2026-2027学年苏科版九年级数学上册第一次月考测试卷

**基本信息** 本试卷聚焦一元二次方程与反比例函数，通过草莓产量增长、纸盒设计等现实情境，结合函数图像综合、平移应用等问题，考查数学眼光观察、思维推理及语言表达能力，适配九年级月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|根的判别式、函数图像性质|第7题以体能测试合格率为背景，考查反比例函数实际意义| |填空题|6/18|韦达定理、函数图像面积|第16题结合直线平移与反比例函数交点，体现动态思维| |解答题|8/72|方程解法、函数综合应用|18题以丹东草莓产业为素材，24题综合函数平移与几何，梯度覆盖基础与创新应用|

2026-2027学年苏科版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第一章一元二次方程反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若反比例函数图像上任意一点P到两坐标轴的距离分别为，，则（     ） A． B．1 C．2 D．3 2．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3．观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 6．函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 8．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 12．将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 13．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 14．如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 15．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 16．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解方程： (1) (2) (3) (4) 18．（8分）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 20．（8分）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 21．（9分）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 22．（9分）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 23．（10分）阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年苏科版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第一章一元二次方程反比例函数 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若反比例函数图像上任意一点P到两坐标轴的距离分别为，，则（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设点的坐标为，则，不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为，则，，据此可得答案． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∵点到两坐标轴的距离分别为，， ∴不妨设点到y轴的距离为，到x轴的距离为， ∴，， ∴． 2．某商品经过连续两次降价，售价由原来的每件25元降到每件16元，求平均每次降价的百分率．设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以原价25元为初始基数，每次降价后售价为前一次的倍． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x， 原来的每件25元，第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元， 由最终售价为16元，得． 3．观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 4．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 5．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B．且 C．且 D．且 【答案】C 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为0和根的判别式与根的情况的关系，即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得， 综上，的取值范围是且． 6．函数与在同一坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对于一次函数：①当时，y随x的增大而增大，若，则图象经过一、二、三、象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，y随x的增大而减小，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限．对于反比例函数，若，反比例函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小；若，反比例函数图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大． 【详解】解：①若， 则反比例函数的图象在第一、三象限；一次函数的图象经过第一、二、四象限； ②若， 则反比例函数的图象在第二、四象限；一次函数的图象经过第一、三、四象限； 只有A选项图象满足题意． 7．某校对八年级学生进行体能测试，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四个班学生成绩的合格率与该班参加测试人数的情况，如图所示，其中描述甲、丁两个班情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，则这四个班合格人数最多的班级是（     ） A．甲班 B．乙班 C．丙班 D．丁班 【答案】C 【分析】设反比例函数表达式为，表示出甲、乙、丙、丁，过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，然后结合图象判断即可． 【详解】解：∵甲、丁两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， ∴设反比例函数表达式为， 则甲、乙、丙、丁， 过乙点作y轴平行线交反比例函数于点，过丙点作y轴平行线交反比例函数于点，如图所示： 由图可知， ∴甲、、、丁在反比例函数图象上， 根据题意可知合格人数， ∴，即甲、丁两个班级合格人数相同； ，即乙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数少； ，即丙班级合格人数比甲、丁两个班级合格人数多； 综上所述：乙班级合格人数甲班级合格人数丁班级合格人数丙班级合格人数， ∴这四个班合格人数最多的是丙． 8．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则． ②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 9．关于的方程有一个小于的非负数解，那么的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对一元二次方程因式分解得到两个根，再根据“有一个小于1的非负数解”的条件列出不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得， ∵关于的方程有一个小于的非负数解，且，即不是非负数， ∴ 解得． 10．如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 【答案】 【分析】点在反比例函数图像上，点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入， 可得，解得． 12．将一元二次方程配方后变形为，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】将等式左右两边都加一次项系数一半的平方，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的值为． 13．若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 14．如图，点是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为，则的值为________． 【答案】6 【分析】设点的坐标为，利用垂直确定的坐标，根据矩形的面积推出即可求出 的值，根据求出的唯一值． 【详解】解：设点的坐标为， 在上， ，即． 由题意，轴于，轴于，点的坐标为， 点的坐标为点的坐标为， 矩形的面积为 ，， ， 矩形面积为， ， 或． 由图可知，点在第一象限（，）， ， ∴． 15．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程根的定义和根与系数关系得到，，再把变形后整体代入即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 16．在平面直角坐标系中，为原点，点，点，点，反比例函数图象分别交直线，直线于点，，将直线向左平移个单位，所得直线与反比例函数图象有且只有一个交点，则的值为_______． 【答案】或 【分析】先确定、两点坐标，求出直线的解析式，根据平移规则得到平移后的直线，联立反比例函数，利用只有一个交点时一元二次方程判别式为求解即可． 【详解】解： ∵，， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴直线的解析式为， ∵在直线和上，在直线和上， ∴，， 设直线的解析式为，代入两点坐标得： ， 两式相减得， 整理得， 将代入，得， ∴ 直线的解析式为， 将直线向左平移个单位，得新直线解析式为， 联立， 消去整理得， ∵直线与反比例函数有且只有一个交点， ∴， 解得，， ∴的值为或． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）解方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得， （2）解：， ∴， 解得，； （3）解：， ， ∴， ∴，即，， 解得，； （4）解：， ∵，，， ∴判别式， ∴， ，． 18．（8分）丹东草莓是丹东市的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对草莓种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同． 素材二 草莓一般用长方体包装盒包装后进行售卖． (1)任务1：依题意列方程，求草莓产量的年平均增长率； (2)任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的草莓，需要设计底面积为的纸盒，设此时纸盒的高为，则可列方程为___________． 【答案】(1)草莓产量的年平均增长率为 (2) 【分析】（1）设草莓产量的年平均增长率为x，根据“2023年草莓平均每株产量是10千克，2025年达到了16.9千克，每年的增长率基本相同”列出方程求解即可； （2）设此时纸盒的高为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：设草莓产量的年平均增长率为x，根据题意可得： ， 解得，（舍去）， 则草莓产量的年平均增长率为； （2）解：设此时纸盒的高为， 根据题意可得：． 19．（8分）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)当时，用适当的方法解方程． 【答案】(1)且． (2)，． 【分析】（1）由一元二次方程二次项系数不为0及根的判别式大于0列不等式求解； （2）代入，用配方法解一元二次方程． 【详解】（1）解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∵ ， ∴ ， 解得， 综上所述，的取值范围是且； （2）当时，原方程为， ∴ ， ， ， ， ∴ ，． 20．（8分）已知，，完成以下填空． (1)y关于x的函数关系式为________； (2)①y关于x的函数图象是________线，且经过第________象限； ②在y关于x的函数图象上取点，和，请将，，按从小到大的顺序排列，并用“”连接，其结果为________； ③在②中，连接，，，则的面积为________． 【答案】(1) (2)①双曲，一、三；②；③6 【分析】（1）将代入即可； （2）①根据（1）中求得的函数解析式，确定函数图象及所经过的象限； ②根据三点的纵坐标，分别求出三点的横坐标，再比较大小即可； ③根据②求得的三点的横坐标，得出三点坐标，再求出这三点构成的三角形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴y关于x的函数关系式为， 故答案为：； （2）（2）①∵y关于x的函数关系式为， ∴y关于x的函数图象是双曲线， ∵， ∴它的图象在第一、三象限， 故答案为：双曲，一、三； ②解：在y关于x的函数图象上取点，和， 则，，， ， 所以， 故答案为：； ③解：由②，得，和， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了判断（画）反比例函数图象，用反比例函数描述数量关系，判断反比例函数图象所在象限，已知比例系数求特殊图形的面积等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 21．（9分）如图，一次函数的图像与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图像交于点，连接． (1)求和的值． (2)求的面积． (3)当时，的取值范围是__________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求得和的值． （2）先将代入中，求得点坐标为，，结合即可求得的面积． （3）根据图象和点的坐标即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 将代入中，即， 解得：． （2）解：将代入中，即， 解得：， ∴点坐标为， ∴， 又∵， ∴的高为， ∴． （3）解：由上可得， ∵，　　 故结合图象可得当时，的取值范围是． 22．（9分）如图是反比例函数的图像，在图像上任取一点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，则四边形是一个矩形，这个矩形的面积为．根据下列要求画图，并写出理由． (1)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的平行四边形（不可为矩形）； (2)试利用反比例函数的图像在图中画出面积为的三角形． 【答案】(1) 解：连接，过点作交轴于点，如图： 轴，， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形即为所求； (2) 解：连接并延长交反比例函数于，连接，如图： 由反比例函数图象的对称性可知，与关于点对称， ， ， ， ， ， 即为所求． 【分析】本题主要考查了反比例函数中的几何意义，反比例函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）连接，过点作交轴于点，可知四边形是平行四边形，则有，从而，所以平行四边形即为所求； （2）连接并延长交反比例函数于，连接，由反比例函数的对称性可知，可得，所以即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 23．（10分）阅读材料： 已知，，且，求的值． 解：由及，可知，． 又， 可变形为． 所以与是方程的两个不相等的实数根． 则， 根据阅读材料所提供的方法，完成下面的解答． 已知：，，且．求：的值． 【答案】 【分析】由题意可知：可以将方程化简为的形式，然后根据根与系数的关系可解得：的值；也可将方程化简为的形式，再根据根与系数的关系可解得的值． 【详解】 解：解法一：由知， ， ， 由得， 根据与的特征， 是方程的两个不相等的实数根， ． 解法二：由得， 根据与的特征，且， 与是方程的两个不相等的实数根， ，， ． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，与y轴交于点C．点D，E是第一象限内反比例函数图象上的两点，且点位于点右侧，点E位于A，D两点之间． (1)求a，b和k的值； (2)当面积为3时，求点D的坐标； (3)将沿着射线的方向平移后得到，当时，是否存在两顶点同时落在反比例函数图象上？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在，点E的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可解答； （2）作轴交直线于点F，作轴交于点G，H，根据，列方程即可解答； （3）根据点与点B重合，可得平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度，分类讨论，分别解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点， ， 解得， ， ， ； （2）解：如图，作轴交直线于点F，作轴交于点G，H， 根据（1）可得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 设，则， ， ， ， 化简得， 解得，（负值舍去）， 经检验，是原方程的解 ； （3）解：存在， 两顶点同时落在反比例函数图象上， ∴点与点B重合， ，， ∴平移方向为向左平移4个单位长度，向下平移4个单位长度， ①如图①，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ； ②如图②，点，落在反比例函数图象上， 设，则， ， 解得：或1（舍去）， ， 设， 在反比例函数上， ， ， ∴ 化简得， ， 解得（负数舍去）， ， ∴综上所述，点E的坐标为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $