1.1.2 空间向量的数量积运算 课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖定义、运算律、应用及投影向量。通过类比平面向量引入新知，利用空间向量可平移至同一平面的特性，衔接旧知，搭建从平面到空间的学习支架。 其亮点在于以数学抽象为核心，通过类比迁移定义，结合运算律辨析（如不可约分、无除法）培养数学运算素养。例题（正四面体、正方体）和巩固训练层次分明，方法总结明确应用方向，助力学生逻辑推理。教师可直接使用结构化资源提升效率，学生能构建知识体系，提升解决问题能力。

第一章 空间向量与立体几何 1.1 空间向量及其运算 课时2 空间向量的数量积运算 1 学习目标 1.掌握空间向量的数量积运算的定义与概念，理解投影向量的概念.（数学抽象） 2.理解空间向量的数量积的运算律：交换律和分配律,并可以与数的乘法相联系与区别. （数学运算） 3.可以结合实际，灵活运用相关知识解决问题.（逻辑推理、数学运算） 2 问题:类比平面向量的数量积，你能得出空间向量的数量积相关 知识吗？为什么？ 由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以类比平面向量那样来定义． 新知引入 1.定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点，作， ，则 _______叫作向量， 的夹角，记作______. 通常规定，, ,且,, . 2.空间向量的数量积 已知两个非零向量和，则，叫作，的数量积，记作 ，即 ， .特别地，零向量与任意向量的数量积为0. 共起点 4 例1 已知四面体的每条棱长都等于1，,分别是,的中点，则 等 于( ) . B A. B. C. D. [解析] 如图,,分别是,的中点， . 四面体的每条棱长都等于1， 每个面都是等边三角形， .故选B. 5 巩固训练 如图，已知正方体 的棱长为1，则 ( ) . C A. B.2 C. D.1 [解析] ， ， 故选C. 6 3.空间向量数量积的运算律 （1）交换律： <m></m> ； （2）分配律： <m></m> ； （3） <m></m> . (数量积不可约分) (向量没有除法运算) (数量积不满足结合律) 7 4.空间向量数量积的有关结论 （1）0·a = . （2）对于两个非零向量a，b，a⊥b ⟺ a·b ＝_______. （3）a·a＝_____或|a|＝_______. （4）若a，b同向，则 a·b＝_______；若反向，则a·b＝_______. （5）|a·b| ____ |a|·|b| （6）若θ为a，b的夹角，则cos θ＝_______. 证明垂直关系 求向量夹角 求向量或线段长度 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 两向量的数量积是实数. ( ) √ （2） 对于非零向量，，，与， 相等. ( ) × （3） 对于任意向量，，，都有 . ( ) × （4） . ( ) √ 9 例2 如图，已知正四面体 的棱长为1，求： （1） ； （2） . 10 [解析] （1） . （2） . 11 方法总结 空间向量数量积的应用 （1）求夹角：求向量与夹角的余弦值，需先求出，和 的值，再利用求夹 角余弦值的公式， 求解即可知夹角. （2）求线段的长度：向量的模就是表示向量的有向线段的长度，因此，线段的长度 可用向量求解. （3）证明向量垂直：立体几何中有关判断线线垂直的问题，通常可以转化为证明向 量的数量积为零. 12 巩固训练1 如图，在平行六面体中，若以 为顶点的三条棱长均为2，，，两两的夹角为 ， 求与 所成角的余弦值. 13 [解析] ， ， . ， . ， . 设与所成的角为 ，则, . 14 巩固训练2 如图，在长方体中，是棱上的动点，是棱 上 的动点，，,求 的取值范围. 15 [解析] ， 因为，，， ， 所以，，， ， 因此 . 设，，，，则 ， 因为 ， 所以，故的取值范围为 . 16 例4已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5, ∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。 D' C' B' D A B C A' 例4已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5, ∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。 D' C' B' D A B C A' 探究3 投影向量 问题:在平面向量中，是怎么定义投影向量的？ b a A A1 D C B1 追问：如何求 在 上的投影向量？ a b 思考：类比平面向量的投影向量，如何定义空间的投影向量？ 21 1.如图（1），在空间中，向量向向量投影，先将它们平移到同一个平面 内，利 用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，， ， ，，向量称为向量在向量 上的投影向量.类似地，也可以 将向量向直线 投影，如图（2）. 22 2.如图（3），向量向平面 投影，就是分别由向量的起点和终点作平面 的垂 线，垂足分别为，，得到向量_____，向量_____称为向量在平面 上的投影向 量.这时，向量___，_____的夹角就是向量所在直线与平面 所成的角. 23 例3 如图，已知四棱柱的底面是矩形，， ， ， ，为棱的中点，则_____；在 上 的投影向量是_____. 24 [解析] 由图可知 ， 所以 ， ， 故在上的投影向量是 . 25 巩固训练 在四棱锥中，四边形为正方形， ，且 底面，则向量在平面上的投影向量是____， ____. 26 [解析] 如图， 底面 ， 向量在平面上的投影向量是 . 底面， . 四边形为正方形， ， . 27 1.已知向量，，和实数 ，下列命题中，是真命题的为( ) . B A.若，则或 B.若，则或 C.若，则或 D.若，则 2.在空间四边形中，，，则， 的值为 ( ) . D A. B. C. D.0 28 3.如图，在长方体中，设 ， ，是的中点，则与所成角的大小为____， 在 方向上的投影向量的模为_ __. 4.如图，在平行六面体中， ， ， ，则线段 的长度是_____. 29 2.已知两异面直线的方向向量分别为，，且， ，则两直线的 夹角为( ) . B A. B. C. D. 3.已知，，是两两垂直的单位向量，，，则 ____. 4.已知，空间向量为单位向量，，，则空间向量在向量 上的投影 向量为_____. 30 $