精品解析：湖北襄阳市第五中学2027届高三上学期8月月考数学试卷

襄阳五中2024-2027届高三上学期8月月考 数学试卷 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数定义域求法可求得集合，由交集定义可得结果. 【详解】，. 故选：B. 2. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性对称性得到函数的周期，再利用周期性对称性即可求解. 【详解】由于，， 则. 故选：A 3. 化简（ ） A. B. C. 5 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】． 4. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，， 故当时，有最小值为； 当时，单调递减，所以，由题意存在最小值， 则，解得，即c的最大值为. 故选：A. 5. 记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用三棱锥的体积公式计算求解判断选项. 【详解】以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为， 因为，，应用长方体的对称性，计算以为三棱锥顶点的三棱锥， 所以， ， 则的取值集合为. 故选：C. 6. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 7. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是，又点，则，可得，可得的取值范围. 【详解】设圆心到弦的距离为，圆半径， 弦绕点旋转一周时，上所有点到点的距离范围是， 所以扫过的区域是内半径为，外半径为的圆环区域， 又点，其到原点的距离为，则， 所以， 又. 8. 设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用，得出，再换元应用二次函数单调性结合三角函数值域得出的取值范围. 【详解】因为，则， 则， 又因为，所以， 令，当单调递减，当单调递增， 所以当时，，当或时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知定义域为的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期为3 B. 直线为的图象的一条对称轴 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题设易得，即可判断A；由直线是对称轴可得，进而得到，即可判断B；先根据周期性可得，再利用赋值法求解判断C；由易得，再求出，进而求解判断D． 【详解】对A选项，因为，所以， 即，故的周期，故A错误； 对B选项，已知直线是对称轴，则， 而，则， 故为的图象的一条对称轴，故B正确； 由，则， 令，可得，则， 对C选项，由，令，可得，故C正确； 对D选项，由， 所以，， 则，故D正确． 10. 已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于的方程在上无解，则 B. 存在关于直线对称 C. 若存在关于轴对称，则 D. 若存在满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点的坐标，由方程有解判断B；设出点的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD作答. 【详解】函数， 对于A，方程在上有解， 显然函数在上单调递增，则有，解得， 因此关于的方程在上无解，则或，A错误； 对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上， 即关于t的方程有解，即有解，此时，令函数， ，即函数在上单调递增，， 而函数在上都单调递增，它们的取值集合分别为， 因此函数的值域为，又，于是在有解， 所以存在关于直线对称，B正确； 对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上， 即，令，， 即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确； 对于D，令，由得， 显然，且，，令，， 当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因此，即有，， 而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确. 故选：BCD 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 则点M的轨迹所形成图形的面积为：，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C正确； 对于D，注意到，过N作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值是_____. 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式中 “1”的用法，即可求出结果． 【详解】因为， 所以， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，属于基础题． 13. 定义在上的函数，，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件求出参数的值，构造函数，证明其奇偶性以及函数在上的单调性，利用性质将其转化为绝对值不等式求解即可. 【详解】由得 ，即，解得， 则，函数的定义域为，由可知函数为奇函数， 对于，因函数为上的增函数且恒为正数，则可得在上单调递增，且当时， 设函数，则由，可得是偶函数. 因为当时，单调递增，单调递增且 ，则在上单调递增.又因， 则不等式等价于，可得，解得或， 故不等式的解集为. 14. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】求导后转化为函数根的问题，再结合题意求出函数的不同实根个数 【详解】 因，故由题设可知有两解，因此方程有两个根．如图，由于，因此一定存在唯一的使得，故方程有三个实数根，故答案为． 【点睛】解答本题的关键是依据题设中的函数极值点与导函数的零点之间的关系，画出函数的图像，借助图像上的对应关系判定方程的根的个数，从而使得问题获解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知是圆锥的轴截面，，. （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正切值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆锥轴截面的特征得到线面垂直，判断出球心位置，结合勾股定理求出球的半径，代入球的面积公式求解即可. （2）建立空间直角坐标系，结合二面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. 【小问1详解】 因为是圆锥的轴截面，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，所以. 设圆锥的外接球的球心为，半径为， 结合圆锥的定义及对称性易知球心在上. 在中，，则， 整理得，解得. 所以圆锥的外接球的表面积. 【小问2详解】 因为为弧的中点，所以. 因为平面，平面，所以. 又， 所以可以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，. ，， 设平面的法向量为， 则，，令，则，，所以. 因为，，，所以平面， 则即为平面的一个法向量，. 设二面角的平面角为， 则， ， 所以. 故二面角的正切值为. 16. 在中，角的对边分别为，已知，，． （1）求； （2）点在边上，连接，且，求的内切圆半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简已知等式，结合三角形内角范围即可. （2）先由余弦定理求边长，判断为直角三角形，再求各边长度，通过等面积法求解内切圆半径. 【小问1详解】 因为， 所以. 因为，所以，则. 【小问2详解】 由，， 所以. 所以，则. 所以. 由，得，. 在中，. 设内切圆半径为， 所以. 即，解得. 所以的内切圆半径为. 17. 已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的最小值； （2）对任意，函数存在两个零点，．求实数的取值范围； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把单调递增转化为 恒成立，通过求 的上确界确定 的最小值； （2）先由导数的分子确定 的两支单调性，再由各支的极限说明 时 与图象左右各交一次，最后分 、、 三种情形举出使零点个数不为 的 . 【小问1详解】 . 在 上单调递增等价于 对一切 恒成立， 即 对一切 恒成立. 记 （），则 ， 在 上单调递减，且 ，故 ，于是 ； 所以 的最小值为 . 【小问2详解】 即 . 记 ， 由（1）可知 在 上单调递减，在 上单调递增，最小值为 ， 当，，当，， 当 时 对一切 成立， 故 在 与 上都单调递增； 又，，，，，，，， 所以对任意 ，方程 恰有两个解，即 恰有两个零点. 当 时，， 使得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故 在 上的最小值为 同理，，使得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故在上的最大值为， 而，所以， 则时，无解，所以不符合题意. 当 时， 时恒有 ， 故 时 在 上无零点， 当时，在 上单调递增， 使得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 故 在 上的最小值为， 故当时，无解，不符合题意； 当 时，取，下证无解， 令，， 当时，，故在上单调递减， 当时，，故在上单调递增， 故，即，当且仅当时等号成立， 所以无解，不符合题意， 综上所述，的取值范围是. 18. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【小问1详解】 已知双曲线，则，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； 【小问3详解】 设直线， ， 则， 因为直线过点且与双曲线右支交于、两点，所以， 又因为的重心在轴上，所以， 由点在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 19. 定义：若一个数列满足其首项为，且对于，可取或的概率均为，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． （1）求的概率； （2）在“可取数列”中， ①设随机变量是的值，求的概率分布； ②设随机变量是的值，求的期望． 【答案】（1） （2）① ② 【解析】 【分析】（1）推断出形成的步骤即可求得概率. （2）①对的值分类讨论分别计算即可. ②通过该可取数列的规律表示出相应的的概率，并通过组合数的运算求解期望. 【小问1详解】 因为，要使，各满足一次和即可，. 【小问2详解】 ①， , ， ， . ②因为为奇数，到进行次变换，因此只能取到偶数， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳五中2024-2027届高三上学期8月月考 数学试卷 命题人：高三数学组 审题人：高三数学组 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是定义在上的奇函数，，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 化简（ ） A. B. C. 5 D. 3 4. 已知函数若存在最小值，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 记以长方体的四个顶点为顶点的三棱锥的体积为．若，，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 6. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 7. 已知为坐标原点，为圆的一条弦，弦绕点旋转一周扫过的区域为.若点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 已知定义域为的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒有．若，则下列说法正确的是（ ） A. 的一个周期为3 B. 直线为的图象的一条对称轴 C. D. 10. 已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于的方程在上无解，则 B. 存在关于直线对称 C. 若存在关于轴对称，则 D. 若存在满足，则 11. 在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（ ） A. 的最小值为 B. 点的轨迹形成图形的面积为 C. 点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D. 当点在侧面上时，的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的最小值是_____. 13. 定义在上的函数，，则不等式的解集为_______． 14. 若函数有极值点，且，则关于的方程的不同实根个数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，已知是圆锥的轴截面，，. （1）求圆锥的外接球的表面积； （2）若为弧的中点，求二面角的正切值. 16. 在中，角的对边分别为，已知，，． （1）求； （2）点在边上，连接，且，求的内切圆半径． 17. 已知函数． （1）若在上单调递增，求实数的最小值； （2）对任意，函数存在两个零点，．求实数的取值范围； 18. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点（点在点的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若的重心在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 19. 定义：若一个数列满足其首项为，且对于，可取或的概率均为，则我们称该数列为“可取数列”．已知数列为“可取数列”． （1）求的概率； （2）在“可取数列”中， ①设随机变量是的值，求的概率分布； ②设随机变量是的值，求的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $