全国中学生物理竞赛学习讲义：运动学

全国中学生物理竞赛 运动学学习讲义 全国中学生物理竞赛 运动学学习讲义 学生自学与教师授课用书 从运动描述到竞赛建模 概念推导 经典模型 图像分析 分层训练 教学支持 20 道经典例题　6 个进阶专题　24 道分层练习 每道例题给出分析与解答，独立练习另附完整答案。 覆盖直线运动、相对运动、抛体、曲线运动、几何约束与极坐标。 2026年9月 目录 阅读指南与学习目标 5 使用这份讲义 5 入门诊断 5 数学语言与运动描述 6 参考系与坐标系 6 路程与位移 6 瞬时速度和加速度 6 微积分入门与物理意义 7 解题的基本书写规范 7 一维运动与事件分析 8 匀速与匀变速的适用条件 8 分段运动的连接 8 例题1 速度零点与总路程 8 例题2 反应时间与制动距离 9 例题3 延迟出发的追及 9 加速度不是常量时怎样选择变量 9 例题4 速度相关的减速 9 运动图像与信息转换 10 三类图像的读取规则 10 例题5 从速度图像读出全过程 10 例题6 由位置图像判断瞬时状态 11 从文字条件到图像 11 相对运动与二维会遇 11 相对位置是最稳妥的起点 11 匀速相对运动的最近距离 12 例题7 两船的最近距离 12 例题8 渡河的不同优化目标 12 例题9 雨滴的真实速度 13 抛体运动与目标可达性 13 从矢量方程到分量方程 13 常见公式的边界 14 例题10 斜面上的最远落点 14 例题11 同时下落的目标 14 例题12 打中定点所需的最小初速 15 抛体问题的统一流程 15 圆周运动与自然坐标 15 角量与线量 15 例题13 非匀速圆周运动 16 一般曲线的自然坐标 16 例题14 抛物线上的曲率半径 17 几何约束与关联速度 17 先约束位置 再求时间导数 17 例题15 滑梯两端的速度与加速度 18 例题16 动滑轮的关联运动 18 例题17 收绳牵船 18 例题18 定长杆的矢量约束 19 极坐标与坐标选择 19 极坐标的单位矢量也在变化 19 例题19 匀速伸长且匀速转动 20 例题20 速度方向与径向成恒角 20 怎样选择坐标 20 进阶专题与完整解法 20 专题1 固定初速的全部可达区域 20 专题2 正方形顶点的循环追逐 21 专题3 纯滚动轮缘点的摆线 22 专题4 两条运动直线的交点 23 专题5 有速度上限的最短时间运动 23 专题6 旋转导轨上的相对运动 23 分层练习与提示 24 基础组 24 提高组 24 挑战组 25 分级提示 25 分层练习完整解答 26 基础组解答 26 提高组解答 27 挑战组解答 27 方法总结与错误诊断 29 从题目条件选择主方法 29 十二个高频错误及修正 29 一题多解与答案检查 30 订正记录模板 30 教师支持与课堂活动 30 教学安排参考 30 入门诊断答案与追问 31 课堂活动一 用视频重建运动 31 课堂活动二 给错误答案找反例 31 综合测评与评分量规 31 课末出口问题 32 公式索引与参考资料 32 常用关系速查 32 符号索引 33 资料依据与进一步阅读 33 阅读指南与学习目标 本讲义面向已学习高中力学基础、准备进一步学习全国中学生物理竞赛的学生，也供教师备课、组织讨论和分层训练使用。运动学回答“物体怎样运动”，其输入通常是运动规律、加速度或几何约束，输出是位置、轨迹、速度、加速度和事件发生的时刻。它本身不负责解释加速度产生的原因。 全书采用三个学习层级。基础层要求熟练处理直线运动、图像、抛体和简单相对运动；提高层引入微积分、自然坐标、极坐标和复杂约束；拓展层训练包络线、追逐曲线和运动最优化。这里的层级是教学安排，不是对每道题官方赛段归属的判定。 官方范围说明　中国物理学会公开的2015年修订《内容提要》列有参考系、直角坐标、位移和路程、速度和加速度、运动合成、抛体、圆周、曲率半径、相对运动与伽里略速度变换；平面极坐标、自然坐标和角加速度标为复赛与决赛增补内容。微积分初步也属于增补内容。资料末附官方链接。旋转参考系的完整变换、刚体滚动和追逐曲线在本书中作为衔接与拓展，不冒充运动学条目的逐项必考要求。 使用这份讲义 学生路线　先完成入门诊断，再按“概念与推导—遮住解答做例题—复述方法—完成同类练习—订正与迁移”的顺序学习。第一次做题必须写参考系、坐标正方向和时间起点。仅能复现公式而不能说明适用条件，不能视为掌握。 教师路线　先看末章教学安排与评价量规，再选取对应章节。经典例题与进阶专题附完整解法，独立练习的题目和解答分开编排，适合抽取题目布置作业。全部题目按经典模型重新编写，不标注为未经核验的历年真题。 共同约定　除题目另有说明外，采用地面惯性参考系，忽略空气阻力，重力加速度恒定。数值题只有明确给出时才取 。点号表示对时间求导；矢量用箭头表示；一维的 表示有正负号的速度分量，二维及三维的 表示速率。 完成阶段 应能独立完成的任务 建议检查证据 基础 区分路程与位移，完成匀变速与图像问题 能说明方向、单位及分段条件 提高 建立二维运动、相对运动和约束方程 能从位置关系推导速度与加速度关系 拓展 处理曲率、极坐标、轨迹族和追逐问题 能解释边界、奇点、极限与解的可实现性 入门诊断 诊断1　质点沿半径为 的圆运动半周。路程、位移大小分别是多少？ 诊断2　一维运动中，某时刻 ，。此时运动方向与速率变化分别如何？ 诊断3　物体向上抛出，在最高点速度为零。它的加速度是否为零？ 诊断4　一个物体全程位移为零，平均速率一定为零吗？ 诊断5　两物体某时刻速度相同，该时刻一定相遇吗？ 诊断6　拉着斜绳使船靠岸，绳的收缩速率能否直接等于船的水平速度？ 使用建议　诊断答案见教师支持章。错1至4题先补基本概念；错5题重点读事件条件与相对运动；错6题重点读几何约束。诊断用于定位问题，不作为竞赛水平的定量评估。 数学语言与运动描述 参考系与坐标系 参考系是描述运动所依附的观察体系；坐标系是在该体系中给位置赋数的方法。同一参考系可以使用直角坐标或极坐标。换坐标不一定换参考系；由地面观察改为车上观察才涉及参考系改变。 以固定原点和固定坐标轴描述平面运动，有 。位置矢量从原点指向物体；从起点指向终点的是位移。两个位置矢量的差才是该段运动的位移。 轨迹是物体在空间经过的点的集合；运动方程还给出这些点与时间的对应关系。同一条轨迹可以用不同速率、不同方向经过，因此“求轨迹”不等于“完整确定运动”。消去时间后还必须保留时间范围所对应的轨迹区间。 路程与位移 路程是实际轨迹的长度，总是非负；位移是矢量。任意一段运动的路程不小于位移大小，只有沿同一直线且没有折返时才相等。平均速度由位移决定，平均速率由路程决定。 一维问题中，若速度变号，就必须按转向时刻分段求路程。不能直接把最终坐标减初始坐标后取绝对值当作路程。二维问题中，速度方向可能连续转动，路程应由速率积分计算。 瞬时速度和加速度 瞬时速度是位置对时间的变化率，加速度是速度矢量对时间的变化率。在直角坐标轴固定时，可以逐分量求导。 速度变化包括大小变化和方向变化。匀速圆周运动虽然速率不变，速度矢量仍在变化，因而加速度不为零。“加速度大”也不等于“速度大”；加速度描述变化快慢，不是当前运动快慢。 一维中，速度和加速度同号时速率增大，异号时速率减小。一般空间运动中，当速率非零时，应看速度与加速度的点积： 在速度为零的瞬间，上式不能直接除以零。应回到速度函数，考察该时刻附近的运动。速度为零也不保证发生折返，例如 在 前后仍沿同一方向运动。 微积分入门与物理意义 导数可以理解为曲线局部切线的斜率，积分可以理解为微小变化的累积。由加速度求速度需要一个初始速度；由速度求位置还需要一个初始位置。积分常数携带初始条件，不能省略。 规则 表达式 常见用途 幂函数求导 多项式运动方程 复合函数求导 位置给定的加速度与约束 乘积求导 变化的长度与变化的方向 三角函数求导 圆周运动与投影 定积分 由速度图像求位移 教师提示　讲解导数时先用短时间内的平均速度逼近，再引入符号。学生常把 与瞬时加速度无条件等同；只有加速度恒定或取极限时才可这样处理。 解题的基本书写规范 先写研究对象、参考系、坐标正方向和时间原点，再画示意图。每引入一个符号，都说明其意义及单位。列出位置函数后，明确事件条件，例如相遇是位置相同、转向要求速度换号、最近要求距离达到允许区间内的最小值。 方程求出的根只是候选。必须检查时间非负、绳子绷紧、物体尚未落地、速度限制尚未触发等物理条件。最后用单位、初值和简单极限检验答案。 一维运动与事件分析 匀速与匀变速的适用条件 匀速直线运动要求速度矢量恒定。匀变速直线运动要求沿所选直线的加速度为常量。公式中的 是有符号位移，不是路程。 无时间公式会丢失速度的正负信息；开平方后必须用运动阶段确定符号。平均速度等于初末速度的算术平均，只对速度随时间线性变化的区间普遍成立，不可推广到任意变速运动。 分段运动的连接 物体经历加速、匀速、减速等阶段时，各段可以选自己的局部时间，但必须说明局部时间与总时间的关系。通常位置在连接处连续；若不存在理想化瞬时冲击，速度也连续。加速度可以突变。 汽车“以恒定制动加速度刹车至停止”通常意味着到停止时模型终止，之后车保持静止。若继续套 到更晚时刻，就会无依据地预测倒车。 例题1 速度零点与总路程 题目　质点沿直线运动，，其中 以米计、 以秒计。求 内的转向时刻、位移、路程及平均速率。 分析　位置函数已知，先求速度，再判断速度符号。路程需要在真正的转向点分段。 解答　 时速度为零。三个开区间内速度符号依次为正、负、正，所以两处都发生转向。关键位置为 、、、。 方法提炼　求导—找零点—判符号—列关键位置—分段求路程。零速度是转向的必要条件之一，但在光滑运动中仍须检查零点两侧符号。 例题2 反应时间与制动距离 题目　汽车以 行驶。驾驶员发现前方障碍物后，经过 才开始制动，此前保持原速度。制动加速度大小为 ，直到停车。求总停车时间与总停车距离。 解答　反应阶段走过 。制动阶段所需时间为 ，距离为 。因此总时间为 ，总距离为 。 规律　反应距离随初速度一次增长，制动距离随初速度平方增长。总停车距离为 ，其前提包括制动加速度恒定和反应阶段匀速。 错误辨析　不能把全程视为以 匀减速，也不能把反应时间直接加在制动公式中的速度变化时间上。 例题3 延迟出发的追及 题目　甲从原点以 匀速运动。乙在甲出发 后从同一原点由静止开始，以 匀加速追赶。求追上时乙运动了多久、追及位置和两者速度。 分析　取乙开始运动为时间起点，此时甲已领先 。这一选择能避免在两个不同时间原点之间反复切换。 解答　舍去负根。追及位置为 。甲速度仍为 ，乙速度为 。 追及前的最大距离并不发生在相遇时。间距为 ，在 、两者速度相等时达到最大值 。速度相等是间距的驻值条件；位置相等才是相遇条件。 加速度不是常量时怎样选择变量 若给 ，直接对时间积分；若给 ，利用链式法则；若给 ，尝试分离变量。后两种处理需要注意速度零点和函数的定义域，不能机械相除。 上式可在适当的单调运动区间使用；在转向点附近，最好回到时间描述或分别讨论各运动分支。 例题4 速度相关的减速 题目　一维运动满足 ，其中 ，初始位置为零、初速度为 。求速度与位置随时间的变化，并判断是否在有限时间内严格停止。 解答　任意有限时间内 ，所以不会在有限时刻严格停止；当 时速度趋于零，位置趋于 。模型预测有限的极限位移与无限的严格停止时间，两者并不矛盾。 规律　先审查“停止”的定义：是速度精确为零，还是低于某个阈值。如果要求降至 ，所需时间为 。 运动图像与信息转换 三类图像的读取规则 图像 纵坐标 局部斜率 有符号面积 位置时间图 位置 速度 通常不是本模块的基本运动量 速度时间图 速度分量 加速度分量 位移 加速度时间图 加速度分量 加速度的变化率 速度变化量 图像与轨迹不能混同。 图中的曲线是在“时间—位置”平面中作图，不代表物体在空间走过同样形状的路线。速度时间图像下方的负面积表示负位移；求路程应把各段面积取绝对值后相加。 图1 分段速度与累积位置的对应关系 例题5 从速度图像读出全过程 题目　某质点 时 ； 时 ； 时 。速度单位为米每秒。求七秒内的位移、路程、平均速度、平均速率和转向时刻。 解答　第一段面积为 ，第二段为 。第三段在 处过零，之前面积为 ，之后有符号面积为 。 转向发生在 ； 只是加速度改变的时刻。若 ，则关键位置依次为 、、、。这组坐标可用于交叉核对面积法。 方法提炼　先标出分段点与横轴交点，再做面积。面积法与积分是同一物理过程的两种表达，不应当作互不相关的技巧。 例题6 由位置图像判断瞬时状态 题目　位置函数为 ，。求速度为零的时刻、加速度为零的时刻，以及位置的局部极大值和极小值。 解答　速度零点为 。在 附近速度由正变负，位置有局部极大值 ；在 附近由负变正，位置有局部极小值 。加速度在 为零，此时速度为 ，并没有静止。 规律　位置极值、速度极值、加速度零点是不同事件。位置曲线的切线水平对应速度为零；曲线凹凸性的改变与加速度符号有关。候选零点是否对应极值，仍要检查两侧符号。 从文字条件到图像 “先匀加速再匀速”意味着速度图像先为斜线再为水平线；“速度连续、加速度突变”意味着速度图像有折角但不跳跃；“在原点往返”需要检查位置是否回到原值，不能只看速度是否变号。 教师追问　把例题5第三段的斜率改为 ，其余时间不变，七秒内是否还会转向？答案是否定的，因为末速度仍为正。这样可检查学生是否真正使用零点而不是机械套用原图。 相对运动与二维会遇 相对位置是最稳妥的起点 在坐标轴始终平行的两个描述中，设观察者B相对地面的位置为 ，物体A的位置为 ，则A相对B的位置及其导数为： 当B相对地面匀速平动时，这就是常用的伽里略运动变换，并有 。即使B作加速平动，只要坐标轴不转动，上面的差分关系仍是正确的运动学关系；但在该参考系中使用牛顿定律会涉及惯性力，不属于本章重点。 若坐标轴自身旋转，单位矢量会改变，不能直接把旋转坐标分量的普通时间导数代入上述简化形式。旋转问题见极坐标与拓展专题。 匀速相对运动的最近距离 设初始相对位置为 、恒定相对速度为 ，则： 若只考察 ，应将候选时刻限制在这一闭区间内，并检查端点。只有内部极小值才满足 ，即相对位置与相对速度垂直。若相对速度为零，距离恒定，不能使用除以 的公式。 例题7 两船的最近距离 题目　以东为横轴正向、北为纵轴正向。B相对A的初始位置为 ，恒定相对速度为 。求此后最近距离及出现时刻。 解答　，所以最近距离为 ，出现在约 后。两船不会相遇，因为最小距离不为零。 另一解法　在相对运动图中，B沿一直线运动，最近距离是原点到这条直线的垂距。几何法很简洁，但仍须检查垂足对应的是未来而非过去。 例题8 渡河的不同优化目标 题目　河宽 ，水速 ，船相对水速率恒为 。求最短渡河时间；再求到达正对岸时所需时间。水流沿河岸方向且均匀。 解答　最短时间要求船相对水的垂岸分量最大，即船头垂直河岸。此时 ，向下游漂移 。 若要求到达正对岸，船相对水的上游分量必须抵消水速，因此垂岸分量为 ，渡河时间为 。船头与垂岸方向夹角满足 ，应向上游偏转。 规律　“时间最短”“到达正对岸”“航程最短”是不同目标。在均匀水流、固定航向模型中，正对岸航行要求 ；当 时抵消水流后垂岸速度为零，不能在有限时间渡河。 图2 渡河问题中的三个速度矢量 例题9 雨滴的真实速度 题目　以向右为 正向、向上为 正向。一辆车以 运动，车上测得雨滴速度为 。求雨滴相对地面的速度及速率。 因此速率为 ，运动方向向右下，与竖直向下方向夹角满足 。雨滴相对车向左运动，不意味着相对地面也向左。 方法提炼　在速度符号上保留“谁相对谁”的下标。矢量首尾相接之前先写变换等式，避免把观察到的方向直接当作地面方向。 抛体运动与目标可达性 从矢量方程到分量方程 以水平方向为 轴、竖直向上为 轴。忽略空气阻力并把重力加速度视为常量，则 、。初速度大小为 ，与水平向右方向夹角为 ，从 发射。 当 时，可以消去时间得到轨迹；若水平初速度为零，应单独作为竖直运动处理。 最高点的条件是竖直速度为零，不是总速度为零。初始向上发射时，达到最高点所需时间为 ，相对发射点的最大升高为 。最高点通常仍有水平速度。 常见公式的边界 同一高度起落、落地点在前方时，飞行时间为 ，射程为 。只有在这一模型下，固定初速的最大水平射程对应 。非等高起落、落在斜面上或存在障碍物时，应重新列方程。 从高度 水平抛出时，落地时间由竖直运动给出 ，水平距离为 。初始位置与初始速度是独立条件，不要把水平抛出误认为从静止释放。 例题10 斜面上的最远落点 题目　斜面从发射点起向右上方延伸，与水平夹角为 ，其中 。以固定速率 、仰角 发射质点，。求沿斜面的射程，并求使射程最大的角度。 分析　落点满足 。必须排除 这个初始交点，保留第二次相交的正时间。 由 ，可知最大值出现在 。 检验　当斜面趋于水平，最佳角度趋于 ，最大射程趋于 。当 时，非零飞行时间趋于零，符合几何直观。 图3 抛体与斜面的相交条件 例题11 同时下落的目标 题目　目标初始位于 ，。发射者在原点，以速率 沿初始视线指向目标发射质点。发射同时，目标由静止释放并自由下落。何时相遇？若地面为 ，怎样判断相遇是否发生在空中？ 设 。质点与目标受到相同的重力加速度，因而相对加速度为零。两者相对位置为： 解答　数学轨迹在 时相交；若要求碰撞严格发生在地面上方，则需 。等号对应恰在地面处相遇，低于此值则目标已经落地，原来的自由落体模型不能继续使用。 方法提炼　相同加速度可以在相对运动中消去。这个简化只改变计算方式，不取消飞行时间、地面和障碍物的限制。 例题12 打中定点所需的最小初速 题目　从原点发射质点，要求经过固定点 ，其中 ， 可正可负。发射方向可调。求所需最小初速及对应方向。 设飞行至目标所需时间为 。初速度分量必须为 、，因此： 记 。由对 求极值，或使用两项的算术几何平均不等式，可得： 检验　当 时，得到 ，最佳角度为 。本题只要求轨迹经过目标；若另有墙体、天花板或落地限制，必须追加条件，所得最小值可能改变。 抛体问题的统一流程 第一步选原点与坐标轴，第二步写两个分量方程，第三步把“最高”“击中”“落地”“与斜面相交”等语言变成事件方程。第四步消元或求极值，第五步检查正时间、飞行区间和目标条件。不要把射程公式作为所有抛体问题的起点。 圆周运动与自然坐标 角量与线量 对固定圆心、固定半径 的圆周运动，角位置为 。角速度与角加速度可以带符号，分别表示所约定正方向上的转动快慢及其变化率。 沿固定的角度增大方向取切向单位矢量时，切向加速度分量为 ，径向加速度分量为 。若自然坐标的切向方向取实际速度方向，则切向分量为 ；反向转动时不要混用两种符号约定。 角量形式的匀变速公式仅适用于角加速度恒定的阶段：，。角度必须用弧度。单向转动时路程为 ；若中途反向，需分段累加。 例题13 非匀速圆周运动 题目　质点沿半径 的固定圆运动，角位置满足 ，以弧度计，。求 时的速率、切向加速度、法向加速度和总加速度大小。 解答　，。在所求时刻，，，，所以 。 此时总加速度既不纯沿切线，也不纯指向圆心，与指向圆心方向的夹角满足 。速率增加由切向分量负责，速度转向由法向分量负责。 一般曲线的自然坐标 曲线上的每个规则点可引入沿速度方向的单位切向量 和指向局部曲率中心的单位法向量 。弧长满足 ；切线随弧长转动满足 。 这说明法向加速度由局部弯曲程度和当前速率共同决定。曲率半径不是任意选定原点到质点的距离，只有圆周运动时它才等于圆的半径。 对平面参数曲线，在速度非零且曲率非零的规则点，有： 若曲率为零而速度非零，曲率半径可理解为无穷大。若速度为零，以上参数公式不能直接使用，需考察几何曲线及极限。 图4 曲线运动的切向与法向分解 例题14 抛物线上的曲率半径 题目　质点以初速度分量 抛出，，。求任意时刻的曲率半径，并求最高点处的结果。 速度为 ，加速度为 ，因此叉积大小恒为 。 最高点处竖直速度为零，故 。此时加速度完全沿法向。其他时刻总加速度仍为 ，但一般包含切向分量，不能在任意位置都写 。 方法提炼　已知速度与加速度时，优先用投影或叉积求自然坐标分量；已知轨迹函数时，也可从曲线几何求曲率。两种方法应相互核对。 几何约束与关联速度 先约束位置 再求时间导数 不可伸长的绳子、固定长度的杆、接触面和导轨都会限制位置。最可靠的方法是先写准确的几何约束，再对时间求导得到速度关系，必要时再求一次导数得到加速度关系。 若约束为 ，则： 第二次求导时， 和 往往也随位置变化，不能把第一次关系中的几何系数当作常数。绳与杆还需分别检查绷紧、伸缩、接触及滑动等模型条件。 例题15 滑梯两端的速度与加速度 题目　长 的直杆两端分别沿水平地面与竖直墙面滑动。下端到墙的距离为 ，上端高度为 ，下端以恒定速率 远离墙。求上端的竖直速度和加速度。 继续求导，因 、，得到 。利用 化简： 上端向下运动且加速下滑。 时公式发散，表明“下端始终恒速且两端始终接触”这一理想约束在末端需要审查；不能据此断言真实梯子必有无限速度或加速度。 图5 定长杆的几何约束与端点速度 例题16 动滑轮的关联运动 题目　一根不可伸长的绳，一端固定于天花板，向下绕过动滑轮后再向上经过定滑轮，另一端竖直悬下。两段支承动滑轮的绳均竖直，轮上包绕长度恒定。以向下为正，动滑轮位置为 ，自由端位置为 。求速度、加速度关系。 解答　忽略各恒定段后，总绳长约束为 。因此： 若自由端向下运动，动滑轮向上运动，速率只有自由端的一半。若支承绳段不再竖直，简单的系数2一般不再直接成立，须按实际绳段长度重新列式。 例题17 收绳牵船 题目　岸上定滑轮比船头高 ，船只沿水平面向岸靠近。船头到滑轮铅直投影的水平距离为 ，斜绳长度为 。以恒定速率 收绳，即 。求船的水平速度与加速度。 再求导，用 及 ，得： 船的速率 大于收绳速率。船的水平速度在绳方向的投影才对应绳长变化率。靠近岸边时理想解发散，说明恒定收绳速率、固定高差与水平运动等条件不能无限延续。 例题18 定长杆的矢量约束 题目　平面中杆两端为A、B，杆长不变。设 ，。证明相对速度垂直于杆，并写出相对加速度沿杆方向的约束。 由 求导： 再次求导： 因此两端沿杆方向的速度分量相等，但沿杆方向的加速度分量一般不相等。若 ，则 。 易错点　“杆不伸长”并不意味着两端速度矢量相等，也不意味着两端加速度在杆方向的投影相等。第二次求导多出来的 正反映方向改变的影响。 极坐标与坐标选择 极坐标的单位矢量也在变化 平面极坐标中， 是到固定原点的距离， 是方位角； 沿径向向外， 沿角度增大的方向。它们不是固定方向的矢量。 对 求一次及两次导数，即可得到速度与加速度，而不必死记。 径向变化率 不等于总速率。径向加速度 也不等于 ，因为转动还贡献 。极坐标的径向与自然坐标的法向通常不是同一方向。 例题19 匀速伸长且匀速转动 题目　质点满足 、，其中 、，。求速度、加速度、速率及轨迹。 消去时间可得 ，是阿基米德螺线的一支。虽然 、，加速度仍不为零，因为基矢在变化。 校验　转为直角坐标 、，直接求二阶导数，能得到相同的加速度。这是检查极坐标公式符号的有效办法。 例题20 速度方向与径向成恒角 题目　某运动的极坐标为 、，其中 为常数。求速度与径向方向的夹角，以及速率和曲率半径。 由 ，得到 、。速度与径向的夹角为常量 ，满足 。速率为 。 由 ，得 、。叉积大小为 ，故： 辨析　这里径向速度随 增长，并不恒定。题型的关键是“速度与径向夹角恒定”，不是“径向速度恒定”。轨迹为对数螺线。把题设误读成 恒定会得到完全不同的运动。 怎样选择坐标 直角坐标适合加速度方向固定、抛体和正交导轨；自然坐标适合已知轨道形状、关心速率变化与转弯；极坐标适合距离与方位角直接给定、绳绕定点或螺线。坐标选择的目标是减少变量与约束复杂度，而不是展示更高级的符号。 进阶专题与完整解法 本章六个专题侧重把已有方法组合起来。它们不是必须先学完才能进入后续力学的前置课程。建议完成基础练习后再学习，并在每题末尾用一句话说明“新困难是什么、原有方法怎样迁移”。 专题1 固定初速的全部可达区域 问题　在无障碍、均匀重力场中，从原点以固定初速率 向右发射，角度可变。对任意 ，求可能达到的最高位置，并判断目标点是否可达。 方法一　令 ，轨迹方程化为关于发射角参数的二次式： 固定 后，这是关于 的开口向下抛物线。在 处取最大值： 因此给定目标 、 可达，当且仅当 。严格低于边界时有两个不同的发射角，位于边界时两个角合并，边界以上无解。这里允许任何指向右半平面的初速度；若另限制只能向上发射或中途不能穿过地面，需进一步筛选。 方法二　把轨迹方程看成关于 的二次方程，令判别式不小于零，得到同样的条件。再把不等式改写成关于 的条件，就能恢复例题12的最小初速公式。 迁移规律　对“某一族运动能够覆盖哪些点”的问题，可以把控制参数当作待求未知量，通过判别式、极值或包络条件求边界。可达边界不是某一条固定发射角的完整轨迹。 图6 固定初速的轨迹族及可达区域上边界 专题2 正方形顶点的循环追逐 问题　四个质点初始位于边长为 的正方形四个顶点，各以恒定速率 始终追向前方相邻质点，追逐方向一致。求相遇时间、每个质点走过的路程，并描述轨迹。 对称性保证运动过程中四点仍构成缩小并转动的正方形。记当前边长为 ，取某一边的方向由追者指向被追者。追者沿此方向速度为 ；被追者的速度沿下一条边，与该方向垂直。故两点相对速度沿边的投影为 。 各点到中心距离 ，速度的向心分量和切向分量大小均为 。取实际转向为角度正方向，得到： 轨迹为对数螺线，每点路程为 。在这一理想模型中，角度随 无限增加，而路程有限。末端需要无限快速转向；真实运动若受最大加速度限制，不能严格实现该理想过程。 迁移规律　对称性先减少自由度，再把相对速度投影到连接线上。不要把两个速率直接相加作为距离缩短率；必须计算方向投影。 专题3 纯滚动轮缘点的摆线 问题　半径为 的轮子以轮心速度 向右纯滚动。取某轮缘点初始接触地面的位置为原点，令轮子转过的角度大小为 。求该点轨迹、速率、加速度大小、一个周期内路程与曲率半径。 轮心平移与轮缘点绕轮心转动叠加，得到： 在 内，。速度对时间求导可得 ，因此加速度大小恒为 。 在一个周期两端，该点瞬时速度为零，曲线形成尖点，规则点的曲率公式不直接适用。接触点虽然瞬时静止，加速度仍不为零。因此可把接触点作为某时刻速度分析的瞬心，却不能把它当作在整个时间段内固定不动的转轴。 图7 纯滚动轮缘点的一个摆线拱 专题4 两条运动直线的交点 问题　一条细长直槽绕原点以角速度 转动，方程为 ；另一条竖直直槽以速度 向右平移，方程为 。求两槽交点在 内的速度与加速度。 交点位置由两条几何条件同时决定：、。求导得： 在 ，有 、，二者并不同时为零。靠近两直线平行的时刻，理想交点位置及其导数趋于无穷；有限长度的真实槽在此之前就会失去交点。 物理辨析　几何交点不一定是固定的同一物质点。若两槽中真的约束着一个小珠，只有在槽长、接触力与装置能力允许时，小珠才能实现上述交点运动。先求几何速度，再判断它是否对应真实物体。 专题5 有速度上限的最短时间运动 问题　物体从静止出发，沿直线前进距离 后恰好停止，要求运动不后退。加速度大小不超过 ，速率不超过 。求最短时间及最优速度图像。 关键论证　若总时间为 ，初末速度均为零，速度图像必须满足 、 及 。因此给定 能走的最大距离，等于这三个上界的最小值所围成的面积。使速度尽可能贴住上界，才能用最短时间走够 。 若 ，最优图像为三角形，先以 加速，再以 减速，切换点在路程中点。 若 ，最优图像为梯形，先加速到 、再匀速、最后减速至零。 边界检查　当 时，两式同为 。最优策略的改变由速度上限是否被触及决定，不能在所有距离下都先安排一段匀速运动。 专题6 旋转导轨上的相对运动 问题　一条直导轨绕固定原点以恒定角速度 转动。小珠被控制为沿导轨向外运动，其到原点距离为 ，其中 。求地面系速度与加速度，并解释加速度的两部分来源。 直接用极坐标公式，有： 径向项来自随导轨转动的向心加速度。切向项的两个相同贡献分别来自径向速度方向的转动，以及位置向外变化使转动线速度增大。小珠相对导轨的径向速率恒定，不代表地面系加速度为零。 拓展表达　若原点不平动、坐标轴以恒定角速度矢量 转动，地面系加速度可写成相对加速度、 和 三项之和。此处仅用于理解运动学变换，不把“科里奥利加速度项”与非惯性系中引入的“科里奥利力”混为一谈。若角速度变化，还需增加角加速度贡献。 分层练习与提示 本章题目供独立作答，完整解答在下一章。基础组建议每题5至10分钟，提高组每题10至20分钟，挑战组每题20至35分钟；时间仅作课堂安排参考。做题前先写模型条件，遇到困难可只看本章末的提示，不立即翻答案。 基础组 B1　质点从坐标 出发，先沿正向走 ，再沿反向走 ，总用时 。求位移、路程、平均速度和平均速率。 B2　质点位置为 ，单位采用米和秒，考察 。求初速度、加速度、转向时刻、位移和路程。 B3　一辆汽车先从静止以 加速5秒，再匀速3秒，最后以 减速至停止。求总时间、总路程和平均速率。 B4　从高 处以 水平抛出小球，取 。求落地时间、水平距离及落地速度大小。 B5　质点沿半径 的圆以 匀速转动。求周期、速率、加速度大小和半周内的平均速度大小。 B6　A车相对地面速度为 ，B车速度为 。求B相对A的速度与速率。 B7　某质点前2秒速度为 ，后2秒速度为 。忽略理想化切换过程所需时间，求四秒内位移、路程、平均速度与平均速率。 B8　小球以 竖直上抛，取 。求达到最高点的时间、最大高度和从发射到返回原高度的路程；指出最高点的速度和加速度。 提高组 M1　甲从原点以 匀速前进。乙同时从同一点静止出发，以 匀加速。除初始时刻外何时相遇？相遇前最大间距是多少？ M2　河宽 ，均匀水速 ，船相对水速率为 。分别求最短时间渡河和正对岸渡河的时间，并求前者漂移距离。 M3　某物体相对另一物体的初始位置为 ，恒定相对速度为 。求未来最近距离与出现时刻，并说明是否相遇。 M4　小球从地面以 、仰角 抛出，落回同一地面，取 。求飞行时间、射程、最大高度及最高点曲率半径。 M5　长5米的杆两端分别沿地面和竖直墙滑动，下端以 匀速远离墙。求下端距墙3米时上端的竖直速度与加速度。 M6　船头比岸上滑轮低3米，船头与滑轮铅直投影水平距离为4米，以 恒速收绳。求此刻船的速度和加速度，取远离岸为正。 M7　质点沿半径3米的圆运动，角位置为 。求 时的速率、切向与法向加速度、总加速度大小。 M8　两质点相对位置满足 ，单位采用米和秒，限定 。求这一时间段内的最近距离。为什么不能直接使用无限时间范围的极小值结果？ 挑战组 C1　一维运动满足 ，，初始 、。求 与 的关系，以及 。讨论 的极限。 C2　固定点位于 ，从原点抛射质点，取 。求击中它的最小初速、对应发射角的正切及到达时间。 C3　质点满足 、，单位采用米、秒、弧度。求 时速度和加速度的极坐标分量、速率、切向加速度、法向加速度与曲率半径。 C4　平面运动为 、。求 时速率、加速度的切向分量、法向分量和曲率半径。 C5　边长60米的正方形顶点上有四个质点，均以 循环追逐相邻质点。求相遇时间、各自路程；当边长减半时，整个正方形转过多大角度？ C6　物体从静止出发，沿直线走100米后停止，且始终不后退。加速度大小不超过 ，速率不超过 。求最短时间和各阶段距离。 C7　轮子半径 ，轮心以 纯滚动。某轮缘点起初接触地面，求轮子转过 时该点的速度、加速度与曲率半径。 C8　一质点从原点以初速 向右运动，满足 ，其中 。求 、，并判断速度趋于零时总路程是否有限。与例题4比较。 分级提示 基础组提示　B1、B7把有符号位移与各段长度分别相加；B2找速度零点；B3分成三个阶段；B4先解竖直运动；B5半周位移是直径；B6做矢量减法；B8最高点仍受重力加速度。 提高组提示　M1分别写“位置相等”和“速度相等”的条件；M2区分优化目标；M3求距离平方的极值；M4先求水平初速度；M5、M6从长度约束求两次导数；M7把切向与法向分开；M8把候选时刻与题目区间比较。 挑战组提示　C1用 ，或解二阶常系数方程；C2先取 ；C3先算极坐标分量，再做投影与叉积；C4避免把竖直加速度全部当法向；C5积分角速度；C6判断能否达到速度上限；C7直接求摆线参数式的导数；C8分离变量后再对速度积分。 分层练习完整解答 基础组解答 B1　选最初前进方向为正。位移为 ，路程为 。平均速度为 ，平均速率为 。易错在于用路程除时间求“平均速度”；速度需要方向，速率不需要。 B2　对位置求导得 ，故初速度为 、加速度为 ，在 转向。三个关键位置是 、、。因此位移为 ，路程为 。检查位置中的常数4只平移坐标，不影响速度、加速度和位移。 B3　加速末速度为 ，加速路程为25米；匀速路程为30米；减速时间为2秒，减速路程为10米。总时间 ，总路程 ，平均速率为 。用速度图像的三角形、矩形和三角形面积可以复核。 B4　竖直方向满足 ，得 ；水平距离 。落地速度分量为 ，大小为 。方向向前下方，与水平夹角的正切大小为 。 B5　周期 ，速率 ，加速度 。半周位移大小为 、时间为 ，故平均速度大小为 ，方向从起点指向对径点。它小于恒定速率2。 B6　B相对A的速度为 ，相对速率为 。这个13并不是两车速率的代数差，也不是代数和。 B7　两段位移分别为6米和负2米，总位移4米，总路程8米。平均速度为 ，平均速率为 。题目把速度切换理想化为瞬时变化，因此切换瞬间不能再要求加速度是有限常量。 B8　以向上为正，，最高点对应 ，高度 。返回原高度总路程为40米、总位移为零。最高点速度为零，加速度仍为 。向上与向下两个阶段各用2秒。 提高组解答 M1　甲位置 ，乙位置 。令二者相等得到 或 ，后者是再次相遇时间。相遇前甲领先距离为 ，在 ，即 时最大，最大值16米。此时两者速度相同，但位置不同；在追上时乙速度为 ，反而不等于甲的速度。 M2　最短时间时船头垂岸，时间 ，下游漂移 。若正对岸到达，上游分量须为3，垂岸分量为 ，时间为20秒。相对水的速率保持5，不意味着相对地面的速率也始终为5。 M3　距离平方为 。极小值发生在 ，此时相对位置为 ，最近距离为 。横坐标为零的时刻是50秒，但此时纵坐标不为零，所以并不相遇。 M4　初速度分量为 、。飞行时间为2秒，射程为 ，最大高度为5米。最高点水平速率为 ，加速度完全沿法向，所以曲率半径为 。用初速20代入最高点曲率公式会出错。 M5　由 得此时 。一次求导得到 。二次求导得 。两者均向下。若只把一次关系中的 视为常数再求导，会漏掉全部实际加速度。 M6　此时斜绳长5米，。加速度为 。负号表示指向岸。即使收绳速率恒定，船速也会因绳与水平夹角变化而变化。 M7　、。在2秒时，速率 ，切向加速度 ，法向加速度 ，总加速度为 。两分量相互垂直，不能直接相加成15。 M8　相对速度为 ，不加区间限制时，候选最小时刻为 。它不在题目区间内。距离在0至2秒内持续减小，故最小值发生在右端点，。无限时间范围的最小距离为 米，但本题时间内达不到。 挑战组解答 C1　速度保持正向的分支上，。从初值积分得到： 再解 并满足 、，得： 这里双曲正弦只是两指数之差的简写，不是新增物理定律。用指数展开， 时 、，恢复匀速运动。 的单位为每秒平方的倒数，即 。 C2　目标距离 。由例题12的结果，，故最小初速为 ，，到达时间为 。复核分量 、，代入运动方程恰得 。 C3　在1秒时 、、、，故速度分量为 ，加速度分量为 。 上式中速率单位为米每秒，加速度为米每二次方秒，曲率半径为米。注意极坐标的径向分量负18并不是自然坐标的法向加速度；两个坐标基底不同。可复核 。 C4　速度为 ，加速度为 。在1秒时 ，切向分量 ，法向分量同为 。所以 。也可用叉积公式，因叉积大小为4，得到相同结果。 C5　正方形边长变化率为 ，故相遇时间为20秒，各点路程为60米。边长减半时转角为 弧度。它不等于走过的路程除以初始到中心距离，因为转动半径在持续缩小。 C6　速度上限被触及的临界距离为 ，小于总距离100米，所以存在匀速段。加速5秒走25米，匀速5秒走50米，再减速5秒走25米，总时间为15秒。验证梯形速度图像面积为100米。若用不受速度上限约束的三角形方案，会需要 的峰值速度，因此不可行。 C7　由摆线速度公式， 时 ，速率 ；加速度为 。曲率半径 。也可由 、 复核。 C8　因初始速度为正，分离变量可得： 任意有限时间速度仍为正，而当 时速度趋于零、位置却无界增长。因此总路程无限。与 模型相比，两者都不在有限时间严格停止，但一个极限位移有限、另一个无限。判断总路程要检查速度积分是否收敛，不能只看末速度是否趋零。常量 的单位为 。 方法总结与错误诊断 从题目条件选择主方法 已知条件 优先采用的方法 必须额外检查 位置随时间变化 连续求导 时间区间及速度零点 加速度随时间变化 逐次积分 初速度与初位置 加速度随位置变化 链式法则与分段 是否存在转向和多分支 多个匀速物体 相对位置与相对速度 最近点是否在允许时间内 同受恒定重力的物体 相对运动消去公共加速度 碰撞前是否已落地 不可伸长绳或定长杆 几何约束求导 几何系数是否随时间变化 固定曲线上的运动 自然坐标与曲率 速度为零的特殊点 径向距离和方位角明确 极坐标 单位矢量的时间变化 某目标的最小初速 以飞行时间为参数求极值 角度范围及障碍物 运动上限与最短时间 速度图像面积和上界 策略切换的临界条件 十二个高频错误及修正 1　把路程当位移。修正：先求位置差，再按实际轨迹分段求长度，两者单独记录。 2　把速度大小变化当作全部速度变化。修正：检查方向是否转动，圆周运动是最直接反例。 3　把速度零点都视为转向点。修正：检查零点两侧速度符号，例如 不折返。 4　把加速度为零当作静止。修正：分别计算位置、速度、加速度，不跨级推断。 5　把速度相等当作相遇。修正：相遇列位置等式；间距极值才考虑相对速度的适当投影为零。 6　把匀变速公式用于整段非匀变速运动。修正：检查加速度是否恒定，必要时分段或积分。 7　把刹车公式延伸到停车之后。修正：把停止时刻作为模型切换点。 8　把固定初速的最佳抛射角总写成45度。修正：检查是否等高起落、是否有斜面与限制。 9　把绳长变化率直接等同于端点速率。修正：求速度在绳方向的投影，或先写长度方程。 10　把一次约束中的系数当常数再次求导。修正：对乘积与复合函数完整求导。 11　把总加速度当作法向加速度。修正：先做切向投影，再求法向分量。 12　得到正根就停止。修正：检查是否在题目时间范围、运动分支和模型有效区间内。 一题多解与答案检查 一题多解不是重复算术。建议选择能互相纠错的方法：匀变速题用方程与图像面积核对，最近距离用距离平方与垂线几何核对，约束题用长度方程与速度投影核对，极坐标题用直角坐标求导核对，曲率题用叉积与切法向分解核对。 检查顺序可固定为六项：单位是否正确；初值是否满足；方向与符号是否合理；特殊极限能否恢复熟悉模型；根是否可实现；用第二种方法能否得到相同结果。数值计算只是检查的一部分，不能代替对模型条件的审查。 订正记录模板 建议每次错题保留六行记录：题号与所属模型；第一次错误出现在哪一步；错误原因是概念、模型、数学还是书写；正确的事件或约束方程；一个使原方法失效的条件变化；间隔数日后的独立重做结果。不要只誊抄标准答案。 教学安排参考 以下安排按每课时45分钟估算，共18课时。它用于规划教学，不代表所有学生必须用相同时间完成。基础薄弱班级应增加概念和图像训练；已有微积分基础的班级可把部分推导改为课前阅读。 单元 课时 课堂核心任务 课后对应训练 概念与数学语言 2 诊断 位置差 极限与导数 B1 B2 B6　 一维运动与图像 3 分段运动 追及 图像互译 B3 B7 B8 M1　 相对运动 2 速度变换 最近距离 渡河 M2 M3 M8　 抛体运动 3 落点事件 斜面 定点可达性 B4 M4 C2　 圆周与自然坐标 2 切法向分解 曲率 B5 M7 C4　 几何约束 2 绳长 杆长 二次求导 M5 M6　 极坐标与迁移 2 基矢求导 坐标选择 C1 C3 C8　 专题与综合评价 2 选两项专题 展示不同解法 C5 C6 C7　 入门诊断答案与追问 诊断1　路程为 ，位移大小为 。追问：整周后两者分别是多少？答案为 和零。 诊断2　沿负方向运动，当前速率正在减小。追问：加速度为正是否一定沿正方向运动？否。 诊断3　速度为零，加速度仍竖直向下、大小为 。追问：水平抛体最高点的总速度是否为零？一般不为零。 诊断4　不一定。例如沿同一路线走出又返回，位移为零而路程为正。只有全程未发生位置变化等特殊情形，平均速率才为零。 诊断5　不一定。两车可以同速同向但相隔一段距离；速度相等只说明该瞬间相对速度为零。 诊断6　一般不能。收绳速率对应船速沿斜绳方向的投影。绳水平、几何条件合适时，数值才可能相等。 公式索引与参考资料 常用关系速查 以下各式默认变量可微、所选区间内模型有效。公式必须与右列条件一起使用。 用途 关系 条件或注意点 基本定义 固定基底时可逐分量求导 路程 这里的速度标量必须是速率 匀变速位置 加速度恒定 无时间关系 一维恒加速度 需另判速度符号 链式法则 适合可按位置描述的运动分支 相对速度 坐标轴不相对旋转 最近距离候选时刻 相对速度恒定且非零 切向与法向 规则曲线上的运动点 曲率半径 速度与曲率均非零 圆周线角关系 圆心与半径固定 极坐标速度 固定极点与角度基准 极坐标加速度 不能忽略基矢变化 符号索引 为位置矢量， 在极坐标中表示径向距离； 为直角坐标； 表示路程或明确约定的弧长； 在一维中可表示有符号速度，在空间运动中表示速率； 为曲率半径； 为方位角或题目明确给出的发射角； 为角速度； 可表示角加速度，也可在斜面题中表示坡角，两者以题目定义为准。 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $