第一次质量测试卷2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以三角形全等为核心，融合地摊经济等现实情境，通过动点问题、阅读理解题考查几何直观与推理能力，适配八年级上册月考需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|全等性质、等腰三角形、角平分线|第6题以折叠方桌抽象图形，体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6/18|三角形判定、平行线性质|第14题结合三角板与平行线，考查空间观念| |解答题|8/72|全等证明、动点问题、模型应用|第24题通过阅读理解渗透倍长中线法，培养推理意识与创新应用能力|

2026-2027学年人教版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第13章三角形全等三角形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分） 1．若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 2．如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理计算边a与边c的夹角，根据全等三角形对应角相等求解即可． 【详解】解：在左图中，边a与边c的夹角为， ∵两个三角形全等，且是边a与边c的夹角， ∴． 3．若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为（     ） A．5 B．2 C．2或5 D．3 【答案】A 【分析】分类讨论腰长，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，进而确定腰长． 【详解】解：当腰长为时，三边长为， ∵， ∴不能构成三角形，舍去； 当腰长为时，三边长为， ∵， ∴能构成三角形． 4．如图，平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（     ） A． B．平分 C． D．过线段的中点 【答案】D 【分析】证明，利用全等三角形的性质可得到答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴，， 又， ∴， ∴，，，平分， 故选项A、B、C中结论成立，不符合题意， ∵现有条件和图形不能证明过线段的中点， 故选项D中结论不成立，符合题意． 5．如图， 中，为直线上一动点，连接，则线段 的最小值是（     ） A．3 B．3.6 C．4.8 D．5.2 【答案】C 【详解】解：∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 在中， ∵，，，， ∴，即：， ∴． 6．随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气．某夜市摊主使用的折叠方桌（如图（1））结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图（2）所示的图形．已知，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的性质得到，再利用两直线平行，内错角相等得到，结合三角形内角和求出，进而利用对顶角相等求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 7．如图，、分别是的外角、的平分线．小明经过分析后，得出了以下结论：①点P在的平分线上；②；③点P到、、的距离相等．则正确的是（     ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点P分别向、、作垂线，利用角平分线的性质，说明这三条垂线段相等，从而说明①③正确． 【详解】解：如图，作，，， ∵、分别是的外角、的平分线， ∴，， ∴，③正确， ∴点P在的平分线上，①正确， 对于②，缺乏足够的条件说明． 8．如图，在中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得，再结合角平分线的定义，找出角变化的规律即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴． 9．如图，在四边形中，，，于点B，于点D，E、F分别是、上的点，且，，下列结论中：①；②平分；③平分；④若四边形的周长是15，且的面积为3，则四边形的面积等于11．上述结论中一定正确的有（   ） A．①②④ B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，延长到G，使，连接，，根据全等三角形的判定定理求出，根据全等三角形的性质得出，，，求出，根据全等三角形的判定定理得出，根据全等三角形的性质得出，，，再进行判断即可． 【详解】解：延长到G，使，连接，， ∵，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，，， ∴平分，故②正确； 根据已知不能推出，平分，故①③不正确； 在和中， ， ∴， ∴， 设，， ∵四边形的周长是15， ∴， ∵的面积为3， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积，故④正确； 综上，正确的有②④． 故选：C． 10．如图，的面积为30，，E是的中点，与相交于点P，那么四边形的面积为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】连接，设的面积是，的面积是，根据，为的中点，得的面积是，的面积是，进而得到的面积是，再根据的面积与的面积相等，得，解得，再根据的面积是30即可求得、的值，从而求解． 【详解】解：连接，如图， 设的面积是，的面积是． ，为的中点， 的面积是，的面积是， ∴的面积是， 又， 的面积是， 的面积是， ∵为的中点， 解得， 又的面积为， 解得， ∴， ∴四边形的面积为． 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11．的三边为，且满足关系，则是___________三角形． 【答案】 等腰 【分析】题目主要考查乘法的性质，等腰三角形的定义，熟练掌握是解题关键． 根据乘积为零的性质，至少有一个因子为零，从而得到至少有两边相等，因此三角形为等腰三角形． 【详解】解：∵， ∴或或，即或或， ∴至少有两边相等，是等腰三角形， 故答案为：等腰． 12．如图，点、在线段上，，，，连接、，若要根据“”直接证明，则还需要添加的一个条件是________． 【答案】 【分析】“”需要一组直角边、一组斜边分别相等，题目已经给出一组直角边相等，因此只需补充斜边相等的条件． 【详解】解：∵，， ∴， ∴和都是直角三角形， ∵，且、是和的一组对应直角边， 根据“”定理，在已知一组直角边相等的情况下，还需要两个直角三角形的斜边对应相等， ∵在中，是斜边，在中，是斜边， ∴需要添加的一个条件是． 13．如图，在的平分线上取一点，过点作于点，在射线上取一点，连接，若，的面积为，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，根据的面积为，求出，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求出． 【详解】解：如下图所示，过点作于点， ， ， ， ， 是的平分线，， ． 14．如图，一个含的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶点均在这两条平行线的外部，设，，则x与y的数量关系为___．    【答案】 【分析】设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点，利用直角三角形的两个锐角互余，得到，利用平行线的性质，对顶角相等和三角形的内角和定理，通过等量代换即可得到答案． 【详解】解：如图，设含的直角三角板的三个顶点为，延长交于点，交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ．    故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形，平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，作出正确的辅助线是解题的关键． 15．如图，在中，，，点为边延长线上一点，平分，点为直线上一点．若直线垂直于的一边，则的度数为___________． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理及外角定理，角平分线的定义，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，然后分三种情况进行讨论求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴； ①如图所示，过点作，交于点，交于点， ∴， ∴； ②如图所示，过点作，交于点， ∴， ∴； ③如图所示，过点作，交直线于点， ∴， ∴， ， ∴； 综上，的度数为或或． 16．如图，在中，和的角平分线交于点，经过点与交于，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于，连接．若，，，．则下列结论中正确的是______． ①；②是等边三角形；③垂直平分；④． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的面积公式．利用相关定义、性质与公式对每个选项进行判定是解题的关键． 根据三角形的角平分线交于一点可得为的平分线，利用角平分线的定义和三角形的内角和定理，通过计算即可得出即可判定①正确；通过证明即可判定②正确；，为的角平分线，得到垂直平分，可判定③正确；利用三角形的面积公式计算得出结论即可判定④是否正确． 【详解】解：∵和的角平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵三角形的三条角平分线相交于一点， ∴为的角平分线， ∴， ∵以为边向两侧作等边和等边， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，故②正确； ∵，为的角平分线， ∴垂直平分，故③正确； ∵，，， ∵为的角平分线， ∴到的距离相等，， 设到的距离为， ∴， ∴ ，故④不正确； 故答案为：①②③． 三、解答题（本大题共计8题.共计72分） 17．（8分）已知，分别是的其中两边的长，且，满足关系式． (1)求，的值． (2)若是等腰三角形，请计算的周长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据非负数的性质，求得的值； （2）根据等腰三角形的定义以及三角形的三边关系即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得，， ，． （2）解：是等腰三角形，有两种情况： ①当是腰时，有、、三边，不能构成三角形，故此种情况不成立． ②当是腰时，有、、三边，能构成三角形，故此种情况成立，则． 等腰的周长为． 18．（8分）根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ (1)如图①，线段与相交于点．和． (2)如图②，．和． (3)如图③，线段与相交于点．和． (4)如图④，．和． 【答案】(1)能 (2)能 (3)不能 (4)能 【分析】（1）利用即可证明两个三角形全等； （2）利用即可证明两个三角形全等； （3）两个三角形没有一组边对应相等，故不能判定两个三角形全等； （4）利用即可证明两个三角形全等． 【详解】（1）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （2）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴； （3）解：不能，理由如下： ∵在和中，只有，没有一组边对应相等， ∴不能判定与全等； （4）解：能，证明如下： 在和中， ， ∴． 19．（8分）如图，用直尺和圆规作，使． 【答案】如图，即为所求 【分析】根据尺规作图—作相等角：以角的顶点为圆心作圆，与角的两边分别交于一点，用圆规截取这两点间的距离，在射线上作同样的圆，与射线交于一点，以该点为圆心，以所截取的距离为半径作圆，与之前的圆交于一点，以所在射线上的端点和该交点作射线，即可得到相等角（原理：的全等三角形的判定和性质）和作相等线段，利用的全等三角形的判定方法确定． 【详解】解：略． 20．（8分）如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E，与交于点F． (1)若，，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明：， ， ． 是的外角， ， ， ∵平分， ， 在中，， ， ， ． ， ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线定理求出，根据外角的性质求出，即可求解； （2）根据（1）中的思路即可推导出这些角之间的关系． 【详解】（1）解：在中，，， ． ∵平分， ， 是的外角， ， ， ， 在中，； （2）略 21．（8分）如图，在中，于点D，平分，交于点E． (1)若，，求，的度数； (2)若，试猜想与有何关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)； (2)猜想：； 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即此时在左侧， ∴ ． 【分析】（1）先根据三角形内角和定理得出，再根据角平分线定义求出，然后根据直角三角形两锐角互余求出，根据三角形外角性质求出； （2）根据角平分线定义，结合三角形内角和定理得出，根据直角三角形两锐角互余得出，，最后根据角度间关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）略 22．（8分）如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，且． (1)求证：． (2)试判断与，之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵是的平分线，，， ， 在和中， ， ∴， ； (2)解：，理由如下： 在和中， ， ∴， ， ． 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明； （2）证明，根据全等三角形的性质证明． 【详解】（1）略 （2）略 23．（11分）如图1，在中，、、分别是、、的对边，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动．设点的运动时间为秒． (1)若，． ① ， ； ②当时，若，求的值； (2)如图2，当点运动到线段上，与交于点，若为边上的中线，，，请直接写出的面积． 【答案】(1)①6，8；②或 (2)2 【分析】（1）①根据非负性进行求解即可；②确定的位置，根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （2）根据同高三角形的面积比等于底边比，三角形的中线平分面积进行求解即可. 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵，点从点出发，沿折线以每秒4个单位的速度向终点运动， ∴点运动到点所需时间为秒，运动到点所需时间为秒 ∴当，此时点在边上， ∴， ∵点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向终点运动， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：或； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， 设的面积为，则， ∴， ∵， ∴，解得， ∴的面积为2. 24．（13分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． (1)几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是_________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． (2)初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证； (3)拓展提升：已知，如图3，是的中线， ，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． (4)应用实践：如图4，张大爷有一块五边形苗圃，其五个内角之和为 ，测得，且，，M为边的中点，米，米，直接写出苗圃的面积． 【答案】(1) (2) 证明：如图，延长至点F，使得，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ； (3) ，理由如下， 如图，延长至点P，使得，连接， 是的中线， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ； (4)平方米 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，多边形内角和与等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握全等三角形的构造与证明是解决本题的关键． （1）直接利用不等式的性质即可求解； （2）倍长得，结合得出等腰，从而得证； （3）倍长得，结合，得出，从而证得即可得出； （4）倍长得，结合与五边形内角和得出 ，从而证得，得出，结合等腰三角形三线合一，得出即可求得苗圃的面积为平方米． 【详解】（1）解：，， ， 故答案为：； （2）略 （3）略 （4）解：如图，延长至点F，使得，连接、、， 为中点， ， 在与中， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 米，米， 平方米， 苗圃的面积为平方米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年人教版八年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第13章三角形~第14章全等三角形 一、单选题（本大题10题，每小题3分，共计30分) 1.若△ABC的三边长a,b,c满足 a-b)2+b-c=0 ， 则△MBC的形状是() A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.无法确 定 2.如图，两个三角形全等，根据图中所给条件，可得∠“的度数是() 55 b b 人65 a A.55° B.65 C.60° D.50° 3.若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为() A.5 B.2 C.2或5 D.3 4.如图，OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定 成立的是( ) A.PA=PB B.PO平分∠APB C.OA=OB D.AB过线段OP的中点 5.如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,AB=10,P为直线AB上一动点，连 接PC,则线段PC的最小值是() A .3 B.3.6 C.4.8 D.5.2 试卷第1页（共3页） 6.随着地摊经济的蓬勃发展，街巷夜市充满了烟火气.某夜市摊主使用的折叠方桌（如图 (1))结构稳固、方便收纳，将其展开后可抽象为如图(2)所示的图形.已知AB∥EF ,∠ABC=46°，∠ADF=134°，则∠COD的度数为() B 134° 图(1) 图(2) A.560 B.78 C.88° D.92° 7.如图，BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠ECB的平分线.小明经过分析后，得 出了以下结论：①点P在∠BAC的平分线上；②BP=CP:③点P到AD、AE、BC的距 离相等，则正确的是() D B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 8如图，在△1BC中，∠A=m,∠ABC和∠4CD的平分线交于点4，得 ∠A∠ABC 和 ∠ACD 的平分线交于点，得 ∠A,∠Ao21BCn∠A2CD 和 的平分线交于点m,则 ∠A02m= () -A2 - 2-2A B C D m m 2022 2021 A 22027 B 22022 C.2m D. 2m 试卷第2页（共3页） 9.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=I50°，AB⊥CB于点B,AD⊥CD于 点D,E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF=75°，EF=3,下列结论中：① △ADF≌△ABE;②EA平分∠FEB;③EF平分∠AEC;④若四边形ABCD的周长是 15,且△EAF的面积为3，则四边形ABCD的面积等于11.上述结论中一定正确的有 () F B A A.①②④ B.②③ C.②④ D.③④ 10.如图，△ABC的面积为30，BD:DC=2:1,E是AC的中点，AD与BE相交于点P, 那么四边形PDCE的面积为() A.3 B.4 C.6 D.7 二、填空题（本大题共计6题，每小题3分，共计18分） 11.△ABC的三边为A、C,且满足关系 a-b)(b-c(c-a)=0 则△ABC是 三角形. l2.如图，点E、F在线段BC上，BE=CF,AE⊥BC,DF⊥BC,连接AB、CD 若要根据“HL”直接证明Rt△ABE≌Rt△DCF,则还需要添加的一个条件是」 试卷第3页（共3页） 13.如图，在∠AOB的平分线上取一点P,过点P作PC1OA于点C,在射线OB上取一点 D,连接PD,若OD=6,△POD的面积为21，则PC的长为 A DB 14.如图AB∥CD,一个含45°的直角三角板的直角顶点在这两条平行线之间，另两个顶 点均在这两条平行线的外部，设∠1=x°，∠2=少°，则x与y的数量关系为一. 7 45 D 15.如图，在△ABC中，∠A=70°，∠ACB=36°，点D为边BC延长线上一点，BF平分 ∠ABC,点E为直线BF上一点.若直线AE垂直于△ABC的一边，则∠AEB的度数为 CD l6.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O,AD经过点O与BC交于D ,以AD为边向两侧作等边△ADE和等边△ADF,分别和AB,AC交于G,H连接GH. 若∠BOC=120°，AB=a,AC=b,AD=c.则下列结论中正确的是 试卷第4页（共3页） D∠B4C=60:②。4Gn是等边三角形，@AD垂直平分GH:@Sm-和+b)e. D 三、解答题（本大题共计8题.共计72分) 17.(8分)已知a,b分别是△ABC的其中两边的长，且a,b满足关系式 a-4+(b-8)2=0 1)求a,b的值 (2)若△ABC是等腰三角形，请计算△ABC的周长. 18.(8分)根据题图及相应的条件，能否判定下面分别给出的两个三角形全等？ ① ② 3 ④ I)如图①，线段AD与BC相交于点O,A0=DO,BO=C0.△ABO和△DCO 2)如图②，AC=AD,BC=BD.△ABC和△ABD. 6)如图③，线段AC与BD相交于点O,∠A=∠C,∠B=∠D.△AB0和△CD0. 4)如图④，∠CAB=∠DBA,∠I=∠2.△ABC和△BAD, 19.(8分)如图，用直尺和圆规作△ABC,使∠B=∠a,∠C=∠B,BC=m. a m 20.(8分)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD 交BC的延长线于点E,PE与AC交于点F 试卷第5页（共3页） B D (1)若∠B=42°，∠ACB=76°，求∠E的度数： (2)求证：∠B+2∠E=∠ACB 21.(8分)如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,AE平分∠BAC,交BC于点E. B D E L)若LB=75°，∠C=45°，求LDAE,∠AEC的度数： (2)若∠B>∠C,试猜想∠DAE与∠B-∠C有何关系，并证明你的猜想. 22.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E, 点F在AC上，且BD=DF, A E D B (I)求证：CF=EB (②)试判断AB与AF,EB之间存在的数量关系，并说明理由. 23.(11分)如图1，在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点P从点A 出发，沿折线AC-CB-BA以每秒4个单位的速度向终点A运动，同时点Q从点C出发， 沿CB以每秒1个单位的速度向终点B运动.设点Q的运动时间为秒. 试卷第6页（共3页） 图1 图2 1)若∠ACB=90°.(a-6+3a-2b-2=0 ①a=,b=_: ②当21<3时，若m=2 ,求的值： 2)如图2，当点P运动到线段AB上，AQ与CP交于点D,若AQ为BC边上的中线， AP=4BPS△APe=18 请直接写出P9D 的面积 24.(13分)阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中， AB=7,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围， D M D 图1 图2 图3 图4 ()几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长AD到Q使得DQ=AD: ②再连接B,把AB、AC、2AD集中在△ABO中： ③利用三角形的三边关系可得4<A犯<I0,则AD的取值范围是 (直接写出其取 值范围) 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三 试卷第7页（共3页） 角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中. (2)初步运用：如图2，AD是△ABC的中线，延长DA到点E,连接BE,使BE=AC,求 证∠BEA=∠DAC: 3)拓展提升：已知，如图3，AE是△ABC的中线，AB=AD,AC=AF, ∠BAD+∠FAC=180°，试探究线段AE与DF的数量关系，并给予证明 ④)应用实践：如图4，张大爷有一块五边形苗圃ABCDE,其五个内角之和为 540° ∠ABC+乙AED=180、月AB=BC,AB=BD,M为边CD的中点， CD BM=10 ,测 米，EM=15米，直接写出苗圃ABCDE的面积. 试卷第8页（共3页）