第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算-【金版新学案】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量的数量积运算，涵盖夹角定义、数量积的概念性质运算律及求长度夹角、证垂直的应用。通过类比平面向量设置问题思考，引导学生从已知到未知，构建知识支架，如类比平面向量夹角定义空间向量夹角，衔接前后知识。 其亮点是任务驱动式设计，每个任务含问题思考、新知构建、典例解析和分层练习，结合正方体、正四面体等实例，培养直观想象、数学运算和逻辑推理素养。典例与练习呼应，学生能深化理解，教师可直接使用提升教学效率。

1.1.2　空间向量的数量积运算 　 第一章 空间向量与立体几何 单元学习一 空间向量及其运算 任务一　空间向量的夹角 1 任务二　空间向量的数量积 2 任务三　利用数量积求长度与夹角 3 课时分层评价 6 内容索引 随堂评价 5 任务四　利用数量积证明垂直 4 学习目标 1.了解空间向量的夹角；掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法，培养直观想象、数学运算的核心素养． 2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义，培养直观想象的核心素养． 3.掌握两个向量的数量积在判断垂直中的应用，掌握利用向量数量积求空间两点间的距离，提升逻辑推理和数学运算的核心素养． 任务一　空间向量的夹角 返回 (阅读教材P6，完成探究问题1) 问题1.类比两个平面向量a和b的夹角的定义，那么对于两个空间向量a和b，它们的夹角又该如何定义呢？ 提示：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉． 问题导思 新知构建 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则__________叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 图示 范围 _______________ 向量垂直 如果〈a，b〉，那么向量a，b互相垂直，记作_______ ∠AOB 0≤〈a，b〉≤π a⊥b 因为向量是自由向量，空间中的任意两个向量都能平移到同一平面内，因此，空间中两向量的夹角的实质就是平面内两向量的夹角． 微提醒 如 图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角． 解：连接BD(图略)， 则在正方体ABCD -A'B'C'D'中， AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD'＝CD'， 所以〈，〉＝〈，〉＝45°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝135°， 〈，〉＝∠D'AC＝60°， 〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°. 典例 1 规律方法 1.求两个空间向量的夹角时，要结合夹角的定义和图形，以防 出错． 2.对空间任意两个非零向量a，b有： (1)〈a，b〉＝〈b，a〉； (2)〈－a，b〉＝〈a，－b〉＝π－〈a，b〉； (3)〈－a，－b〉＝〈a，b〉． 3.〈〉＝π－〈〉＝∠BAC．　　 对点练1.(1)对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的 A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充要条件　　 D．既不充分也不必要条件 √ 因为a∥b，包括向量a和b同向共线和反向共线两种情况，所以当a∥b时，有〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，不能得到〈a，b〉＝0，充分性不成立；〈a，b〉＝0，则a和b方向相同，有a∥b，必要性成立，故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．故选B． (2)(双空题)在正四面体ABCD中，与的夹角等于______；与的夹角等于_____． 120° 60° 由正四面体每个面都是正三角形可知，〈〉＝180°－〈〉＝180°－60°＝120°；〈〉＝〈〉＝60°． 返回 任务二　空间向量的数量积 返回 (阅读教材P6－7，完成探究问题2) 问题2.类比平面向量的数量积的定义，你能给出空间两向量数量积的定义吗？空间向量的数量积运算满足哪些运算律？ 提示：能给出空间两向量数量积的定义，即已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 空间向量的数量积运算满足：(1)数乘向量与向量数量积的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R；(2)交换律：a·b＝b·a；(3)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c． 问题导思 1.定义：已知两个非零向量a，b，则_________________叫做a，b的数量积，记作a·b．即a·b＝_________________．规定：零向量与任意向量的数量积为______． 2.数量积的运算律 新知构建 数乘向量与向量数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝______ 分配律 (a＋b)·c＝____________ |a||b|cos〈a，b〉 |a||b|cos 〈a，b〉 0 b·a a·c＋b·c 3.数量积的性质 向量 数量 积的 性质 垂直 若a，b是非零向量，则a⊥b⇔____________ 共线 同向：则a·b＝|a|·|b| 反向：a·b＝－|a|·|b| 模 a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝_______，|a|___，|a·b|≤|a|·|b| 夹角 θ为a，b的夹角，则cos θ___ a·b＝0 |a|2 对于向量a，b，c，(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？为什么？ 提示：不成立．例如，任取三个不共面向量a，b，c，(a·b)·c是一个数与向量c作数乘，a·(b·c)是一个数与向量a作数乘，而a，c不在同一个方向上，所以(a·b)·c与a·(b·c)不相等． 微思考 4.投影向量 (1)向量a在向量b上的投影向量 先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图①，向量c称为向量a在向量b 上的投影向量，c＝__________________． (2)向量a在直线l上的投影向量 如图②，向量c称为向量a在直线l上的投影向量． |a|cos〈a，b〉 (3)向量a在平面β上的投影向量 如图③，分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则向量(a′)称为向量a在平面β上的投影向量．向量a与向量a′的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab．(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．①当θ为锐角时，a·b＞0；但当a·b＞0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.②当θ为钝角时，a·b＜0；但当a·b＜0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π． 微提醒 (链教材P7例2)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E是AA′的中点，AA′＝AD＝2，AB＝4，求： (1)·； 解：因为是长方体，而且AA'＝AD＝2， 所以〈，〉＝∠B'BC'＝45°， ｜｜AA'＝1，BC'2， 所以cos〈，〉＝2×1×2. 典例 2 (2)·． 解：由题意知，，， 所以··－··. 因为⊥，⊥，所以·0，·0，所以·－－2. (变条件，变结论)若P是C′D′的中点．试确定向量在直线B′C′上的投影向量，并求． 解：因为A′B′⊥B′C′，PC′⊥B′C′，所以向量2＝4. 变式探究 规律方法 求空间向量数量积的步骤 第一步：将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清； 第二步：利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积； 第三步：代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　 对点练2.(1)已知空间向量|a|，|b|＝5，且a与b夹角的余弦值为 －，则a在b上的投影向量为 A．－b　　 B．b C．b　　 D．－b √ a在b上的投影向量为··－·－b.故 选D. (2)若a，b，c为空间中两两夹角为的单位向量，2a－2b，b－c，则_____． －1 由题意得，a·b＝b·c＝c·a＝12×cos ，则·2(a－b)·(b－c)＝2(a·b－a·c－b2＋b·c)＝2(－－1＋)＝－1. 返回 任务三　利用数量积求长度与夹角 返回 如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°，CD＝CC1＝2. (1)求AC1的长； 解：设a，b，c，则｜a｜＝｜b｜＝ ｜c｜＝2，〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝60°， 因为－c－， 所以 ＝c2＋a2＋b2－2a·c－2b·c＋2a·b ＝12－2×2×2×cos 60°＝8， 所以AC1＝2. 典例 3 (2)求异面直线CA1与DC1所成角的余弦值． 解：因为a＋b＋c，c－a， 所以··c2－a2＋b·c－a·b＝0， 所以⊥， 所以异面直线CA1与DC1所成的角为90°，余弦值为0. 规律方法 1.利用数量积求两点间的距离或线段的长度的步骤 第一步：将此线段用向量表示； 第二步：用其他已知夹角和模的向量表示该向量；　　 第三步：利用|a|，计算出|a|，即得所求距离． 注意：求两向量的夹角，必须特别关注两向量的方向． 规律方法 2.利用数量积求夹角或其余弦值的步骤 对点练3.(1)如图，正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为_______． 设a，b，c.由题意，知｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝〈b，c〉＝90°. 因为－－a＋b＋c，所以｜｜2a2＋b2＋c2＋2×22＋×22＋22＋2××2×2cos 60°＝1＋1＋4－1＝5，所以｜｜，即EF. (2)已知空间四边形OABC各边及对角线长都等于2，E，F分别为AB，OC的 中点，则异面直线OE与BF所成角的余弦值为_____． 由已知得＝＋)，＝－＝－，因此 ｜｜＝｜＋｜＝＝，｜｜ ＝＝＝.又因为·＝ ＋)·＝×2－×2＋×2－2＝－2，所以cos〈，〉＝＝＝－.故异面直线OE与BF所成角的余弦值为. 返回 任务四　利用数量积证明垂直 返回 (链教材P10T9、T10)如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都为a，点M，N分别是AB，CD的中点．证明：MN⊥AB． 证明：由题意可知，a，且向量，，两两的夹角均为60°，连接AN(图略)， 则－)－. 所以· 0， 所以⊥，即MN⊥AB. 典例 4 规律方法 用向量法证明空间线线、线面垂直的思路 1.证明两直线垂直：可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可． 2.证明线面垂直：需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可．　　 对点练4.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面，∠BAC＝90°．求证：AB⊥AC1. 证明：因为AA1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AB⊂平面ABC，所以AA1⊥AB，AB⊥AC. 因为， 所以····0，所以⊥，即AB⊥AC1. 返回 课堂小结 任务再现 1.空间向量的夹角.2.空间向量数量积、投影向量有关定义、数量积的性质及运算律．3.利用数量积求长度、夹角以及证明垂直 方法提炼 化归转化法、类比法、公式法 易错警示 1.向量的夹角只注重角度大小，而忽视向量的方向．2.数量积的运算不满足结合律，更不存在“消去律”．3.当a≠0时，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0 随堂评价 返回 1.(多选)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是 A．与　　 B．与 C．与　　 D．与 √ √ 选项A、D中的向量的夹角为45°，选项B、C中的向量的夹角为135°．故选AD． 2.已知|a|＝4，空间向量e为单位向量，〈a，e〉，则空间向量a在向量e上的投影向量为 A．2e　　 B．－2e　　 C．－e　　 D．e √ 由题意知，｜a｜＝4，｜e｜＝1，〈 a，e 〉，则空间向量a在向量e上的投影向量为｜a｜cos ·4×(－－2e.故选B. 3.已知空间向量a，b的夹角为60°，且1，2，那么等于 A．　　 B．2　　 C．　　 D．7 √ 解析：由题意可得a·bcos 60°＝1×2×1，.故选C. 4.(双空题)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是 C1D1的中点，则与所成角的大小为____；__． 60° 1 法一：连接A1D，PD(图略)，则∠PA1D就是所成的角，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即所成角的大小为60°，因此·××cos 60°＝1. 法二：根据向量的线性运算可得·()·1.由题意可得PA1＝B1C，则××cos〈，〉＝1，cos〈，〉，从而〈，〉＝60°. 返回 课时分层评价 返回 1.在正四面体ABCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹 角为 A.30°　　 B.60°　　 C.120°　　 D.150° √ 由题意可得，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.若正四面体ABCD的棱长为，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则 A．　　 B．　　 C．1　　 D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，四面体ABCD是正四面体，且棱长为，所以·()·(－)· －··－××cos 60°＋×()2＋××cos 120°.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.已知a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，且m＝2e1＋3e2，n＝ke1－4e2，m⊥n，则实数k的值为 A．－6　　 B．6　　 C．3　　 D．－3 √ 因为a，b是异面直线，a⊥b，e1，e2分别为取自直线a，b上的单位向量，所以e1⊥e2，则e1·e2＝0.因为m⊥n，所以m·n＝0，即·0，所以2k－8e1·e2＋3ke1·e2－120，所以2k－12＝0，解得k＝6.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，H为AA1的中点，P1，P2，P3，P4分别是A1D1，D1C1，C1B1，B1A1的中点，则集合M＝{m|m中元素的个数为 A．1　　 B．2　　 C．3　　 D．4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于AA1⊥平面A1B1C1D1，A1Pi⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥A1Pi.又····(其中i＝1，2，3，4)，所以集合M中元素的个数是1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在三维空间中，三个非零向量，，满足⊥，⊥，⊥，则△ABC是 A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形或锐角三角形 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，·0，·0，·0，·(－)·(－)·－·－·｜｜2＞0，所以cos ∠CAB＞0，即∠CAB为锐角.同理可知∠ABC，∠BCA也为锐角.故△ABC是锐角三角形.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(概念辨析)(多选)下列四个结论正确的有 A．对于任意两个向量a，b，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b B．对于任意两个向量a，b，(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2 C．空间中任意三个向量a，b，c 都满足·c－a·0 D．对于任意两个向量a，b，都有 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，若a·b＝0，则a＝0或b＝0或a⊥b，故A正确；对于B，向量的运算满足平方差公式，所以(3a＋2b)·(3a－2b)＝9｜a｜2－4｜b｜2，故B正确；对于C，若a，b，c为空间向量中的单位向量，且a，b夹角为90°，b，c的夹角为60°，则·c＝0，a·a，·c－a· ≠0，故C错误；对于D，因为，故仅当cos θ＝±1时，，故D错误.故选AB. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知4，3，a·b＝－12，则a与b的夹角〈a，b〉＝______． cos〈a，b〉－，由〈a，b〉的范围为，所以〈a，b〉. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知空间向量a，b满足3，4且向量a，b的夹角为，则2a＋b在a方向上的投影向量为______． a 因为3，4且向量a，b的夹角为，所以a·bcos3×4×6，所以2a＋b在a方向上的投影向量为··aaa. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.如图，已知线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB＝4，BD＝3，AC＝5，则CD＝____________． 5 由于AC⊥α，AB，BD在平面α内，所以AC⊥AB，AC⊥BD，又BD⊥AB， 所以·0，·0，·0.由于，所以＋2·＋2·＋2·25＋16＋9＝50，所以CD5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°． (1)利用空间向量证明PA⊥BD； 解：证明：设a，b，c， 则－b－a， a＋b＋c， 所以··b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4cos 60°－3×4cos 60°＝0，所以⊥，故PA⊥BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求AP的长． 解：由(1)知a＋b＋c， 所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c ＝32＋32＋42＋2×3×3cos 60°＋2×3×4cos 60°＋2×3×4cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(2025·江苏无锡期末考试)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠BAC＝90°，∠A1AB＝∠A1AC＝60°，A1A＝3，AB＝AC＝2，则线段AO的长度为 A．　　 B．　　 C．　　 D． √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意可知，四边形BCC1B1是平行四边形，所以 )－)＋ ，所以－)＋ .因为∠A1AB＝∠A1AC＝60°，∠BAC＝90°，AA1＝3，AB＝AC＝2，所以4，9，·0，··2×3×cos 60°＝3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以＋ 2·＋2·＋2·)(4＋4＋9＋2×0＋2 ×3＋2×3)，所以，，则线段 AO的长度为.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)(2025·河北张家口高二期中)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N．设a，b，c，若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，则下列说法中正确的是 A．a＋b＋c B． C．直线AB1和直线BC1相互垂直 D．直线AB1和直线BC1所成角的余弦值为 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，－－)，又a，b，c，所以a＋b＋c，故A正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于B，因为AB＝AC＝AA1＝1，所以｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1.因为∠BAC＝90°，所以a·b＝0.因为∠BAA1＝∠CAA1＝60°，所以a·c＝b·c，所以｜｜2(a＋b＋c)2(a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c)(3＋1＋1)，所以｜｜，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C、D，a＋c，c＋b－a，cos〈 ， 〉，故D正确，C错误.故选ABD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在四面体OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直，且OA＝3，OB＝6，OC＝9，若G是△ABC的重心，则OG＝__________． 如图所示，取BC的中点D，根据三角形重心的性质，可得 AGAD，根据向量的运算法则，可得 ) ［(－)＋ －)］)，所以＋2·＋2·＋2·)(9＋36＋81＋0＋0＋0)＝14，所以，即OG. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(17分)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点Q是BC上的动点，如图，点P是B1C1上的动点，AB＝BC＝2，AA1＝1. (1)求； 解：·· ···， 因为AD⊥AB，AD⊥AA1， 所以⊥，⊥， 即·0，·0， 因此·4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求的取值范围． ·· ······， 因为AA1⊥AB，C1P⊥AB，AA1⊥BQ，AB⊥BQ， 所以·0，·0，·0，·0， 因此··· －·， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设x，y， 0≤x≤2，0≤y≤2， 则·4－xy， 由于0≤xy≤4，所以－4≤－xy≤0， 所以0≤4－xy≤4， 故·. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(交汇融合)已知点P在棱长为2的正方体表面上运动，AB是该正方体外接球的一条直径，则 的最大值为 A．－3　　 B．－2　　 C．－1　　 D．0 √ 由题意得，正方体外接球的直径2，设O为正方体外接球的球心，则O为AB的中点，则有－，且，·(－)·(－)·－()·－·－3，由于≤，所以·的最大值为0.故 选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.(新情境)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知水库底与水坝斜面所成的二面角为120°，测得从D，C到水库底与水坝斜面的交线的距离分别为DA＝30 m，CB＝40 m，若AB＝20 m，则甲、乙两人相距 A．70 m　　 B．70 m　　 C．90 m　　 D．90 m √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于，所以||2＝()2＝||2＋||2＋||2＋2()＝302＋(20)2＋402＋2×(0＋0＋30×40×cos 60°)＝4 900，所以||＝70，故甲、乙两人相距70 m．故选A． 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 谢 谢 观 看 ！ 第 一 章 空 间 向 量 与 立 体 几 何 返回 $