精品解析：江西南昌市第五高级中学2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷

南昌五中2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集概念求出答案, 【详解】，， 故选：A 2. 已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数的定义逐一分析判断即可． 【详解】对于①，，当时，，故①不满足题意； 对于②，，当时，，故②不满足题意； 对于③，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故③满足题意； 对于④，，当时，，当时，， 当时，，当时，，故④满足题意． 故选：C 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据解析式求定义域，奇偶性定义判断的奇偶性，结合时函数的符号，应用排除法即可得答案. 【详解】由解析式知，函数定义域为，且， 所以为偶函数，排除A、C， 当，有，故，排除B. 故选：D 4. 若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】解：因为， 所以，即， 显然， 所以，所以，且， 所以是与互补的充分条件； 当与互补时，则有，且， 所以，中至少有一个数为0， 所以，， 所以， 所以是与互补的必要条件； 所以是与互补的充要条件. 故选：C. 5. 已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知，函数在上为减函数，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是． 故选：D. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 7. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】分析与关系可以得出即可算出答案. 【详解】由. 又. 原式. 8. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 若，则的取值范围为 【答案】D 【解析】 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；令可得奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中，令得，因此， 再令得，则，故A错误； 对于B，令得，所以， 又定义域关于原点对称，故是偶函数，故B错误； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C错误； 对于D，是偶函数，则等价于， 又在上是增函数，所以，解得且， 即的取值范围为，故D正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若对，都有，则的最大值为． B. 若，则 C. 函数为增函数． D. 函数为偶函数． 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，利用最值的定义即可判断，对于B利用作差法即可判断，对于C取特殊值即可判断，对于D利用偶函数的定义即可判断. 【详解】对于A，对，都有，存在，使得，则的最大值为，故A错误； 对于B，由，又，所以， 所以，即，故B错误； 对于C，因为，又，所以， 所以函数不是增函数，故C错误； 对于D，由的定义域为，对，所以， 对，所以， 所以， 所以为偶函数，故D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数的递增区间为 B. 若，则函数的值域为 C. 若的值域为，则的取值范围为 D. 若的定义域为，则的取值范围为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，利用复合函数单调性即可判断，对于B由即可判断，对于C令，则，根据的情况，分类讨论即可判断，对于D，由对恒成立，根据的情况，分类讨论即可判断. 【详解】对于A，若，，令， 由得或， 则函数的定义域为， 在单调递增，且在单调递增， 所以函数的递增区间为，故A错误； 对于B，由，所以， 所以函数的值域为，故B正确； 对于C，若的值域为，令，则， 当时，，解得，满足题意， 当时，，所以， 当时，不满足题意，所以，故C正确； 对于D，若的定义域为，则对恒成立， 当时，，不满足题意， 当时，，所以，故D错误. 11. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，根据不等式的解集结构即可判断；对于B，由解集得到，，从而化为，求出解集； C选项，先确定，进而求出或时，，进而可求解；D选项，先求出，从而根据不等式有解得到，求出答案， 【详解】因的解集是，所以，A错误； －2，3是关于x的方程的两个根，且， 于是得，，即， 不等式化为：，解得，B正确； 当时，因为，所以， 则，， 依题意，，由得，或， 因在上的最小值为， 从而得，或，， 两种情况均有，C正确． ，令，由对勾函数得在上单调递增， 即有，因有解，则， 解得或，D不正确； 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数的性质进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 因此，又因为， 所以函数的值域为. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解方程，得或， 当时，方程为，成立， 当时，，舍去； 综上，. 14. 已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先得到，的解析式，由的单调性得恒成立，结合基本不等式得到答案 【详解】由题意得，， 由①， 得，即②， 联立①②得，， 显然为上单调递增函数，且， 由得，故，即恒成立， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立， 故只需，所以的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）存在，4. 【解析】 【分析】利用对数运算法则进行计算，求出答案． 【详解】（1）解法一： 原式． 解法二：原式． （2）由题意，， 所以． ， 当且仅当（即）时取等号． 综上，存在正数，满足条件，且的最小值为4． 16. （1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 【答案】（1）当时，解集为{或}；当时，解集为{且}；当时，解集为{或}． （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）根据题意，将二次函数因式分解，分类讨论的取值范围即可求解； （2）根据题意，将不等式转化为，分类讨论的取值范围即可求解. 【详解】（1）由题：，二次函数开口向上，方程的根为，， 当时，开口向上，不等式的解集为：{或}； 当时，不等式变为，解集为：{且}； 当时，开口向上，不等式的解集为{或}； 综上所述，当时，解集为{或}； 当时，解集为{且}； 当时，解集为{或}． （2）由题：，即， 当时（即），； 当时（即），； 当时（即），； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：． 【答案】（1）为偶函数，理由如下： 由解析式知，，可得，故函数定义域为，定义域关于原点对称， 又 ， 则为偶函数； （2）证明：由（1）知，为偶函数，只需证明上， 此时，故，又， 所以在上恒成立， 结合偶函数对称性可知，在定义域上恒成立，得证． 【解析】 【分析】（1）利用奇偶性定义判断，的关系及定义域是否关于原点对称； （2）根据偶函数的对称性，只需上，利用指数函数、幂函数性质判断函数值符号，即可证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略. 18. 已知函数，且． （1）若函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，令，分、两种情况讨论，根据复合函数的单调性结合二次函数的单调性可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围； （2）令，因为，则，利用基本不等式求出函数的值域，分析可知函数在上的值域是的子集，即，然后对实数的取值进行分类讨论，结合二次函数的单调性以及可得出关于的不等式（组），综合可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 令，则， 令，则二次函数的图象开口向上，对称轴方程为． ①当时，在上单调递减，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递减，则， 即，该不等式组无解； ②当时，在上单调递增，故． 要使单调递增，需二次函数在上单调递增，则， 即，解得. 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 当时，，令，因为，则， 则， 当且仅当时，即时取等号，此时，即， 故的最小值为，即函数的值域为． 若对，都，使得， 需满足函数在上的值域是的子集，即． ①当时，，对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ②当时，，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取最小值，即， 令，解得，此时； ③当时，因为，故，不符合题意． 综上，的取值范围为． 19. 对于定义在区间上的函数，定义：，． （1）已知，，，，试写出、、的表达式； （2）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用函数的单调性即可求解； （2）根据题意，结合在上的单调性和值域，分、、三种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 根据定义：，， ①，在区间上单调递减， 其最大值为，故，， ②，是单调递增函数， 因此在区间上的最大值为，故，， ③，是开口向上的二次函数， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增． 当时，在上单调递减，最小值为； 当时，在上的最小值为； 故． 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减， 则 ，， 由题意，对于任意的 恒成立， 即对于任意的恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，恒成立，符合题意； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，， 由题意，当 时，，即，恒成立，符合题意； 当时，，即，不恒成立，不符合题意； 当 时，，即，不恒成立，不符合题意； 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌五中2025-2026学年第一学期期中考试高一数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，. 给出下列四个对应法则：①；②；③；④.请由函数定义判断，其中能构成从M到N的函数的是（    ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ②④ 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 若实数满足，且，则称与互补．记，那么是与互补的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知函数，满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知定义在上的函数，满足，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. D. 若，则的取值范围为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 若对，都有，则的最大值为． B. 若，则 C. 函数为增函数． D. 函数为偶函数． 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则函数的递增区间为 B. 若，则函数的值域为 C. 若的值域为，则的取值范围为 D. 若的定义域为，则的取值范围为 11. 已知不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集是 C. 当时，，上的值域为，则的取值范围是 D. 若关于的不等式有解，则实数的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的值域为______． 13. 已知，则______． 14. 已知，分别是上偶函数和奇函数，且满足，若恒成立，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算； （2）是否存在这样的正数，，使得？若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由． 16. （1）求关于的不等式的解集，其中为常数． （2）求关于的不等式的解集，其中为常数． 17. 已知函数． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求证：． 18. 已知函数，且． （1）若函数在上单调递增，求的取值范围； （2）若，函数，，若对，都，使得，求的取值范围． 19. 对于定义在区间上的函数，定义：，． （1）已知，，，，试写出、、的表达式； （2）若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上的“阶收缩函数”，已知，函数是上的“阶收缩函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $