专题01一元二次方程的概念、解法 同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程的概念与解法，系统梳理定义、一般形式及根的意义，详解直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种核心解法，构建“概念辨析—方法推导—灵活应用”的学习支架，为后续方程应用与二次函数学习奠定基础。 资料以16类题型覆盖知识要点，知识清单含关键要点与易错提醒，题型精讲结合实例培养抽象能力与运算能力。通过解法择优与参数问题提升推理意识，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，夯实基础。

专题01一元二次方程的概念、解法同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念板块：依托实际问题抽象方程模型，掌握一元二次方程的定义、一般形式与特殊形式，理解方程根的意义，能准确完成方程辨析与判定。 2.解法板块：系统学习直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种核心解法，掌握各方法的原理、步骤与适用范围，形成规范的解方程思路。 3.培优应用：结合含参数方程辨析、根的代入求值、解法择优、易错点突破，夯实教材基础，提升解题规范性与综合应用能力。 ✅本章以一元二次方程概念为基础，以四种解法为核心，遵循“定义辨析—方法推导—灵活应用”的学习逻辑。四种解法各有优劣、互为补充，可根据方程结构择优使用。本章知识是初中代数的重要内容，也是后续学习方程应用、二次函数的核心铺垫。 ✺学习目标 1.掌握一元二次方程的定义、一般形式，识别各项系数。 2.理解方程根的意义，会简单代入求值。 3.熟练运用四种解法解基础一元二次方程。 4.会判定含参数一元二次方程，求参数范围。 5.理解配方法，能用其变形代数式。 6.利用根的性质，解决含参数综合问题。 ✺题型归纳 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.判断是否是一元二次方程的解 题型4.由一元二次方程的定义求参数 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.解一元二次方程——直接开平方法 题型7.解一元二次方程——配方法 题型8.配方法的应用 题型9.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型10.根据一元二次方程根的情况求参数 题型11.公式法解一元二次方程 题型12.因式分解法解一元二次方程 题型13.换元法解一元二次方程 题型14.解分式方程（化为一元二次） 题型15.一元二次方程的根与系数的关系 题型16.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 核心判定三要素（缺一不可）：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。 2.一般形式：一元二次方程的一般形式为：。 其中：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 关键要点：是一元二次方程的必要条件，若，方程为一元一次方程；可为任意实数。 3.特殊形式：在一般形式的基础上，教材包含三类常见特殊形式： ① （不含常数项）； ② （不含一次项）； ③ （不含一次项与常数项）。 4.一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也称为根。 实数范围内，一元二次方程至多有两个实数根。 【重要性质】若是方程的根，则，可直接用于代入计算与参数求解。 知识点二、一元二次方程的四种解法 ▲一元二次方程的四种解法遵循由特殊到一般、由简便到通用的编排逻辑，覆盖一元二次方程全部实数求解场景。 1.直接开平方法 适用条件：一般地，对于方程的形式。 根的情况：时，方程有两个不相等实数根=﹣,=；当，方程有两个相等实数根==0；时，因为对任意实数x,都有≥0，所以方程无实数根。 2.配方法 适用条件：适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的理论基础，也是代数式变形、求最值的常用方法。 标准步骤：①二次项系数化为1；②移项，将常数项移至等式右侧；③两边加一次项系数一半的平方；④整理为完全平方形式；⑤开平方求解。 3.公式法 公式来源：由配方法推导得出，当时，方程实数根为：。 根的判别式：，判定实数根个数：①，两个不相等实数根；②，两个相等实数根；③，无实数根。 解题步骤：化为一般形式，确定公式中的值；计算判别式判定根的情况；有实数根时代入公式求解。 4.因式分解法 核心原理：若，则或，将二次方程降次为一元一次方程求解。 适用条件：方程移项归零后，左侧可因式分解，包含提公因式、平方差、完全平方、基础十字相乘四类必考形式。 解题步骤：移项使方程右边为零；因式分解；拆分为一次方程；分别求解。 知识点三、四种解法选用原则 1.含完全平方结构的方程，优先使用直接开平方法； 2.可快速因式分解的方程，优先使用因式分解法，解题效率最高； 3.结构复杂、无法简便求解的方程，统一使用公式法； 4.题目指定配方、代数式最值变形题型，必须使用配方法。 知识点四、一元二次方程的根与系数的关系 对于一元二次方程（a≠0），当≥0时，方程有两个实数根,, 则有：=﹣,= 【易错提醒】 1.判断一元二次方程时忽视a≠0，含参数方程未限定二次项系数； 2.未化为一般形式就确定系数，易出现符号错误； 3.配方法未先将二次项系数化为 1，或只在等式一侧添加常数； 4.因式分解法未移项使右侧为 0，直接分解易造成漏根； 5.公式法代入a,b,c 发生符号错误，判别式计算失误。 ✺题型精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的一次项系数是_________． 3．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．一元二次方程化为一般式后，a，b，c的值分别为________． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)． 题型3.判断是否是一元二次方程的解 1．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 2．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程： 的解是_______． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 3．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 题型4.由一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 3．已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 2．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 题型6.解一元二次方程——直接开平方法 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的解为___________． 3．解方程：． 题型7.解一元二次方程——配方法 1．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 3．解方程 (1)； (2)． 题型8.配方法的应用 1．通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 2．把方程转化为的形式，则_____． 3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 题型9.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 2．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 题型10.根据一元二次方程根的情况求参数 1．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 3．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 题型11.公式法解一元二次方程 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．定义运算：．例如：，则方程的根______． 3．用公式法解方程   题型12.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．一元二次方程的根是__________________． 3．数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”   请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． (1)我们在解方程时用到的数学思想方法是（  ）． A．数形结合的思想         B．整体的思想      C．分类讨论的思想        D．特殊到一般的思想 (2)解方程：． 题型13.换元法解一元二次方程 1．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 2．若，则的值为___________． 3．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 题型14.解分式方程（化为一元二次） 1．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 2．方程的根是______． 3．解方程： 题型15.一元二次方程的根与系数的关系 1．若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 2．已知，是方程的两个根，则___________． 3．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． ✺课堂小练 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 2．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 4．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 5．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 二、填空题 6．方程的解是______________． 7．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 三、解答题 9．解方程： (1)（配方法） (2)． 10．解方程： (1) (2) 11．已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 12． 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01一元二次方程的概念、解法同步培优讲义 ✺知识框架 1.概念板块：依托实际问题抽象方程模型，掌握一元二次方程的定义、一般形式与特殊形式，理解方程根的意义，能准确完成方程辨析与判定。 2.解法板块：系统学习直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四种核心解法，掌握各方法的原理、步骤与适用范围，形成规范的解方程思路。 3.培优应用：结合含参数方程辨析、根的代入求值、解法择优、易错点突破，夯实教材基础，提升解题规范性与综合应用能力。 ✅本章以一元二次方程概念为基础，以四种解法为核心，遵循“定义辨析—方法推导—灵活应用”的学习逻辑。四种解法各有优劣、互为补充，可根据方程结构择优使用。本章知识是初中代数的重要内容，也是后续学习方程应用、二次函数的核心铺垫。 ✺学习目标 1.掌握一元二次方程的定义、一般形式，识别各项系数。 2.理解方程根的意义，会简单代入求值。 3.熟练运用四种解法解基础一元二次方程。 4.会判定含参数一元二次方程，求参数范围。 5.理解配方法，能用其变形代数式。 6.利用根的性质，解决含参数综合问题。 ✺题型归纳 题型1.一元二次方程的定义 题型2.化成一元二次方程的一般式 题型3.判断是否是一元二次方程的解 题型4.由一元二次方程的定义求参数 题型5.由一元二次方程的解求参数 题型6.解一元二次方程——直接开平方法 题型7.解一元二次方程——配方法 题型8.配方法的应用 题型9.根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型10.根据一元二次方程根的情况求参数 题型11.公式法解一元二次方程 题型12.因式分解法解一元二次方程 题型13.换元法解一元二次方程 题型14.解分式方程（化为一元二次） 题型15.一元二次方程的根与系数的关系 题型16.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、一元二次方程的概念 1.定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程。 核心判定三要素（缺一不可）：①整式方程；②只含一个未知数；③未知数最高次数为2。 2.一般形式：一元二次方程的一般形式为：。 其中：为二次项，为二次项系数；为一次项，为一次项系数；为常数项。 关键要点：是一元二次方程的必要条件，若，方程为一元一次方程；可为任意实数。 3.特殊形式：在一般形式的基础上，教材包含三类常见特殊形式： ① （不含常数项）； ② （不含一次项）； ③ （不含一次项与常数项）。 4.一元二次方程的根：能够使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也称为根。 实数范围内，一元二次方程至多有两个实数根。 【重要性质】若是方程的根，则，可直接用于代入计算与参数求解。 知识点二、一元二次方程的四种解法 ▲一元二次方程的四种解法遵循由特殊到一般、由简便到通用的编排逻辑，覆盖一元二次方程全部实数求解场景。 1.直接开平方法 适用条件：一般地，对于方程的形式。 根的情况：时，方程有两个不相等实数根=﹣,=；当，方程有两个相等实数根==0；时，因为对任意实数x,都有≥0，所以方程无实数根。 2.配方法 适用条件：适用于所有一元二次方程，是推导求根公式的理论基础，也是代数式变形、求最值的常用方法。 标准步骤：①二次项系数化为1；②移项，将常数项移至等式右侧；③两边加一次项系数一半的平方；④整理为完全平方形式；⑤开平方求解。 3.公式法 公式来源：由配方法推导得出，当时，方程实数根为：。 根的判别式：，判定实数根个数：①，两个不相等实数根；②，两个相等实数根；③，无实数根。 解题步骤：化为一般形式，确定公式中的值；计算判别式判定根的情况；有实数根时代入公式求解。 4.因式分解法 核心原理：若，则或，将二次方程降次为一元一次方程求解。 适用条件：方程移项归零后，左侧可因式分解，包含提公因式、平方差、完全平方、基础十字相乘四类必考形式。 解题步骤：移项使方程右边为零；因式分解；拆分为一次方程；分别求解。 知识点三、四种解法选用原则 1.含完全平方结构的方程，优先使用直接开平方法； 2.可快速因式分解的方程，优先使用因式分解法，解题效率最高； 3.结构复杂、无法简便求解的方程，统一使用公式法； 4.题目指定配方、代数式最值变形题型，必须使用配方法。 知识点四、一元二次方程的根与系数的关系 对于一元二次方程（a≠0），当≥0时，方程有两个实数根,, 则有：=﹣,= 【易错提醒】 1.判断一元二次方程时忽视a≠0，含参数方程未限定二次项系数； 2.未化为一般形式就确定系数，易出现符号错误； 3.配方法未先将二次项系数化为 1，或只在等式一侧添加常数； 4.因式分解法未移项使右侧为 0，直接分解易造成漏根； 5.公式法代入a,b,c 发生符号错误，判别式计算失误。 ✺题型精讲 题型1.一元二次方程的定义 1．下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 2．一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 3．已知关于x的方程．当m为何值时，这个方程是一元二次方程？ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，正确理解概念是解题的关键． 根据一元二次方程的定义可知要保证二次项系数不为，从而求出答案. 【详解】解：根据一元二次方程的定义可知，，解得． 故当时，这个方程是一元二次方程． 故答案为：． 题型2.化成一元二次方程的一般式 1．把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 2．一元二次方程化为一般式后，a，b，c的值分别为________． 【答案】2，， 【分析】将原方程整理为一元二次方程的一般形式，即可确定出，，的值． 【详解】解：， 整理得： ∴，，． 3．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项． (1)； (2)． 【答案】(1)．二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为 (2)．二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1 【详解】（1）解：，     移项得：； 二次项系数为4，一次项系数为0，常数项为； （2）解：， ， 整理得：； 二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1． 题型3.判断是否是一元二次方程的解 1．若关于x的一元二次方程，系数a，b，c满足，，则一元二次方程的根为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据，，得到当时，满足一元二次方程，即可得出结果. 【详解】解：∵系数a，b，c满足，， ∴当时，使一元二次方程成立， 即方程的解为，. 2．列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解，如下表，根据表格可知方程： 的解是_______． 0 1 2 3 … 6 2 0 0 2 6 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，解题的关键是正确理解方程的解是使方程左右两边相等的x的值；先把一元二次方程变形，进而即可得到答案； 【详解】解：， 变形可得：， 根据表格可知∶当或时，， ∴的解为， 即的解是； 故答案为：． 3．阅读下题的解答过程，请判断是否有错，若有错误请你写出正确的解答． 已知：是关于的方程的一个根，求的值． 解：把代入原方程，化简得，两边同除以，得， ，把代入原方程检验可知：符合题意． 答：的值是． 【答案】 解：有错，不能直接约去，也有可能，因为当时，是不能作分母的． 正确的解答为：正确的解答为：把代入原方程，化简得， ． 将的三个值代入方程检验，均符合题意，故的值是． 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是注意当时的特殊情况，不能直接在等式两边除以． 将代入方程，得到关于的方程，然后通过因式分解求解，同时要考虑的情况． 【详解】略 题型4.由一元二次方程的定义求参数 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】一元二次方程需满足两个条件，x的最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴． 2．已知关于x的方程是一元二次方程，则的值为_____________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为且二次项系数不为，列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵原方程是关于的一元二次方程， ∴ 且， 解第一个等式，得或， 解不等式，得， ∴． 3．已知关于的方程是一元二次方程，求此一元二次方程． 【答案】，该方程为 【分析】根据一元二次方程的定义可知，且，求出的值代入即可求得该方程． 【详解】解：是一元二次方程， 且． 解得． 此一元二次方程为． 【点睛】要注意二次项系数不能为0． 题型5.由一元二次方程的解求参数 1．若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 2．若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 3．阅读理解题：小聪是个非常热爱学习的学生，老师在黑板上写了一题：若方程与有相同根，试求k的值及相同根．思考片刻后，小聪解答如下： 解：设相同根为m，根据题意，得 ①－②，得③ 显然，当时，两个方程相同，即两个方程有两个相同根和7； 当时，由③得，代入②式，得，此时两个方程有一相同根． 当时，有一相同根；当时，有两个相同根是和7 聪明的同学，请你仔细阅读上面的解题过程，解答问题：已知k为非负实数，当k取什么值时，关于x的方程与有相同的实根． 【答案】 【分析】两个方程有一个相同的实数根，则设相同的实数根为a，代入到两方程进行解答，可求出k的值．求出k值后要验证两方程是否有相同的实数根． 【详解】解：设相同实根是a， 则，， 相减得， 若，则两个方程都是，有两个共同的根0和． 若，则，即相同实根是，代入方程，得，， ∵k为非负实数， ∴不符合k为非负实数的条件，舍去， 综上，时，关于x的方程与有相同的实根． 题型6.解一元二次方程——直接开平方法 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项方程整理为的形式，若，方程有两个不相等的实数根；若，方程有两个相等的实数根；若，方程无实数根；据此逐项判断即可． 【详解】解：A、，移项，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； B、，移项，得， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意； C、，系数化为，得， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意； D、， ∵， ∴此方程无实数根，故该选项不符合题意． 2．方程的解为___________． 【答案】， 【分析】运用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 3．解方程：． 【答案】 【分析】根据直接开方法解一元二次方程进行计算即可． 【详解】解：， ∴， 解得：． 题型7.解一元二次方程——配方法 1．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 2．用配方法解一元二次方程得，则b的值为________． 【答案】 【分析】将的两边分别平方整理后得到，然后比较求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 3．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据配方法解一元二次方程，即可求解． （2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 配方得， ， 即， ． （2）解：， ， 配方得， ， 即， ． 题型8.配方法的应用 1．通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 2．把方程转化为的形式，则_____． 【答案】 【分析】根据配方法解答即可． 本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：∵, 配方，得，即． 故． 故， 故答案为：． 3．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例：已知x可取任何实数，试求二次三项式的值的范围． 解： ∵无论x取何实数，总有， ． 即无论x取何实数，的值总是不小于的实数． 问题：已知x可取任何实数，求二次三项式的最值情况． 【答案】无论取何实数，二次三项式有最大值23 【分析】将配方成，然后结合平方的非负性求解即可． 【详解】解： ， 无论取何实数，总有， ， ． ∴无论取何实数，二次三项式有最大值23． 题型9.根据判别式判断一元二次方程根的情况 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】将原方程展开成一般形式，计算根的判别式，根据计算结果即可解答． 【详解】解：原方程整理，得， ， 原方程有两个不相等的实数根． 2．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 3．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该一元二次方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为，求的值及方程的另一个根． 【答案】(1) 解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数满足 ，即 ， 且， 化简得， ∵， ∴， ∴该一元二次方程总有两个实数根； (2) ，方程的另一个根为 【分析】（1）首先明确一元二次方程的前提是二次项系数不为0，因为方程是一元二次方程，所以先确定k的取值限制，再计算根的判别式，根据判别式的符号判断根的情况； （2）如果已知方程的一个根，那么把该根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解得到的值；再将代回原方程，可通过因式分解计算另一个根． 【详解】（1）见答案 （2）将已知根 代入原方程：， 化简得：， 解得 ， 将 代入原方程整理得： ， 解得，， ∴方程的另一个根为． 题型10.根据一元二次方程根的情况求参数 1．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根的判别式建立关于的不等式，求解后验证选项即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， ∴选项：，满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意， 选项：，不满足题意． 2．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值为____________． 【答案】 【分析】已知一元二次方程有两个相等的实数根，利用根的判别式等于0建立关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式． 这里，，， 将系数代入得， 整理得． 解得． 3．已知关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根．求证：是非负数． 【答案】证明：关于的一元二次方程（）有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴是非负数． 【分析】首先根据一元二次方程有两个相等的实数根得到，然后代入得，即可得出结论． 【详解】略 题型11.公式法解一元二次方程 1．用公式法解时，先求出、、的值，则、、依次为（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】将原方程整理为一般形式，找出对应的二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：原方程为， 移项整理为一般形式得， 可得二次项系数，一次项系数，常数项 2．定义运算：．例如：，则方程的根______． 【答案】， 【分析】本题主要考查了新定义和解一元二次方程，先根据新定义，把方程左边化成一般形式，然后根据公式法解方程即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 3．用公式法解方程   【答案】， 【分析】先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程． 【详解】解：， ∵，，， ∴， ， 题型12.因式分解法解一元二次方程 1．一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 2．一元二次方程的根是__________________． 【答案】 【分析】方程为两个一次因式乘积等于的形式，利用因式分解法可直接求解． 【详解】解：∵， ∴或， 分别求解得，． 3．数学思想方法是数学的灵魂，是形成数学能力、意识的桥梁．我国著名的数学家华罗庚曾讲过：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有铭记在头脑中的数学思想、研究方法等，能随时随地发挥作用，使人们受益终身．”   请同学们阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方法，并完成（1）、（2）问． 例题：解方程． 解：①当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ②当时，原方程可化为，解得：或（舍去）， ∴原方程的解是，． (1)我们在解方程时用到的数学思想方法是（  ）． A．数形结合的思想         B．整体的思想      C．分类讨论的思想        D．特殊到一般的思想 (2)解方程：． 【答案】(1)C (2)， 【详解】（1）解：观察题目例题的解答过程，发现分或两种情况， ∴在解方程时用到的数学思想方法是：分类讨论的思想． （2）解：①当，即时，原方程可化为： ，解得：（舍去），． ②当，即时，原方程可化为： ，解得：，（舍去）， ∴原方程的解是，． 题型13.换元法解一元二次方程 1．一元二次方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了换元法． 通过变量代换将原方程化为完全平方形式，再比较选项即可． 【详解】解：设，则原方程化为， ∴， ∴， 故原方程可化为． 故选：C． 2．若，则的值为___________． 【答案】5或 【分析】将看作整体，换元后转化为一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 展开整理得，即，因式分解得， 解得或， 因此的值为或． 3．阅读材料： 解方程：． 我们可以将视为一个整体，然后设， 则，原方程化为，解得：，． 当时，，则，解得； 当时，，则，解得， 原方程的解为，，，． 根据上面的解答过程，解决下面的问题： 解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，平方根的性质，掌握换元法是解题关键． 通过换元法将四次方程转化为一元二次方程，求解后代回，根据平方根性质进行取舍即可得到原方程的实数解． 【详解】解：令，则原方程化为：， 解得，， 当时，，则该方程无实数解； 当时，，解得，． 综上，该方程的解为：，． 题型14.解分式方程（化为一元二次） 1．解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 2．方程的根是______． 【答案】 【详解】解：方程两边同乘得， 整理得， 解得，， 经检验，使原方程分母为0，是增根，舍去，是原方程的根. 3．解方程： 【答案】 【详解】解： 方程两边同乘，得 展开并整理得 化简得 因式分解得 解得或 检验：当时，，当时， 因此原方程的解为． 题型15.一元二次方程的根与系数的关系 1．若方程的两根为，则的值为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系直接计算两根之积即可. 【详解】解：∵方程中，，， ∴由根与系数的关系得. 2．已知，是方程的两个根，则___________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之积即可． 【详解】解：对于方程，二次项系数为，常数项为， ∵，是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系，得． 3．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）略 ✺课堂小练 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况为（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先求一元二次方程的判别式，由判别式与0的大小关系来判断方程根的情况即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 方程没有实数根． 2．用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．若等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况进行讨论，即当腰长为，当底边长为，进而求解即可． 【详解】解：当腰长为时，将代入，得， 解得， 此时，原方程为，即， 解得，， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 当底边长为时，方程有两个相等的根， ∴， 解得， 此时，原方程为，即， 解得， 则三角形三边为，，， ∵， ∴符合题意； 综上，的值为或，故只有B符合． 4．已知是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（    ） A．3 B． C．3或1 D．或1 【答案】A 【分析】本题考查根与系数的关系以及根的判别式，由根与系数的关系结合，可得出关于m的分式方程，解之即可得出m的值，再根据根的判别式，即可得出m的值，此题得解． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， 解得：或， 经检验，或均为原分式方程的解． ∵是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．已知m，n是方程的两根，则代数式的值是（     ） A．57 B．58 C．59 D．60 【答案】B 【分析】解方程求出或，根据方程根的定义得出，，则整体代入可求出，然后把m、n的值分别代入求解即可. 【详解】解：解方程得，， ∵m，n是方程的两根， ∴或， ∵m，n是方程的两根， ∴， ∴， 同理可得：， ∴ ， 当时， 原式 ， 当时， 原式 ， 综上，代数式的值为58. 二、填空题 6．方程的解是______________． 【答案】， 【分析】方程左侧已经分解为两个一次因式的乘积，根据乘积为则至少一个因式为求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 解得，． 7．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 【答案】 【分析】根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 【详解】解：根据定义的运算规则，将转化为方程： ， 解得． 8．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】该方程为一元二次方程，有两个不相等的实数根，可得根的判别式大于0，据此列不等式求解即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵ 方程 有两个不相等的实数根， ∴ 根的判别式， ∵, , ， ∴， 计算得， ∴， 解得． 三、解答题 9．解方程： (1)（配方法） (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）把常数项移到等号的右边，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再两边同时开方即可求出方程的解； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方可得：， 两边同时开平方得：， 解得：， 方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 10．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： 或 ∴，； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 11．已知关于的方程． (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若2是该方程的一个根，求代数式的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根． (2)30 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根，据此可计算判别式进行求证； （2）将代入原方程，整理得到关于m的等式，计算化简后，整体代入求代数式的值． 【详解】（1）略 （2）解：将代入方程中， 得，即； ∴． 12． 已知关于x的方程．若，是方程的两根． (1)当时，求m的值； (2)直接写出代数式的最小值． 【答案】(1)； (2)0 【分析】（1）把代入方程，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入，即可求解． 【详解】（1）解：把代入方程，得， ． （2）解：将，整理得， ∵，是方程的两根， ，， ∴， 所以代数式的最小值为0． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $