全国中学生物理竞赛-相对运动与参考系 学习讲义

全国中学生物理竞赛 相对运动与参考系 全国中学生物理竞赛 相对运动与参考系学习讲义 学生自学与教师备课用书 从观察者选择到运动建模 概念推导 经典例题 方法总结 分层训练 20 道经典例题　6 个进阶专题　24 道分层练习 每道例题给出分析与解答，独立练习另附完整解析。 覆盖追及、渡河、拦截、最近距离、加速参考系与转动参考系。 2026年9月 目录 学习导航与使用说明 5 内容层级与先修知识 5 三条阅读路线 5 符号和约定 5 参考系与相对量的基础 6 参考物不等于完整参考系 6 相对位置是向量差 6 相对速率不等于两速率之差 7 距离变化率与视线转动 7 平动参考系与伽里略变换 8 从位置关系推导速度和加速度 8 位移和平均速度也必须对应同一时间段 8 如何选择参考系 8 例题1 车内行走与下标链 8 一维追及与分段运动 9 例题2 延迟出发的追及 9 例题3 匀加速追及与最大间距 9 分段的建模规则 9 二维相对运动与几何方法 10 匀速相对运动是一条直线 10 例题4 交叉路口是否碰撞 10 最近距离的代数法和投影法 10 例题5 有时间限制的最近距离 11 例题6 恒定提前角拦截 11 渡河与运动合成 12 三个速度和两个方向 12 例题7 最短时间渡河 12 例题8 正对岸到达 12 例题9 船速小于水速时的最小漂移 13 风雨与观察反演 13 例题10 风中保持指定航线 13 例题11 由两次观测反求雨速 14 共同加速度与自由落体系 14 消去共同项的本质 14 例题12 两个抛体的相遇 14 例题13 瞄准后同时自由落体 14 平动非惯性系与有效重力 15 从运动学变换到动力学方程 15 例题14 加速车厢中的悬线方向 16 例题15 加速车厢内竖直上抛 16 例题16 向下加速的电梯 16 转动参考系的运动学 17 为什么直接作速度差不够 17 加速度合成及两个科里奥利项 17 例题17 转盘上的固定点 18 例题18 转动径向槽中的匀速滑块 18 例题19 角速度变化时的固定点 19 例题20 转盘观察自由粒子 19 转动系中的动力学辨析 20 惯性力的完整形式 20 三个容易混淆的说法 20 地球参考系的使用边界 20 六个进阶专题 21 专题1 一般直线拦截与可达性 21 专题2 非均匀水流中的轨迹与积分 21 专题3 连续追踪与一个可积组合 22 专题4 有限尺寸物体的碰撞判据 23 专题5 质心参考系与动能分解 23 专题6 转动槽中的自由滑块与约束力 24 解题流程与方法总结 24 从文字到方程的六步 24 常用模型选择表 25 十个典型错误与修正 25 分层练习 27 B组 基础练习 27 M组 提高练习 27 C组 进阶练习 28 分层练习完整解析 29 B组答案与解析 29 M组答案与解析 29 C组答案与解析 30 公式速查与学习自检 32 核心公式及其使用边界 32 自检问题 33 参考资料与符号索引 34 范围与理论参考 34 主题索引 34 学习导航与使用说明 本讲义讨论经典力学中的相对运动与参考系。核心任务是把一句“谁怎样运动”改写成有明确观察者、坐标轴和时间区间的数学描述，再选择能减少未知量的参考系。掌握这一模块后，应能独立处理追及、渡河、风中航行、拦截、最近距离、加速车厢与转盘等模型，并能判断一个看似简洁的公式是否满足使用条件。 全书由基础概念、20道经典例题、6个进阶专题、24道分层练习及完整解析组成。例题按概念逐步展开；练习与答案分开，适合先独立尝试再核对。正文兼顾学生自学与教师备课，不设置教师支持和课堂活动章节。 内容层级与先修知识 基础层包括参考系、矢量相减、伽里略变换、匀速相对运动、渡河和风速。提高层包括最近距离、拦截、共同加速度消去、平动加速参考系以及有效重力。进阶层包括转动参考系、科里奥利项、连续追踪、变流速渡河、有限尺寸碰撞与质心系。 全国中学生物理竞赛网公布的2015年修订、2016年起实行的内容提要列有相对运动、伽里略速度变换、惯性参考系，并对非惯性系、转动系和科里奥利力采用不同层级标记。本书的“基础、提高、进阶”是学习顺序，不等同于官方赛段划分；具体赛事要求应以当年通知为准。完整来源见末章。 先修要求是位移、速度、加速度、向量分解、匀变速运动和牛顿第二定律。涉及积分与转动导数的段落均给出推导；若尚未学微积分，可先完成基础例题和B组练习，再返回进阶内容。全书只讨论低速经典力学，不使用本书的速度相加规律处理接近光速的运动。 三条阅读路线 初学路线　先读概念与平动变换，完成例题1至11及B组，再学习共同加速度和加速参考系。不要仅记“同向相减、反向相加”，应始终先写带参考对象的速度。 提高路线　完成例题1至16和M组，重点掌握距离平方、正根筛选、相同加速度的消去，以及有效重力方向。 进阶路线　学习转动参考系、全部进阶专题和C组。每次写加速度变换前，先判断基矢是否随时间转动；每次求最值后，检查边界和接触条件。 符号和约定 除题目另作规定，取地面为近似惯性系，忽略空气阻力，物体按质点处理，重力加速度大小取。地面近似惯性系只适用于本书常见短时间、小范围模型；地球自转效应不能据此永久忽略。 符号 含义 使用提醒 A在指定公共参考系中的位置、速度、加速度 公共参考系必须先声明 A相对B的位置与速度 本书先指相互平行的不转动坐标轴 移动系原点相对惯性系的位置、速度、加速度 大写量描述参考系本身 移动参考系测得的相对量 转动系中导数须按转动基矢定义 参考系角速度与角加速度 方向用右手定则 介质速度、物体相对介质速率、河宽 字母含义以各题定义为准 参考系与相对量的基础 参考物不等于完整参考系 选定车厢作参考物后，还要选原点、轴的方向和计时方式。随车厢原点移动但始终指向正东、正北的坐标轴，与牢固装在转弯车厢里的坐标轴不是同一个系：后者还会转动。因此，“以车为参考系”在转弯问题中不够完整。 位置、轨迹、速度、动能通常依赖参考系。经典力学采用共同时间；两物体在同一时刻是否相遇、同一时刻两物体间的距离，不因平移或坐标轴的刚性转动而改变。加速度在互作匀速平动的惯性系之间相同，但在任意两个参考系间并不相同。 惯性系的定义是：不受合外力的质点保持静止或匀速直线运动。相对于某惯性系作匀速直线平动、且坐标轴不转动的系也是惯性系。匀速圆周运动虽然速率不变，速度方向却在变，附着其上的原点有加速度，通常不能作为惯性系原点。 相对位置是向量差 在同一公共坐标系中，设A、B的位置为和，则从B指向A的向量为 若相对坐标轴不转动，对共同时间求导即得 位置差的正负规定决定后续所有速度差的顺序。采用同样可行，但必须把后续各式全部反向，不能在一道题内混用。 在同一不转动基底表示时，相对速度满足，还满足链式关系 “中间下标相接”是检查相对对象的方法，不是把向量下标当代数因子约分。若数据来自不同方向的坐标轴，应先换到共同基底，再做相加。 图1 从B指向A的位置差与速度矢量相减 相对速率不等于两速率之差 速度是向量，速率是模。两速度夹角为时 同向共线时为；反向共线时为。一般夹角不能只凭“靠近”或“远离”做标量相减。两人即使都朝东走，也可能同时有南北方向的间隔，距离变化率未必等于相对速率。 距离变化率与视线转动 令，，。当时，对求导可得 因此只有相对速度沿连线的分量改变距离；垂直分量改变视线方向。在平面中，若、，方位角逆时针为正，则 这两个公式分别回答“靠近多快”和“方向转动多快”。在相遇点，方位角无定义，不能直接代入；应改用两分量的相遇方程。 平动参考系与伽里略变换 从位置关系推导速度和加速度 设惯性系为S，S′的原点位置为，两系坐标轴始终平行且不转动。对任一质点有 第一次和第二次求导分别给出 若且为常向量，则，这就是匀速平动情形的伽里略变换。初始两原点不重合时不能漏写；但常位置差不会影响速度差。 若移动系加速，运动学等式仍成立，但不能把它称为“两个惯性系之间的变换”。在S′中使用动力学时，还需加入平动惯性力；运动学变换不依赖是否已经补入惯性力。 位移和平均速度也必须对应同一时间段 在共同起止时刻之间，位移满足。若参考系速度变化，不能用某个瞬时乘总时长代替其位移，而应写 同一时间区间的平均速度仍满足矢量相加。路程是轨迹长度，通常不满足对应的简单相减；不同参考系中路程和平均速率都可能不同。 如何选择参考系 要研究两物体相遇，可以选择其中一个的平动系，使它固定在原点。要研究游泳、航行，可把介质速度单独列出。要研究多个物体受到相同重力，可以让原点自由落体，消去共同加速度。要研究车厢内相对静止的物体，可选择车厢系，把问题转为有效重力下的平衡。 判断好坏的标准是未知量和约束是否减少。若为了“让一个物体静止”引入复杂转动和时变惯性力，未必比直接在地面系求解更容易。 例题1 车内行走与下标链 题目　列车相对地面以向东行驶。人相对车厢以向西行走，另一辆车相对地面以向西行驶。求人相对地面和另一辆车的速度。 分析　取向东为正，将所有已知速度写成有正负号的分量。不要把“另一辆车看见人向哪边运动”误读为人的身体朝向。 解答　人对地速度为，人对另一车为，均向东。 检验　交换观察者后，另一车相对人的速度应为。互易性检查可发现大多数减号错误。 一维追及与分段运动 例题2 延迟出发的追及 题目　A从原点以匀速前进，4秒后B从同一点以出发。求B出发后多久追上A及相遇位置。 分析　在B出发时重新计时，初始间距为24米；相对运动把两条位置方程压缩成一个间距方程。 解答　令B出发后的时间为，则A相对B的位置为。令其为零，得，相遇位置。若从A出发时计时，则相遇时刻为10秒。 规律　延迟问题必须先统一时钟。写清答案是“全局时刻”还是“后车出发后的经历时间”。 例题3 匀加速追及与最大间距 题目　A从原点以匀速运动。B同时在A后方12米处由静止开始，以同向加速。求追上时刻和此前最大间距。 解答　取A相对B的位置为。相遇条件给出或，负根不属于题设时间域。相遇位置为24米。 在相遇前，因此距离就是。当时，；又，故最大间距为16米。 易错点　“速度相等时距离最小”在本题恰好错误。两速度相等只保证距离的一阶变化率为零，还须检查变化趋势；这里B先落后得更远，然后才开始缩小差距。 分段的建模规则 刹车、触地、到站、调头和限速都可能终止一个运动阶段。先列阶段结束时刻，再检查计算出的相遇时刻是否落在该阶段内。若不在，应把阶段末的位置与速度作为下一段初始条件。不能把匀减速公式延伸到车辆已停下之后，让“停车后的车”自动倒车。 一维图像中，两条位置曲线相交表示相遇；两条速度曲线交点只表示相对速度为零。相对速度图像的有向面积给出相对位移，绝对值面积给出相对运动路程；二者都不直接等于某一物体对地路程。 二维相对运动与几何方法 匀速相对运动是一条直线 若两物体都在同一惯性系中匀速运动，则 可以在相对位置平面中固定B，将A看作从沿运动的点。此图中的位置不是A的对地轨迹；它描绘的是两物体的相对位置。 两质点相遇要求两个分量在同一个允许时刻同时为零。轨迹直线相交而到达交点的时间不同，仍然不会碰撞。 例题4 交叉路口是否碰撞 题目　A起初在路口西侧60米，以向东运动；B起初在路口南侧80米，以向北运动。二者同时开始计时，求是否相遇。若B向北速度改为又如何。 解答　取路口为原点，，。原题二者均在10秒到达原点，发生相遇。改为10后，B在8秒到达而A仍在西侧12米，两条轨迹虽相交但不相遇。 方法提炼　先用到达时刻作快速判断，再以相对位置两分量为零核验。实际车辆有尺寸时，质点不相遇不等于绝对安全，见进阶专题4。 最近距离的代数法和投影法 对距离平方求导，比直接对根式求导更简洁。若，无时间限制的驻点为 若，且两物体在该时刻仍按题设运动，则 此时，即最近连线垂直于相对速度。几何上就是原点到相对轨迹直线的垂距。若，未来半射线上的最近点是初始点；有限区间还须比较区间两端。若，两物体距离恒定，公式的分母不能使用。 图2 最近距离来自相对轨迹上的垂足 但垂足须落在允许时间内 例题5 有时间限制的最近距离 题目　某时刻A相对B的位置为，相对速度为。求以后最近距离；若只观察前20秒，最小距离又是多少。 解答　，。因此。 对前20秒的区间，驻点在区间外，距离始终减小，最小值在20秒取得。此时相对位置为，距离为。 检验　代回后，相对位置与的点积应为零。有限区间结果应大于或等于无限未来的最小值。 例题6 恒定提前角拦截 题目　目标最初在处，以向北匀速运动。拦截者从原点同时出发，速率恒为，沿一条直线运动。求应取的方向及拦截时间。 分析　拦截者的速度方向指向未来交会点，不是目标当前的位置。拦截时它的北向位移必须与目标相等，因此北向速度分量必须为4。 解答　东向速度分量为，故；应朝东偏北，交会点为。 规律　直线拦截是恒定方向的“提前瞄准”。“始终朝向目标当前位置”的连续追踪会使方向不断变化，两类模型不能混用。 渡河与运动合成 三个速度和两个方向 设水流沿正向，河宽方向沿正向，水对地速度为，船对水速率为。船头相对正对岸方向向上游偏，则 要求才能横渡。船头方向是船对水的速度方向；航迹方向由船对地速度决定。公式假定水流均匀、船速恒定、船头方向固定，不存在加速转向时间或岸边障碍。 最短时间、正对岸到达、最小漂移、对地路程最短是不同优化目标，不能仅凭“最短”两字套用同一个角度。 图3 最短时间与正对岸到达需要不同的船头方向 例题7 最短时间渡河 题目　河宽120米，水流速率为，船对水速率为。不限制到达位置，求最短渡河时间和漂移。 解答　横向速度，故船头正对岸时横渡时间最短。，漂移为，对地航迹为斜直线。 规律　水流平行岸边时，不直接贡献过河方向的位移。此结论不需要船速大于水速，因为允许被冲到下游。 例题8 正对岸到达 题目　沿用例题7的数据，要求到达出发点的正对岸，求船头方向及时间。 解答　须有，故，。过河速度为，故。 条件　有限时间正对岸渡河要求。若，唯一抵消水流的船头方向沿岸逆流，横向速度为零；若，任何方向都不能完全抵消水流。 迁移规律　对于均匀水流，如果要求零总漂移，即使允许不断改变船头，也不能比上述恒定方向方案更快。因为时间平均的船对水速度模不超过，零漂移要求其分量为，故平均分量不超过。 例题9 船速小于水速时的最小漂移 题目　河宽100米，水流速率为，船对水速率为。保持固定船头方向横渡，求最小下游漂移及渡河时间。 分析　所有可行方向都有。此时不能使漂移为零，但可以使漂移与过河距离之比最小。 解答　对求导，得到 极小值条件为。于是，渡河速度为，时间为，漂移为。 一般式为。几何上，对地速度端点落在以水流速度端点为圆心、为半径的圆上；从原点作切线可得到最优航迹方向。 边界辨析　当时，固定船头的漂移可趋近零，但所需时间趋于无穷；不存在有限时间取得的零漂移最小值。当时，最小绝对漂移为零，不能继续使用本题公式。 风雨与观察反演 例题10 风中保持指定航线 题目　飞机空速为，风向正东、风速为。飞机要沿地面正北方向飞行，求机头方向、地速，以及飞行80千米所需时间。 解答　飞机对空气速度的东向分量须为，北向分量为。机头应朝北偏西，地速为，时间为1000秒。 易错点　空速恒定不意味着地速恒定于所有航向。若侧风大于空速，则无法维持正北航线；若等于空速，恰好抵消侧风时也没有北向进展。 例题11 由两次观测反求雨速 题目　取东为正向、竖直向上为正向。观察者以向东跑时，见雨点竖直下落；改为以向东跑时，测得雨点相对速度的水平向东分量与竖直向下分量相等。设雨对地速度不变，求雨对地速度和两次相对速率。 解答　第一次相对水平分量为零，故雨的地面水平速度为。第二次相对水平分量为，由题设竖直向下分量也为4。故。 第一次相对速率为；第二次为。雨对地速率为。 物理辨析　雨滴的运动方向与“雨从哪个方向来”相反。本题明确给出运动分量，避免把伞应倾向的迎雨方向当成速度方向。实际挡雨还涉及伞面几何，不能仅凭一个速度向量保证全身不被淋湿。 共同加速度与自由落体系 消去共同项的本质 若两物体在同一惯性系中满足，则，两者之间作匀速相对运动。它们各自可以沿抛物线运动，相对轨迹却是一条直线。 适用条件是两物体已经同时处于相同加速度阶段。发射前一个物体仍被支撑、触地后一个物体加速度改变、阻力对两者作用不同，都会破坏这一简化。自由落体系中有效重力为零，不等于真实重力不存在。 例题12 两个抛体的相遇 题目　A从以发射，B同时从以发射，均只受重力作用。求是否在落地前相遇。 解答　取B相对A的位置，初始值为，相对速度为。形式上的相遇时刻为2秒。但A高度，于1.6秒落地；B正的落地时刻为。 因此2秒不属于二者共同自由飞行区间，题设下不能据此宣布相遇。若把地面去掉，二者会在相遇；这正好解释了数学解为何超出物理区间。 规律　相对方程给出候选时刻，接触和阶段条件决定候选时刻是否有效。共同加速度消去不能免除落地检查。 例题13 瞄准后同时自由落体 题目　目标静止于。从原点以沿初始视线发射弹丸，目标在同一时刻自由下落。忽略阻力，问能否在目标触地前击中，并求位置。 解答　初始距离为50米，沿视线的初速度分量为。相对加速度为零，初始相对位置与闭合速度共线，故。目标此时高度为，交会点为。 目标触地时刻为，所以击中成立。一般高度、初始距离下，要求才能在触地前击中。 物理辨析　弹丸和目标下降的共同位移都是，因此相对运动保持瞄准条件。这个结论需要同时释放；目标若提前或延后下落，初始状态必须重新计算。 图4 两物体共同的重力位移在相对位置中抵消 平动非惯性系与有效重力 从运动学变换到动力学方程 在惯性系中，真实合外力满足。移动系不转动、原点加速度为时，将代入，得到 定义平动惯性力。它与参考系加速度反向，作用于每一个质量为的研究对象；它没有可指定的施力物体，也不属于牛顿第三定律的一对相互作用力。回到惯性系列方程时应删除此项，不能重复加入。 若真实力包含重力，可定义 其余真实力与一起决定物体在车厢系中的运动。只有在讨论相对平衡、或参考系加速度适当恒定等条件下，才可以直接沿用相应的静力学或匀加速公式。 例题14 加速车厢中的悬线方向 题目　车厢以向右匀加速。质量0.5千克的小球用细线悬挂，已相对车厢静止。求线与竖直方向夹角及张力。 解答　车厢系中惯性力向左，有效重力向左下，悬点到球的方向沿有效重力。设线偏离竖直方向的角为，则 故小球偏向车尾，，。在地面系，张力水平分量提供，竖直分量平衡，得到同样结果。 条件　若车厢刚开始加速而小球尚在摆动，不能直接当作相对静止；需要用初始条件研究过渡过程。本题已明确静止状态。 例题15 加速车厢内竖直上抛 题目　车厢以向右匀加速。在某时刻，小球以相对车厢竖直向上的速度抛出，忽略阻力。问球回到原发射高度时，相对抛出点的水平位置和速度是多少。 解答　在车厢系中、，且初始水平相对速度为零。回到发射高度的非零时刻为。 球落到抛出点后方4米。地面系中球保持原有水平速度，而车厢在此期间额外前进4米，两系解释一致。这里的抛出点指固定在车厢上的位置；若地板或车壁提前接触小球，阶段需在接触时终止。 例题16 向下加速的电梯 题目　质量60千克的人站在电梯地板上，电梯以向下加速。求支持力。若向下加速度大小为或大于，模型有什么变化。 解答　取竖直向上为正，地面系中，故。电梯系中有效重力向下，大小为，得同样结果。 当且人没有其他支撑时，，人相对地板处于失重临界状态；真实重力仍为。若地板向下加速度大于，算出的负支持力不能由普通地板实现，人会脱离地板，此后不能再假定人与电梯相对静止。 易错点　超重和失重由加速度而非速度方向决定。电梯向上运动但向下加速时也会失重。 图5 加速车厢中的有效重力与真实受力对应 转动参考系的运动学 为什么直接作速度差不够 若坐标轴以角速度转动，即使某向量的转动系分量不变，它在惯性空间中的方向也会变化。任意向量的导数满足运输定理 推导　将写成沿转动基矢的分量和。对时间求导，一部分来自分量改变，另一部分来自每个单位基矢的转动；基矢满足，合并即可得到上式。 把移动系原点位置记为，粒子相对原点的位置向量记为。各向量须在同一瞬时基底下相加。速度变换为 其中是转动系观察到的相对速度，是原点的平动速度。最后一项是随坐标架转动产生的牵连速度。 加速度合成及两个科里奥利项 再求一次导数，分别对和应用运输定理，得到 式中。两个来自两次不同的求导步骤，不能遗漏系数2。 项 几何或物理含义 消失条件 原点平动加速度 原点作匀速直线运动 相对加速度 粒子在转动系作匀速直线运动 科里奥利加速度 相对速度为零或与转轴平行等 角加速度引起的牵连项 匀角速度转动等 向轴的牵连项 粒子在转轴上等 若原点固定、粒子在垂直转轴的平面内，则最后一项为。它在惯性系加速度合成式中指向转轴。写转动系动力学时将其移到力的一侧，才对应向外的惯性离心力。 例题17 转盘上的固定点 题目　水平转盘以匀速逆时针转动。点P固定在距转轴0.5米处，求该点对地的速率和加速度大小，以及在盘系中的速度和加速度。 解答　盘系中、。对地速率为，方向沿切线；加速度大小为，方向向轴。 辨析　相对静止不等于对地没有加速度。若P为依靠摩擦随盘转动的小物块，实际向心合力由摩擦力提供；盘系中的离心惯性力用于相对平衡，不能再算成地面系真实合力的一部分。 例题18 转动径向槽中的匀速滑块 题目　水平直槽绕固定竖直轴以逆时针匀速转动。滑块由驱动装置控制，沿槽相对匀速向外运动，速率为。当距轴1米时，求滑块对地的速度和加速度。 解答　在随槽坐标中，，。由合成式 速率为，加速度大小为。切向的2来自，不能因“相对匀速”而漏掉。 检验　用惯性系极坐标式、代入，也得到相同结果。题中驱动装置是必要条件：自由滑块一般不会自动保持相对匀速。 例题19 角速度变化时的固定点 题目　某时刻转盘逆时针角速度为，角加速度为。距轴0.4米的点固定于盘上，求此刻对地加速度。 解答　该点相对速度与相对加速度均为零，但存在角加速度项和向心项： 大小为。若角加速度改为反向，切向分量改号，径向分量仍指向轴。 例题20 转盘观察自由粒子 题目　水平无摩擦运动平面上，一自由粒子从固定转轴O出发，以对地速度匀速运动。观察坐标轴以恒定角速度逆时针转动，且初始与地面轴重合。求转动系中的轨迹和初始相对加速度。 解答　惯性系中。将坐标轴转过，粒子的转动系坐标为 初始相对速度为。由两次求导或加速度合成式，初始相对加速度为。粒子在地面系没有水平合力，却在盘系中出现弯曲轨迹；这来自转动观察方式。 条件　“自由粒子”可以理解为不与转盘接触、在独立的光滑水平平面上运动。若粒子被槽约束，其真实合力和轨迹都将改变，不能使用本题解答。 图6 地面直线运动在逆时针转动坐标中表现为顺时针弯曲轨迹 转动系中的动力学辨析 惯性力的完整形式 将加速度合成式代入惯性系的牛顿第二定律，整理得 右侧四个附加项依次为平动惯性力、科里奥利力、欧拉惯性力和离心惯性力。原点作匀速直线运动且角速度恒定时，可省去平动项和欧拉项。角速度本身可以不为零，这与“惯性系”不同。 科里奥利力永远垂直于相对速度，故，它不直接改变转动系中的相对动能；但这不意味着真实力或其他惯性力不做功。离心力在定轴匀速转动情形可由势能描述，是到转轴的垂直距离。 三个容易混淆的说法 “向心力”不是另添的一种力，而是指向曲率中心的合力分量或其作用需求。应先画重力、支持力、张力、摩擦力等真实力，再求合力，不能在这些力以外多加一个向心力。 “离心力”若指转动系惯性力，方向背离转轴。它和向心合力不是牛顿第三定律作用与反作用的一对，因为二者描述框架不同，也不是两个物体间的相互作用。 “科里奥利加速度”在加速度合成式中为；移到转动系动力学右侧的科里奥利力是。先明确写的是哪一个方程，再决定正负号。 地球参考系的使用边界 对短时、近地、距离较小的普通运动，常可把地面近似为惯性系，或把稳定的地球自转离心效应并入当地有效重力。研究长时间摆动、远程弹道、海洋大气运动时，则需考虑转动效应。 若取地球角速度量级，速度对应的科里奥利加速度上界约为。瞬时加速度虽小，长期累计偏移未必可忽略。不能只以“比重力小”作唯一判断，应结合时间、精度与运动方向。 六个进阶专题 专题1 一般直线拦截与可达性 模型　拦截者从原点出发，对地速率为常量，可选择一个固定方向。目标初始相对位置为，对地速度为常向量。两者均视为质点，途中没有障碍，求是否能在时相遇。 推导　相遇点为，拦截者在时间内沿直线走过的距离为，故 平方并整理为 这里只是二次方程系数，不代表加速度、河宽或光速。由模长得到的方程在下与原式等价；负根必须舍去。求出正根后，速度向量为，还要检验。 分类　若，则且两根异号，必有唯一正根。若，方程退化为一次式，只有时存在；目标初始在靠近是此时的关键。若，则需要且，才有正根；仅判别式非负不够。若有两个不同正根，则对应两种可行发射方向，最早拦截取较小者。 进阶算例　目标从出发，以运动，拦截者速率为。方程为，得和。前者向东拦截，交会点；后者向西运动，交会点。目标比拦截者快，仍可能迎面相遇，不能把“追不上同向远离的目标”推广到所有拦截。 几何解释　在每个给定时刻，直线匀速拦截者的可达终点构成半径的圆。目标位置落在此圆上才对应一个可行时刻；若允许等待、变速或改变方向，可达集合及问题条件会改变。 专题2 非均匀水流中的轨迹与积分 设河宽为，水速仅随过河坐标变化，，船对水速率为。若船头一直正对岸，便有及。消去时间得到 其中是积分变量，避免与上限混淆。对地轨迹一般是曲线；船头没有转向不意味着地面轨迹是直线。 进阶算例　河宽100米，船速，水速分布为，其中以米计、以米每秒计。船头始终正对岸时 故到岸漂移80米。这里平均水速可用沿河宽的空间平均，是因为匀速变化；一般不能把任意空间平均直接当时间平均。 固定船头的零总漂移　若始终上游偏，则仍为常量。令，得到 本算例，取即可最终回到正对岸，时间为。船在途中先向上游、再向下游偏移，绝不是每一时刻都沿垂直岸边的直线行驶。 目标辨析　若要求全程没有横向偏移，应逐点令；本算例末段水速超过船速，这一要求无法实现。若只求最快到达对岸且不限制落点，任何时刻都有，故，正对岸船头达到下界。给定终点的最短时间是另一项优化任务，上面的固定船头零漂移解不自动证明是所有可变船头方案中的最优解。 专题3 连续追踪与一个可积组合 模型　目标从以常速沿正向运动。追踪者从原点出发，速率恒为，速度方向始终指向目标当时的位置。忽略转弯半径和反应延迟。这与专题1的恒定提前角拦截不同。 令从追踪者指向目标的向量为，模长，与轴夹角为。追踪者速度为，因此 直接积分轨迹较繁琐，但第一式与距离式可以消去角度： 初始；捕获时，故捕获时间为 存在性　因为，若尚未捕获，距离至少按正的速率减小，必在有限时间内到零。上述积分由此给出实际捕获时间，而不只是形式候选值。 进阶算例　时，，捕获位置为。若从一开始选择恒定提前角直线拦截，时间为，比连续追踪更短。 极限检验　时得到，退化为追向静止目标。时所需时间发散。不能将公式直接用于；例如时，上述组合变成，因捕获要求两者同时为零，所以本模型不可能捕获。 专题4 有限尺寸物体的碰撞判据 两圆盘在平面内作匀速平移，半径分别为，相对圆心位置为，相对速度为。令接触距离，则首次接触满足 若初始且，相应方程为 只有存在允许区间内的非负实根才会接触；首个根为首次接触时刻。对刚体碰撞，首次接触之后速度通常改变，不能继续用接触前的相对直线穿透模型作真实运动预测。若初始，已处于接触；若，理想刚性圆盘的初始状态已经重叠，需要先处理题设或几何模型。 进阶算例　，，。最小圆心距离为5米，小于6米，故会接触。方程给出首次接触。另一根对应假想穿透运动离开重叠区，不能直接当作真实碰撞持续到的时刻。 推广　球体在三维中仍可用半径和。若是保持方向不变的轴对齐矩形，须同时满足两个坐标方向的投影区间重叠：，。先求各方向满足条件的时间区间，再取交集。旋转矩形不能只用固定长宽直接套用这一判据。 专题5 质心参考系与动能分解 两个质量分别为的质点，总质量，质心位置与速度定义为 取质心为原点、轴不转动，则、，从而。质心系是否惯性取决于质心加速度，质心系不天然等于惯性系。 令相对速度，约化质量，则、。展开动能平方并利用质心系总动量为零，交叉项消失： 第一项描述整体平动，第二项描述内部相对运动；这只是恒等分解，单凭它不能断言两项分别守恒。若系统合外力为零，质心速度为常向量，此时质心平动系才是惯性系。 进阶算例　，在同一直线上。则，，。整体平动动能为2.5焦，内部动能为15焦，总动能17.5焦，与直接相加一致。 迁移规律　若另一个惯性系相对原系速度为，总动量为，则 动能的数值不具伽里略不变性，但同一对物体的相对速度不变。是否为弹性碰撞，应比较同一参考系中碰撞前后的总动能，并结合系统质量与动量守恒条件；不能把不同系中的动能数值混着比较。 专题6 转动槽中的自由滑块与约束力 模型　水平光滑直槽由电机维持以恒角速度绕固定竖直轴转动。滑块质量为，在槽内无摩擦，槽的侧壁能施加垂直于槽的水平力；无沿槽驱动装置。初始、，槽足够长。 在盘系，沿槽离心惯性力为，科里奥利力垂直于槽，故径向方程为 其满足初始条件的解为 这里、。初学者也可直接对给定解求两次导数并代初值验证。滑块的相对速度逐渐增加，因此不能把“光滑”理解为“相对匀速”。 惯性系中径向加速度，切向加速度为。于是槽侧壁对滑块的水平力为 当向外滑动且逆时针转动时，它沿正切向；在盘系中它平衡反向的科里奥利力。竖直支持力平衡重力，不能与这里的水平侧壁力混为一项。 进阶算例　。滑到时，由得到，故水平侧壁力为；时刻为。 能量检验　由径向方程乘积分可得为常量。这是盘系中的有效能量。在地面系，侧壁力对含切向速度的滑块做功，电机供能，所以滑块对地动能会增加。“光滑约束不做功”只在约束的运动条件适合时成立，不能机械套用到转动槽。 解题流程与方法总结 从文字到方程的六步 第一步　说明观察者、原点、轴方向和计时零点。确认坐标轴是否转动，速度标注是对地、对水、对车还是对某个目标。写出题目有效的时间区间。 第二步　选择未知量最少的参考系，并保留真实约束。换参考系不会取消船速大小、轨道形状、绳长、接触和落地条件。 第三步　先列向量关系，再按固定的正方向分解。对纯平动用位置差、速度差和加速度差；对转动系先写运输定理，再根据题设删去确实为零的项。 第四步　把目标翻译为数学条件。相遇是；最近距离是允许区间内最小的；正对岸到达是总横向位移为零；相对平衡是；碰撞首次接触是尺寸约束的边界首次满足。 第五步　筛根与分段。检查正时间、边界时刻、首次接触、落地、停车和船头可行角。多个解要解释物理意义，不能只写计算器给出的一个值。 第六步　至少进行一种独立检验：回到地面系重算、代回两分量、检验量纲，或取水速为零、转速为零、两速相等等极限。最终答案应有方向、单位和适用条件。 常用模型选择表 已知结构 优先方法 必须检查 两物体匀速且问距离 相对位置直线与投影 驻点是否在允许时段 同一重力场中的两个抛体 消去共同加速度 二者是否都仍在飞行 船速与水速分别给定 速度三角形与分量 船头方向和航迹方向的区别 已知目标速度与拦截速率 终点距离等于速率乘时间 退化方程、正根及方向 速度始终指向移动目标 距离与视线角微分方程 是否误用恒定提前角 加速车厢内相对平衡 有效重力 参考系轴不转动、接触存在 坐标轴随转盘运动 运输定理与加速度合成 角速度、角加速度、相对速度 两个粒子整体与内部运动 质心系和动能分解 质心是否加速、守恒条件 十个典型错误与修正 错误1　把速度相减写成速率相减。修正是先定坐标轴，再分别写各速度分量；非共线时要使用向量模。 错误2　认为两者轨迹相交就会相遇。修正是要求各坐标在同一时刻一致，或求两物体到同一交点的时刻。 错误3　把距离变化率当成相对速率。修正是把相对速度投影到瞬时连线方向，使用。 错误4　看到两速度相等就宣称距离最小。修正是考察前后趋势；二维最近点只要求连线与相对速度垂直，相对速度完全可以不为零。 错误5　求渡河最短时间时坚持抵消水流。修正是先看终点是否固定；不固定时最大化横渡分量，固定时先满足终点约束。 错误6　将加速度相减公式直接套入转动轴。修正是写出运输项；转动系中“坐标二阶导数”不等于惯性加速度的简单向量差。 错误7　在地面系加了离心力，或在车厢系漏掉惯性力。修正是让受力图与参考系一致，真实力与惯性项不要混用。 错误8　得到负支持力仍照抄数值。修正是判断单侧接触是否失效；地板能推不能拉，脱离后改写运动阶段。 错误9　将匀减速延续到停车之后。修正是先求停车时刻；若题设要求停车不反向，此后另立静止阶段。 错误10　只验公式而不验题设。修正是同时核查量纲、时间范围、物体尺寸、初始状态和目标函数，避免把数学外推当真实运动。 分层练习 B组 基础练习 每题先画方向图，再列含参考对象的速度关系。未说明的距离均指质点之间的距离，未说明的坐标轴均不转动。 B1　取东为正。A对地速度为，B对地速度为，人P相对A以行走。求P对地、P对B及B对P的速度。 B2　A以出发，5秒后B从同地点以同向追赶。求B出发后的追及时间和相遇位置。 B3　某瞬间A相对B的位置为，相对速度为。求相对速率、距离变化率及逆时针为正的视线角速度。 B4　河宽80米，水速，船对水速率。不限制落点，求最快渡河时间、漂移和对地路程。 B5　河宽60米，水速，船速。要求正对岸到达，求固定船头方向和时间。 B6　雨对地速度为，观察者以向东运动。求雨相对观察者的速度和速率；观察者停下后雨的运动方向相对竖直向下偏向何方。 B7　质量50千克的人随电梯一起以向上加速，求地板支持力。若此时电梯实际上正向下运动但减速，答案是否改变。 B8　转盘以匀速转动，物块固定在距轴0.2米处。求对地速率、向心加速度大小，以及盘系中的速度、加速度。 M组 提高练习 M1　初始相对位置为，恒定相对速度为。求未来最小距离与时刻；若只观察前10秒，答案如何改变。 M2　初始相对位置为，恒定相对速度为。有人算出最近距离为，判断其是否适用于从现在开始的未来运动，并求正确结果。 M3　目标从以向北运动。拦截者从原点同时出发，以沿固定直线运动，求最早拦截的时间、速度向量和交会位置。 M4　水速，船速，河宽120米。保持固定船头方向横渡，求最小下游漂移、船头偏角和时间。 M5　A从以发射，B同时从以发射。均只受重力，判断能否在落地前相遇并求交会位置。 M6　车厢以向右匀加速，小球从车厢内离地板5米高处相对静止释放。求落到水平地板的时间与相对释放点的水平位移，忽略车壁影响。 M7　水平槽绕固定轴以逆时针匀速转动。驱动装置使滑块相对槽以匀速向内滑动。距轴0.4米时，求对地速度与加速度的径向、切向分量。 M8　后车A初始在，速度，立即以减速至停止后保持静止。前车B初始在，以匀速同向行驶。两车视为质点，问是否相遇，最小间距是多少。 C组 进阶练习 C1　目标从以匀速运动。拦截者从原点同时出发，沿一条直线以运动。求全部可行拦截时刻与对应方向，解释为什么目标较快仍能相遇。 C2　河宽60米，水速为，其中以米计、以米每秒计。船对水速率为。先求船头始终正对岸时的时间、漂移和轨迹；再求保持固定船头并最终零漂移时的偏角和时间。 C3　目标从以向东运动；追踪者从原点以始终指向目标当前位置运动。求捕获时间和位置，并与恒定提前角直线拦截比较。 C4　两圆盘半径和为5米，初始相对圆心位置为，相对速度为。求首次接触时间、假想匀速延续的最小圆心距离，并说明另一接触方程根的含义。 C5　两质点质量分别为1千克和3千克，对地速度分别为和。求质心速度、各自相对质心的速度、相对速度和总动能的两部分。 C6　质量0.5千克的滑块在水平光滑径向槽内自由滑动。槽以匀速逆时针转动；初始距轴0.3米且相对静止。滑到0.5米时，求径向相对速率、水平侧壁力大小、经历时间，以及对地动能增加量。 C7　车厢原点相对惯性系向右加速度为，车厢内的坐标架同时逆时针转动。所考察瞬间两系轴平行，，。粒子在转动系中的位置为、速度为、加速度为。求惯性系中的加速度，逐项注明来源。 C8　转动系原点固定，角速度为且恒定。自由粒子从原点以对地速度出发。写出其在转动系中的位置、速度和加速度分量，并证明科里奥利力不做相对功，但相对动能仍随时间增加。这里，所有运动均在水平无摩擦平面内。 分层练习完整解析 B组答案与解析 B1　P对地速度为；P对B为；B对P为。前两者向东，最后一个向西。三个速度必须使用同一正方向。 B2　B出发时A已领先20米，闭合速率为，故B再行10秒追上，相遇位置60米。A的总运动时间是15秒，提供独立核验。 B3　相对速率为。因点积，瞬时距离变化率为零；视线角速度为，即顺时针。此瞬间并非相对静止。若相对速度随后保持不变，该瞬间才进一步是全直线相对运动的最近点。 B4　船头正对岸，；漂移60米。地速为5米每秒，路程为100米；也可由直线航迹的长度验证。 B5　令上游分量抵消水流，，故向上游偏。横渡速度为4米每秒，时间15秒；总漂移为零。 B6　相对速度为，速率4米每秒，所见运动竖直向下。观察者停止后相对速度恢复为，运动方向相对竖直向下向东偏。这里描述的是雨滴运动方向，不是雨的来向。 B7　，故。向下运动而减速仍表示加速度向上，支持力不变。力与加速度关联，不能只凭速度方向判断。 B8　对地速率为，向心加速度为；盘系速度和加速度均为零。实际向心力取决于约束，不由“固定”一词额外创造一种力。 M组答案与解析 M1　，，故，相对位置此时为零，最小距离0。前10秒内距离单调减小，最小值在10秒，相对位置为米，最小距离50米。 M2　点积为50，得。题中米是把匀速运动向过去外推所得的整条直线最小距离，不是未来半射线的最小值。由于对成立，未来最小值在，为50米。 M3　北向分量必须等于目标速度3，故东向分量为。拦截者速度为，时间20秒，交会点米。机动方向为东偏北，目标和拦截者到该点的时间相同。 M4　水速大于船速，最小漂移条件为，向上游偏，。横渡速度为米每秒，时间50秒；沿岸地速为米每秒，漂移90米。注意它与最短时间30秒对应不同方案。 M5　B相对A的初始位置为米，相对速度为米每秒，相对加速度为零，故候选时刻2秒。此时A位置为米，B同样在米。A在3秒落地，B正落地时刻为，均晚于2秒，因此相遇成立。 M6　车厢系中初速度为零、加速度为米每二次方秒。下落5米需要，水平位移为，即后方2米。释放点在本题中随车厢移动。 M7　相对径向速度为负，。对地速度为米每秒；加速度为米每二次方秒。径向来自，切向来自，向内运动使切向项变号。 M8　A在4秒停车，停车位置24米。对，前后间距为，驻点位于区间内，最小间距为。停车时B位置36米，间距12米；此后间距以4米每秒增加，所以全程不相遇。若把A的匀减速公式延续到4秒后，其“倒车”不符合题设。 C组答案与解析 C1　相遇条件是。在目标经过原点前，，得，拦截者向东，交会。在目标经过原点后，，得，拦截者向西，交会。两个根分别对应两个固定方向；目标一开始接近，故速率较大不阻止迎面相遇。 C2　船头正对岸时，，且 到岸。平均水速为2.5米每秒；固定船头零总漂移要求，即向上游偏，时间为。此方案的中间轨迹有横向偏移；不要把总位移为零误读为横向速度始终为零。 C3　连续追踪用专题3的可积组合，，捕获点米。恒定提前角拦截的横向分量为3、过初始间距方向分量为4，故时间20秒，交会点米。连续追踪方向不断变化，所走路径较长。 C4　接触方程为，解得和，首次接触在3秒。假想继续原速度，则5秒时圆心距离最小，为3米。7秒是穿透模型退出重叠区域的时刻，真实接触后的运动须依据碰撞或接触规律另求。首次接触时中心连线为米，可检验其长度恰为5米。 C5　总质量4千克，总动量为千克米每秒，质心速度为米每秒。两物体的质心系速度分别为和米每秒，质量加权和为零。相对速度为米每秒，；约化质量为千克。整体平动动能为，内部动能为，总动能48焦。直接计算亦成立。 C6　积分径向方程得，故。水平侧壁力为，沿正切向。因，得。 初始对地速率为0.6米每秒，末态对地速率平方为。动能增加量为。这等于电机通过运动槽壁传给滑块的功；滑块机械能并非在地面系单独守恒。 C7　使用同一瞬时基底逐项相加。原点项为，相对项为，科里奥利项，角加速度项，向心牵连项为，单位均为米每二次方秒。因此。加速度大小为。此题中五项均须考虑，不能因瞬时两轴平行就忽略轴的转动。 C8　记。位置为。对转动坐标分量逐次求导得到 也可验证。科里奥利力与垂直，故相对功率为零。但相对速率平方为，相对动能随时间增加。 功率来自离心惯性力：。这并不意味着地面系有真实水平外力；地面系动能始终为。不同参考系的功与动能必须在各自框架内配对使用。 公式速查与学习自检 核心公式及其使用边界 问题 公式 前提 平动相对位置 两位置同一时刻且用共同基底表示 平动速度与加速度 ， 移动坐标轴不转动 距离变化率 ；按不转动基底求导 匀速最近时刻 ，须截到允许时间区间 最快横渡时间 水流沿岸、船速恒定、不限定落点 均匀水流零漂移 ，固定船头向上游偏 平动有效重力 移动轴不转动 转动导数 导数所属参考系明确 科里奥利惯性力 在转动系动力学方程中使用 质心动能分解 两个质点、质量恒定、经典力学 一般转动加速度合成式和动力学式见“转动参考系的运动学”与“转动系中的动力学辨析”，使用时应完整写出后再删项，避免把过长公式压缩记忆成缺项口诀。 自检问题 能否不用“同向相减”口诀，从位置关系推导速度关系，并说明何时需要额外的转动项。 能否给出“相对速度不为零但距离瞬时不变”的例子，并区分这一瞬间与全程距离恒定。 能否分别解决最快渡河、到达正对岸和船速小于水速时的最小漂移，并说清各自的边界条件。 能否解释两抛体相对加速度为零，却可能没有落地前的真实相遇。 能否在地面系与加速车厢系各画一次受力图，得到同一个支持力或悬线方向。 能否独立写出转动加速度的五项，正确判断向内滑动时科里奥利项的方向。 能否识别恒定提前角拦截与连续追踪，并说明为什么它们的时间通常不同。 能否在每次求根后检查时间域、首次接触、停止、落地及零分母，再给出完整物理结论。 主题索引 观察者与坐标轴　参考系与相对量的基础；平动参考系与伽里略变换。 相遇与最近距离　一维追及与分段运动；二维相对运动与几何方法；进阶专题1和4；练习M1至M3及M8。 介质与运动合成　渡河与运动合成；风雨与观察反演；进阶专题2；练习B4至B6、M4和C2。 共同加速度　共同加速度与自由落体系；例题12和13；练习M5。 平动惯性力　平动非惯性系与有效重力；例题14至16；练习B7和M6。 转动与科里奥利项　转动参考系的运动学；转动系中的动力学辨析；进阶专题6；练习M7及C6至C8。 追踪与质心　进阶专题3和5；练习C3和C5。 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $