江苏省南菁高级中学2026-2027学年第一学期高三数学周练3

**基本信息** 高三数学周测试卷，以集合、函数、导数等核心知识为载体，通过基础题巩固概念，创新题型（如“跟随区间”新定义）与综合解答题（如导数应用、解三角形）培养数学抽象与逻辑推理能力，适配高三复习阶段性检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|集合关系、不等式解法、充要条件、函数性质|第8题“跟随区间”新定义，考查抽象能力与创新意识| |填空题|3/15|三角函数图像、三角形形状判断、函数奇偶性|第13题面积与边长关系，结合几何直观分析三角形形状| |解答题|5/77|幂函数性质、函数对称性、导数应用、解三角形|17题函数图像对称与单调性探究，19题导数综合应用，考查逻辑推理与数学表达能力|

2026~2027学年第一学期南菁高中高三周练3 数 学 本试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列表示集合和关系的图中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 3．已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．已知函数存在单调递减区间，则其导函数的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中，是正的常数．如果在前消除了的污染物，那么要消除的污染物大约需要（参考数据：，）（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在区间上有极值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．一般地，若函数的定义域是，值域为，则称为的“倍跟随区间”，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”，下列结论正确的是（    ） A．若为的“跟随区间”，则 B．函数存在“跟随区间” C．若函数存在“跟随区间”，则 D．二次函数存在“倍跟随区间” 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列命题中正确的是（    ） A．命题“，”的否定为“，” B．的图象恒过定点 C．已知是定义在上的偶函数，且在是减函数，则 D．函数的单调递增区间是 10．在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论中正确的有（    ） A．若为锐角三角形，则 B．若，则为锐角三角形 C．，则为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则的取值范围是 11．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．的最大值为2 B．直线是图像的一条对称轴 C．在区间上是增函数 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．函数的部分图象如图所示，则________． 13．已知的面积是（其中b，c为的边长），则的形状为________． 14．定义域为的偶函数在上单调递减，且，若关于的不等式的解集为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本题满分13分） 已知幂函数（）为偶函数，且在上单调递减． （1）求和的值； （2）求满足的实数的取值范围． 16．（本题满分15分） 已知函数，函数图象与的图象关于对称． （1）若函数是奇函数，求实数的值 （2）不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 17．（本题满分15分） 已知函数（）的图像关于点对称． （1）求的值和在区间上的值域； （2）若，函数在区间上单调递增，求的值； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 18．（本题满分17分） 如图，在中，角，，的对边分别为，，．已知． （1）求； （2）若的长为，求的取值范围． （3）若为线段延长线上一点，且，，求． 19．（本题满分17分） 已知函数，函数. （1）求函数的单调区间； （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．A 【详解】因为集合，， 所以集合和关系的图为A. 2．B 【分析】根据分式不等式求解方法进行求解即可. 【详解】不等式等价于，等价于，解得，即，所以原不等式的解集为，故B正确. 3．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合基本不等式进行判断即可． 【详解】充分性：∵，，，∴，当且仅当时，等号成立， ∴，当且仅当时，等号成立， ∴. 必要性：当，时，成立，但不成立，即必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 4．D 【分析】根据诱导公式以及余弦的二倍角公式，即可求解. 【详解】因为 ， 又，所以， 所以. 5．C 【分析】对于A，易知；对于B，令，再利用导数可得，然后结合题意判断即可；对于C，易知，则有解即可判断；对于D，分、即可判断恒成立． 【详解】对于A，，则函数单调递增，不存在单调递减区间，故A不符合题意； 对于B，令，， 则时，，单调递减，时，，单调递增， ，即， 则函数单调递增，不存在单调递减区间，故B不符合题意； 对于C，，则有解， 则函数存在单调递减区间，故C符合题意； 对于D，， 当时，，则， 当时，，则， 综上，恒成立， 则函数单调递增，不存在单调递减区间，故D不符合题意． 6．C 【分析】由题意整理可得，代入题中数据，结合对数运算求解即可. 【详解】因为，即，设消除的污染物大约需要， 由题意可得，即，取对数可得， 两式相比可得，则， 所以要消除的污染物大约需要. 故选：C. 7．D 【解析】求出导数，由在上有变号的解即得． 【详解】，由题意在上有解，即在上有解， 记，，当时，，单调递增， ，， 所以． 故选：D． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数与极值．函数在某个区间上有极值，则在这个区间上有的零点，有解，又可转化为函数图象与直线有交点，从而再次转化为利用导数判断函数的单调性，求函数的值域．解题关键在于转化． 8．D 【分析】对于A，由已知可得函数在区间上单调递增，进而可求解的值；对于B，假设存在“跟随区间”，则根据条件求解的值，若有解则存在，反之不存在；对于C，先设“跟随区间”为，则根据满足的条件建立方程组，找出的关系，然后统一变量表示出，列出关于的关系式，利用方程思想求解的取值范围；对于D，若存在“倍跟随区间”，设定义域为，则值域为，由此建立方程组，再等价转化为一个方程有两个不相等的实数根，进而可以求解． 【详解】对于A，若为的“跟随区间”，且的对称轴为，且，所以，解得或（舍），A错误； 对于B，假设存在“跟随区间”，且， 因为在单调区间上递减，则有，解得，不符合， 故不存在，B错； 对于C，在定义域上单调递减， 若存在“跟随区间”，则有，即， 两式相减得，即， 又因为，所以，所以， 所以， 设，则，即在区间上有一个实数根， 所以，解得，故C错误； 对于D，若存在“倍跟随区间”， 设定义域为，则值域为， 当时，易得函数在定义域上单调递增， 则是方程的两个不相等的实数根，解得或， 故存在定义域为使得值域为，故D正确． 故选：D 【点睛】方法点睛：对于新定义问题的求解策略：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中；本题根据函数的单调性合理转换是解决问题的关键． 9．AC 【详解】选项A：特称命题的否定为全称命题，需将存在量词改为全称量词，同时否定结论， 原命题“，”的否定为“，”，正确. 选项B：指数函数满足，令即，代入得， 故函数恒过定点，不是，错误. 选项C：是偶函数，故，， 又在上为减函数，且，因此，正确. 选项D：因为为增函数，且对称轴为，且要满足， 即或，所以函数递增区间为，错误. 10．ACD 【详解】解：对于A：若为锐角三角形，则，，，可得成立，故A正确； 对于B：举反例，取钝角三角形，，，但该三角形是钝角三角形，故B错误。 对于C：，由正弦定理得，，，化简得。，，，为直角三角形，故C正确。 对于D：，三角形有两解，由正弦定理：，要有两解，需要满足，，即，故D正确； 故选：ACD. 11．BD 【分析】由题知，再结合函数性质依次分析各选项即可得答案. 【详解】解：当时，即，时，， 当时，即，时，， 所以，，的部分图像如图， 所以，的最大值为1，故A错误； 因为，所以的图像关于直线对称，故B正确； 观察图像知，在区间上不单调，，在区间上不是增函数，C错误； 因为且，则当时，且， 则且，， 所以，，D正确． 故选：BD 12．3 【分析】根据图象，求得，即可求出结果. 【详解】由图知，得到，又由图知， 由，得到，又，所以， 由，得到，所以， 得到， 13．等腰直角三角形 【分析】利用三角形的面积公式化简已知条件，结合基本不等式判断出三角形的形状. 【详解】依题意的面积是，则， ，由于，所以， 由基本不等式可知，当且仅当时等号成立， 所以，，三角形是等腰直角三角形. 14． 【分析】由为偶函数可得，转化题设不等式为，结合单调性分析易得的解集为，的解集为，再结合题意可得3为方程的根，进而得到，进而结合基本不等式求解即可. 【详解】由为偶函数，得，即， 不等式， 又函数在上单调递减，且，则函数在上单调递增， 则当时，，当时，， 当时，，当时，， 即的解集为，的解集为， 由不等式的解集为， 当时，不等式为，解集为，不符合题意； 当时，不等式解集为，解集为， 要使不等式的解集为，则，即； 当时，不等式解集为，解集为， 此时不等式的解集不为， 因此，， 当且仅当，即，时取等号，所以 即的最小值为. 故答案为： 15．(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数以及奇偶性等知识求得. （2）根据函数的单调性以及对分类讨论来求得的取值范围. 【详解】（1）由函数为幂函数， 则，解得； 由()在上单调递减， 得，解得，而，故或， 当时，，定义域为，且为偶函数，符合题意. 当时，，定义域为，函数为奇函数，不符合题意； 故. （2）由（1）得，则，即. 故或或， 解得或或，. 故实数的取值范围为. 16．(1)2 (2) 【分析】（1）根据给定条件，求出函数，再利用奇函数的定义求解. （2）由（1）的信息，利用对数函数单调性，结合二次函数性质求解. 【详解】（1）函数，由函数图象与的图象关于对称，得， 由为奇函数，得， 则 ，整理得，而，解得， 此时函数定义域为，且，符合题意， 所以实数的值为2. （2）由（1）知， 依题意，不等式 在上恒成立，则 ，即， ，不等式 恒成立， 因此在恒成立， 当时，， ，当且仅当时取等号， 于是，解得，所以的取值范围为. 17．(1)； (2)4 (3) 【分析】（1）由对称中心，结合范围得的值​；通过换元以及利用正弦函数的值域得在区间上的值域； （2）函数在 上单调递增，则整体角落在正弦的增区间内，列不等式组求解； （3）恒成立等价于​，先计算得​；应用换元法化简 ，得到的二次函数开口向下，分类讨论对称轴位置求最大值，解不等式得范围. 【详解】（1）由题意可知时， （）， 即 ，又，所以， 即， 当时，， 易知在上单调递增，在上单调递减， 则此时，所以在区间上的值域为； （2）由上知，所以，显然，即， 当时，， 若要符合题意需， （）， 解不等式得，易知，则，此时． （3）因为对任意的，，都有，所以． 因为，所以，所以，所以， ， 令，则，．对称轴为， 所以①，可得， ②，可得， ③，可得， 综上． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简求值； （2）用正弦定理边化角，再根据三角函数的性质求取值范围； （3）设，在和中用正弦定理，结合，代入角度关系化简，再利用三角恒等变换，将等式转化为关于的方程，求解. 【详解】（1）正弦定理可得：， 即， 故，则有， 又，， 故有或（舍去），或（舍去）， 则，又，所以； （2）由正弦定理得， 故 在三角形中， 所以的范围为 （3）设，在和中， 由正弦定理可得，， 于是，又， 则，， ． 19．(1)增区间是，减区间是． (2)． 【分析】（1）求出导函数，对，由函数性质得，对对再一次求导，确定单调性后得导数值的正负，从而得单调区间； （2）构造函数，求出导函数，对再一次求导后，还要第三次求导，然后由时的导数值的正负分类讨论求解． 【详解】（1）由题意得， 当时，，又， 则，因此，递减， 设（），则， 当时，，， 可得是增函数，即是增函数， 所以，因此递增， （2）∴的增区间是，减区间是． 设，满足题意， ，令， 则，令， 则， ∴即在上是增函数，， 当时，，即在上递增， ∴，在上递增， 所以恒成立，原不等式恒成立， 当时，则， 又， ∴存在，使得， 当时，，即递减， 当时，，即递增， 又，∴时，， 从而递减，于是不合题意， 综上，的取值范围是． 【点睛】方法点睛：函数不等式恒成立问题的解题方法有： （1）直接法，直接构造函数，利用函数的值域或最值得参数范围； （2）分离参数法，通过分离参数构造新的函数，由新函数的值域（或最值）得参数范围； （3）数形结合法，不等式变形，然后构造两个函数（通常变化的是一次函数，固定的是较为复杂的函数），通过函数图象求解． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $