专题2.5 一元二次函数、方程和不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学讲义通过题型分类系统构建一元二次函数、方程和不等式的知识体系，将作差法比较大小、基本不等式应用等9大题型按逻辑递进组织，用目录框架呈现知识脉络，突出不等式性质与恒成立问题等重难点的内在联系。 讲义亮点在于压轴题型的分层设计，如“作差法比较代数式大小”中结合加油方式经济分析的实际情境题，培养数学思维与应用意识。题型涵盖选择、解答等，基础题巩固方法，综合题提升推理能力，助力教师精准教学与学生自主复习。

专题2.5 一元二次函数、方程和不等式36道压轴题型专训 （9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、作差法比较代数式的大小 题型二、由不等式的性质比较数(式)大小 题型三、由基本不等式证明不等关系 题型四、基本不等式求和的最小值 题型五、条件等式求最值 题型六、基本不等式的恒成立问题 题型七、基本不等式“1”的妙用求最值 题型八、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型九、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【经典例题一 作差法比较代数式的大小】 1．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 【答案】C 【分析】设两次加油的油价分别为 ，分别计算出甲、乙两人加油的平均单价，再对两者进行比较. 【详解】设两次加油的油价分别为 ，甲每次都将油箱加满，设油箱容量为V，可得甲加油的平均单价为 . 设乙每次加油花费的钱数都为M，则第一次加油的油量 ，第二次加油的油量为，两次加油的花费为2M，总共加的油量为，可得乙加油的平均单价为 因为，所以 ，所以乙比较经济， 故选：C 2．（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用作差法，适当放缩比较、和、的大小，得到、、的大小关系即可求解. 【详解】，，， ， 所以， ， 所以，所以， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：BCD 3．设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有________个． 【答案】2 【分析】由作差法比较大小后判断 【详解】不妨设，， 记为①式，为②式，以此类推， 由，故①>②， ，故②>③， ，故①>④， 同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤， 综上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤， 最多有②④或③⑥两项可同时取150， 令， 得其一组解为， 故答案为：2 4．已知实数满足． (1)比较和的大小； (2)若，证明： （i）； （ii）． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用作差法即可判断大小； （2）（i）结合（1）的结论可得，继而构造函数，即可证明结论；（ii）利用配方法可证，利用放缩法可得，继而换元，设，可得，变形后即可证明，即可证明结论. 【详解】（1）比较和的大小，可作差： ， 因为，故，仅当时等号成立， 故； （2）（i）因为，故，结合（1）可知， 故，仅当时等号成立， 令，则， 因为，故，仅当或时等号成立， 故，即，即； （ii）由于，而，仅当时等号成立， 由于在时等号成立，即两不等式取等号条件不一致， 故； 又，则，仅当或时等号成立， 故， 设，则， 故， 因为，故， 故，即，仅当时等号成立， 综合可得. 【经典例题二 由不等式的性质比较数(式)大小】 5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】因为，，所以，A错误； 取，，，则，B错误； 因为，所以，C错误； 因为，所以，所以，D正确. 故选：D. 6．（多选）已知（，，），且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，，，所以，故A正确； 对于B，，，所以，可得，同理可得， 又因，所以，故，，故B正确； 对于C，，，由B知，，又，存在，使得可知，代入可得与已知相矛盾，故C错误； 对于D，将条件变形为，，由A知，由B知，所以，即，故D正确. 故选：ABD 7．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 【答案】2 【分析】使用不等式将问题转化为，再验证等号成立条件. 【详解】由题可知，，则，， 因为，所以，即，解得， 当且仅当，时，等号成立， 当时，，，， 故的最小值为2. 8．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明如下： 因为点是点的“上位点”，所以， 因为， 所以，所以点是点的“下位点”， 因为， 所以，所以点是点的“上位点”； 所以点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”； (3) 【分析】（1）由已知中“上位点”和“下位点”的定义，即可求解； （2）作差可得，再根据定义可知结论成立； （3）结合（2）中的结论，可得，满足条件，再说明当时，不恒成立，可得出的最小值. 【详解】（1）由， 根据题意的定义可得点的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为和． （2）略 （3）若正整数满足条件，在时恒成立， 由（2）中的结论可知，时，满足条件， 若，由于，即, 所以时，对不恒成立， 因此的最小值为4039． 【经典例题三 由基本不等式证明不等关系】 9．已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式可得，再按，，分类讨论可判断ABD，对于C：利用完全平方式可得到，再令，可计算出，进而可判断C. 【详解】已知，均为正数，且， 因为，即， 由基本不等式可知：，所以， 由于 ，考虑 相对于 2 的位置： 当时，选项A可能成立，选项D不成立； 当时，选项B可能成立，选项D不成立； 当时，则，， 若选项D成立，则成立，即，此时， 同时成立，即， 当 ，则 ，要求 ，即 ，但 ，矛盾； 当 ，则 ，要求 ，即 ， 由 得 ，与 矛盾； 故选项 D 在所有情况下均不可能成立. 对于C， 由，，得： ， 所以，令得，故此时 ，，， 故：，故选项C可能成立. 故选：D 10．（多选）已知，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在，使得 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，据已知条件即可证明；对于B，使用基本不等式即可证明；对于C，据已知条件即可否定；对于D，将条件变形为，再利用即可证明结论. 【详解】对于A，由及，得，所以，A正确. 对于B，由及，得，所以.同理可得. 又，所以，所以，B正确. 对于C，由及，得，所以，得， 所以，得，C错误. 对于D，由，得，所以. 因为，，所以，所以，D正确. 故选：ABD. 11．已知，，下面四个结论: ①；②；③若，则； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上) 【答案】①③④ 【分析】①可以由得，然后变形可得是正确的，②可以由得，然后变形可得是错误的，③可以由不等式的性质推导出来，④是将展开由基本不等式推导出来. 【详解】因为，所以 即 所以，故①正确 因为 所以 所以，故②错误 因为，所以 因为，所以，故③正确 因为 ，当且仅当即时 取得最小值 因为，所以 即，故④正确 故答案为：①③④ 【点睛】，时有 12．已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 【答案】(1) 因为x，，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，则， 同理由可得， 所以，当且仅当时取等号． (2) 因为x，y，，所以，，， 以上三式相加得， 所以，当且仅当时取等号． 因为x，y，，且，所以，， 所以，，所以． 【分析】（1）运用基本不等式证明即可； （2）构造，，，采用叠加法即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 13．已知正实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用基本不等式对进行变形，然后结合的取值范围求解其最小值. 【详解】由基本不等式，可得， 要使下界最小，只需分母最大，分子最小即可，即， 此时， 验证等号条件，，即，当时，， 即，满足条件，故的最小值为. 故选：B. 14．（多选）已知，，，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 【答案】ABC 【分析】对选项A，根据得到，再解不等式即可判断A正确.对选项B，得到，再根据求解即可.对选项D，根据题意得到，从而得到，再解不等式即可.对选项C，得到，再结合D选项求解即可. 【详解】选项A，，，， 因为，所以，解得， 当且仅当时取等号. 所以，即的最大值为，故A正确. 对选项B，， 所以， 当且仅当时取等号，故B正确. 对选项D，， 即， 即， 解得，当且仅当，即时取等号. 故D错误. 对选项C，， 由D知：，即的最大值为8，故C正确. 故选：ABC 15．已知，，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】解法一：设，，则，，可得出，结合基本不等式求解即可； 解法二：由基本不等式可得，，再利用不等式的可加性可得出的最小值. 【详解】法一：设，，则，， 则. 当且仅当时，即当时，即当时，等号成立， 故的最小值为； 法二：因为，，则，， 由基本不等式可得， ， 上述两个不等式相加可得，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以的最小值为. 16．若正数，，，满足，求的最小值. 【答案】. 【分析】根据给定条件，利用配凑法及基本不等式求出最小值. 【详解】由正数，，，满足，得正数，，，均小于， 而， 当且仅当，即时取等号， 因此，当且仅当，即时取等号； 同理，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号； ，当且仅当，即时取等号， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以所求的最小值为. 【经典例题五 条件等式求最值】 17．已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件，对进行变形，利用基本不等式求出取最大值时的关系，再根据的关系求出的最大值. 【详解】因为正数满足， 所以， 设 ，则 ，， 所以， 令 ，则 ，且 ， ， 由基本不等式：， 当且仅当 时取等号， 联立 ，得 ， 即， 因为 则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. 18．（多选）已知实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若存在最大值，则的取值范围是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式可判断A；令，可得关于的方程有实根，结合判别式，求出m的范围，可判断B；根据关于的方程有实数根，结合判别式可判断C；将变形为，讨论的符号，结合基本不等式可判断D. 【详解】若，则，所以， 当且仅当或时，等号成立，A正确； 若，则，令，所以， 所以关于的方程有实根， 所以，解得，所以，B错误； 若，则关于的方程有实数根， 所以，解得，C正确； ，当，即时，则存在最大值且最大值为； 当，即时，， 所以，当且仅当时，等号成立， 当时，，所以当时，存在最大值，最大值为， 当时，不存在最大值； 当，即时，， 所以，当且仅当时，等号成立，此时，此时不存在最大值. 综上，若存在最大值，则，D正确. 故选：ACD. 19．已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】利用条件得到，结合条件求的范围，设，则，结合对勾函数性质求的范围可得结论. 【详解】， ， 即，得，，因为，所以， 所以，设，则， 故， 由对钩函数性质可得在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 20．（1）已知正数，满足.求的最小值； （2）已知，，均为正实数，且，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）根据基本不等式的概念，和换元法，对代数式进行消元，再根据基本不等式，求出最小值即可. （2）根据基本不等式的概念，对原不等式进行化简，进而求出最小值. 【详解】（1）由，得. 因为，，所以，即， 所以 ， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为. （2）因为，，均为正实数，且， 代入得， 根据基本不等式可知， 代入得，当且仅当时，等号成立，原命题得证. 【经典例题六 基本不等式的恒成立问题】 21．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为“恒成立”，然后根据的正负分类讨论，结合基本不等式求得最值，进而求得的取值范围. 【详解】因为恒成立，所以恒成立， 当时，只需， 因为， 当且仅当，即时取得最小值为， 所以，所以； 当时，只需， 因为 ， 当且仅当，即时取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，， 故选：A. 22．（多选）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BCD 【分析】对式子变形，构造定值，利用基本不等式求解最值，利用最值解决恒成立问题. 【详解】由，得，因为，所以，所以，则， 当且仅当时，等号成立，故， 因为恒成立，所以，解得.故A错. 故选：BCD. 23．已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为________． 【答案】 【分析】利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为， 所以由， 因为， 所以由，设，则， 因此由， 于是不等式恒成立可以转化为恒成立， 即， 由， 于是有， 当且仅当时取等号，即当时，有最小值， 所以有，此时有 故答案为： 24．若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 【答案】 【分析】将展开，利用基本不等式可求出，结合对所有正实数都成立，即可求得答案. 【详解】由题意知为正实数， 则 ， 当且仅当，即时等号成立； 而， 故 ， 等号成立时． 结合不等式对所有正实数都成立， 则，即， 所以的最大值为． 【经典例题七 基本不等式“1”的妙用求最值】 25．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 26．（多选）已知a，，，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为16 【答案】AD 【分析】A选项由所给等式直接运用基本不等式再解不等式即可判断；B选项利用“1的妙用”求出最小值即可判断；C选项可以通过放缩来判断；D选项利用的完全平方进行配凑，再配方求解最小值即可判断. 【详解】A选项，，解得，当且仅当时等号成立，故A选项正确； B选项，， 当且仅当时等号成立，故B选项错误； C选项，，当且仅当时等号成立， 则，故C选项错误； D选项，， 故当时，的最小值为16，D选项正确； 故选：AD. 27．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】/0.25 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 28．（1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即，时取等号.学习上述解法，并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m值. 【答案】（1）当时，函数有最小值； （2），当且仅当且，同号时等号成立 （3）时，取得最小值 【分析】（1）变形得，运用基本不等式，结合分式的性质进行求解即可； （2）根据，再作差并结合完全平方式即可证明； （3）根据（2）的结论，结合待定系数法进行求解即可. 【详解】（1），因为， 所以，即 当且仅当时取等号， 所以当时，函数有最小值； （2）， 又，当且仅当时等号成立， 所以， 所以，当且仅当且，同号时等号成立.此时，满足； （3）令，， 设，因为， 所以设，， 因为，所以， 所以M， 当且仅当时取等号，即，，即， 所以时，取得最小值. 【经典例题八 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 29．已知，不等式在上恒成立，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，原不等式转化为，两边同时平方并化简得，由此分析出，进而得到，由此可解出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∵上述不等式恒成立， ∴，即（否则取，则左边，矛盾）， 此时不等式转化为， ∴，解得， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题． 30．（多选）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 【答案】ABD 【分析】首先当，不等式为恒成立，故满足题意；其次，问题变为了一元二次不等式恒成立问题，则当且仅当，解不等式组即可. 【详解】当时，不等式为恒成立，故满足题意； 当时，要满足， 而， 所以解得； 综上，实数a的取值范围是； 所以对比选项得，实数a可能是，0，1. 故选：ABD. 31．设 ，若对 ，则 _____． 【答案】24 【详解】，， 代入，可得，即， 展开，可得， 即， 化简可得， 因为，当时，代入可得，恒成立， 当时，化简可得 代入，可得 即， 设函数， 因为是开口向上的二次函数，且，又要满足当时， 所以必须是函数的重根，即另一个根，解得， ，解得， 所以. 32．（1）解关于x的方程； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （3）解关于x的不等式，. 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【分析】（1）利用换元法解方程，再化为一元二次方程即可； （2）分类讨论，当根据不等式解集为建立不等式求解； （3）分解因式后，对分分别求解. 【详解】（1）令，则，即， 所以，解得， 所以，即，解得. （2）当时，由原不等式可得，满足题意； 当时，的解集为， 则，即，解得， 综上，实数a的取值范围. （3）由可得， ①当，即时，不等式为，解得； ②当，即时，不等式为，解得； ③当，即时，，不等式的解为或； ④当且，即且时， （i）当时，，所以不等式的解为， （ii）当时，，所以不等式的解为. 综上，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 【经典例题九 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 33．设，若时，关于的不等式恒成立，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】首先分析得到，令，求出的值，即可得到时，从而求出的值，再检验即可. 【详解】因为当时， 要使时，关于的不等式恒成立， 所以当时，所以，则， 令，解得， 则当时，当时， 所以当时，即，解得或（舍去）； 当时，对于方程，解得，， 所以当时， 当时， 又当时，当时，符合题意. 所以. 故选：C 34．（多选）集合，若，则实数的值可以是（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】BCD 【分析】由得：，所以对所有的，都有成立，分离参数，利用基本不等式可得答案. 【详解】由得： 所以对所有的，都有成立， 分离参数得： ， ， 定义函数： ， 又，由基本不等式得： ， 当且仅当即时取“”， 所以. ， 只需. 故选：BCD 35．设实数x，y满足：，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】换元，，，利用二次不等式求出的最小值，进而求出的最小值. 【详解】化简 （①）， 其中， 设，，则，， 代入①式得 （②）， 即， 所以的最小值即为的最小值， 令， 由，代入②得： ， 因为，故，即0，结合解不等式得 ， 故 . 36．已知，. (1)若，求不等式的解集； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； (2) 【分析】（1）将不等式进行因式分解，分情况讨论可得不等式的解集； （2）构造函数，分情况讨论二次函数的最值情况，即可解决不等式恒成立问题. 【详解】（1）由不等式，可得，即， 当时， （i）当时，即，； （ii）当时不等式的解集为， （iii）当时，，， 综上可得： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）化简得： 令， 当时，在不恒成立 当时，为二次函数，对称轴为， （i）当时，二次函数开口向上，此时，则，解得：； （ii）当时，二次函数开口向下 且，此时无解； 综上，得的取值范围为：. 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 一元二次函数、方程和不等式36道压轴题型专训 （9大题型） 目录 压轴题型・满分计划 题型一、作差法比较代数式的大小 题型二、由不等式的性质比较数(式)大小 题型三、由基本不等式证明不等关系 题型四、基本不等式求和的最小值 题型五、条件等式求最值 题型六、基本不等式的恒成立问题 题型七、基本不等式“1”的妙用求最值 题型八、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 题型九、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【经典例题一 作差法比较代数式的大小】 1．甲乙两位驾驶员采用不同的加油方式，甲不考虑油价升降，每次都将油箱加满.乙不考虑油价升降，每次加油所花的钱数一定，多次加油之后，甲乙两位驾驶员谁的加油方式比较经济？（   ） A．甲比较经济 B．甲和乙一样经济 C．乙比较经济 D．不能确定 2．（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 3．设、、、、、是六个互不相等的实数，则在以下六个式子中：，，，，，，能同时取到150的代数式最多有________个． 4．已知实数满足． (1)比较和的大小； (2)若，证明： （i）； （ii）． 【经典例题二 由不等式的性质比较数(式)大小】 5．已知，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知（，，），且，则（    ） A． B． C．存在，使得 D． 7．已知，记为，三个数中最大的数，则的最小值为___________． 8．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点是点的“上位点”.同时点是点的“下位点”； (1)试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标； (2)已知点是点的“上位点”，判断点是否既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，证明你的结论； (3)设正整数满足以下条件：对集合内的任意元素，点既是点的“上位点”，又是点的“下位点”，求正整数的最小值. 【经典例题三 由基本不等式证明不等关系】 9．已知，均为正数，且，设，，，则下列关系中不可能成立的是（   ） A． B． C． D． 10．（多选）已知，且，则下列结论成立的是（    ） A． B． C．存在，使得 D． 11．已知，，下面四个结论: ①；②；③若，则； ④若，则的最小值为； 其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上) 12．已知x，y，． (1)若，证明：； (2)若，证明． 【经典例题四 基本不等式求和的最小值】 13．已知正实数，则的最小值为（   ） A．1 B． C． D．2 14．（多选）已知，，，则下列正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．最大值为8 D．的最大值为6 15．已知，，则的最小值为_________. 16．若正数，，，满足，求的最小值. 【经典例题五 条件等式求最值】 17．已知正数，，满足，则当取最大值时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）已知实数，，满足，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若存在最大值，则的取值范围是 19．已知函数，若正数，满足，则的最大值为___________． 20．（1）已知正数，满足.求的最小值； （2）已知，，均为正实数，且，求证：. 【经典例题六 基本不等式的恒成立问题】 21．设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．（多选）已知正实数x，y满足，且恒成立，则t的取值可能是（    ） A． B． C．1 D． 23．已知，且，若不等式恒成立．则当实数m取得最大值时，a的值为________． 24．若不等式对所有正实数都成立，求的最大值． 【经典例题七 基本不等式“1”的妙用求最值】 25．若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 26．（多选）已知a，，，则（    ） A．ab的最大值为2 B．的最小值为 C．的最小值为4 D．的最小值为16 27．若正实数a，b满足，则的最小值是________． 28．（1）已知，求函数的最小值，并求出取最小值时x的值； （2）问题：正数a，b满足，求的最小值.其中一种解法是：，当且仅当且时，即，时取等号.学习上述解法，并解决下列问题：若实数a，b，x，y满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件； （3）利用（2）的结论，求的最小值，并求出使得M最小的m值. 【经典例题八 一元二次不等式在实数集上恒成立问题】 29．已知，不等式在上恒成立，则（    ） A． B． C． D． 30．（多选）若对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a可能是（     ） A． B．0 C． D．1 31．设 ，若对 ，则 _____． 32．（1）解关于x的方程； （2）若关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （3）解关于x的不等式，. 【经典例题九 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题】 33．设，若时，关于的不等式恒成立，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 34．（多选）集合，若，则实数的值可以是（   ） A．3 B．1 C． D． 35．设实数x，y满足：，则的最小值为____________． 36．已知，. (1)若，求不等式的解集； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $