精品解析：江西南昌市南昌县莲塘第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中质量检测数学试卷

莲塘一中2024—2025学年上学期高一11月期中质量检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出集合B，再根据交集概念计算即可. 【详解】依题意得，对于集合中的元素，满足， 则可能的取值为，即，于是． 故选：B. 2. 已知且，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】ABC选，利用指数幂的运算法则判断，D选项，由分数指数幂的定义得到D正确. 【详解】A选项，且，故，A错误； B选项，且，故，B错误； C选项，，C错误； D选项，且，故，D正确. 故选：D 3. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的充要条件 B. 命题“，”的否定是“ ，” C. 已知，则“ ”是“”的既不充分也不必要条件 D. 已知，则 是 “”的必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合存在命题否定的性质逐一判断即可. 【详解】A：显然当时，成立，但是不成立，因此本选项说法不正确； B：命题“，”的否定是“ ，，因此本选项说法不正确； C：当时，显然成立，但是不成立， 当时，显然，所以本选项说法不正确； D：当时，显然成立，但是没有意义， 由，所以本选项说法正确， 故选：D 4. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用射影定理求得，结合整理得出正确答案. 【详解】由于是圆的直径，所以，圆的半径为， 而，由射影定理得. 在直角三角形中，， 由射影定理得， 由，所以. 故选：A 【点睛】这道题的设计较为经典，结合了几何和代数的知识点，对考生的基础知识要求较高,有助于考查学生的综合能力.题目的解题过程按照逻辑顺序展开，先利用射影定理，再结合圆和直角三角形的性质，这样的分析过程符合数学解题的思路. 5. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过分离常数可得，由单调性可得，进而解得结果. 【详解】 当在上单调递增时，，解得： 即的取值范围为 本题正确选项： 【点睛】本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题，关键是能够通过分离常数法将函数化为反比例函数的形式，进而构造出不等关系. 6. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且，Qc是Q的补集），以下对说法错误的是（    ） A. 定义域为 B. 当时，的值域为；当时，的值域为 C. 为偶函数 D. 在实数集的任何区间上都不具有单调性 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域可判定A；由函数的奇偶性可判定B；由函数的值域可判定C；由函数的单调性可判定D． 【详解】对于A：因为（其中，且， 其中，所以的定义域为，故A正确； 对于B，根据函数的对应法则，是有理数时，当是无理数时， 所以的值域是，故B错误； 对于C：若，则，有， 若，则，有， 综合可得，所以函数为偶函数，故C正确； 对于D：由于实数的稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间都有有理数， 其函数值在和之间无间隙转换，所以无单调性，故D正确． 故选：B 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由分段函数的单调性结合二次函数和一次函数的单调性求解即可； 【详解】由在上满足， 设，则，即在上为减函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故选：B. 8. 已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】令可得，再令可得，再令即可得，再利用函数单调性定义可得该函数为单调递增函数，故的值即为所求. 【详解】令，则，令有， 又，所以， 令，所以，所以， 设，则，所以， 所以， 则，故在上单调递增， 所以函数在区间上的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据列举法，以及不等式的性质，即可判断选项. 【详解】若，，则，故A错误； 若，，则，故B错误； 若，则，，所以，故C正确； 若且，所以，，所以，故D正确. 故选：CD 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 与是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的值域为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由复合函数定义域可判断A，由函数概念可判断B，由代入法可求C,由二次函数可判断D. 【详解】对于A：因为的定义域是，即则， 所以 即即函数的定义域是，错误； 对于B，由于，故正确； 对于C：由，令即，所以正确； 对于D:由，所以函数的值域为正确. 故选：BCD 11. 几位同学在研究函数时给出了下面几个结论，其中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，则一定有 C. 在上单调递增 D. 若规定，且对任意的正整数n都有，则对任意的恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】分，，，利用反比例型函数的性质判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断其值域，再根据递推得到规律判断. 【详解】当时，，且在上单调递增， 当时，，且在上单调递增， 当时，以． 对任意的，，所以是奇函数，故A错误，B，C正确， 因为，，……， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：的值为_________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用指数幂的运算法则计算即可． 【详解】 ． 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】设出幂函数解析式代入点待定，再结合函数的单调性与定义域得不等式组求解即可得. 【详解】设幂函数，因为函数图象过点， 则，解得， 则，其定义域为，且在单调递减. 所以由， 可得，解得. 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的解析式. （1）已知函数，求； （2）已知是一次函数，且，求. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）令可得，即可求； （2）设，则有，利用列方程求解即可. 【小问1详解】 因为函数， 令则， 因为，所以， 所以. 【小问2详解】 设， 则有， 因为， 所以， 解得或， 所以或 16. 已知． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）画出函数图象，并写出函数的单调区间． 【答案】（1）是偶函数．证明如下： 由的定义域为， 对于，都有，且， 所以函数是偶函数，得证． （2） 函数图象为； 单调递增区间为和；单调递减区间为和 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 函数图象如下图所示： 结合函数图象得， 的单调递增区间为和；单调递减区间为和． 17. 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（）与速度（）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从刹车到停车走了． （Ⅰ）当汽车不装货物以的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？． （Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．参考数据：．） 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）． 【解析】 【分析】（Ⅰ）设从刹车到停车滑行的距离为，时速为，卡车总质量为M，比例常数为k，然后根据条件求出k的值，得到函数的解析式．然后代入的速度行驶，汽车从刹车到停车所滑行的距离． （Ⅱ）再根据滑行距离到障碍物距离建立不等关系，解之即可求出所求最大限制时速． 【详解】解：（Ⅰ）滑行的距离为，汽车总质量为M，时速为，比例常数为k， 根据题意可得，将，代入可得，所以， 当时，代入上式，可得． （Ⅱ）卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．行驶的路程为， 由，可得，解得， 因为，所以． 所以最大限制时速应是：． 【点睛】本题考查函数模型的应用，解题关键是正确理解题意，根据所给函数模型列式计算． 18. 函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）在和上单调递增，证明如下： 令， ， 所以，在区间上单调递增， 又函数是定义在上的奇函数， 所以，在区间上单调递增， 综上，在和上单调递增，得证． （3） 【解析】 【分析】（1）由得，代入已知解析式，再利用奇函数的性质变形，进而得到的解析式； （2）令，从而通过判断的符号即可得到在区间上单调性，再结合奇函数的性质也可得到在区间上单调性，进而即可得到的单调性； （3）结合（2），分和两种情况分析，进而根据和即可求出 不等式的解集． 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数， 当时，，则， 所以． 所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可得， 当时，，所以，，，； 由，得； 当时，，所以，，，； 由，得． 综上，不等式的解集为． 19. 已知函数． （1）若方程恰有两个不同的正根，求实数的取值范围； （2）若 ①求在上的最大值； ②若，对有：恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）设出方程的两根分别为，根据即可解出； （2）①根据分类讨论函数的单调性，即可求出； ②由①求出，即可解不等式求出. 【小问1详解】 设方程两根分别为，因为等价于， 依题意可得，， 解得：，故实数的取值范围为． 【小问2详解】 ①设，， 当时，，易知，； 当时，，根据对勾函数的单调性易知， 在上递减，在上递增，而， 所以，， 即． 当时，根据函数单调性的运算可知，在上单调递增， 即，所以，， 因为，所以， ， 综上，. ②根据①可知，，所以依题可得，恒成立， 解得： 或，即实数的取值范围为． 补证：函数在上递减，在上递增． 设，则， 因为，所以，即， 所以函数在上递减， 同理可证，函数在上递增． 【点睛】本题第二问的解题关键是分类讨论，判断函数的单调性以及取最大值的位置，即可得解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莲塘一中2024—2025学年上学期高一11月期中质量检测数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知且，下列等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面命题正确的是（ ） A. 已知，则“”是“”的充要条件 B. 命题“，”的否定是“ ，” C. 已知，则“ ”是“”的既不充分也不必要条件 D. 已知，则 是 “”的必要不充分条件 4. 无字证明即无需语言的证明（proof without words），本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且，，O为AB的中点，以AB为直径做半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D．连结OD，AD，BD．过点C作OD的垂线，垂足为E．则下面可由进行无字证明的不等式为（ ） A. B. C. D. 5. 函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷（Dirichlet）.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：（其中，且，Qc是Q的补集），以下对说法错误的是（    ） A. 定义域为 B. 当时，的值域为；当时，的值域为 C. 为偶函数 D. 在实数集的任何区间上都不具有单调性 7. 已知在上满足，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，若对于任意的，，都有，当时，都有，且，则函数在区间上的最大值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题是真命题的为（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 若且，则 10. 下列说法正确的有（ ） A. 若函数的定义域是，则函数的定义域是 B. 与是同一函数 C. 已知函数，则 D. 函数的值域为 11. 几位同学在研究函数时给出了下面几个结论，其中正确的是（ ） A. 函数的值域为 B. 若，则一定有 C. 在上单调递增 D. 若规定，且对任意的正整数n都有，则对任意的恒成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 化简：的值为_________． 13. 已知幂函数过点，若，则实数a的取值范围是_________. 14. 设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列函数的解析式. （1）已知函数，求； （2）已知是一次函数，且，求. 16. 已知． （1）判断函数的奇偶性并证明； （2）画出函数图象，并写出函数的单调区间． 17. 已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离（）与速度（）的平方和汽车总质量积成正比关系，设某辆卡车不装货物以的速度行驶时，从刹车到停车走了． （Ⅰ）当汽车不装货物以的速度行驶，从刹车到停车所滑行的距离为多少米？． （Ⅱ）如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时，发现前面处有障碍物，这时为了能在离障碍物以外处停车，最大限制时速应是多少？（结果保留整数，设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过．参考数据：．） 18. 函数是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的解析式； （2）判断的单调性，并证明你的结论； （3）求不等式的解集． 19. 已知函数． （1）若方程恰有两个不同的正根，求实数的取值范围； （2）若 ①求在上的最大值； ②若，对有：恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $