1.1.1集合及其表示方法导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学导学案聚焦集合的概念、元素与集合的关系、元素性质（确定性、互异性、无序性）、集合分类及常用数集，通过课前预习中“高个子同学能否构成集合”等探究问题导入，结合概念填空搭建学习支架，课堂讲练分题型巩固，形成从具体到抽象的知识脉络。 以问题驱动培养数学眼光，通过探究活动引导学生抽象集合本质，典例与变式训练强化数学思维中的推理能力，符号运用和判断练习提升数学语言表达，课前预习、课堂讲练、当堂检测及课后练的完整设计，助力学生自主学习，也便于教师评估教学效果。

学案导学 编号：gqlx-bx1-1-1 1.1.1集合及其表示方法（第1课时） 课前预习 概念探究： 1. 集合：一般地，把一些能够 对象看成一个整体，就说这个整体 是由这些对象的全体构成的 （或 ）。 元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的 （或 ）。 2. 集合与元素的表示：集合通常用 来表示，它们的元素通常用 来表示。通常把元素放在 中来表示一个集合，例如： 。 3. 集合中元素的性质： 、 、 。 探究一：你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由。 你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？ 探究二： 能不能看做一个集合？ 是不是一个集合？ 探究三： 是不是同一个集合？ 4. 元素与集合的关系： 如果a是集合A的元素，就说 ，记作 ，读作 。 如果a不是集合A的元素，就说 ，记作 ，读作 。 5. 空集： ，记作 。 例如： 地球上海拔超过10000米的山的全体构成的集合为 。 ； 。 6. 集合的分类：含有有限个元素的集合叫做 ，含有无限个元素的集合叫做 。 举例：有限集 ；无限集 。 7. 常用的数集及其记号： （1）自然数集： ，记作 。 （2）正整数集： ，记作 。 （3）整数集： ，记作 。 （4）有理数集： ，记作 。 （5）实数集： ，记作 。 课前热身： 1、 用 “”、“”填空 （1） -3 N； （2）3.14 Q； （3） Q； （4）0 Φ ； （5） Q； （6） R； （7）1 N+； （8） R。 2、判断下列说法是否正确 A．著名的科学家构成一个集合 （ ） B．很小的数构成一个集合 （ ） C．身高超过１．８０米的学生构成一个集合（ ） D．｛１，２，２，３｝集合中有４个元素 （ ） E．｛１，２，３，４｝与｛２，４，３，１｝表示同一个集合 （ ） 1.1.1集合的概念 （第1课时） 课堂讲练 典例精析： 题型一：判断能否构成集合。 例1：下列各组对象不能组成集合的是( ) A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点 变式1：下列条件能形成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 题型二：元素与集合的关系。 例2、用 “”、“”填空 （1）3．14 Q；（2） Z；（3）0 ；（4） R； （5） 3.14；（6）0 N；（7）0 ； 变式2：下列结论中，不正确的是( ) A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则 题型三 集合中元素的特性 （互异性） 例3：以方程-5+6=0和方程-的解为元素构成的集合M,则M中元素的个数为（ ） A、1个 B 2个 C 3个 D 4个 变式3：已知由1，三个实数构成一个集合，求应满足的条件 。 题型四 集合的分类 例4： 下列各组对象能否构成集合。若能构成集合，则指出它们是有限集、无限集还是空集。 （1） 中国的所有人口的全体； （2） 山东省2008 年应届初中毕业生； （3） 数轴上到原点的距离小于1 的点； （4） 方程 x2=0 的解的全体； （5） 你们班中成绩较好的同学； （6） 小于1的正整数的全体. 当堂检测 1结合确定性用符号和填空 ①设集合是正整数的集合，则______,______，______ ②设集合是小于的所有实数的集合，______，______ ③设集合是满足方程（其中为正整数）的实数的集合，则______，______ ④设集合是满足的有序实数对的集合，则______，______ 2、由，nN构成的集合中含有元素的个数为（ ） A、 1个 B、 2个 C、 0个 D、 无数个 3、已知集合A是由2，x，x－x三个元素组成的集合，则x应满足的条件是____________ 4、已知集合A是由0，m，m－3m+2三个元素组成的集合，且2A，则实数m=___________ 1.1.1集合的概念 （第1课时） 课后练 一、单选： 1、下列各组对象不能构成集合的是（ ） A.小于5的自然数 B.不等式2x+1>7的整数解 C. 某市的健康市民 D．倒数是它本身的数 2、下列说法错误的是（ ） A. 若,则 B.若 ，则 C. 若，则 D.若 ，则 3、由实数-x, |x|, , x, -构成的集合中元素最多的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 4、下面有4个命题： 集合N中最小数为1； 若-a, 则a ； 若 ，则a+b的最小值为2； 所有小的正数组成一个集合； 其中正确命题的个数是（ ） A. 0个 B. 1个 C 2个 D. 3个 5、 已知集合M中的元素a, b, c是ABC的三边，则该三角形一定不是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 正三角形 6、 已知集合A为大于 的数构成的集合，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 7、 若a, b, c为非零实数，则的所有值组成的集合中元素的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8、方程组的解集中元素的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 二、填空： 9、用符号或填空. _____Z; 3.14159______Q; ______R; sin45°。_____Q. 10、方程-2x+1=0的解集中，有_____个元素。 11、一个集合M中的任意元素m满足ｍ，且，则集合M的元素个数最多为_____. 三、解答题： 12、数集M满足条件：若，则（a且），已知， 试把由此确定的集合M的元素求出来。 13、已知集合A=，若，求实数a的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $学案导学 gqlx-bx1-1-2 1.1.1 集合及其表示方法（第1课时）解析版 课前预习 概念探究： 1. 集合与元素定义 集合：一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）。 元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）。 2. 集合与元素表示方法 集合通常用大写英文字母A、B、C……表示；元素通常用小写英文字母a、b、c……表示。 集合书写格式：将所有元素放在大括号{}内，示例：{1，2，3}、{正方形}。 3. 集合中元素三大性质（必考） 确定性、互异性、无序性 探究一详解 ① 班级高个子同学：不能构成集合。理由：“高个子”没有统一、固定的判定标准，主观模糊，不满足元素确定性。 ② 班级身高最高的3位同学：可以构成集合。理由：人数固定、排名确定、对象唯一，满足确定性。 探究二详解 ① {2，2，3，5}：不能作为合法集合。理由：集合元素具有互异性，不允许出现重复元素。 ② {a，a²}：不一定是集合。当a≠0且a≠1时是集合；当a=0或a=1时，元素重复，不能构成集合。 探究三详解 {2，3，5}与{5，3，2}：是同一个集合。理由：集合具有无序性，元素顺序改变，集合不变。 4. 元素与集合的关系 若a是集合A的元素，则a属于集合A，记作a∈A，读作“a属于A”。 若a不是集合A的元素，则a不属于集合A，记作a∉A，读作“a不属于A”。 5. 空集定义 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅。 举例1：地球上海拔超过10000米的山构成的集合为∅； 举例2：方程x²+2x+2=0无实数解，解集为∅； 举例3：不等式x²+2＜0无实数解，解集为∅。 6. 集合的分类 有限集：含有有限个元素的集合；示例：{1，2，3} 无限集：含有无限个元素的集合；示例：全体自然数 7. 常用数集及符号（必背） 自然数集（含0）：全体自然数组成的集合，记作N 正整数集（不含0）：全体正整数组成的集合，记作N₊、N* 整数集：全体整数组成的集合，记作Z 有理数集：全体有理数组成的集合，记作Q 实数集：全体实数组成的集合，记作R 课前热身 1、用∈、∉填空 （1）-3 ∉ N 解析：负数不是自然数 （2）3.14 ∈ Q 解析：有限小数属于有理数 （3）1/3 ∈ Q 解析：分数属于有理数 （4）0 ∉ ∅ 解析：空集没有任何元素 （5）√3 ∉ Q 解析：根号3是无理数，不是有理数 （6）1/2 ∈ R 解析：分数属于实数 （7）1 ∈ N₊ 解析：1是正整数 （8）π ∈ R 解析：π是无理数，属于实数 2、判断题 A. 著名的科学家构成一个集合（×）解析：“著名”无标准，不满足确定性 B. 很小的数构成一个集合（×）解析：“很小”模糊不确定，无法成集 C. 身高超过1.80米的学生构成一个集合（√）解析：标准固定、可判定 D. {1,2,2,3}集合中有4个元素（×）解析：重复元素只算1个，只有3个元素 E. {1,2,3,4}与{2,4,3,1}是同一个集合（√）解析：集合无序性 课堂讲练 典例精析 题型一：判断能否构成集合 例1 原题：下列各组对象不能组成集合的是（） A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 C.被3除余2的所有整数 D.函数y=1/x图象上所有的点 答案：B 详细解析：集合成立的核心是确定性。难题没有统一评判标准，因人而异，无法界定，不能构成集合；A、C、D对象标准固定、范围明确，均可构成集合。 变式1 原题：下列条件能形成集合的是（） A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 答案：D 详细解析：A、B、C描述均为主观模糊、无固定标准；D公司员工名单固定、对象确定，可以构成集合。 题型二：元素与集合的关系 例2 原题：用∈、∉填空 （1）3.14 __ Q （2）√3 __ Z （3）0 __ N* （4）√3 __ R （5）π __ 3.14 （6）0 __ N （7）0 __ ∅ 标准答案：∈、∉、∉、∈、∉、∈、∉ 逐空解析：3.14是有理数；根号3是无理数不是整数；0不是正整数；无理数都是实数；π不等于3.14；自然数包含0；空集无元素。 变式2 原题：下列结论不正确的是（） A.若a∈N，则-a∉N B.若a∈Z，则a²∈Z C.若a∈Q，则|a|∈Q D.若a∈R，则三次根号a∈R 答案：A 详细解析：A错误，举反例：a=0属于自然数，-0=0也属于自然数；B、C、D运算后数集属性不变，结论正确。 题型三：集合元素互异性（高频考点） 例3 原题（修正匹配原卷）：以方程x²-5x+6=0和x²-x-2=0的解为元素构成集合M，则M中元素个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 答案：C 满分规范解答 第一步：解第一个方程 x²-5x+6=0，解得x=2、x=3； 第二步：解第二个方程 x²-x-2=0，解得x=2、x=-1； 第三步：汇总所有解：2、3、2、-1； 第四步：根据互异性去重，有效元素为：-1、2、3； 综上，集合M共3个元素，选C。 变式3 原题：已知由1，x，x²三个实数构成一个集合，求x应满足的条件。 解答根据集合元素互异性，三个元素必须两两不相等，列出三个限制条件： 1、第一个限制：x ≠ 1 ； 2、第二个限制：x² ≠ 1，解得 x ≠ 1 且 x ≠ -1 3、第三个限制：x² ≠ x，移项化简得 x(x-1)≠0，解得 x ≠ 0 且 x ≠ 1 最终整合所有条件：x ≠ 0 且 x ≠ 1 且 x ≠ -1 题型四：集合的分类 例4 原题全解：判断能否构成集合，能构成则区分有限集、无限集、空集 （1）中国所有人口全体：能构成，人数有限 → 有限集 （2）2008年山东应届初中生：范围固定、人数有限 →有限集 （3）数轴上到原点距离小于1的点：点有无数个 → 无限集 （4）方程x²=0的解：仅有解0 → 有限集 （5）班级成绩较好的同学：标准模糊 →不能构成集合 （6）小于1的正整数：无符合条件的数 → 空集 当堂检测 1、填空题（原题完整版） ① A为正整数集合：0 ∉ A，根号2 ∉ A，-1 ∉ A ② B是小于根号11的实数集合：2√3 ∉ B，1+√2 ∈ B ③ C满足x=n²+1（n为正整数）：3 ∉ C，5 ∈ C（n=2时x=5） ④ D是y=x²的有序数对集合：-1 ∉ D，(-1,1) ∈ D 2、原题：由(-1)的n次方构成的集合元素个数为（） 答案：B（2个） 解析：n为奇数结果为-1，n为偶数结果为1，去重后只有1、-1两个元素。 3、原题：集合由2，x，x²-x构成，求x的取值范围 答案：x≠2、x≠0、x≠-1 4、原题：集合A={0，m，m²-3m+2}，且2∈A，求m 规范解答 情况1：m=2，此时元素出现重复，违反互异性，舍去； 情况2：m²-3m+2=2，化简得m²-3m=0，解得m=0或m=3； m=0时元素重复，舍去；m=3时元素互不重复，符合题意；最终答案：m=3 课后练 1、答案：C 解析：“健康市民”无统一标准，不满足确定性，无法成集。 2、答案：C 解析：有理数包含整数、分数，分数属于有理数但不是整数，故C错误。 3、答案：B 解析：化简所有实数表达式，利用绝对值、根式性质去重，最多3个元素，本题最优选项为B。 4、答案：A 解析：4个命题全部错误，自然数最小为0、正负自然数无对称关系、正数无界定标准。 5、答案：D 解析：集合三元素互不相等，三角形三边不等，一定不是正三角形。 6、答案：C 解析：根号5≈2.236，2小于2.236、3大于2.236，故2∉A，3∈A。 7、答案：B 解析：对正负非零数分类讨论，化简后结果只有2、-2两种，共2个元素。 8、答案：B 解析：二元一次方程组有唯一一组解，有序数对算1个集合元素。 9、答案：∈、∈、∈、∉ 解析：根号4=2是整数；3.14159是有理数；π/3是实数；sin45°是无理数不属于有理数。 10、答案：1 解析：方程为重根，根据互异性只保留1个元素。 11、答案：7 解析：正整数m满足8-m也为正整数，m可取1、2、3、4、5、6、7，共7个元素。 解答题 12、原题：数集M满足：若a∈M，则(1+a)/(1-a)∈M（a≠±1，a≠0），已知3∈M，求集合M全部元素 规范分步解答 第一步：已知3∈M，代入公式得：(1+3)/(1-3)= -2 ∈ M 第二步：-2∈M，代入公式得：(1-2)/(1+2)= -1/3 ∈ M 第三步：-1/3∈M，代入公式得：(1-1/3)/(1+1/3)= 1/2 ∈ M 第四步：1/2∈M，代入公式得：(1+1/2)/(1-1/2)= 3 ∈ M 第五步：出现重复元素，迭代终止。 最终集合M={3，-2，-1/3，1/2} 13、原题：已知集合A={a+2，(a+1)²，a²+3a+3}，且1∈A，求实数a的值 满分规范解答（分类讨论+互异性验证） 情况一：令a+2=1，解得a=-1 代入集合得元素：1、0、1，出现重复元素，违反互异性，舍去。 情况二：令(a+1)²=1 解得a=0 或 a=-2 ① a=0时，元素为2、1、3，全部互异，符合题意； ② a=-2时，元素重复，舍去。 情况三：令a²+3a+3=1，解得a=-1或a=-2，均出现元素重复，全部舍去。 最终唯一答案：a=0 学科网（北京）股份有限公司 $