2.2.2 不等式的解集-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第一册创新导学案Word（人教B版）

数学 必修 第一册RJB 2.2.2　不等式的解集 (教师独具内容) 课程标准：1.了解不等式的解集和不等式组的解集的概念，会求一元一次不等式组的解集.2.理解绝对值的几何意义，掌握去掉绝对值的方法． 教学重点：1.求一元一次不等式组的解集.2.绝对值不等式的解法． 教学难点：绝对值不等式的几何解法． 核心素养：1.通过学习不等式的解集的概念、不等式组的解集的概念、绝对值不等式的概念以及数轴上两点之间的距离公式和中点坐标公式培养数学抽象素养.2.通过求解一元一次不等式组的解集和含有绝对值不等式的解集培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　不等式的解、不等式的解集与不等式组的解集 (1)能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解． (2)一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集． (3)对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集． 知识点二　绝对值不等式 一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式． 知识点三　数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 一般地，如果实数a，b在数轴上对应的点分别为A，B，即A(a)，B(b)，则线段AB的长为|a－b|，记作AB＝|a－b|，这就是数轴上两点之间的距离公式．如果线段AB的中点M对应的数为x，则x＝，这就是数轴上的中点坐标公式． [拓展]　绝对值不等式|x|≤a和|x|≥a的解法 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|≤a －a≤x≤a x＝0 无解 |x|＜a －a＜x＜a 无解 无解 |x|≥a x≤－a或x≥a R R |x|＞a x＜－a或x＞a x≠0 R 1．(不等式的解集)不等式－3x＋2>0的解集为(　　) A．{x|x<1或x>2} B．{x|x>0} C. D．{x|x<7} 答案：C 2．(绝对值不等式的解法)不等式|3x－2|<1的解集为(　　) A．(－∞，1) B. C. D. 答案：B 3．(绝对值不等式的解法)不等式|x＋2|≥|x|的解集是________． 答案：[－1，＋∞) 4．(数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式)已知数轴上，A(－2)，B(x)，C(5)，若A与C关于点B对称，则x＝________；若线段AB的中点到C的距离小于3，则x的取值范围是________． 答案：　(6，18) 题型一　解不等式组　 　求下列不等式组的解集： (1) (2) [解]　(1)将①式移项、合并同类项，得x＞2. 将②式移项、合并同类项，得3x＞9， 系数化为1，得x>3. 所以不等式组的解集为(3，＋∞)． (2)将①式移项、合并同类项，得x≥8. 将②式去分母，得2x＋5－3＜6－3x， 移项、合并同类项，得5x<4， 系数化为1，得x<. 所以不等式组的解集为∅. 【感悟提升】　一元一次不等式组的解法 (1)分开解：分别解每个不等式，求出其解集． (2)集中判：根据同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，确定不等式组的解集．(或把不等式的解集在数轴上表示出来，数形结合确定不等式组的解集) 【跟踪训练】　 1．(1)已知关于x的不等式组的解集为(1，3)，则a的值为________． 答案：4 解析：由2x＋1>3，得x>1，由a－x>1，得x<a－1. 又不等式组的解集为(1，3)，所以a－1＝3，即a＝4. (2)x取哪些整数值时，不等式5x＋2＞3(x－1)与x－1≤7－x都成立？ 解：解不等式组 将①式去括号，得5x＋2＞3x－3， 移项、合并同类项，得2x>－5， 系数化为1，得x>－. 将②式移项，合并同类项，得2x≤8， 系数化为1，得x≤4. 所以不等式组的解集为， 所以x可取的整数值是－2，－1，0，1，2，3，4. 题型二　解含有一个绝对值的不等式　 　求下列不等式的解集： (1)|5x－2|≥8；(2)2≤|x－2|≤4. [解]　(1)|5x－2|≥8可化为5x－2≥8或5x－2≤－8，解得x≥2或x≤－， 故原不等式的解集为∪[2，＋∞)． (2)原不等式等价于不等式组 由|x－2|≥2，得x－2≤－2或x－2≥2， 所以x≤0或x≥4. 由|x－2|≤4，得－4≤x－2≤4， 所以－2≤x≤6. 故原不等式的解集为{x|－2≤x≤0或4≤x≤6}， 即[－2，0]∪[4，6]． 【感悟提升】　形如|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型的不等式，均可采用等价转化法进行求解，即|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c⇔ax＋b≤－c或ax＋b≥c. 【跟踪训练】　 2．求下列不等式的解集： (1)|2x－3|≤1；(2)|4－3x|＞5. 解：(1)由|2x－3|≤1可得－1≤2x－3≤1， 所以1≤x≤2. 故原不等式的解集为[1，2]． (2)由|4－3x|>5可得4－3x>5或4－3x<－5， 所以x<－或x>3， 即原不等式的解集为∪(3，＋∞)． 题型三　求数轴上点的坐标或范围　 　在数轴上，A(2)，B(x)，已知线段AB的中点到C(－1)的距离小于6，求x的取值范围． [解]　设AB的中点为D，则D，所以由题意得DC＝<6，即|4＋x|<12，因此－12<4＋x<12，－16<x<8，所以x的取值范围是(－16，8)． 【感悟提升】　解决有关数轴上点的坐标问题，关键是正确运用两点的中点坐标公式与距离公式．当涉及求某个未知数的取值范围时，根据绝对值不等式的解法求解即可． 【跟踪训练】　 3．已知数轴上三点P(－8)，Q(m)，R(2)． (1)若其中一点到另外两点的距离相等，求实数m的值； (2)若线段PQ的中点到线段PR的中点的距离大于1，求实数m的取值范围． 解：(1)若P是线段QR的中点， 则－8＝，所以m＝－18； 若Q是线段PR的中点，则m＝＝－3； 若R是线段PQ的中点，则2＝， 所以m＝12. 综上，实数m的值为－18，－3或12. (2)由题意，知>1， 即>1， 所以－1>1或－1<－1， 解得m>4或m<0， 所以实数m的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)． 题型四　解含有两个绝对值的不等式　 　求下列不等式的解集： (1)|x＋1|＋|x－1|≥3； (2)|x－3|－|x＋1|＜1. [解]　(1)解法一：如图，设数轴上与－1，1对应的点分别为A，B，那么点A，B之间的点到A，B两点的距离和为2，因此区间[－1，1]上的数都不是不等式的解．设在点A左侧有一点A1到A，B两点的距离之和为3，则A1对应数轴上的x. 由－1－x＋1－x＝3，得x＝－. 设点B右侧有一点B1到A，B两点的距离之和为3， 则B1对应数轴上的x， 由x－1＋x－(－1)＝3，得x＝， 从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都小于3；点A1的左侧或点B1的右侧的任何点到A，B的距离之和都大于3. 所以原不等式的解集为∪. 解法二：当x≤－1时，原不等式可以化为－(x＋1)－(x－1)≥3，解得x≤－； 当－1<x<1时，原不等式可以化为x＋1－(x－1)≥3，即2≥3，无解； 当x≥1时，原不等式可以化为x＋1＋x－1≥3， 解得x≥. 综上所述，原不等式的解集为∪. (2)解法一：如图所示，在数轴上－1，3，x对应的点分别为A，C，P，而点B对应的实数为，点B到点C的距离与到点A的距离之差为1. 由绝对值的几何意义知，当点P在射线Bx上(不含点B)时，不等式成立，故不等式的解集为. 解法二：原不等式⇔ ① 或② 或③ 解得①的解集为∅，②的解集为，③的解集为{x|x≥3}． 综上可知，原不等式的解集为. 【感悟提升】　形如|x－a|±|x－b|≤c和|x－a|±|x－b|≥c型不等式的两种求解方法 (1)利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，是解绝对值不等式最简单的方法，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键． (2)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法． 【跟踪训练】　 4．解下列不等式： (1)|x－1|－|5－x|＞2； (2)|2x－1|＋|3x＋2|≥8. 解：(1)原不等式即为|x－1|－|x－5|>2， 其等价于　① 或　② 或　③ 解得①无解，②的解集为{x|4<x≤5}，③的解集为{x|x>5}． 故原不等式的解集为(4，＋∞)． (2)①当x≤－时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x－(3x＋2)≥8⇔－5x≥9⇔x≤－，所以x≤－； ②当－<x<时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔1－2x＋3x＋2≥8⇔x＋3≥8⇔x≥5，所以x∈∅； ③当x≥时，|2x－1|＋|3x＋2|≥8⇔5x＋1≥8⇔5x≥7⇔x≥，所以x≥. 故原不等式的解集为∪. 1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为(　　) A．(0，2) B．(－2，0)∪(2，4) C．(－4，0) D．(－4，－2)∪(0，2) 答案：D 解析：由1＜|x＋1|＜3，得1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1，所以0＜x＜2或－4＜x＜－2.所以所求不等式的解集为(－4，－2)∪(0，2)． 2．已知数轴上两点A，B，若点B的坐标为3，且A，B两点间的距离AB＝5，则点A的坐标为(　　) A．8 B．－2 C．－8 D．8或－2 答案：D 解析：记点A(x)，则|3－x|＝5，解得x＝－2或x＝8. 3．(多选)不等式组的正整数解为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：ABC 解析：解不等式组得x<4.所以不等式组的正整数解有1，2，3.故选ABC. 4．不等式|x＋1|－|x－3|≥0的解集为________． 答案：[1，＋∞) 解析：解法一：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，两边平方，得(x＋1)2≥(x－3)2，解得x≥1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)． 解法二：不等式等价转化为|x＋1|≥|x－3|，根据绝对值的几何意义可得数轴上点x到点－1的距离大于等于到点3的距离，到两点距离相等时x＝1，故所求不等式的解集为[1，＋∞)． 5．不等式|x＋2|＋|x－1|＜4的解集为________． 答案： 解析：|x＋2|＝0和|x－1|＝0的根－2，1把数轴分为三个区间：(－∞，－2]，(－2，1)，[1，＋∞)．在这三个区间上|x＋2|＋|x－1|有不同的表达式，它们构成了三个不等式组．①当x≤－2时，|x＋2|＋|x－1|＜4⇔－2－x＋1－x＜4⇔－2x＜5⇔x＞－，所以不等式组的解集为；②当－2＜x＜1时，|x＋2|＋|x－1|＜4⇔x＋2＋1－x＜4⇔3＜4，所以不等式组的解集为(－2，1)；③当x≥1时，|x＋2|＋|x－1|＜4⇔x＋2＋x－1＜4⇔2x＜3⇔x＜，所以不等式组的解集为.综上，原不等式的解集为. 课后课时精练 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 不等式的解集 不等式组的解集　　 含有一个绝对值的不等式的解集　 绝对值不等式的解法与充分、必要条件相结合 含有两个绝对值不等式的解集 利用不等式组的解集求参数值 绝对值不等式的解法与集合相结合 含有一个绝对值的不等式的解集 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 数轴上两点之间的距离公式与中点坐标公式 利用含有一个绝对值的不等式的解集求参数值 不等式组的解集及应用　　 绝对值不等式的解集 探求绝对值不等式成立的必要不充分条件 利用不等式组有解求参数范围 含有两个绝对值不等式的解集及应用 新定义背景下不等式组的解集及应用 一、单选题 1．不等式x－2＋<2x＋5＋的解集是(　　) A．(－7，＋∞) B．(－∞，7) C．(－7，3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)∪(3，7) 答案：C 解析：原不等式可化为解得x>－7且x≠3.故选C. 2．不等式组的解集为(　　) A．(－∞，－12) B. C. D. 答案：B 解析：不等式组 可化为 解不等式①，得x＞－.解不等式②，得x≤.所以原不等式组的解集为.故选B. 3．不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　) A．(－∞，－2)∪(7，＋∞) B．[1，4] C．[－2，1]∪[4，7] D．(－2，1]∪[4，7) 答案：D 解析：不等式等价于解得－2<x≤1或4≤x<7.所以原不等式的解集为(－2，1]∪[4，7)．故选D. 4．设x∈R，则“|2x－1|≤3”是“x＋1≥0”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：|2x－1|≤3⇒－1≤x≤2，x＋1≥0⇒x≥－1，显然由－1≤x≤2能推出x≥－1，但是由x≥－1不能推出－1≤x≤2，因此“|2x－1|≤3”是“x＋1≥0”的充分不必要条件．故选A. 5．不等式|x－1|＋|x－2|≥5的解集为(　　) A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，1]∪[2，＋∞) C．(－∞，1] D．[2，＋∞) 答案：A 解析：画数轴可得当x＝－1或x＝4时，有|x－1|＋|x－2|＝5.由绝对值的几何意义可得，当x≤－1或x≥4时，|x－1|＋|x－2|≥5.故选A. 二、多选题 6．若不等式组的解集为(2，＋∞)，则m的值可以是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：ABC 解析：由>1，得x>2.由题意得的解集为(2，＋∞)，所以m≤2，又m∈N，故m＝0，1，2.故选ABC. 7．设集合A＝{x||x－m|＜1，x∈R}，B＝{x||x－n|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数m，n的取值可以为(　　) A．m＝0，n＝3 B．m＝2，n＝4 C．m＝5，n＝1 D．m＝7，n＝2 答案：ACD 解析：由|x－m|＜1，得m－1＜x＜m＋1.由|x－n|＞2，得x＜n－2或x＞n＋2.∵A⊆B，∴m－1≥n＋2或m＋1≤n－2，即m－n≥3或m－n≤－3，∴实数m，n需满足|m－n|≥3，结合选项可知A，C，D符合题意．故选ACD. 三、填空题 8．不等式|x|·(1－2x)>0的解集为________． 答案：(－∞，0)∪ 解析：原不等式等价于解得x<且x≠0.故原不等式的解集为(－∞，0)∪. 9．数轴上点A(－2)，B(4)，C(x)，则线段AB的中点D的坐标为________，若点D到C的距离大于2，则x的取值范围为________． 答案：1　(－∞，－1)∪(3，＋∞) 解析：点D的坐标为＝1，DC＝|x－1|>2，所以x>3或x<－1. 10．已知不等式|ax＋b|＜2(a≠0)的解集为{x|1＜x＜5}，则实数a，b的值分别为________． 答案：1，－3或－1，3 解析：原不等式等价于－2＜ax＋b＜2. ①当a＞0时，解得－＜x＜，与1＜x＜5比较，得解得 ②当a＜0时，解得＜x＜－，与1＜x＜5比较，得解得 综上所述，a＝1，b＝－3或a＝－1，b＝3. 四、解答题 11．已知关于x的不等式组 (1)当m＝－11时，求不等式组的解集； (2)若该不等式组的解集是∅，求m的取值范围． 解：(1)当m＝－11时， 不等式组为 解不等式①，得x>－4. 解不等式②，得x<－. 所以所求不等式组的解集为. (2)解不等式m－2x<x－1， 得x>. 因为不等式组的解集为∅， 所以≥－，所以m≥－. 所以m的取值范围为. 12．求下列不等式的解集： (1)|4x＋5|≥25；(2)|3－2x|＜9； (3)1＜|x－1|＜5；(4)|x－1|＞|x－2|. 解：(1)因为|4x＋5|≥25⇔4x＋5≥25或4x＋5≤－25⇔4x≥20或4x≤－30⇔x≥5或x≤－， 所以原不等式的解集为∪[5，＋∞)． (2)因为|3－2x|＜9⇔|2x－3|＜9⇔－9＜2x－3＜9⇔－6＜2x＜12⇔－3＜x＜6， 所以原不等式的解集为(－3，6)． (3)因为1＜|x－1|＜5⇔1＜x－1＜5或－5＜x－1＜－1⇔2＜x＜6或－4＜x＜0， 所以原不等式的解集为(－4，0)∪(2，6)． (4)|x－1|＞|x－2|⇔(x－1)2＞(x－2)2⇔x2－2x＋1＞x2－4x＋4⇔2x＞3⇔x＞， 所以原不等式的解集为. 13．使|x＋1|>2成立的一个必要不充分条件是(　　) A．x<－3 B．x>0 C．x<－3或x>1 D．x<－3或x>0 答案：D 解析：由|x＋1|>2，得x>1或x<－3，所以x<－3是|x＋1|>2的充分不必要条件，x>0是|x＋1|>2的既不充分也不必要条件，x<－3或x>1是|x＋1|>2的充要条件，x<－3或x>0是|x＋1|>2的必要不充分条件．故选D. 14．若不等式组有解，则实数a的取值范围是________． 答案：(－36，＋∞) 解析：解不等式1＋x<a，得x<a－1.解不等式＋1≥－1，得x≥－37.因为不等式组有解，所以a－1>－37，即a>－36.故实数a的取值范围是(－36，＋∞)． 15．(1)求不等式|3x－2|＋|x－1|＞3的解集； (2)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m，求满足下列条件的实数m的取值范围： ①不等式有解； ②不等式的解集为R. 解：(1)①当x≤时，|3x－2|＋|x－1|＝2－3x＋1－x＝3－4x，由3－4x＞3，得x＜0， ∴x<0； ②当＜x＜1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋1－x＝2x－1，由2x－1＞3，得x＞2， ∴x∈∅； ③当x≥1时，|3x－2|＋|x－1|＝3x－2＋x－1＝4x－3，由4x－3＞3，得x＞， ∴x＞. 故原不等式的解集为(－∞，0)∪. (2)因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差， 即|x＋2|－|x＋3|＝PA－PB. 又(PA－PB)max＝1，(PA－PB)min＝－1， 所以－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. ①若不等式有解，则m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1， 故实数m的取值范围为(－∞，1)． ②若不等式的解集为R，即不等式恒成立，则m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小即可，即m<－1， 故实数m的取值范围为(－∞，－1)． 16．对x，y定义一种新运算T，规定：T(x，y)＝(其中a，b均为非零常数)，这里等式右边是普通的四则运算，例如：T(0，1)＝＝b.已知T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1. (1)求a，b的值； (2)若关于m的不等式组恰好有3个整数解，求实数p的取值范围． 解：(1)由T(1，－1)＝－2，T(4，2)＝1，得 即 解得 (2)由(1)，得T(x，y)＝， 则不等式组 可化为 解得－≤m<. 因为不等式组恰好有3个整数解， 所以2<≤3，解得－2≤p<－. 故实数p的取值范围为. 14 学科网（北京）股份有限公司 $