验　两端加速度一般不等大。与受压假设一致；若把杆换成只能受拉的绳，同一释放瞬间不可能维持这套约束运动。 延伸　运动一段时间后必须使用，不能继续沿用释放瞬间的简化关系。 例题17 平台加速下降时的接触与分离 题目　质量的物块放在水平平台上，初始二者静止。平台从起以大小为的恒定加速度竖直向下运动。无黏附，比较、和三种情况。 解答　假设共同运动，向下为正，有，即。时支持力为正，能保持接触。时；在理想模型、相同初始位置与速度下，二者可保持几何相接，但没有挤压作用。 时共同运动需要负支持力，故不可能。物块自由落体，加速度；平台加速度更大，向下跑得更快。物块相对平台向上的距离为。 易错点　“支持力为零”是接触失效的边界条件，不保证已经出现正间隙。是否立刻分离还要检查相对速度或相对加速度。 活动斜面与加速参考系 地面系和斜面系的对应 活动斜面把几何约束与动力学耦合在一起。可在地面系写物块的水平、竖直加速度，再用斜面约束联系；也可在只平动不转动的斜面系中加入惯性力。两种方法应得相同结果。 对加速平动系，相对加速度满足 定义有效重力，可把重力和惯性力合并用于该参考系中的平衡与相对运动。惯性力不是某一真实物体施加的相互作用力，不为它寻找牛顿第三定律的反作用对象。 图4 活动斜面取向右下为相对运动正向 斜面向左加速 例题18 光滑活动斜面 题目　质量的楔形斜面置于光滑水平地面，坡面向右下倾斜，倾角。质量的物块在斜面上无摩擦滑动，系统由静止释放。设斜面水平位移向右为正，物块沿斜面向右下的相对位移为。求斜面加速度、相对加速度和支持力。 分析　物块坐标可写为、。水平无外力，故两物体水平动量的变化率为零。 沿坡向右下投影物块第二定律，支持力无切向分量，得 联立得 竖直方程为，因此 检验　时恢复固定斜面结果；表示斜面向左加速。支持力比固定斜面下的小。物块对地加速度不是单纯沿斜面，不能把直接当成相对加速度。 第二种解法　在斜面系中加入向右的惯性力，沿坡列，与上述方程完全一致。 圆周运动与接触临界 向心力是合力的法向分量 对曲线运动，切向和法向方程为 向心力不是在重力、张力、支持力之外新增的一种力。先找真实力，再把其合力沿法向投影。匀速圆周运动只意味着切向合力为零；非匀速圆周运动同时具有切向和法向加速度。 在竖直圆周运动中，速率一般随高度变化。能量关系便于求速率，径向第二定律负责求张力或支持力，两者分工不同。用能量得到“能够到达某高度”后，还必须确认到达之前约束未失效。 例题19 圆锥摆 题目　长的轻绳一端固定，另一端系质量的小球，小球做水平圆周运动，绳与竖直夹角为。求张力、速率、角速度和周期。 解答　竖直方向加速度为零，水平方向半径为。 对，可得 周期为。当，对应小半径圆周运动的极限；恰好时小球可静止，不能通过约去零因子把它强制解释成非零角速度运动。 例题20 轻绳竖直圆周的最小底端速度 题目　小球用长的轻绳连接固定点，从圆周最低点水平发射。求绳在完整竖直圆周运动中保持绷紧所需的最小初速度，以及临界情形下最低点和最高点张力。 分析　从最低点计角，高度增加。用机械能求速率，再沿指向圆心的方向列第二定律。 所以，最小张力出现在最高点。取，得到 临界时最高点速度为，最高点张力零，最低点张力。 易错点　仅以能量得到不够；该条件只保证能量可到达最高高度，不能保证轻绳沿途中始终绷紧。 例题21 球面外侧滑动与脱离 题目　小球从光滑固定球面顶部附近，以趋于零的初速开始下滑。球半径，求脱离位置角和速率。角从竖直向上的半径起算。 分析　严格放在完全对称的最高点并恰好静止时，理想小球可停在不稳定平衡点；这里研究受到任意小扰动后的极限轨迹。向圆心方向为正。 代入得，故脱离边界为 脱离后支持力为零，小球进入抛体运动。原来的径向等式不再具有这一固定半径形式，因为轨迹曲率半径已经改变。 图5 绳内侧约束与球面外侧接触的法向受力不同 瞬时变化与分阶段运动 哪些量连续 哪些量可以突变 在质量有限、外力不含冲量的通常模型中，位置和速度连续；加速度可以因力突变而突变。理想轻弹簧的形变不能在零时间内发生有限突变，因此两端位置连续时弹簧力瞬间保留原值。理想绳和接触面则可通过改变约束反力立即适应新运动。 这些判断有前提。若绷紧松绳、发生碰撞或约束突然强制改变速度，就可能出现冲量，不能再使用“速度一定连续”。真实有质量弹簧中的扰动以有限速度传播；本书瞬时弹力规则针对常用的集总轻弹簧近似。 例题22 剪断支撑绳后的两个瞬时加速度 题目　质量为的上球通过轻绳悬挂在天花板上，下球质量，通过竖直轻弹簧连在上球下方。系统原来静止。剪断上方悬绳，求剪断瞬间两球的加速度。 分析　原平衡时弹簧拉力为。剪断瞬间弹簧形变未变，其拉力仍为；上方绳的作用则消失。 解答　向下为正，对上球和下球分别列式 检验　上球加速度大于并不矛盾，它还被弹簧向下拉。质心加速度为，与系统只受总重力一致。两球此刻速度均仍为零，但以后并非一起自由落体。 变式　若只剪断下方弹簧连接，上球仍由不可伸长的上绳固定，瞬间加速度为零，上绳张力立即变为；下球开始自由落体。不可把“弹簧力不能突变”误套到已经解除的连接上。 阶段交接的统一规则 每阶段先列有效方程，再找最早发生的终止事件，例如相对速度变零、、、静摩擦达到极限、弹簧进入自然长度或到达装置端点。比较这些事件对应的时间或位置，先发生者终止当前模型。 在无冲量的交接处，把末位置、末速度传给下一阶段；加速度重新由新受力决定。涉及冲量时，应先用动量关系和碰撞或新约束条件处理瞬时速度变化，再进入下一段连续运动。 从运动方程到变力运动 加速度的三种常用表示 已知力随时间变化，优先用；已知力随位置变化且只需求速度和位移关系，可用；存在弹簧等恢复力时，直接建立位置的二阶微分方程。 质量恒定的一维问题，第二定律积分给出 第一式来自冲量，第二式来自功。第二式的推导可由乘以得到；经过转向点时应按实际轨迹和有效力规律使用，不把多值速度关系误当成全局单值函数。 例题23 线性空气阻力下的下落 题目　质量的小球由静止下落，取向下为正，阻力为，。求速度与位移随时间的关系以及终端速度。 分析　方程是一阶线性方程。令，，对分离变量或用积分因子。 检验　时位置、速度均为零，初始加速度为；时速度趋于、加速度趋零。小时间展开得。终端速度是渐近极限，在该模型中不在有限时间精确达到。 例题24 随位置增大的阻力 题目　质量的物块沿光滑直轨道向右运动，初始、速度。在其向右运动阶段，受到大小、方向向左的制动力，。求速度与位置关系以及首次停止位置。 解答　沿列，积分得 所以。只要所给制动力模型在该位置之前有效，这就是第一次停止点。 辨析　若该力实际是弹簧恢复力，物块停止后会反向运动；若是只在向右运动时工作的制动装置，停止后的行为需由装置规则确定。相同的一段运动方程不保证具有相同的后续运动。 解题规律与方法选择 用未知量清单判断方程是否闭合 两个连接体问题的未知量可能是两个加速度和一个张力。分别列第二定律只有两个方程，还需要一个约束。若误把两加速度默认相同，相当于偷偷加入了一个未证明的方程；若漏掉静摩擦，也可能使未知量数量错误。先列未知量清单，可以发现“方程看似够用但物理前提缺失”的问题。 对二维质点，每个物体有两个独立平动方程。选用切向、法向后仍只有两个，不能把同一第二定律在另一套坐标下重写后当成新信息。能量式若已由这些动力学方程积分得到，也不是任意额外条件；它的价值在于消去时间或约束力。 由状态决定方程 而不是由公式决定状态 处理摩擦，先试无相对滑动；若所需摩擦不超限，采用静摩擦解；否则用相对滑动方向决定动摩擦。处理接触，先试保持接触；若算出负支持力，转为脱离。处理绳，先试绷紧；若要求负张力，转为松弛。 这里的“先试”是一种假设检验，不表示真实运动一定经过所有假设阶段。若题目已经明确相对滑动，直接进入滑动方程；若已明确有间隙，支持力先取零。 利用对称性和极限减少代数错误 质量、几何和初始条件均对称时，可先寻找等加速度、等张力或中点不动等结论，但必须注意外力是否也对称。两个质量相等却一边受摩擦，运动不会自动对称。 极限检验尤其适合参数题：活动斜面质量无限大应退化为固定斜面；滑轮转动惯量为零应回到理想滑轮；阻力趋零应回到匀加速；摩擦系数趋零时不应残留摩擦作用。量纲正确只说明可能正确，不能替代物理检验。 问题特征 优先方法 必须补做的检查 多个物体共同平动 整体求加速度 隔离求内力 共同运动所需摩擦是否可实现 滑轮或变化角度的绳 先写总绳长 再求两次导数 包绕长度是否变化 绳是否绷紧 固定曲线轨道 切向与法向分解 支持力方向和接触边界 瞬时剪断或撤去外力 保留连续状态量 重画受力图 是否存在冲量和新约束 力依赖位置 使用速度与位移关系或能量 力的表达式适用于哪一阶段 加速平台或斜面 地面系分量法 或平动惯性力 不可重复加入惯性力 参数范围也是答案的一部分 竞赛题经常要求“不滑动”“始终接触”“能够通过”或“最大最小”。这类问题的最终答案通常是一个带物理条件的区间，而不只是某个公式。应把所有条件求交集，再比较区间端点；一个代数临界值若落在不可接触区域，就不是可实现的临界值。 对于时间演化问题，多项不等式同时有效。若先达到绳张力为零，再达到所谓的最高点，必须在绳松弛处停止原推导。临界等号可能只给出一个可逼近的下确界，不能一律声称存在有限时间达到的最小值。 常见错误的逐项剖析 把运动信息误当成力 错误一是“向前运动就要有向前的力”。光滑水平面上匀速运动无需水平合力。错误二是“圆周运动多一个向心力”。应把已有真实力的法向合力等于所需向心项，不能重复计力。错误三是“加速度与速度同向”。减速和曲线运动都给出反例。 改正方法是给每个力写出施力物，并在受力图旁单独标运动方向和加速度方向。受力图只反映相互作用，运动图反映运动状态，两者相互验证而不混画成一组力。 把局部经验当普遍结论 “支持力等于重力”只适用于相应方向无其他力且加速度为零的特定情形。“摩擦等于摩擦因数乘重力”同时隐含动摩擦或极限静摩擦，以及支持力等于重力两个条件。“同绳等张力”还要求理想绳和适当的滑轮条件。 “杆力沿杆”只适用于理想二力杆；“弹簧力不能突变”只讨论连接未解除且形变连续的弹簧；“物体到最高点后必下滑”必须通过静摩擦检验。遇到熟悉公式，先问其前提是否仍成立。 漏掉相对运动和二次求导项 摩擦反对的是接触点间的相对滑动。判断传送带摩擦时，先算物块速度减去带速；判断叠块时，先比较两块速度或自由运动趋势。相对速度为零不能直接把摩擦设为零，因为可能需要静摩擦维持共同加速。 对求两次导数，正确结果为。只有在释放瞬间两速度均为零时，后两个项才消失。漏项本质上是忽略约束方向变化产生的法向加速度。 混用坐标系和不同层次的模型 在地面惯性系中不额外加惯性力；在加速系中使用相对加速度时，应补齐所需惯性力。把地面加速度放在左侧、又把平动惯性力放在右侧，会把参考系加速度计算两遍。 质量可忽略和转动惯量可忽略是两项模型说明。理想轻滑轮可以通过力平衡确定挂钩力，但有转动惯量的滑轮必须加转动方程。把有质量的弹簧或绳直接套轻绳轻弹簧结论，也会隐藏传播效应或张力分布。 最后一行答案前的六个问题 研究对象和参考系是否一致？每个力是否有来源？约束是否实际有效？静摩擦、支持力和张力是否满足范围？阶段切换是否发生得更早？答案的单位、方向、极限和初始条件是否合理？这些检查比多重复一次相同代数更容易发现本质错误。 八个进阶专题 专题1 水平加速斜面上的静止范围 问题　斜面向右上倾斜，倾角，平台以有符号加速度沿水平向右平动。物块与斜面之间静摩擦系数为。求物块相对斜面静止的条件，设斜面不转动且接触面足够大。 推导　在斜面系内，惯性力为，沿坡向右上为正。法向向左上。相对平衡给出 因此必须同时满足 这组不等式比未经讨论的分式区间更一般。如果，可化为 再与接触条件求交。若化简时出现非正分母，必须重新判断不等号方向，不得套上述区间。 数值示范　取、，则，单位为米每二次方秒。时所需摩擦恰为零；更负或更正的会使摩擦方向改变。 方法　有效重力沿接触面的投影决定所需摩擦，法向投影决定支持力。先得到一般不等式，再按参数讨论，是避免漏解的关键。 专题2 摩擦角与最省力的牵引 问题　质量的物块静止在粗糙水平地面。以与水平夹角向右上缓慢增大拉力，。求在仍接触地面的条件下，使物块达到向右滑动临界所需的最小拉力及对应角度。 推导　临界时，竖直方向。由此 分母可写为，其中。因此 检验　此时，最优角确在保持接触区域。若题目限定角度范围，最优角落在范围外时应比较允许端点。 自锁辨析　改为向右下压推，力与水平夹角为，则法向力增大。临界式变为。当，再增大这种固定方向的推力也无法按该理想静摩擦模型启动，称为这一加载方式下的自锁。并非物体在所有方向上都无法移动。 专题3 两个自由物块与约化质量 问题　光滑水平面上两个物块质量，用劲度系数的轻弹簧连接。初始弹簧比自然长度伸长，两块速度均为零。求伸长量的运动和两块速度关系。 推导　设在左、在右，，则、。相减得 定义约化质量，其中不是摩擦系数，于是 质心静止给出；又，所以 方法　共同外加速度可在相对方程中消去，内力决定内部振动。若一端质量趋于无穷，约化质量趋于另一端质量，恢复一端固定的弹簧振子。 专题4 有质量滑轮与重绳 有转动惯量的滑轮　两质量经半径、转动惯量的滑轮相连，绳轻且不可伸长，绳与轮不打滑，轮轴无摩擦。取重端向下、轻端向上为正，角加速度大小为。 联立得 张力分别由、求出。转动惯量产生额外的等效惯性，故加速度比轻滑轮情形小。均匀实心圆盘质量时，。 重绳的张力分布　一根均匀绳长、质量，竖直悬挂，上端牵引使整绳以加速度向上平动，下端自由。取距下端处的横截面，隔离其下方长度的绳，有 下端张力为零，上端张力最大。质量不可忽略时，“一根绳张力处处相等”不成立。若自由落体，可得到全绳张力为零的极限；若要求并保持拉直，就需重新检查绳不能受压的条件。 专题5 约束乘子与约束力的统一写法 问题　质点在光滑固定圆环上运动，圆心为原点，半径，重力向下。如何在直角坐标中同时求运动与约束力？ 推导　约束为。径向作用力可写成，其中是有符号待定系数，单位为牛顿每米，并不是张力大小。方程为 约束的二阶导数给出。将动力学代入得 约束力矢量为。在环内侧单面接触时，约束力只能向内，要求；在球面外侧单面接触时，只能向外，要求；双侧导轨则可允许两个符号。 推广　对光滑固定约束，约束力沿法线，可写成。多个独立约束引入多个乘子，联立第二定律与约束的导数关系求解。乘子的数值依赖约束函数的归一化，但真实约束力不依赖这种写法。 限度　有摩擦时还需独立的切向力规则；单面约束还需不等式。会写乘子方程不能代替接触状态判断。 专题6 杆与绳在竖直圆周中的本质区别 问题　将例题20的绳改为可拉可压的理想轻二力杆，杆长，小球从最低点获得水平速度。保持圆周运动时，讨论恰能越过最高点所需的初速度。 推导　能量关系仍为。以向心方向为正定义杆力，则，与绳张力表达式形式相同，但可以为负，表示杆推小球远离圆心。 到最高点需要；若要求在有限时间内连续越过最高点，则必须严格大于。临界值对应分离轨道：接近最高点时速度趋零，到达时间发散。可越顶初速度集合的下确界是，但该值本身不产生有限时间越顶。 在最高点附近令，临界能量下，故，积分呈对数发散。这说明“有足够势能”和“有限时间通过”也不是同一条件。 对比　轻绳保持绷紧的临界初速度为；可拉可压杆的有限时间越顶条件为；单面轨道必须按其法向力可取方向另行判定。 专题7 变质量系统为何不能直接写质量乘加速度 问题　水平小车一边运动一边收集竖直落下的砂粒。车与已有砂的总质量为，，砂落入前水平速度为零，落入后随车运动。忽略水平外力，求车速。 推导　在极短时间内，取“当前车和砂，加上即将落入的砂”构成封闭系统。水平动量守恒为，忽略二阶小量得 车虽然没有水平外力，其速度仍下降，因为新加入的砂需要获得水平动量。正确的通量形式为 此式中是流入物质在同一惯性系中的速度，且这里按单一流入流建模。对于火箭，若质量流失、喷气相对火箭向后速度大小为，忽略外力，则，积分给出 方法　先把一小段时间内的物质收支画清，统一各速度的参考系，再写动量。不要看到就直接把用于任意开放子系统。 专题8 非线性阻力与事件驱动的数值求解 问题　小球由静止下落，阻力大小为，方向反对速度，求向下运动阶段的速度，并说明一般复杂模型如何数值求解。 推导　取向下为正且，有。令，分离变量得 因此。这里。位移可由积分得到。初始加速度为，终端速度为。 数值方法　把位置和速度组成状态变量，按、进行步进。可用四阶龙格库塔方法提高精度；每一步同时计算、、相对速度及装置边界，若发现事件函数跨过零，应缩小步长或插值定位事件，而不能跨过事件后仍沿旧方程继续计算。 可信度检查　步长减半后结果应收敛；无摩擦的保守阶段检查能量偏差；有静摩擦的阶段检查摩擦是否超限；已知解析极限用来验证程序。数值曲线平滑并不能证明物理模型正确。 分层练习 B组 基础概念与单体建模 每题先写研究对象、正方向和主要受力方程。除另有说明，沿用本书的理想模型和重力加速度。 B1　质量50千克的人乘电梯向下运动，速度在2秒内由均匀减至。求测力计示数，并判断超重还是失重。 B2　质量3千克的物块放在光滑水平地面上，受到15牛顿向右上、与水平夹角的拉力，取、。求加速度和支持力。 B3　质量0.4千克的物体挂在劲度系数80牛顿每米的竖直轻弹簧下静止。求弹簧伸长；若将该弹簧剪成两个等长段，只用其中一段悬挂相同物体，伸长多少？ B4　质量4千克的物块在水平地面上，、。起初静止，施加12牛顿水平拉力，求摩擦力；若物块已向右滑动，仍受12牛顿向右拉力，又会怎样运动？ B5　质量2千克的物块静止在斜面上，静摩擦系数0.8。求支持力和摩擦力的大小、方向，并检验静止状态。 B6　质量2千克和4千克的两个物块在光滑水平面上依次接触。对2千克物块施加18牛顿水平力，推着4千克物块共同运动。求加速度及接触力。 B7　理想阿特伍德机两端质量分别为6千克和4千克。求加速度和绳张力。 B8　质量60千克的乘客位于圆弧凹形轨道最低点，曲率半径40米，速度。求座椅对乘客的支持力。 B9　两球质量分别为1千克和3千克，按例题22用上方悬绳和中间轻弹簧串接，最初静止。剪断上方悬绳，求瞬间两球的加速度及质心加速度。 B10　轻杆两端A、B的距离固定为2米。某时刻从A指向B的向量为，相对速度为。求相对加速度沿方向的分量，说明为何不为零。 M组 连接体与分段综合 每题应包含状态检验。涉及有限长度时，先检验所求事件是否在物块离开装置之前发生。 M1　上块2千克、下板4千克，板与地面光滑，二者间、。水平向右拉上块，求二者不滑动的最大拉力；拉力为12牛顿时，求两者加速度。 M2　水平传送带以向右匀速运动，物块以向右滑上带，动摩擦因数0.2。带足够长。求同速时间、物块对地位移及相对滑动距离。 M3　物块以沿倾角的斜面上滑，、。求上滑距离，并判断停下后能否自动返回。 M4　采用例题14的滑轮结构，挂在动滑轮上的质量，自由端质量。求两物体加速度和绳张力。 M5　活动斜面向右下倾斜，、、，各接触面均光滑。求斜面加速度、物块相对斜面加速度以及支持力。 M6　质量的物块在粗糙水平地面上，。以大小可调、方向向右上的拉力使其达到滑动临界。求最省力的方向和拉力大小，并验证没有先被提离地面。 M7　长1米的轻绳系着质量0.2千克的小球，小球从竖直圆周最低点以出发。求最低点和最高点张力，并判断能否保持绷紧完成一周。 M8　质量的小球从光滑球面顶部以水平切向初速度出发，向球面外侧下滑。求支持力首次为零时的位置角和速度，角度从顶部半径起算。 M9　质量2千克的物块沿水平粗糙面运动，通过劲度系数100牛顿每米的轻弹簧连接固定点，弹簧始终水平。初始向右伸长0.10米，物块静止，、。判断是否运动；若初始伸长改为0.20米，求释放瞬间加速度。 M10　某物体从静止下落，所受线性阻力模型的时间常量为2秒。求其达到终端速度一半所需时间和这段时间的下落距离。 C组 进阶推导与条件讨论 以下题目重在建立关系、推导和讨论边界。仅列最后结果不足以体现完整解法。 C1　质量3千克与2千克的物体通过轻绳跨过质量2千克、半径的均匀实心圆盘滑轮相连。轴无摩擦，绳不打滑。求两块加速度和两侧张力。 C2　质量1千克和3千克的两个自由物块在光滑水平面上由劲度系数12牛顿每米的弹簧连接。初始伸长0.20米，两块均静止。求内部振动角频率、首次达到自然长度的时间，以及此时两块速度。 C3　向右上倾斜的斜面倾角，静摩擦系数，以水平加速度平动。求物块相对斜面静止的全部范围，并求摩擦方向切换时的。 C4　均匀绳长2米、质量1千克，绳下端悬挂质量3千克的物体。上端被向上牵引，使绳与物体共同以向上加速。求距绳下端处的张力分布和上下端张力。 C5　质量的物块置于水平粗糙面，连着水平轻弹簧，劲度系数。。初始伸长，从静止释放。设弹簧可拉可压，且物块始终接触地面。求第一次再次停止的位置，并判断之后能否静止。 C6　质量的小球接在长、可拉可压的轻杆末端，另一端固定。从最低点以水平出发。求最高点速度与杆力，确定杆力在何处由拉变压，并判断能否在有限时间越顶。 C7　质量100千克的水平小车以滑行，随后以每秒5千克的速率接收竖直落下的砂。忽略水平外力，砂落入后不反弹。求10秒后的速度、这10秒的水平位移以及该时刻加速度。 C8　例题15的斜绳收绳装置取、，初始水平距离，物块质量1千克。收绳已平稳建立，使物块初速度符合绳长约束。求开始时的支持力、首次脱离位置与经过时间。 C9　质量的物块位于足够长的水平传送带上，最初二者均静止。带以恒加速度向右运动，静、动摩擦系数分别为，且。讨论共同运动条件；若，求时刻物块位移和相对滑动距离。 C10　质量的质点在竖直平面内的光滑圆环内侧运动，圆心为原点、半径。某时刻位置为、速率。用约束乘子求约束力，并给出内侧接触的必要条件。再求最低点与最高点的支持力表达式。 分层练习完整解析 B组解析 B1　向下速度在减小，加速度实际向上，大小为。取向上为正，，得，属于超重。速度向下不决定视重减小。 B2　先设不离地，水平合力为牛顿，所以。竖直拉力9牛顿，故，接触假设成立。 B3　原弹簧伸长。等分后的每段劲度系数为160牛顿每米，因此新伸长0.025米。若误以为剪短后变软，就会得到相反结论。 B4　最大静摩擦为20牛顿，起初静止时所需摩擦12牛顿未超限，故摩擦向左12牛顿、加速度零。若已向右滑动，动摩擦也是12牛顿，合力恰为零，物体保持当时的非零速度匀速运动。相同合力不意味着相同运动状态。 B5　垂直斜面方向给出。沿斜面重力分量10牛顿向下，故静摩擦10牛顿向上。最大静摩擦，可保持静止。不能把静摩擦直接写成牛顿。 B6　整体加速度。隔离4千克块，接触力为。隔离2千克块验证。一对接触作用力大小均为12牛顿，方向相反。 B7　重端向下，加速度。重端方程给出；轻端方程给出同一结果。 B8　最低点向心方向向上，。代入得。凹底与拱顶的法向不同，不能照抄拱桥式中的减号。 B9　原弹簧拉力为30牛顿。剪绳瞬间上球向下合力40牛顿，故加速度向下；下球合力零。质心加速度为向下。瞬间两个速度仍为零。 B10　由定长杆约束，，得。因此。相对速度与杆垂直意味着杆在转动，需有沿杆的相对向心加速度。 M组解析 M1　共同加速度。下板仅受上块摩擦驱动，所需；最大静摩擦为牛顿，故。12牛顿时发生相对滑动，上块相对板向右，动摩擦4牛顿。于是，。若把例题9的最大拉力直接套来，会忽略施力对象已经改变。 M2　物块比带快，摩擦向左，减速度大小2。达到带速的时间为。物块位移为平均速度乘时间，即10米；带位移6米，相对滑动距离4米。此后物块与带匀速，无其他水平外力时静摩擦为零。 M3　上滑减速度为。上滑距离。停止后维持静止要求，成立，所以可以停住，不会自动返回。不能从上滑段方程直接延长为下滑。 M4　向下为各自正方向，有。代入例题14或重新联立可得、、。因此动滑轮与其物体向上加速2，自由端向下加速4。负只是方向相反，并不表示模型失败。 M5　分母。由水平整体方程与沿坡方程联立，得 斜面向左加速，相对下滑加速度大于固定斜面的5。支持力约7.99牛顿，小于固定斜面的牛顿，且仍为正。 M6　临界拉力。分母最大值1.25，对应，即约。最小拉力为。此时，故，没有先被提离。 M7　底端张力。能量给出顶端，顶端张力。顶端张力为全程最小值且为正，可以完成一周。 M8　能量给出。法向方程给出。初始支持力为，首次为零时；此时。初速度增大使脱离提前。 M9　最大静摩擦为12牛顿。伸长0.10米时弹力10牛顿，所需静摩擦10牛顿向右，物块保持静止。伸长0.20米时弹力20牛顿，超过静摩擦极限，开始向左滑；动摩擦8牛顿向右，初加速度大小，方向向左。 M10　终端速度。由，得。位移为米，约7.73米。应为正，并小于相同时间内自由落体位移。 C组解析 C1　均匀圆盘有，所以。重端张力，轻端张力。张力差牛顿，恰满足。 C2　约化质量，角频率。首次自然长度对应，故。此刻。取右正，左块速度为，右块为。动量为零，总动能0.24焦耳，等于初始弹性势能。 C3　所需沿坡向上的摩擦为，支持力为。联立和，得。摩擦为零时。比此值更负时摩擦沿坡向下，比此值更正时沿坡向上。区间两个端点对应相反方向的极限静摩擦。 C4　线密度为。距下端处以下的总质量为千克。对这一子系统列，故以米为单位时牛顿。下端36牛顿，上端48牛顿；两者相差12牛顿，恰等于绳本身质量乘。 C5　释放后物块先向左，动摩擦向右，方程。令，则，。第一次再次停下在半周期时，位置 这一结果允许正、零或负，分别表示仍伸长、自然长或已压缩。停止后重新检验静摩擦：能停住当且仅当，即。若不成立，本题给定保证第一停点不可能位于过大的正伸长一侧，故此时弹簧压缩过多，物块开始向右运动，动摩擦随之反向。 C6　能量给出顶端，所以，能在有限时间越顶。以向心为正的杆力为 上升过程中发生在。此后杆受压；最高点，即杆对小球向上推，大小。若换轻绳，其在到达该角度时就失去绷紧约束，后续不能沿此圆周解运动。 C7　任意时刻水平动量，所以10秒时。位移需积分，不能使用始末速度的算术平均，因为加速度不恒定。 加速度，10秒时为。速度减小，但水平动量保持不变，增加的质量并非原先一直属于车内系统。 C8　保持接触阶段。初始。脱离处，所以。绳长从米降到米，匀速收绳所需时间为 初速度必须为，不是零；否则无法在就同时满足“恒速收绳”和“不可伸长”的平稳约束。 C9　共同运动时所需静摩擦，支持力，所以当且仅当时可以从初始状态保持共同运动；此时物块位移。若，带向右加速更快，物块相对带向左滑，摩擦向右，物块加速度恒为。因此 由于，相对滑动速度不断增大，不会再自动同速。若带长有限，则需额外检查物块是否滑出带边。 C10　写，动力学与约束二阶导数联立得到。内侧接触要求约束力向心，即，等价于。支持力大小为。最低点，故；最高点，故。此处的速度都应是相应位置的瞬时速度，不能把底端速度直接代入顶端式。 公式速查与学习自检 核心公式及其使用边界 模型 关系 必要条件 质点第二定律 惯性系 质量恒定 平动加速系 坐标轴不转动 线性弹簧 形变量以自然长为零点 静摩擦 接触点无相对滑动 滑动摩擦 方向反对接触点相对速度 法向运动 法向取向曲率中心 定长连杆 同时满足定长速度约束 不可伸长绳 各几何绳段长度之和为常数 绳绷紧 弧长变化需计入 普通单面接触 没有黏附或额外拉持 理想柔绳 只能拉 不能推 弹簧平衡点振动 单自由度 线性恢复力 两体内部弹簧 用于相对运动方程 状态切换速查 从静止到滑动：先求所需静摩擦，当其超过极限时采用动摩擦；极限等号允许临界静止。滑动到同速：重新计算维持共同运动的静摩擦，不自动延续旧动摩擦。 从接触到脱离：先查候选，再查后续间隙趋势。绳从绷紧到松弛：先查候选，再查沿原约束延续是否会要求负张力。绳从松弛到突然绷紧：可能出现冲量，需要另外确定速度突变规则。 弹簧模型的变化：自然长度处弹力为零，但不是所有装置都在此断开；若只能受拉，须另行切换为松弛。达到线性弹性范围之外时，胡克定律不再有题设保证。 自检问题与答案要点 自检一　能否举出速度为零而加速度不为零，以及加速度为零而速度不为零的例子？前者可用上抛最高点，后者可用水平匀速滑行。 自检二　能否解释支持力为何不是重力的反作用力？它们作用在同一物体上，来源不同；各自的反作用在施力物上。 自检三　能否在不背公式的情况下推导动滑轮加速度比？写出两段随轮移动的绳长，再求导；比值来自几何，而非张力倍数本身。 自检四　能否用两种方法求活动斜面的运动？地面系分量方程与斜面系惯性力方程应等价，支持力非负是共同要求。 自检五　为什么轻绳和轻杆的竖直圆周条件不同？轻绳的张力不能为负，杆可受压；对于杆还应区分临界能量与有限时间越顶。 自检六　怎样证明一个解析结果可信？代回方程、代回初始条件、核查约束、检查量纲与极限，并在必要时用独立数值积分比对。只比较某一个数值答案不足以保证推导无误。 按薄弱点回查 受力来源不清：回看牛顿第三定律、图1与例题1至4。摩擦方向或大小不清：回看摩擦判定、例题7至10及M1至M3。连接体加速度关系不清：回看绳长和定长杆的求导、例题14至16及B10。 接触与约束失效不清：回看例题17、20、21，专题5、6及C8、C10。瞬时变化不清：回看例题22及B9。微分方程和复杂系统不清：回看例题23、24，专题3、7、8及C2、C5、C7。 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $