精品解析：湖北武汉市东湖中学2026-2027学年高三上学期八月月考数学试卷

八月月考高三试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．非选择题用‌0.5毫米黑色签字笔‌书写，作图可用铅笔绘制，严禁使用涂改液、修正带. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为复数对应的点的坐标为，所以，所以， 则． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由交集的定义可知，. 3. 已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离列方程求解. 【详解】由抛物线可得，即，因此其准线方程为， 已知点到焦点的距离为3，则点到准线的距离也为3， 即 ，解得. 4. 某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 5. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 6. 如图，某地有南北走向街道5条，东西走向街道6条，一快递员从该地西南角的餐厅B出发，送餐到东北角的A地，要求所走路程最短，则途经C地的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】考虑小矩形的横边和直边，例如从B到A的最短距离就是从4个横边加5个直边共9条线段，不同的方法就是什么时候走直边什么时候走横边，由组合知识可得不同的方法数，根据分步乘法计数原理可得． 【详解】由B出发，送餐到东北角的A地，向东走4格，向北走5格，一共9格，其中只需确定东向的格子即可确定路线，所以由B出发，送餐到东北角的A地的最短路径有种, 同理可得由B出发，到C地的最短路径有种， 由C出发，到A地的最短路径有种， 则由B出发，送餐到东北角的A地，途经C地有种， 所以途经C地的概率是. 7. 已知 ， ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角的取值范围和同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角和的余弦公式、正弦二倍角公式分别计算分子和分母，最终化简得到结果. 【详解】，则有，， ， ， ， ， 所以. 8. 已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 抛物线 【答案】B 【解析】 【分析】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内，过点分别作，，使得，以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴，平面过点且垂直于轴的直线为轴建立空间直角坐标系，设出点、的坐标，并设线段中点的坐标为，再结合以及空间中两点间的距离公式化简可得结果. 【详解】设的中点为，过作的垂面，则的中点必在平面内， 因为异面直线、成，过点分别作，，使得， 以点为坐标原点，直线为轴，平面内的角平分线为轴， 平面过点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 因为，直线、所成角为， 则直线的一个方向向量可以为， 直线的一个方向向量可以为，且、. 由题意可知，存在、，使得， ， 所以，即点， ，即点， 设线段的中点为， 则，所以， 因为， 即，化简得， 故线段的中点的轨迹为椭圆. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期与的最小正周期相同 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则是偶函数 D. 的单调递增区间为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据图象求出即可判断AB；再根据函数的平移求出即可判断C；根据正弦函数的单调性求解判断D. 【详解】对于A，由图可知，，，则， 即，又， 则，又在附近为增函数， 则，即， 又，则，故A错误； 对于B，由A知函数的最小正周期为， 而的图象是将的图象在x轴下方部分翻折到x轴上方，最小正周期也为，故B正确； 对于C，由题意，， 为偶函数，故C正确； 对于D，由A知，， 令，解得， 则的单调递增区间为，故D错误. 10. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是10 C. 的取值范围是 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于选项A，利用基本不等式可判断的最大值；对于选项B，根据基本不等式，求出，再利用基本不等式求的最小值，判断B的正误；对于选项C，先对变形，再利用求其范围；对于选项D，由，通过换元，利用函数的单调性求其最小值. 【详解】因为，，且，所以由基本不等式，得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A正确； 因为，，所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是8，故B错误； 因为，，所以， 所以，即的取值范围是，故C正确； ，令，则．函数在上单调递减， 所以在上的最小值为． 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确． 11. 事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则恒成立 C. 若，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设事件的概率分别为a，b，c，d，得到，且，由，得，再由得，进而，．对于A，由事件A，B相互独立，与d是可变数不符；对于B，即可判断；对于C，由求得，进而求解即可判断；对于D，，由利用基本不等式求得，进而得即可判断. 【详解】样本空间，并且两两互斥， 设事件的概率分别为a，b，c，d，则，且， 用表格表示如下： B 合计 A a b c d 合计 由，得，化简得． 由，得，所以，． 对于A，由，即 ，化简得，从而， 而事实上d只要满足，即可，即d是可以变化的数，故A错误． 对于B，若，则， 所以，则，故B正确． 对于C，若，即，则， 而 ，故C正确． 对于D，因为，所以， 所以，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量与向量的夹角为，，，则___． 【答案】3 【解析】 【分析】先展开向量数量积，代入向量夹角数量积公式，把已知模长、夹角代入得到关于的一元二次方程，舍去负根求出向量的模． 【详解】因为，所以， ， 所以，整理得， 解得或（舍去）. 13. 已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 【答案】（或） 【解析】 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 14. 在正三棱锥中，为的中点，为的靠近点的三等分点，且．设，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用空间向量数量积求解正三棱锥体积：先根据中点、三等分点写出向量、的基底表达式，由垂直向量数量积为0列方程；设侧棱两两夹角为，代入侧棱长模长与向量点积公式，求出；再利用向量模长公式算出底面正三角形边长，求得底面积，结合正三棱锥性质求出锥体高，最后代入棱锥体积公式算出最终体积. 【详解】如图所示： 已知正三棱锥，. 为中点，为靠近的三等分点，. 设，.由得. 展开数量积：. 即. 设侧棱两两夹角为，， 则. 代入得：. 化简：，解得. 所以，. 底面正三角形面积. 底面中心到顶点距离. 设锥高为，，，. 体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 （1）求经验回归方程； （2）根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 【答案】（1）； （2）估计提高分为10.5，至少应为6小时 【解析】 【分析】（1）先求出，代入公式计算，进而求，即得经验回归方程； （2）根据经验回归方程估计出时的体测成绩的提高分，再由规定列不等式计算即得. 【小问1详解】 由数据得，． 于是． 又． 所以． 从而． 故经验回归方程为． 【小问2详解】 当时，． 所以估计每周锻炼6小时时体测成绩提高分为10.5． 若训练效果明显，则，由，解得． 由于每周锻炼时间按整数小时估计，所以至少应为6小时． 16. 如图，在三棱锥中，其外接球球心为的中点，平面平面.已知. （1）求证：平面平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由长度及线面垂直的判定、性质定理得到平面，再由面面垂直的判定定理证明； （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标与两个平面的法向量，再利用向量夹角公式求出两平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 因为是三棱锥外接球的球心，且为中点，， 因此球半径，则， 已知，由勾股定理逆定理： ，得， 又，所以，作于H， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，所以， 因为平面，，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 结合已知条件可得各点坐标： ，，，， 向量，， 设平面的法向量，由， 即， 令，则，所以，， 向量，， 设平面的法向量，由，即， 令，则，所以，， 设平面与平面的夹角为，则 ， 因此平面与平面夹角的余弦值为. 17. 在中，． （1）求角； （2）若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； （3）在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的性质，及二倍角的正弦公式即可求解； （2）根据等差数列的性质，及结合（1）即可求出的通项公式； （3）结合（2），根据分组求和，再利用等差数列的求和公式，特殊角的三角函数值，及其周期性即可求解． 【小问1详解】 中，因为，所以， 又，则， 因为，所以， 又，因此． 【小问2详解】 设等差数列的公差为，结合（1）有， 又，则，解得， 所以． 【小问3详解】 结合（2）有， 设，该函数的最小正周期， 则， 故， 所以． 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据焦点以及离心率的定义即可求解； （2）（i）通过联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及三角形的面积公式即可求解；（ii）由于是直线与直线的夹角，列出的表达式即可求解. 【小问1详解】 已知椭圆的左焦点为，离心率， 则，解得，， 因此椭圆方程为. 【小问2详解】 解法一： 设，点，点，其中， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理得， 由于两点在椭圆上，关于原点对称， 所以点，且， （i） 由面积公式，， 又因为是线段的中点，所以，所以， ， 由于，得，即， 令，由与，得， 代入，得，解得， 所以，所以直线的方程为. （ii）直线的斜率为， 于是，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 解法二： （i）如图所示，设直线的方程为，其中斜率， 设点，点，且， 根据椭圆的中心对称性可知，点， 联立直线与椭圆方程，得，化简得， 由韦达定理可得， 因为是关于原点的对称点，所以是线段的中点， 因此，所以， 由于，所以， ， ， 所以，即， 由于，所以简化为， 代入韦达定理，得，则， 化简得，由于，解得， 所以直线的方程为，即. （ii）由题意，即为直线与直线的夹角， 直线即直线，方程为， 点，点，点，直线的斜率， 直线的斜率， 由于在直线上，有， 则，代入， 则， 设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则， 因此， 即， 由基本不等式得，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 19. 已知函数. （1）若在区间上单调递减，求的取值范围； （2）已知函数存在极值点. （i）证明：； （ii）当时，证明：函数在上存在唯一零点，且. 【答案】（1） （2）（i）对求导得， 当时，，在上单调递减，无极值点，不合题意. 当时，令，则. 由（1）知，，则对任意恒成立， 则在单调递增， 且当，，当，， 所以当时，存在，使得. 即当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以为函数的极大值点. 又， 令，则， 令，得，故当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即； （ii）由（i）知，当时，，故，且. 因为在上单调递增，，所以在上无零点. 又在上单调递减，且当时，， 故函数在上存在唯一零点. 因为在上单调递减，故要证， 只需证，只需证 因为， 令，则且， 故， 令， 则， 令，则， 因为，故，在上单调递减， 故，即， 故在上单调递减，所以. 又因为，所以，结论得证. 【解析】 【分析】（1）将函数单调递减转化为导数恒小于0，分离参数后构造函数，求新函数的最值，即可得到的取值范围； （2）（i）先分析导数符号，判断只有才存在极值点，利用极值条件把替换掉，代入构造新函数，求导求出最小值为0，即可证出 （ii）先结合单调性和函数取值证明零点唯一，再利用函数单调递减把不等式进行转化，换元构造函数，逐层求导判定函数值小于0，即可证明结论. 【小问1详解】 由题知，， 若函数在上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立. 令，则，所以在上单调递增， 所以.所以. 【小问2详解】 （i）略； （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八月月考高三试卷 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．非选择题用‌0.5毫米黑色签字笔‌书写，作图可用铅笔绘制，严禁使用涂改液、修正带. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线上的一点到其焦点F的距离为3，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 5. 已知函数为奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某地有南北走向街道5条，东西走向街道6条，一快递员从该地西南角的餐厅B出发，送餐到东北角的A地，要求所走路程最短，则途经C地的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知 ， ， ，则 的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知异面直线、成，其公垂线段为，，长为的线段的两端点分别在直线、上运动，则中点的轨迹为（ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 圆 D. 抛物线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的最小正周期与的最小正周期相同 C. 将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则是偶函数 D. 的单调递增区间为 10. 已知，，且，则下列结论正确的有（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是10 C. 的取值范围是 D. 11. 事件A，B是样本空间的子集，若，则下列结论正确的是（ ） A. 事件A，B相互独立 B. 若，则恒成立 C. 若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若向量与向量的夹角为，，，则___． 13. 已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 14. 在正三棱锥中，为的中点，为的靠近点的三等分点，且．设，则三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某校为研究学生每周体育锻炼时间（单位：小时）与体测成绩提高分的关系，随机抽取5名学生，得到如下数据．已知经验回归方程为，其中，． 1 2 3 4 5 2 6 6 7 9 （1）求经验回归方程； （2）根据该回归方程，估计每周锻炼6小时时体测成绩的提高分；若把“体测成绩提高分不少于10”记为训练效果明显，按该模型估计每周锻炼时间至少应为多少整数小时？ 16. 如图，在三棱锥中，其外接球球心为的中点，平面平面.已知. （1）求证：平面平面. （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 在中，． （1）求角； （2）若等差数列的首项的值等于角B的值，且，求的通项公式； （3）在（2）条件下，设数列，求的前27项的和． 18. 已知椭圆的左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）设为坐标原点，过且斜率大于 的动直线与交于P，两点，其中在第三象限，直线与的另一个交点为． （i）若的面积是的面积的 倍，求的方程； （ii）求的最小值． 19. 已知函数. （1）若在区间上单调递减，求的取值范围； （2）已知函数存在极值点. （i）证明：； （ii）当时，证明：函数在上存在唯一零点，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $