2.3 二次函数与一元二次方程、不等式8题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式的核心关联，系统梳理一元二次不等式概念、解法（含参数与分式）、恒成立问题、实根分布及实际应用等内容，通过定义解析、关系表格、步骤归纳构建从基础到综合的学习支架。 该资料以8题型分类为特色，结合实例（如含参数不等式求解、利润最大化应用题）培养数学思维（分类讨论、逻辑推理）与数学语言（解集规范表达），课中助力教师分层教学，课后学生可借例题与练习查漏补缺，提升问题解决能力。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式8题型分类 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·河北沧州·模拟预测）不等式 的解集为__________． 3．不等式的解集为____________． 4．（2026·上海·模拟预测），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026高一·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 题型2：解含有参数的一元二次不等式 6．解关于的不等式：． 7．（2026高一·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 8．（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 9．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 10．（2026高一·安徽滁州·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 11．（2026高二·河北保定·阶段检测）已知的解集为，则的解集是_______________. 12．（2026高一·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 13．【多选】（2026高一·广东揭阳·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 14．（2026高一·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 15．（2026高一·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 16．【多选】（2026高一·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 17．（2026高二·江苏徐州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 18．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 19．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：不等式恒成立问题 20．（2026高一·吉林白城·期中）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 21．（2026高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 22．（2026高一·山东淄博·阶段检测）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．（2026高一·河北邢台·阶段检测）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（2026高一·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型6：不等式有解问题 25．（2026高一·内蒙古兴安·阶段检测）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．（2026高一·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型7：一元二次方程的实根分布问题 28．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 29．（2026高三·全国·一轮复习）若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 30．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 31．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 （六） 解不等式应用题的步骤 题型8：一元二次不等式的实际应用 32．（2026高一·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）. 33．【多选】（2026高一·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 34．（专题03不等式的基本性质及一元二次方程、不等式02（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（2026高一·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 36．（2026高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 2．（2026高一·上海宝山·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（26-27高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 4．（2026高一·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 5．（2026高二·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 6．（2026高一·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．【多选】（2026高一·福建泉州·期中）下列各式可以作为“”的一个充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 8．（2026高一·福建福州·期中）不等式的解集为（   ） A．B． C． D． 9．若不等式的解集为，则（ ） A．3 B．1 C． D． 10．（2026高一·全国·课后作业）若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 11．（2026高一·山东济南·开学考试）对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列四个不等式，其中解集不为R的是（　　） A． B． C． D． 13．（2026高一·江苏无锡·期中）对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 14．设，是方程的两个根，则的值为______． 15．（2026高一·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 16．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 17．（2026高一·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式8题型分类 一、一元二次不等式 1．一元二次不等式的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)． 3．一元二次不等式的解与解集 使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集． 二、二次函数图象、方程及不等式的关系 设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 解不等式y＞0或y＜0的步骤 求方程y＝0的解 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有 实数根 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} {x|x1＜x＜x2} R y＜0 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 三、常用数集及表示符号 1.不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？ 此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式． 2.类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？ 不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立． 3.若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？ 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则解得，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. 四、不等式解法 1．分式不等式的解法 主导思想：化分式不等式为整式不等式 类型 同解不等式 ＞0(＜0) (其中a，b，c，d为常数) 法一：或 法二：(ax＋b)(cx＋d)＞0(＜0) ≥0(≤0) 法一：或 法二： ＞k(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 2．(1)不等式的解集为R(或恒成立)的条件 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 a＝0 b＝0，c>0 b＝0，c<0 a≠0 (2)有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法 设二次函数 y＝ax2＋bx＋c 若ax2＋bx＋c≤k恒成立⇔ymax≤k 若ax2＋bx＋c≥k恒成立⇔ymin≥k （一） 一元二次不等式的解法 1、一元二次不等式的求解可以通过函数图象，方程的解等结合求解.通过开口向上，大于零取两边，小于零取中间；开口向下，大于零取中间，小于零取两边. 2、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 （1）化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. （2）判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. （3）求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. （4）画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. （5）写解集.根据图象写出不等式的解集. 3、解含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式. (2)判断方程根的个数:讨论判别式△与0的关系. (3)写出解集:确定无根时可直接写出解集;确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式. 题型1：解不含参数的一元二次不等式 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知集合，，则的元素个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】由，得．又，所以． 由，得，所以． 因此．所以的元素个数为2． 2．（2026·河北沧州·模拟预测）不等式 的解集为__________． 【答案】 【详解】原不等式可化简为，即，得， 故不等式的解集为. 3．不等式的解集为____________． 【答案】 【详解】已知，方程 的两个根为7和， 所以不等式的解集为． 4．（2026·上海·模拟预测），是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】， ， 显然当成立时，不一定成立，例如， 当成立时，显然一定成立， 所以，是的必要不充分条件. 5．（2026高一·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】化简原不等式，利用一元二次不等式的解法解原不等式即可. 【详解】原不等式即为，解得， 故原不等式的解集为. 故选 ：B. 题型2：解含有参数的一元二次不等式 6．解关于的不等式：． 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． 7．（2026高一·上海·阶段检测）解关于x的不等式：． 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． 8．（2026高三·全国·专题练习）解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 9．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知不等式 的解集为. (1)求，的值； (2)解不等式 . 【答案】(1)， (2)当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或. 【分析】（1）利用一元二次不等式解集与对应方程根的关系，结合韦达定理求参数； （2）代入参数后因式分解，分类讨论两根大小求解含参一元二次不等式. 【详解】（1）由题意知， 和是方程 的两个实根， 由韦达定理得，，解得. （2）将代入不等式得，即. 方程的两根为， . 当时，解集为或； 当时，不等式为，解集为； 当时，解集为或. （二） 三个“二次”之间的关系及应用 三个“二次”之间的关系 (1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形式来研究． (2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． (3)解决三个“二次”之间的关系这类问题的关键是善于从题目条件中捕捉到根的信息，然后利用一元二次不等式与方程根的关系解决.不等式解集的端点值是对应方程的根，往往要用根与系数的关系. 题型3：由不等式的解集求参数 10．（2026高一·安徽滁州·阶段检测）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】C 【分析】求得不等式的解，由已知可得（两个等号不能同时成立），求解即可. 【详解】因为，所以， 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以（两个等号不能同时成立），解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 11．（2026高二·河北保定·阶段检测）已知的解集为，则的解集是_______________. 【答案】 【详解】由题意可知是方程的两根， ∴，， ∴， ∴不等式的解集是. 12．（2026高一·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 13．【多选】（2026高一·广东揭阳·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. A：由上可知本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C： ，因此本选项说法不正确； D：因为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 14．（2026高一·全国·专题练习）已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为___. 【答案】 【分析】根据三个二次的关系，得出以及用表示出，代入求解分式不等式即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以，得， 故可化为 ，又因为，所以原不等式等价于，即. 所以解集为. 15．（2026高一·浙江杭州·期中）已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 16．【多选】（2026高一·山东德州·期末）已知实数满足，若关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，则实数的可能取值是（      ） A． B．3 C． D． 【答案】ACD 【分析】关于的不等式即为，讨论，，时的情况，确定，进而结合题意列出相应不等式，即可求得答案. 【详解】由题意知实数满足，则，， 关于的不等式即， 当时，表示开口向下的抛物线， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，即，解得， 则的解集中不可能仅有3个整数，不合题意； 当时，，则的解集为， 因为解集中有且仅有3个整数，所以解集里的整数是，，故， 所以，结合，可得，解得，故， 故实数的取值范围是，故实数的可能取值，，. （三） 分式不等式的解法 （1）解分式不等式的策略: 对于形如的不等式可等价转化为来解决;对于形如:的不等式可等价转化为来解决. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 题型4：解分式不等式 17．（2026高二·江苏徐州·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】分别求解两个不等式对应的实数解集，再结合充分必要性定义判断题设条件间的关系即可. 【详解】可化为，可化为， 因为集合是集合的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 18．不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式化为，即， 不等式两边同乘，得，等价于， 解得，所以原不等式的解集为. 19．（2026高二·黑龙江哈尔滨·期末）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过解不等式求出集合，再利用交集的定义求得 【详解】由得，解得. ∴， 所以. （四） 不等式恒成立问题 1．不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c>0；当a≠0时， 2．不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数(或恒成立)的条件是：当a＝0时，b＝0，c<0；当a≠0时， 题型5：不等式恒成立问题 20．（2026高一·吉林白城·期中）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】. 【分析】就和分类讨论，当时，利用判别式可求实数的取值范围. 【详解】当时，原不等式可化为，其解集不为，故不满足题意，舍去； 当时，要使原不等式的解集为，只需解得. 故答案为：. 【点睛】本题考查不等式在上的恒成立问题，注意先讨论二次项系数，再讨论判别式的正负，本题属于基础题. 21．（2026高一·全国·专题练习）若不等式对任意实数均成立，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】将不等式整理为；当时可知不等式恒成立；当时，结合二次函数图象可得，解不等式组求得结果. 【详解】不等式可化为：， 当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； 当，即时，要使不等式恒成立，则需， 解得：； 综上所述：的取值范围为. 故选：C. 22．（2026高一·山东淄博·阶段检测）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 23．（2026高一·河北邢台·阶段检测）对任意的，关于x的不等式恒成立，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】参变分离，得到，再由二次函数求最值即可. 【详解】由题意得，由，得， 则恒成立. 令，得， 则二次函数，当时，取得最大值，所以， 所以a的取值范围为． 故选:C 24．（2026高一·山东淄博·阶段检测）若命题“，”为假命题，则实数x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：命题“”为真命题，根据恒成立问题结合一次函数运算求解. 【详解】由题意可得：命题“”为真命题， 即对恒成立， 则，解得或， 即实数的取值范围为. 故选：C. 题型6：不等式有解问题 25．（2026高一·内蒙古兴安·阶段检测）若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况. 【详解】若关于的不等式有解, 则，解得. 故选：C. 26．（2026高三·宁夏银川·阶段检测）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式化为，求出在区间[1，4]内的最大值，即可得出的取值范围． 【详解】不等式在内有解等价于时，. 当时，，所以. 故选：A. 27．（2026高一·黑龙江大庆·期末）若存在，使不等式成立，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】使用分离参数的方法，将不等式转化为的形式，只需即可. 【详解】因为，所以. 又因为，所以，所以， 设，其中，则. 设，则转化为，， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 所以存在，使不等式成立时，只需， 故的取值范围是， 故答案为：. （五） 一元二次方程的实根分布问题 解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向. 题型7：一元二次方程的实根分布问题 28．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）已知方程的两根都大于2，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【分析】构造对应二次函数，结合一元二次方程根的分布特征列不等式组，求解后取交集得到的取值范围. 【详解】令二次函数，其图象开口向上. 已知方程有两个根，则， 化简得，解得或. 因为两个实根都大于，所以对称轴位于直线右侧，且处的函数值大于0. 即对称轴，即，解得. 处的函数值大于： ，解得. 因此. 29．（2026高三·全国·一轮复习）若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【答案】. 【分析】先根据判别式确定方程有两个不相等实根的条件，再结合二次函数的根分布和韦达定理，即可求解. 【详解】因为关于的方程的两个不相等的实数根， 所以，解不等式得， 设方程的两个根为，则根据韦达定理，可得，， 又方程的两个不相等的实数根均小于， 所以，展开得， 代入韦达定理的结果，得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 30．关于的方程一个根小于，一个根大于，求的取值范围． 【答案】 【分析】直接构造二次函数，由三个二次的关系及数形结合可得. 【详解】设，函数是开口向上的一个二次函数， 由方程的一个根小于，一个根大于，作的大致图象： 则满足，即，解得， 再验证当时，，方程一定有两个不同的根. 所以实数的取值范围为． 31．（2026高一·江苏无锡·阶段检测）已知关于方程 (1)若方程有两个根且都大于，求实数的取值范围 (2)若方程至少有一个正根，求实数的取值范围 【答案】(1) (2) 【分析】1）根据三个二次的关系并结合二次函数图象可得不等式组，解不等式组可得； （2）先求方程无正根的情况，即方程无实根或所有实根非正，再用补集的思想方法可得. 【详解】（1）设二次函数，开口向上且对称轴. 则， 由方程有两个实根且都大于，所以， ，解得. 因此，实数的取值范围为. （2）若方程至少有一个正根，用补集法：即方程没有正根，也等价于方程无实根或所有实根非正. 若方程无根，则，解得； 若方程所有实根非正，则，，解得. 综上，方程无根或方程所有实根非正，则或，即. 因此，根据补集思想，方程至少有一个正根，则. 所以方程至少有一个正根，实数的取值范围 （六） 解不等式应用题的步骤 题型8：一元二次不等式的实际应用 32．（2026高一·江苏常州·期中）某景区旅馆共有200张床位，若每床每晚的定价为50元，则所有床位均有人入住；若将每床每晚的定价在50元的基础上提高10的整数倍，则入住的床位数会减少10的相应倍数.若要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元，则每个床位的定价应为______（元）. 【答案】120或130 【分析】设每个床位的定价应为元，进而得旅馆每晚的收入为元，再解不等式并结合是10的整数倍求解即可. 【详解】解：设每个床位的定价应为元，则每晚上有张床位有人入住， 所以，旅馆每晚的收入为元， 因为要使该旅馆每晚的收入超过1.54万元， 所以，，即，解得， 因为是10的整数倍， 所以，每个床位的定价应为120或130元. 故答案为：120或130 33．【多选】（2026高一·全国·课后作业）某商场若将进货单价为元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高元，销售量就要减少件．那么要保证每天所赚的利润在元以上，每件销售价可能为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】AB 【分析】确定每件商品的利润、销售量，根据利润=每件利润×销售量，得出销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系，解不等式可得答案. 【详解】设销售价定为每件x元，利润为y元， 则， 依题意有， 即， 解得， 所以每件销售价应为12元到16元之间，故每件销售价可能为13元或15元， 故选︰AB． 34．（专题03不等式的基本性质及一元二次方程、不等式02（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少1盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得500元以上（不含500元）的销售收入，则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，然后通过计算及，即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元， 由题意得，即，解得， 因为，所以，这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C 35．（2026高一·天津河西·期中）某汽车租赁公司共有300辆汽车，在十一黄金周期间，若每辆汽车每天的租金为200元，则所有汽车均能被租赁出去；若将每辆汽车每天的租金在200元的基础上提高元（，），则被租出去的汽车会减少辆.若要使该公司每天租赁汽车的收入超过万元，则该公司每辆汽车每天的租金定价为__________元. 【答案】 【分析】根据题意列出收入表达式，则得到一元二次不等式，解出即可. 【详解】依题意，每天有辆汽车被租出去， 该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入为 元. 因为要使该汽车租赁公司每天租赁汽车的收入超过万元， 所以， 即，解得，又因为且，所以， 即该汽车租赁公司每辆汽车每天的租金应定为元. 故答案为：. 36．（2026高三·全国·一轮复习）某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元．若按最低售价销售，则每天能卖出30个；若一个削笔器的售价每提高1元，则日销售量将减少2个．为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入，则这批削笔器的销售价格的范围为________元． 【答案】 【分析】先设出售价，再根据条件列不等式求解. 【详解】设这批削笔器的销售价格为元/个， ，由题意得到， 即 ，解得 ， 又因为，所以， 故销售价格的范围为 ； 故答案为： 1．不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【详解】由不等式，得， 解得，所以原不等式的解集为. 2．（2026高一·上海宝山·期末）已知，则“”是“”的（     ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】先求解不等式得到对应解集，再通过两个取值范围的包含关系判断充分性和必要性是否成立. 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，因式分解得，解得. 充分性验证：若则成立，即成立. 必要性验证：若则，但不一定成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得，即， 所以，即， 所以， 解得， 所以原不等式的解集为． 故选：C． 4．（2026高一·江苏扬州·期中）已知关于的不等式的解集为或，则的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据三个二次的关系解得系数的关系，进而直接解一元二次不等式可得. 【详解】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到， 所以不等式，即，解得， 故选：A． 5．（2026高二·浙江·学业考试）若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 6．（2026高一·安徽合肥·期末）若正实数、满足，且恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用乘“1”法和基本不等式可得最小值，即可得与有关不等式，解出即可得. 【详解】由，则， 当且仅当，即，时，等号成立， 故，即，解得， 即实数的取值范围是. 7．【多选】（2026高一·福建泉州·期中）下列各式可以作为“”的一个充分不必要条件的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由的充分不必要条件对应集合一定是的真子集，可判断每个选项的正误. 【详解】由于，得， 则可得是的必要不充分条件，故A不正确； 是成立的充分不必要条件，故B正确； 是成立的充分不必要条件，故C正确； 是成立的充要条件，故D不正确； 故选：BC. 8．（2026高一·福建福州·期中）不等式的解集为（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 9．若不等式的解集为，则（ ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得且和3为方程的解，利用根与系数的关系，求解即可. 【详解】因为的解集为， 故且和3为方程的解， 故，解得，，故. 故选：. 10．（2026高一·全国·课后作业）若，则不等式的解集为（    ） A． B．{或} C．{或} D． 【答案】A 【分析】根据条件得，再由一元二次不等式解法即可得出结果. 【详解】因为，所以，即， 由，得到， 故选：A. 11．（2026高一·山东济南·开学考试）对，不等式恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】分与两种情况，结合二次函数性质求解. 【详解】当时，即，则原不等式为恒成立，所以符合题意； 当时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 12．【多选】（2026高一·全国·课后作业）下列四个不等式，其中解集不为R的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式结合判别式逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为，即， 且，所以解集不为R，故A正确； 对于选项B：因为，所以解集不为R，故B正确； 对于选项C：因为，所以解集为R，故C错误； 对于选项D：因为，即， 且，所以不等式的解集为，故D正确； 故选：ABD． 13．（2026高一·江苏无锡·期中）对于任意实数，不等式恒成立． （1）则的取值范围是___________． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】（1）分参数和两种情况，当时结合二次函数的性质判断即可； （2）采用主元变换法，将其看成的一次函数求解可得. 【详解】当时，不等式为恒成立； 当时，结合二次函数的性质可得，解得； 的取值范围是. 设， 因为，所以一次函数为递增函数， 则当时，， 解得， 所以的取值范围为. 故答案为：；. 14．设，是方程的两个根，则的值为______． 【答案】 【详解】，是方程的两个根， 由根与系数的关系得，， 代入得：． 15．（2026高一·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【详解】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 16．（2026高一·陕西榆林·阶段检测）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若不存在实数x，使得不等式成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）当时，不等式等价于，             ∴．                              ∴或． ∴不等式的解集为． （2）∵不存在实数x，使得不等式成立， ∴不等式的解集为空集．               ∴方程的判别式，即，                  ∴．∴实数b的取值范围为． 17．（2026高一·上海杨浦·期中）已知集合 (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由，可得，即， 所以故 （2）由，可得，即 所以，解得或. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $