江西南昌市南昌县莲塘第一中学2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷

莲塘一中2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 命题：李璇子审题：田华超 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.★命题“x∈R,x2-2c+1>0”的否定为 () AVc∈R,x2-2x+1<0 B.Vx∈R,x2-2x+1>0 C.3x0∈R,x2-2x+1≥0 D.3c0∈R,x2-2x+1≤0 2★*已知a-(号，6-23×3V停，e-+,则 () Aa>b>c B.b>a>c C.bc-a D.c>b>a 3.★★设集合M={x0≤x≤2}，N={y0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集 合N且以集合N为值域的函数关系的有 () 珠 2 1/ o12x012o12o2 ① ② ③ ④ A①②③④ B.①②③ C.②③ D.② 4.★★已知f(x)是定义在[a,b]上的函数，那么“函数f(x)在[a,b]上单调递增”是“函数f(x) 在[a,b]上的最小值为f(a)”的 A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.★★已知函数f四的定义域为[-4,2，则函数y=儿如+的定义域为 x+2 A(-5,-2)U(-2,1) B.[-5,-2)U(-2,1] C.（-3,-2)U(-2,3) D.[-3,-2)U(-2,3] 6.★★★如图所示是函数y=x”(m、n为互素的正整数)的图象，则 % x Am,n是奇数且m<1 B.m,n是偶数，且m>1 m Cm是偶数，n是奇数，且>1 D.m是偶数，n是奇数，且m<1 m ·1 -x2-2ac,x≤2 7.★★★已知函数f(x)= 2a+16z >2满足对定义域内任意实数心1≠x,部有 f()-fx1>0成立，则实数a的取值范围是 () 1r2-r1 A[-4,-2] B.[-3,-2] C.（-0∞，-2] D.[-4,-3] 8.★★★设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数， 如[1.2]=1，[2]=2，[-1.2]=-2，令f(x)=x-[x],则下列选项正确的是 () Af(-1.1)=-0.1 号)=3) C.f(x+1)=f(x)+1 D.函数f(c)的值域为[0,1) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.★★已知a,b,c∈R,且a<b<0,则 () A a2+c>62+c B.a'cb'c C.a+c2<6+c2 D.ac2-b<bc2-a 10.★★★已知f(x+1)=x2+2,则下列选项正确的是 () A函数f(x)的解析式是f(x)=x2-2x+3 B.若不等式f(x)≥ax-1对任意的x∈R恒成立，则a≥2或a≤-6 C. 若关于x的不等式f(c)<ax-1的解集为空集，则-6≤a≤2 D.若存在xE[2,4]使得不等式f(x)≥ax-1成立，则a≤3 11.★★★★定义min{a,b}= a,a≤b 1b,a>b' 若函数f(x)=min{x2-3c+3,-lc-3+3},且fx) 在区间[m,m上的值域为[星，]， 则n-m的值可以是 A1 且昌 D.2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.★★函数f(x)=x2-c0sx+b,x∈[-2b-1,2-b]是偶函数，则b= 13(◆)★★★已知+x片=3，则父+0+3= x十x-1-2 1达★★★★★已知正实数a,b,c满起b+e=1,则。0+。6的量小值为 四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.★★★已知集合A={x-x2+3x+10≥0，x∈R},集合B={xm+1≤c≤2m-1},集合C= {xl3≤x<10,c∈Z}. (1)求(CRA)∩C (2)若命题“Hx∈(AUB),都有x∈A”是真命题，求实数m的取值范围 .2 16.★★★已知函数fx)=ac2+bx+c(a,b,c∈R). (1)若关于x的不等式f(x)<0的解集为{xx<-4或x>2},求关于x的不等式2bx2-4ax+c> 0的解集： (2)当b=-2a=-2,c=3时，函数f(x)在[t,t+1]上的最小值为6，求实数t的值 17.★★★我国某企业计划在2025年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全 年需投入固定成本250万元，且年产量x(单位：千部)与另投入成本(x)(单位：万元)的关系 10x2+100x+750,0<<40 式为R(x)= 701c+100-870,r≥40，由市场调研知，每部手机告价为0.7万元，且 m 全年内生产的手机当年能全部销售完. (1)求2025年的利润W(x)(单位：万元)关于年产量（单位：千部）的函数关系式（利润=销售额 -成本)： (2)当2025年年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少？ ·3 18★★★已知函数f()=心，+a是定义在R上的奇函数 x2+1 (1)求实数a的值； (2)判断并用定义证明函数f(x)在区间(1，+o∞)上的单调性； (3)记函数f(x)的最大值为f(x)max,最小值为f(x)mim,当x∈[-m,m]时，f(x)max-f(x)mn= +号，求实数m的值 19.★★★★设函数f(x)=x2-2(t+1)x+2,其中t∈R (1)若t=0,求函数f(x)在区间[0,4]上的值域； (2)若x∈(0,1)时，f(x)≤0有解，求实数t的取值范围： (3)若对任意的c1,c2∈[0,4]，都有f(x1)一f(x2)川≤8，求实数t的取值范围 ·4 1.【答案】D 【分析】通过改量词，否结论，即可容易求得结果， 【详解】命题“Hc∈R,2-2x+1>0”的否定为“3x∈R,x2-2x+1≤0”. 故选：D 【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题 2.【答案】C 【分析】由分指数幂、根式先化简，再比较大小即可 【详解1a=(是=活<156=2w5×/得=2×3-2产×g-2, 8 c=(3+元)=3+π， 根据实数的大小关系可得W2>3+元>2，即6>c>。 故选：C 3.【答案】D 【分析】根据函数的定义，且定义域为M={x0≤x≤2}，值域为N={0≤y≤2}，逐项判定 即可求解 【详解】由题意知，函数的定义域为M={x0≤c≤2}，值域为N={y0≤y≤2}， 对于①中，函数的定义域不是集合M,所以①不正确： 对于②中，函数的定义域为集合M,值域为集合N,能表示集合M到集合N且以集合N为值域 的函数关系 所以②正确： 对于③中，函数的定义域为集合M,值域不是集合N,所以③不正确： 对于④中，集合M中的元素在集合N中对应两个函数值，不符合函数的定义，所以④不正确 故选：D 4.【答案】A 【分析】根据单调性定义得到充分性，举反例得到不必要，得到答案 【详解】若函数f(c)在[a,b]上单调递增，则函数f(x)在[a,b]上的最小值为f(a),充分性； 函数f(x)在[a,b]上的最小值为f(a),则不一定有函数f(x)在[a,b]上单调递增，如f(x)= -x2在[-2,1]上不单调，最小值为f(-2),不必要 故选：A. 5.【答案】B 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可. 【详解】因为f(x)的定义域为[-4,2]，则x+1∈[-4,2]，即x∈[-5,1]， 昕以f(x+1)的定义域为[-5,1]， 又如+2≠0，所以函数y=如+1 的定义域为[-5，-2)U(-2,1]. x+2 故选：B 6.【答案】D 【分析】根据给定的图像，结合幂函数的图像性质判断得解 【详解】观察图象得，函数y=x”在(0，十∞)上单调递增，则m>0, ·5 当0<c<1时，x”>c,则0<m<1,BC错误； 函数y=x”的图像关于y轴对称，则m是偶数，n是奇数，A错误，D正确， 故选：D 7.【答案】A 【分析】根据分段函数的单调性直接可得 【详解】因为f)对定义域内任意实数1≠，都有）-f1>0成立，所以四在定义域 D2-c1 上单调递增 当x≤2时，f(x)=-x2-2ax=-(c十a)P+a,所以f(c)的图象为开口向下的抛物线，对称轴 为x=-a, 函数要在(-∞，2]上单调递增，得-a≥2 当0>2时，fm)=2a+16=20+16, 函数要在（2，+0)上单调递增，得2a<0. x -a≥2 根据分段函数的单调性可得 -2-4n≤2+32'解得-4≤a≤-2 2a<0 故选：A 8.【答案】D 【分析】代入具体值即可判断选项A,B;对于C选项字母的代入需要进行拆分化解，得到其周 期性；对于D选项在一个周期的范围内分析出其值域即可 【详解】对于A,f(-1.1)=-1.1-[-1.1]=-1.1-（-2)=0.9,故A错误： 对好B,号)=吉-[]=专-0=专，-)=-号-[]=-3+1=号 即f(号）≠f-),故B错误； 对圩C,f(x+1)=w+1-[x+1]=x+1-[x]-1=D-[x]=f(x),故C错误； 对于D,由C知，f(x)为周期函数，且周期为1，不妨设0≤c≤1， 当x=0时，f(0)=0-[0]=0, 当0<x<1时，f(x)=c-[x]=x-0=c,此时值域为(0,1)， 当x=1时，f(c)=1-[1]=1-1=0, 故当0≤c≤1时，有0≤f(x)<1,故函数f(x)的值域为[0,1)，故D正确 故选：D. 9.【答案】ACD 【分析】根据a,b,c∈R,且a<b<0,利用作差法比较大小结合不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A,因为a<b<0,所以a2+c-(b+c)=a2-b=(a+b)(a-b)>0,故a2+c> b+c,故A正确； 对于B,因为a<b<0,所以a2>b,当c=0时，a2c=bc,故B错误； 对于C,因为a<b<0,所以a+c2-(b+c)=a-b<0,故a+c2<b+c2,故C正确； 对于D,因为a<b<0,所以ac2-b-(bc2-a)=(a-b)(c2+1)<0,故ac2-b<bc2-a,故 D正确， 故选：ACD. 10.【答案】ACD ·6 【分析】对A,利用配凑法求解；对BC,利用一元二次不等式解集的特征求解：对D,问题转 化为存在x∈2，，使得。≤？+±=x+去-2，利用函数单调性求出最值得解 m 【详解】对于A,由f(x+1)=x2+2=(x+1)2-2(x+1)+3,所以f(x)=x2-2x+3,故A正 确； 对于B,不等式f(x)≥aw-1对任意x∈R恒成立，即x2-(2+a)c+4≥0恒成立， 所以△=(2+a)2-16≤0，得-6≤a≤2，故B错误； 对于C,不等式f(x)<ax-1的解集为空集，即x2-(2+a)x+4<0解集为空集， 所以△=(2+a)2-16≤0，得-6≤a≤2，故C正确： 对于D,若存在c∈[2,41使得不等式f(x)≥ac-1成立，即x2-(2+a)x+4≥0， 等价于存在[2,4]，使得a≤-2+4=0+±-2， 又易知y=+生-2在[2，上单调递增，故+1-2≤4+-2=3， 所以a≤3，故D正确 故选：ACD. 11.【答案】ABC x≤1 【分析】根据给定条件，求得f(x)={x2-3x+3,1<x<3,再画出函数f(x)的图像，结合图 6-c, c≥3 象求出n一m的范围即可判断得解 【详解】由x2-3x+3<-x-3+3,解得1<x<3;由x2-3x+3≥-x-3+3,得x≤1或 x≥3， [3-x-3,c≤1或x≥3 则函数f(x)= 的图象（实线部分）如图，其中A(1,1),B(3,3), x2-3x+3,1<c<3 v=f(x) 0 当1<<3时，由-30+3=星，得=昌；由-3+3=子 ,得x= 2, 当≤1或≥3，由3--3到=是.得=星或斗：由3-g--子，得8-平 图感中点c是).D(号号)，（停.(）.G(斗) 观察图知，当子≤m≤号n=号或m=子m=头时，函数到在m,m上的值域为 4 [2] 当呈≤m≤号n=号时，1≤n-m≤子，当m=平n=2头时，n-m=1 因比m-m的取值范围是[1，子]，选项ABC满足题意，D不满足题意 ·7 故选：ABC 12【答案】号 【详解】由偶函数的定义知-2b-1+2-b=03b=分，则f)=-c0sx+号，定义域为 [33] 此时f-）=-P-os(-+号=2-cosx+号=，满足题i设，所以6=号 13.【答案】10 【分析】利用完全平方公式和立方和公式求解即可 【详解】由完全平方公式得x+x1=(x+x)P-2=9-2=7, 由立方和公式得x2+x-2=(x+x-1)2-2=47, 则+02+3=7+3=10. c+x1-5 7-2 故答案为：10 14.【答案】16W2-8 【分析】灵活运用“1”结合两次基本不等式计算即可 【详解1由已知4e2--a6$6+62+2品=a(驰+号+2+ bc a+1 bc a+1 b a+1 ≥8a+16=8a+1+161-8≥162-8 a+1 a+1 当且仅当36=c=},Q=2-1时取得等号 故答案为：16W2-8. 15.【答案】(1)(CRA)∩C={6,7,8,9} (2)m≤3 【分析】(1)根据条件，求出集合A,再利用集合的运算，即可求解； (2)根据条件得B二A,再利用集合间的关系，分m<2和m≥2两种情况讨论，即可求解 【详解】(1)由-x2+3c+10≥0，即x2-3c-10≤0，解得-2≤x≤5 则A={-2≤x≤5}，所以CRA={xx<-2或x>5},又C={cl3≤x<10,x∈Z}, 所以(CA)∩C={xl5<x<10,x∈Z={6,7,8,9}. (2)由(1)知A={x-2≤x≤5}，又Vx∈(AUB),都有x∈A”是真命题， 则B∈A,又B={xm+1≤c≤2m-1}, 当m+1>2m-1,即m<2时，B=0,满足题意， 当m+15n-1,m≥2时，则解得-3≤m≤8，所拟以25m3 综上，实数m的取值范围为m≤3. 16.【答案】(1){x-1<x<2} (2)t=-2或3. 【分析】(1)根据一元二次不等式的解与二次方程的根之间的关系，可得韦达定理b=2a,c -8a,a<0,即可将不等式2bx2-4ac+c>0变形为2-x-2<0求解； (2)先由对称轴结合最值得出t>1或t<0,进而分类讨论这两种情况，结合二次函数的单调性 得出实数t的值， 【详解】(1)由于f(x)<0的解集为{xx<-4或x>2},故c=-4和x=2是一元二次方程ax .8 -4+2=-b a +bc十c=0的两个根，故 -4×2=8,解得6=2a,c=-8a,a<0, a<0 故2bx2-4ax+c>0变形为4ax2-4ax-8a>0→x2-x-2<0→(c-2)(x+1)<0, 解得-1<x<2, 故不等式的解为{x-1<c<2} (2)当b=-2a=-2,c=3时，fc)=x2-2c十3=(c-1)2+2,则对称轴方程为c=1,由于 f(1)=2≠6，故t>1或t+1<1,即t>1或t<0, 当t>1时，最小值ft)=(t-1)2+2=6,解得t=3, 当t<0时，最小值f(t+1)=t2+2=6,解得t=-2, 综上：t=-2或3. -10x2+600x-10000<x<40 17.【答案】(1)W(x)= -(e+1000)+8450,0≥40 (2)当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元 【分析】(1)利用收入减去另投入成本和固定成本即可得利润函数： (2)利用分段函数思想来求每一段函数的最大值，然后再判断此函数的最大值即可 【详解】(1)当0<x<40时，W(x)=700x-(10x2+100x+750)-250=-10x2+600x-1000, 当x≥40时，1W()=700c-(701z+10000-8700)-250=-（c+10000)+8450, -102+600x-1000,0<c<40 所以W(x) -(x+1000）+8450,x≥40 (2)当0<x<40时，W(x)=-10x2+600x-1000=-10(x-30)2+8000, 当x=30时，W(x)max=8000万元， 当x≥40时，IW✉=-(c+1000)+8450≤8450-2,000 =8250,当且仅当x= x 10000,即x=100时等号成立，W(x)max=8250万元 即当2025年年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8250万元. 18.【答案】(1)a=0 (2)单调递减，证明见解析 (31或号 【分析】(1)根据f(0)=0求出a的值，再代入检验即可： (2)由(1)可得f(x)= 。中1，再根据单调性的定义证明即可： (3)结合(2)得f(x)在(-0，-1)和(1，+∞)单调递减，在(-1,1)单调递增，显然m>0,再分 m>1、0<m≤1两种情况讨论，分别求出函数的最值，从而得到方程，解得即可. 【详解】(1)因f(x)是R上的奇函数，故f(0)=a=0, 当a=0时，f)=平-=+ =x十1=一f(x),满足题意 综上知，a=0. 2由1知✉-云+1，则@)在1.+四上单调递减 ·9 下面用定义证明： 任取x1,x2∈(1，十∞)且1<x2, 则f)-f）=1- x7+1x3+1 -1+1-xi-四2=1(r-)+(r1-）=（r2-(r1-1 (i+1)(c3+1) (ci+1)(x3+1) (xi+1)(c3+1) 因为1<c1<D2,故m-1>0,x1c2-1>0,所以f(）-f(x2)>0,即f(c)>f(2), 所以f(x)在(1，+∞)上单调递减 (3)由于f(x)是R上的奇函数，结合(2)得f(x)在(-∞，-1)和(1，+∞)单调递减，在(-1,1)单 调递增， 显然m>0, 当m>1时，f(x)在[-m,-1]和[1，m]上单调递减，在(-1,1)上单调递增， f(a)ww-f(1)-j.f(a)wn-f(-1)--j. 于是有十}-1，解得m-1,舍去： 当0<m≤1时，f(o)在[-m,m]单调递增，f(e)mx=f(m)=m 2+1 f()ma=f(-m)=-fm),于是有2m=2nt,整理得2m2-m2-2m+1=0, m2+1m+2 即(m+1)m-1)(2m-1)=0,解得m=1或m=号或m=-1(舍去). 2 综上，实数m的值为1或号 19.【答案】(1)[1,10]； (23,+∞月 (3)[3-2√2，-1+22]. 【分析】(1)先由t=0得f(x)=(x-1)+1,接着根据函数在[0,4上的单调性求出函数的最值 即可得解 〔2先由f〔e)≤0在ee(0,1)上有解得2Xt+1)≥(e+2）2e(0.,1,接着根据函数g)- x+2,x∈(0,1)的单调性研究其最值情兄得2t+1)>3,从而得解 m (3)先由任意的c1,x2∈[0,41都有f(c1)-f(c2)川≤8得对任意c∈[0,4]有f(x)max-f(c)min≤ 8,接着分类讨论研究函数f(x)在闭区间[0,4的最值即可依据f(x)ma-f(x)mm≤8计算求解 实数t的取值范围. 【详解】(1)若t=0,则f(x)=2-2(t+1)x+2=x2-2x+2=(x-1)P+1, 所以函数f(x)在[-2，-1]，[0,1]上单调递减，在(1,4]上单调递增 又f(0)=2,f(4)=10,f(1)=1,斤以f(x)mi血=1，f(x)max=10, 所以函数f(x)在区间[0,41上的值域为[1,10]. (2)因为x∈(0,1)时，f(x)≤0有解，即x2-2(t+1)x+2≤0在x∈(0,1)上有解， 所以2t+1)≥+2=2+2在∈(0,1)上有解，所以2t+1)≥(x+2),x∈(0,1)， /min 令9)=+2e0,,任取0<<<1， ·10 则ga-g时=+号-+2}=-+号号》 1 =1一D2+ 2-1=(1-1-2）》 12 因为0<4<<1，所以4-<0,2>1，所以1-2<0， 所以g-g=鱼-1-)≥0，即g>9, 所以函数g(x)在(0,1)上单调递减，所以g(x)>g(1)=3, 所以2t+1)>3,解得t>1 2 所以实数t的取值范围为（号，+∞】 (3)因为对任意的x1,x2∈[0,4，都有f(c)-f(x)≤8， 所以对任意x∈[0,4]，有f(c)max一f(x)min≤8， 因为f(x)=x2-2(t+1)x+2=[x-(t+1)]2+2-(t+1)2, 所以函数f(x)在(-∞，t+1)上单调递减，在(t+1,+∞)上单调递增， 则当t+1≤0即t≤-1时，函数f(x)在[0,4上单调递增 所以f(x)mx-f(x)min=f(4)-f(0)=8-8t≤8，解得t≥0，不符； 当t+1≥4即t≥3时，函数f(x)在[0,41上单调递减， 所以f(x)max-f(x)min=f(0)-f(4)=8t-8≤8，解得t≤2，不符； 当0<t+1≤2即-1<t≤1时，函数f(x)在[0，t+1]上单调递减，在(t+1,4]上单调递增 又4-(t+1)川≥0-(t+1)川， 所以f(x)ma-f(x)min=f(4)-f(t+1)=t-6t+9≤8，解得3-2W2≤t≤3+2W2 又-1<t≤1，所以3-2W2≤t≤1； 当2<t+1<4即1<t<3时，函数f(x)在[0，t+1]上单调递减，在(t+1,4]上单调递增，又 |4-(t+1)川<0-(t+1)儿， 所以f(x)max-f(x)min=f(0)-f(t+1)=(t+1)2≤8，解得-1-2W2≤t≤-1+2W2, 又1<t<3,所以1<t≤-1+2W2; 综上，实数t的取值范围为[3-22，-1+2W2] 【点睛】关键点睛：“对任意的m1,x2∈[0,4都有f(x)-f(x2)引≤8，求实数t的取值范围” 问题的关键是将问题等价转化为“对任意x∈[0,4]有f(c)max-一f(x)mn≤8，求实数t的取值范 围”，再分类讨论研究一元二次函数f(x)在闭区间[0,4]的最值即可依据f(x)max一f(x)min≤8 计算求解实数t的取值范围. ·11