江苏镇江市扬中市第二高级中学2026-2027学年第一学期高三数学周练1

**基本信息** 高三数学周练卷结合艾宾浩斯遗忘曲线等真实情境，融合函数、立体几何等核心知识，通过新定义问题与综合题型，考查数学眼光、思维与语言，适配高三一轮巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、不等式、函数奇偶性、正四棱台外接球|第5题用遗忘曲线模型考查函数应用，体现数学眼光| |多选题|3/18|复数、不等式解集、正三棱柱性质|第11题结合动点轨迹考查空间观念，强化数学思维| |填空题|3/15|函数最值、零点|第13题分层设问零点问题，落实基础巩固| |解答题|5/77|函数最值、导数应用、立体几何证明与计算|第7题定义“关联二次函数”考查创新思维，第19题综合空间几何与二面角计算，提升综合应用能力|

江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练1 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则 （ B ） A． B． C． D． 2．设，则下列不等式中成立的是 （ D ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列函数中为奇函数的是 （ C ） A． B． C． D． 4．如图，已知正四棱台的高，则此正四棱台的外接球表面积为 （ D ） A． B． C． D． 5．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是具有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”，“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（ B ）（参考数据：） A． B． C． D． 6．在棱长为1的平行六面体中，是中一点（包括边界），，则点在中轨迹长度为 （ C ） A． B． C． D． 7．定义在上的“关联二次函数”， 满足，则 （ C ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，则实数的取值范围是 （ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则 （ BCD ） A． B． C．复数的虚部为1 D．复数 在复平面内的对应点在第一或第三象限 10．已知关于的不等式的解集为，则 （ ACD ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D． 的最小值为 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是 （  AD  ） A．三棱锥的体积为定值 B．正三棱柱的外接球表面积为 C．周长的最小值为 D．已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为 【详解】选项A分析：三棱锥的体积，其中为点到平面的距离，在正三棱柱中，侧棱，且平面，所以平面.因为点在上，所以点到平面的距离等于到平面的距离，这是一个定值.底面是直角三角形，，也是定值.所以，三棱锥的体积为定值.故A正确. 选项B分析：设正三棱柱外接球的半径为，底面是边长为2的等边三角形，其外接圆半径，棱柱的高，根据外接球半径公式，得： ，外接球表面积.故B错误. 选项C分析：的周长.在中，，为定值. 要求周长最小值，即求的最小值.如图：，. 根据勾股定理，的最小值为 . 所以周长的最小值为.故C错误. 选项D分析：建立空间直角坐标系.以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴.则，，.因为是边长为2的等边三角形，所以.设：平面得法向量为，又，， 所以，且，即，且，令，则，， 平面的法向量，又因为，点到平面的距离 .设点在平面上，且. 根据勾股定理，点在平面上的轨迹是以在平面上的射影为圆心，半径的圆的一部分.侧面是一个边长为的正方形，是底边的中点.我们需要计算以为圆心，为半径的圆在正方形内部的弧长. 设圆弧与交于点，与交于点.在中，，，所以. 同理，.因为，所以是的中点；同理是的中点.在正方形中，是的中点，是中点，是中点.，，同理. 所以圆弧所对的圆心角为.轨迹长度.故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则的最小值为 . 13．已知函数的零点为的值是 ；若函数的零点为的值是 . 14．已知函数上单调递增，则的最小值是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值. 15．解：（1）由，所以，所以 当且仅当即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 16．已知定义域为R的单调函数是奇函数，当时，. （1）求的解析式. （2）若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围. 16．解：（1）当时, ， ，又函数是奇函数， ， ， 故， 又．综上所述 ； （2）为R上的单调函数，且， ∴函数在R上单调递减． ， ， 函数是奇函数， ． 又在R上单调递减， 对任意恒成立， 对任意恒成立， ， 解得：． 故实数的取值范围为． 17．已知函数，. （1）当，解不等式. （2）若有2个零点，证明：. （3）当时，正数，满足，，用表示的取值范围. 17．解：（1）原式等价于，可得， ∴或（舍）. 所以原不等式的解为. （2），原题等价于有两正解，即有两正解， 注意到，由韦达定理知，即，而， 可得. （3）由，得，当且仅当，时取等号. ∴，则. 令，则，且 ； 下面判断函数的单调性. ∵，，显然其单调性与相同， ，令，则且， ∴对应的函数为， 当时，取， ， 故在上单调递减，在上单调递减，即的单调递减区间为. 由单调性可知，. 18．已知函数，，其中是自然对数的底数． （1）若函数的极大值为，求实数的值； （2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 18．解：（1）因为，则， 因为，所以， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，的极大值，解得； （2）由题意可知，对任意恒成立 整理得对任意恒成立，设 由（1）可知，在上单调递增，且当时， 当时，，若，则 若，因为，且在上单调递增，所以 综上可知，对任意恒成立，即 设，，则，所以单调递增， 所以，即的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了由函数的极值求参数的范围以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题. 19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O． （1）求证：MN∥平面PCD； （2）二面角B－PC－D的平面角为θ，若． ①求PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点N到平面CDP的距离． 19．解：（1）取PD得中点E，连接ME，CE，如图，: 为PA的中点，， 为的中点且四边形ABCD为菱形，. ，四边形MNCE为平行四边形， , 又MN平面PCD, CE平面PCD, MN∥平面PCD. （2）①连接PO，过作于，连接， 由PB＝PD，是的中点，， 由菱形知，又，平面， 平面，平面平面，且交线为， 直线在平面上的射影为，即PA与底面ABCD所成角为. 平面，，且在平面上的射影为， ，又PA⊥PC，，是的中点，是PC的中点， ， 由知，, ， 为二面角B－PC－D的平面角， , 即，解得，, ， ，， 即PA与底面ABCD所成角的大小为. ②连接，过作于， 由，平面，平面，平面 点N到平面CDP的距离即点到平面CDP的距离， ， 平面，平面平面,且是交线， ，平面， 在中，，，， 由等积法可得，即， 即点N到平面CDP的距离为 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏扬中市第二高级中学2026-2027第一学期高三数学周练1 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则 （ ） A． B． C． D． 2．设，则下列不等式中成立的是 （ ） A． B． C． D． 3．已知函数，则下列函数中为奇函数的是 （ ） A． B． C． D． 4．如图，已知正四棱台的高，则此正四棱台的外接球表面积为 （ ） A． B． C． D． 5．德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是具有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”，“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（ ）（参考数据：） A． B． C． D． 6．在棱长为1的平行六面体中，是中一点（包括边界），，则点在中轨迹长度为 （ ） A． B． C． D． 7．定义在上的“关联二次函数”， 满足，则 （ ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意，总存在唯一的使得成立，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则 （ ） A． B． C．复数的虚部为1 D．复数 在复平面内的对应点在第一或第三象限 10．已知关于的不等式的解集为，则 （ ） A． B．的最小值为 C．的最小值为4 D． 的最小值为 11．如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列正确的是 （     ） A．三棱锥的体积为定值 B．正三棱柱的外接球表面积为 C．周长的最小值为 D．已知动点在侧面内（包含边界），若，则点的轨迹长度为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．已知，则的最小值为 . 13．已知函数的零点为的值是 ；若函数的零点为的值是 . 14．已知函数上单调递增，则的最小值是 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数，满足； （ⅰ）求的最大值； （ⅱ）求的最小值. 16．已知定义域为R的单调函数是奇函数，当时，. （1）求的解析式. （2）若对任意的,不等式恒成立,求实数k的取值范围. 17．已知函数，. （1）当，解不等式. （2）若有2个零点，证明：. （3）当时，正数，满足，，用表示的取值范围. 18．已知函数，，其中是自然对数的底数． （1）若函数的极大值为，求实数的值； （2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PB＝PD，PA⊥PC，M，N分别为PA，BC的中点底面四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AC交BD于点O． （1）求证：MN∥平面PCD； （2）二面角B－PC－D的平面角为θ，若． ①求PA与底面ABCD所成角的大小； ②求点N到平面CDP的距离． 1 学科网（北京）股份有限公司 $