上海市实验学校2027届高三第一学期数学练习3

**基本信息** 高三数学周测试卷涵盖集合、函数、几何等核心知识，解答题如“含谷函数”新定义题及椭圆定点问题，考查抽象能力与推理意识，适配阶段性巩固与能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|集合运算、指数函数解析式、函数单调性等|基础题（1-6题）与中档题（7-12题）梯度分布，如第6题集合子集个数考查抽象能力| |选择题|4/18|奇函数性质、充要条件、函数图像对称性|第15题函数性质判断，考查推理能力；第16题结合集合元素个数与函数最值，体现数学思维| |解答题|5/78|立体几何证明与体积、椭圆综合、新定义探究|第18题立体几何二面角计算，培养几何直观；第21题“含谷函数”新定义，发展创新意识；第20题椭圆定点问题，强化模型意识|

SES 2027届高三第一学期数学练习3 一、填空题 1．设集合，，则______. 2．不等式的解集是_________. 3．若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为______． 4．集合，，则_________. 5．已知函数，则______． 6．已知集合有且仅有两个子集，则实数的值为____. 或 7．关于的一元二次方程的两实根的平方和为，则_______． 8．已知集合是非空集合，则实数的取值范围为_______. 9．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是_______. 【详解】由题，在上严格减且恒大于0 故，解得 10．已知定义在R上的奇函数满足，当时，.若，则二元有序数对________. 【详解】由题意得，故， 为偶函数，故， 故，所以， 所以， 故的一个周期为4，， 其中，故 所以.而，联立解得. 11．已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 【详解】因为关于的不等式对任意均成立， ①当对任意均成立时，可得对任意均成立， 令，可得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以，所以， 又由对任意均成立， 可得对任意均成立， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，所以. ②当且对于任意均成立时， 结合①可知且，此时无解. 综上可得，实数实数的取值范围为. 12． 严格增函数的定义域为正整数集，函数值也是正整数，且满足，则的值为________.3029 【详解】时，， 若，则，不符合题意， 若，则与矛盾，不符合题意， 所以，则，符合题意， ，则 ， ， ， 又，严格递增，且为正整数， 所以 时， ， 又严格增，故 ． 二、选择题 13．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ）A A． B． C． D． 14．已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件．C A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 15．定义在R上的函数满足，但不恒等于x，给出下列说法： ①可能是一次函数，且这样的有无数个；②可能是偶函数；③函数的图像关于直线对称. 正确的个数是（    ）B A．1 B．2 C．3 D．0 【详解】①所有的符合题意，正确 ②若偶函数满足，那么且，矛盾，不正确； ③由题，从的图像上任取一点，如果都有成立，则也就是都有也在的图像上，此即函数图像关于对称的定义，正确 16．已知定义在集合上的函数满足，记的最小值为，最大值为，，则下列命题正确的是（    ）B注：表示集合中元素的个数. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【详解】对A，若，不妨设中仅有1个元素，即的最小值为，若，根据，有，故，与为最小值矛盾，故A错误； 若，不妨设中仅有1个元素，即的最大值为，若，根据，有，故，因为为最大值，且若，则，无解，故，故不等式必成立，故B正确； 对C，若，则，同A可得C错误； 对D，若，则，不妨设有两根，且，则若存在使得，则由A可得，此时不成立，故D错误； 三、解答题 17．已知函数 （1）时，求的值域； （2）若是奇函数，求的值，并说明理由. 【详解】（1）时， ，故 （2）函数的定义域 若为奇函数，则任取都有，故 所以，. 此时，， 若，则， 对，在上恒成立 综上，，. 18．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以； （2）如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． 19．已知，函数. （1）若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的取值范围； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围. 【详解】（1）由得. 即，即，① 则，即，①， 当时，方程②的解为，代入①，成立， 当时，方程②的解为，代入①，成立， 当且时，方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即， 若是方程①的解，则，即， 则要使方程①有且仅有一个解，则. 综上，若方程的解集中恰好有一个元素， 则a的取值范围是，或或. （2）函数在区间上单调递减， 由题意得，即， 即，即. 设，则，得到， 当时，，当时，， ∵在上递减，∴， ∴，∴实数a的取值范围是. 20．已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点. （1）若是椭圆上的一个动点，求的最大值； （2）设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； （3）若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. 【详解】（1），，右焦点，， 当且仅当、、共线（介于、之间）时取到， （2）由平行于时，可设直线：，与椭圆联立后得到， 由可知，， 结合韦达定理， 解得， 所以直线方程为或， （3）当直线斜率存在时，设方程为，与：联立得： ， 设，， 由韦达定理得，. 当直线平行于轴时，，因此， 此时在轴上，设. 当直线斜率不存在时，不妨设，， 则有， 解得或（舍）.下面证明点符合条件. 设直线：，要证， 即是的角平分线，只要证明. 而， 而韦达定理可得，因而得证， 综上，存在定点， 21．设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i）， （ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 【答案】（1）是含谷函数，谷点；不是含谷函数， 理由：函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点； 函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数. （2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点， 令，所以， 设， 所以，由可知恒成立， 所以在区间上单调递增， 若满足谷点，则有，解得， 故m的取值范围是. （3）因为， 所以，若恒成立， 则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意； 因此关于x的方程有两个相异实根，即， 设两根为，且， 因为，所以函数在区间上不为严格增， 但是当时，，为严格增， 所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即， 同理，因为，所以， 因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减， 从而函数的含谷区间必满足， 即， 因为， ， 由得，所以， 由得，所以， 所以， 当时，， 当时，， 因此的最小值为，当时成立. 2 / 2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ SES 2027届高三第一学期数学练习3 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分） 1．设集合，，则______. 2．不等式的解集是_________. 3．若指数函数的图像经过点，则指数函数的解析式为______． 4．集合，，则_________. 5．已知函数，则______． 6．已知集合有且仅有两个子集，则实数的值为____. 7．关于的一元二次方程的两实根的平方和为，则_______． 8．已知集合是非空集合，则实数的取值范围为_______. 9．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是_______. 10．已知定义在R上的奇函数满足，当时，.若，则二元有序数对________. 11．已知关于的不等式对任意均成立，则实数的取值范围为__________. 12． 严格增函数的定义域为正整数集，函数值也是正整数，且满足，则的值为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13～14题每题4分，15～16题每题5分） 13．若函数是奇函数，且当时，，则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 14．已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 15．定义在R上的函数满足，但不恒等于x，给出下列说法： ①可能是一次函数，且这样的有无数个；②可能是偶函数；③函数的图像关于直线对称. 正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 16．已知定义在集合上的函数满足，记的最小值为，最大值为，，则下列命题正确的是（    ）注：表示集合中元素的个数. A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） （14分）17．已知函数 （1）时，求的值域； （2）若是奇函数，求的值，并说明理由. （14分）18．如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. （14分）19．已知，函数. （1）若关于x的方程的解集中恰有一个元素，求a的取值范围； （2）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围. （18分）20．已知椭圆：，的下顶点为，左焦点为，动直线与椭圆交于、两点. （1）若是椭圆上的一个动点，求的最大值； （2）设，为坐标原点，若四边形为平行四边形，求直线的方程； （3）若直线经过定点，坐标平面上是否存在定点（不同于点），使得恒成立？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由. （18分）21．设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”． （1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由： （i）， （ii）； （2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围； （3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值． 2 / 2 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $