第一章 空间向量与立体几何单元试卷（提升）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 空间向量与立体几何章末检测提高卷，通过单选、多选、解答等题型综合考查空间角、距离计算及向量运算，强化逻辑推理与空间观念，适配高二新授课知识巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|面面角余弦值、线面角正弦值等|基础巩固，聚焦空间角与距离计算| |多项选择题|3/18|基底判断、向量坐标运算|能力区分，考查向量基本概念与性质| |填空题|3/15|向量数量积、法向量求解|知识综合，强化向量工具性应用| |解答题|5/77|向量表示、模长计算、垂直证明等|梯度提升，从向量表示到空间几何证明，体现数学思维与空间观念|

高二上学期 第一章 空间向量与立体几何 章末检测·提高卷 保密★启用前 第一章 空间向量与立体几何（章末检测•提高卷） 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （试卷总分：150分　建议用时：120分钟　测试范围：第一章 空间向量与立体几何） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．开考前先把班级、姓名、考号填在密封线内，答题一律使用黑色字迹的签字笔。 2．单项选择题每小题只有一个选项符合题意；多项选择题在给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。把选项前面的字母填在题后的括号里。 3．用坐标法解题时，先交代原点和三条坐标轴分别取在哪条直线上，再写出要用到的点和向量的坐标。 4．求夹角与距离的题，结果一律写成精确值，余弦值、正弦值和根式都不要化成小数。 评卷人 得分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，侧棱AA1=1，则平面A1BC与平面ABC的夹角的余弦值是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱AA1=1，则直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 4．在三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2，PC=1，则点P到平面ABC的距离是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB=AC=2，PA=t（t>0）。若平面PBC与平面ABC的夹角的余弦值为，则t= (____)。 A．　　B．1　　C．2　　D．4 6．在正四棱锥P－ABCD中，底面的边长为2，顶点P在底面内的射影是底面的中心O。若侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为，则这个棱锥的高PO是(____)。 A．　　B．2　　C．2　　D．4 7．已知空间向量，的模分别是2和3，它们的夹角是60°，则(＋2)·(－)= (____)。 A．－11　　B．－14　　C．－17　　D．1 8．在空间直角坐标系中，已知E(1,0,1)，F(2,1,3)，G(0,2,2)，则点G到直线EF的距离是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 评卷人 得分 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设{，，}是空间的一个基底，在下面四个判断中成立的有(____)。 A．，，＋2这三个向量共面 B．＋，＋，＋可以作为空间的一个基底 C．＋，－，＋可以作为空间的一个基底 D．若=3＋2，则，，这三个向量共面 10．给定= (2,3,6)与= (6,2,3)，判断下列结论，其中正确的有(____)。 A．＋2的坐标是(8,5,9) B．||=|| C．cos〈，〉= D．⊥(－) 11．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=3，AC=2，PA=2，点N是棱BC的中点。以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是(____)。 A．平面PAC的一个法向量是(1,0,0) B．平面PBC的一个法向量是(3,2,2) C．直线AN与直线PB所成角的余弦值等于 D．直线PN与平面ABC所成角的正弦值是 评卷人 得分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，且以A为起点的三条棱两两所成的角都是60°。记=，=，=，则·的值是(____)。 13．已知平面α的一个法向量是= (2,－1,3)，直线l的方向向量是= (p,4,q)。若直线l⊥平面α，则p= (____)，q= (____)。 14．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，M是线段AB的中点，N是线段CD的中点。记=，=，=，则= (____)；若||=||=||=2，且，，两两垂直，则||= (____)。 评卷人 得分 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，记=，=，=，M是棱A1D1的中点，点N在棱CC1上且C1N=2NC。 (1)用基底{,,}表示向量； (2)若||=||=||=1，且〈，〉=〈，〉=〈，〉=60°，求||。 16．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，各条棱的长都是2。 (1)化简＋＋，并把化简的结果写成以图中某两个顶点为起点和终点的向量； (2)求|－＋|； (3)求(＋)·(＋)。 17．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长等于2，在棱AB上取中点M，在棱BC上取中点N。 (1)写出向量与的坐标，并求·； (2)求|＋|； (3)求与的夹角的余弦值。 18．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4。 (1)求证：BD⊥A1C； (2)棱AA1上是否存在点P，使DP⊥BC1？若存在，求出AP的长；若不存在，请写出判断的依据； (3)求△BDC1的面积。 19．如图，四棱锥P－ABCD的侧棱PA垂直于它的底面，底面是正方形，正方形的边长与PA的长都等于2。 (1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出B，C，D，P四点的坐标，并求·； (2)棱PC上是否存在异于P，C的点Q，使与互相垂直？若存在，求出PQ的长；若不存在，请写出判断的依据； (3)求平面PBD与平面PBC的夹角的余弦值。 　参考答案与解析 　客观题答案速查 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C D D B A D 题号 9 10 11 12 13 答案 AB BC ACD 11 －8；－12 　一、单项选择题 1．【答案】B 【解析】直三棱柱的侧棱垂直于底面，又AC⊥BC，所以CA、CB、CC1两两垂直，可以C为原点，CA、CB、CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。由AC=2，BC=1，AA1=1得C(0,0,0)，B(0,1,0)，A1(2,0,1)。 在平面A1BC内取=(0,1,0)与=(2,0,1)。设它的法向量=(x,y,z)，由·=0得y=0，由·=0得2x＋z=0；取x=1，则z=－2，所以=(1,0,－2)，||=。 侧棱CC1垂直于底面，所以平面ABC的一个法向量可取=(0,0,1)。设两个平面的夹角为θ，则cosθ===，选B。 A项把AA1与AC的长度用反（当成AA1=2，AC=1），法向量随之算成(2,0,－1)，于是得=；C项把||直接用1与2相加得3，算成；D项把平面A1BC的法向量误取成(1,1,－1)，算成=。 2．【答案】A 【解析】以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，C1(2,2,1)，于是=(2,2,1)，||==3。 平面BB1C1C里的点横坐标都等于2，它与x轴垂直，所以可取它的一个法向量为=(1,0,0)。 设直线AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，线面角用方向向量与法向量的夹角来算：sinθ===，选A。 B项把侧棱长1当成了分子，实际上是AC1与平面ABCD所成角的正弦值，两个平面搞混了；C项漏掉了取模这一步，用2除以||的平方得；D项算出来的是夹角的余弦值，不是正弦值。 3．【答案】C 【解析】棱长为2的正方体中，从顶点A出发的三条棱两两垂直，就取A为原点，把AB、AD、AA1所在直线依次当作x轴、y轴、z轴。这时A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，C1(2,2,2)，D1(0,2,2)。E是CC1的中点，所以E(2,2,1)。 于是=(2,2,1)，=(0,2,2)－(2,0,0)=(－2,2,2)。||==3，||==2。 ·=2×(－2)＋2×2＋1×2=2。两条异面直线所成角θ满足cosθ====，选C。 A项把分母只写成||，漏乘||，算成=；B项把||=开方时漏掉因数2，错当成，算成=；D项把||=错算成2，于是得=。 4．【答案】D 【解析】三条棱两两垂直，可以直接以P为原点，PA、PB、PC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则P(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)。 =(－2,2,0)，=(－2,0,1)。设平面ABC的法向量=(x,y,z)，由·=0得－2x＋2y=0，由·=0得－2x＋z=0；取x=1，则y=1，z=2，所以=(1,1,2)，||=。 取平面内一点A，则=(2,0,0)，点P到平面ABC的距离d===，选D。 A项把分子|·|=2漏写成1，算成=；B项取x=2得=(2,2,4)，分子随之变成4，分母却还用先前=(1,1,2)的模，算成=；C项把距离的平方=直接当成了距离，忘了最后还要开一次方。 5．【答案】D 【解析】以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,t)。 =(－2,2,0)，=(－2,0,t)。设平面PBC的法向量=(x,y,z)，由·=0得－2x＋2y=0，由·=0得－2x＋tz=0；取z=2，则x=t，y=t，所以=(t,t,2)。 PA⊥平面ABC，所以平面ABC的一个法向量可取=(0,0,1)。由夹角公式得cosθ===。 解这个方程：=6，两边平方得2＋4=36，所以=16，又t>0，所以t=4，选D。 B项是漏掉了根号，把方程写成=，解得2＋4=6，t=1；C项把平面PBC的法向量错取成(t,t,1)，于是方程变成=，解得t=2；A项把面面角公式与线面角公式混用，把当成两法向量夹角的正弦值，于是令=，解得2＋4=，t=。 6．【答案】B 【解析】PO垂直于底面，所以OA就是PA在底面内的射影，PA与底面ABCD所成的角就是这条侧棱与OA的夹角。 底面是边长为2的正方形，它的对角线长为2，中心O到顶点A的距离OA等于对角线的一半，即OA=。 在直角三角形POA中，tan∠PAO===，所以PO=×=2，选B。 A项把OA误取成底面边长的一半1，算成×1=；C项把OA误取成底面的边长2，算成×2=2；D项把OA误取成整条对角线2，算成×2=4。 7．【答案】A 【解析】先算出·。由数量积的定义，·=||||cos60°=2×3×()=3。 再把括号按分配律展开：(＋2)·(－)=·－·＋2·－2·=||²＋·－2||²。 把||²=4，·=3，||²=9代进去，得4＋3－2×9=4＋3－18=－11，选A。 B项展开时漏掉了交叉项·，算成4－2×9=－14；C项把－·与2·合并时符号弄反，算成4－3－18=－17；D项把||²当成了||，算成4＋3－2×3=1。 8．【答案】D 【解析】先把直线EF的方向写成向量：=(1,1,2)，||==，于是直线EF的一个单位方向向量=。 再取=(－1,2,1)，则||²=1＋4＋1=6，·=－1＋2＋2=3，所以在直线EF上的投影长是·=。 由勾股定理，点G到直线EF的距离d====，选D。 A项把投影长=当成了距离；B项把点G到直线上一点E的距离||=当成了点到直线的距离；C项把||²错算成4（把写成了2），于是得=。 　二、多项选择题 9．【答案】AB 【解析】A项正确：＋2由，线性表示，按共面向量定理，，，＋2这三个向量共面。 B项正确：先看＋与＋这两个向量：若它们共线，则＋=λ(＋)，比较的系数得1=0，不可能，所以这两个向量不共线。再假设这三个向量共面，由共面向量定理，存在实数x，y使＋=x(＋)＋y(＋)。比较，，的系数得x=1，x＋y=0，y=1；由x=1与y=1得x＋y=2，与x＋y=0矛盾。所以三者不共面，可以作为基底。 C项错误：(＋)－(－)=＋，正好是第三个向量＋，即第三个向量能被前两个线性表示，三者共面，不能作为基底。 D项错误：与是基底里的两个向量，它们不共线。若，，共面，则能写成xa＋yc的形式，与=3＋2比较系数得的系数2=0，矛盾；所以，，不共面。 综上，符合题意的是A与B。B与C只差一个符号，判断时要真去找三个向量之间有没有线性关系，不能凭形状相似套结论。 10．【答案】BC 【解析】A项错误：2=(12,4,6)，所以＋2=(2＋12,3＋4,6＋6)=(14,7,12)。(8,5,9)是把2当成后算出的＋=(2＋6,3＋2,6＋3)，漏掉了系数2。 B项正确：||===7，||===7，两个向量的模相等。 C项正确：·=2×6＋3×2＋6×3=12＋6＋18=36，所以cos〈，〉==。 D项错误：－=(2－6,3－2,6－3)=(－4,1,3)，于是·(－)=2×(－4)＋3×1＋6×3=－8＋3＋18=13，不等于0，与－并不垂直。由||=||能推出的是(＋)⊥(－)，本项把和向量错换成了。 综上，符合题意的是B与C。 11．【答案】ACD 【解析】按题设建系，得A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)；N是棱BC的中点，故N(,1,0)。 A项正确：平面PAC就是坐标平面yOz，它的一个法向量可以取(1,0,0)。 B项错误：在平面PBC内取=(3,0,－2)，=(0,2,－2)，它们不共线。设=(x,y,z)是平面PBC的一个法向量，由·=0得3x－2z=0，由·=0得2y－2z=0；取x=2，则z=3，y=3，所以法向量可以取(2,3,3)。(3,2,2)是把平面PBC在三条坐标轴上的截距3，2，2直接抄成法向量得到的；回代检验，=(－3,2,0)，(3,2,2)·=3×(－3)＋2×2＋2×0=－5，不等于0，可见它并不垂直于平面PBC。 C项正确：=(,1,0)，=(3,0,－2)，所以·=，||=，||=；于是直线AN与直线PB所成角的余弦值等于=。 D项正确：平面ABC就是坐标平面xOy，它的一个法向量可以取=(0,0,1)。=(,1,－2)，||=；记直线PN与平面ABC所成的角为θ，则sinθ===。 综上，符合题意的是A、C与D。B项的错法在于把截距当法向量，凡是写出法向量都应当回代平面内两个不共线的向量验证一次。 　三、填空题 12．【答案】11 【解析】平行六面体中，以A为起点的对角线向量等于三条棱向量之和，所以=＋＋。 由数量积的定义与题设的夹角，·=2×3×cos60°=3，·=2×4×cos60°=4，而·=||²=4。 于是·=(＋＋)·=·＋·＋·=4＋3＋4=11。 这里三个夹角都是60°，cos60°=0.5，交叉项一个都不能漏；把·写成||||时也不要把模长与夹角的位置搞混。 13．【答案】－8；－12 【解析】直线与平面垂直，等价于直线的方向向量与平面的法向量平行，所以存在实数λ，使=λ，即(p,4,q)=(2λ,－λ,3λ)。 比较第二个分量得－λ=4，所以λ=－4。 再比较第一个与第三个分量：p=2λ=－8，q=3λ=－12。 检验：=(－8,4,－12)=－4×(2,－1,3)，确实与平行，所以直线l⊥平面α。 14．【答案】； 【解析】先把N的位置向量写出来：N是CD的中点，所以===/2＋/2。 M是AB的中点，所以=/2。 由向量减法的三角形法则，=－=/2＋/2－/2，也可以写成。 ，，两两垂直，它们的两两数量积都是0，所以||²=()(||²＋||²＋||²)==3。 所以||=。注意第二空求的是模，必须最后开一次方，不能把3直接当答案。 　四、解答题 15．【答案】（1）=＋/2－2/3；（2） 【解析】【解答】(1)先把M、N两点的位置向量用基底写出来。把A当作起点，=＋=＋/2。 点N在棱CC1上且C1N=2NC，说明N到C的距离占整条CC1的，所以=＋=(＋)＋/3。 于是=－=(＋＋/3)－(＋/2)=＋/2－2/3。 (2)由题设，三个基向量的模都是1，两两夹角都是60°，所以·=·=·=1×1×cos60°=。 把=＋/2－2/3平方展开：||²=||²＋()||²＋()||²＋2×1×()×(·)＋2×1×(－)×(·)＋2×()×(－)×(·)。 逐项算出：1＋＋=；交叉项依次为、－、－，合计为－。 所以||²=－=，从而||=。 【易错提醒】(2)中把三个交叉项漏掉，或者把系数2pq里的p、q写成绝对值而丢掉负号，都会算成；展开前先把每个基向量的系数看清楚，再按公式逐项代入。 16．【答案】（1）；（2）2；（3）4 【解析】【解答】(1)正方体的对面棱互相平行且长度相等，所以与是同一个向量，于是＋＋=＋＋。 按向量加法的三角形法则首尾相接：＋=，再加上得。所以化简的结果是，它以图中的顶点A为起点、顶点C1为终点，正是这个正方体的一条体对角线。 (2)把坐标系建起来：取A为原点，AB、AD、AA1所在直线依次为x轴、y轴、z轴，棱长为2，则=(2,0,0)，=(0,2,0)，=(0,0,－2)。 作坐标运算：－＋=(2－0＋0,0－2＋0,0－0－2)=(2,－2,－2)。 所以|－＋|==2。 (3)＋=(2,2,0)，＋=(0,2,2)。 数量积为(2,2,0)·(0,2,2)=2×0＋2×2＋0×2=4。 第(2)问里的方向是从A1指向A，竖坐标取负值；把它写成会把结果算成(2,－2,2)，模长虽然仍是2，但向量本身已经不是题目要的那一个了。 17．【答案】（1）=(1,1,0)，=(2,－2,－2)，数量积为0；（2）；（3） 【解析】【解答】正方体从顶点A引出的三条棱两两垂直，取A为原点，AB、AD、AA1所在直线依次为x轴、y轴、z轴。棱长为2，所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，A1(0,0,2)，D1(0,2,2)。 M是AB的中点，故M(1,0,0)；N是BC的中点，故N(2,1,0)。 (1)向量的坐标等于终点坐标减去起点坐标：=(2－1,1－0,0－0)=(1,1,0)，=(2－0,0－2,0－2)=(2,－2,－2)。 数量积按对应分量相乘再相加：·=1×2＋1×(－2)＋0×(－2)=2－2＋0=0。 (2)先作坐标加法：＋=(1＋2,1－2,0－2)=(3,－1,－2)。 再用模长公式：|＋|===。 (3)=(2－0,2－0,0－2)=(2,2,－2)，||==2；又||==。 ·=1×2＋1×2＋0×(－2)=4，所以cos〈，〉===。 第(1)问的结果为0，说明MN与D1B这两条直线互相垂直；第(3)问求的是两个向量的夹角，结果为正，不需要再取绝对值。 18．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，此时AP=1；（3）6 【解析】【解答】以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系。由AB=AD=2，AA1=4得A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，A1(0,0,4)，C1(2,2,4)。 (1)=D－B对应的坐标是(－2,2,0)，=(2,2,－4)。 计算数量积：·=(－2)×2＋2×2＋0×(－4)=－4＋4＋0=0。 数量积为0说明这两个方向向量互相垂直，所以BD垂直于A1C。 (2)设点P在棱AA1上，则P的坐标形如(0,0,h)，其中0≤h≤4，并且AP=h。 此时=(0,0,h)－(0,2,0)=(0,－2,h)，=(2,2,4)－(2,0,0)=(0,2,4)。 若DP⊥BC1，则·=0×0＋(－2)×2＋h×4=4h－4=0，解得h=1。 h=1落在0≤h≤4之内，所以这样的点P存在，且AP=1。 取h=1回代检验：=(0,－2,1)，·=－4＋4=0，确实垂直，结论成立。 (3)沿用(1)中的坐标，=(－2,2,0)，=(2,2,4)－(2,0,0)=(0,2,4)。 先求在直线BD上的投影长：·=0×(－2)＋2×2＋4×0=4，||==2，投影长等于=。 再求BC1的长：||==2，它的平方等于20，而投影长的平方等于2。 于是三角形BDC1中BD边上的高等于==3，底BD=2。 所以△BDC1的面积等于()×2×3=6。 【易错提醒】BD边上的高不是C1与B或D的距离，必须先把分解成沿BD方向的投影与垂直于BD的分量，再用勾股关系求出垂直分量的长。 19．【答案】（1）B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，·=0；（2）存在，PQ=；（3） 【解析】【解答】(1)棱PA与底面垂直，底面又是边长为2的正方形，所以AB、AD、AP两两垂直，按题设建系后A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)。 =(0－2,2－0,0－0)=(－2,2,0)，=(2－0,2－0,0－2)=(2,2,－2)。 所以·=(－2)×2＋2×2＋0×(－2)=－4＋4＋0=0，这说明BD与PC互相垂直。 (2)棱PC上的点可以写成Q(2t,2t,2－2t)，其中0<t<1（t=0与t=1分别对应点P和点C，按题意要去掉）。 =(2t－0,2t－2,2－2t)=(2t,2t－2,2－2t)，=(2t－2,2t－0,2－2t)=(2t－2,2t,2－2t)。 由·=0得2t(2t－2)＋(2t－2)×2t＋(2－2t)²=0，展开为12t²－16t＋4=0，即3t²－4t＋1=0。 解得t=或t=1，其中t=1就是点C，应当舍去，所以t=，即Q(,,)。 此时=(,,－2)=(,,－)，PQ==，所以这样的点Q存在，PQ=。 (3)设平面PBD的法向量=(x,y,z)。=(－2,2,0)，=(－2,0,2)，由·=0得－2x＋2y=0，由·=0得－2x＋2z=0；取x=1，得=(1,1,1)。 再设平面PBC的法向量=(x,y,z)。=(0,2,0)，=(－2,0,2)，由·=0得2y=0，由·=0得－2x＋2z=0；取x=1，得=(1,0,1)。 两个平面的夹角θ不大于90°，所以cosθ====。 所以平面PBD与平面PBC的夹角的余弦值是。第(2)问里t=1这个根必须舍去，否则点Q与点C重合，不满足题目“异于P，C”的要求。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二上学期 第一章 空间向量与立体几何 章末检测·提高卷 保密★启用前 第一章 空间向量与立体几何（章末检测•提高卷） 人教A版选择性必修第一册数学高二上学期 （试卷总分：150分　建议用时：120分钟　测试范围：第一章 空间向量与立体几何） 学校：__________　姓名：__________　班级：__________　考号：__________ 注意事项： 1．开考前先把班级、姓名、考号填在密封线内，答题一律使用黑色字迹的签字笔。 2．单项选择题每小题只有一个选项符合题意；多项选择题在给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。把选项前面的字母填在题后的括号里。 3．用坐标法解题时，先交代原点和三条坐标轴分别取在哪条直线上，再写出要用到的点和向量的坐标。 4．求夹角与距离的题，结果一律写成精确值，余弦值、正弦值和根式都不要化成小数。 评卷人 得分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC=2，BC=1，侧棱AA1=1，则平面A1BC与平面ABC的夹角的余弦值是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱AA1=1，则直线AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 3．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中点，则异面直线AE与BD1所成角的余弦值是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 4．在三棱锥P－ABC中，PA、PB、PC两两垂直，PA=PB=2，PC=1，则点P到平面ABC的距离是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 5．在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB=AC=2，PA=t（t>0）。若平面PBC与平面ABC的夹角的余弦值为，则t= (____)。 A．　　B．1　　C．2　　D．4 6．在正四棱锥P－ABCD中，底面的边长为2，顶点P在底面内的射影是底面的中心O。若侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为，则这个棱锥的高PO是(____)。 A．　　B．2　　C．2　　D．4 7．已知空间向量，的模分别是2和3，它们的夹角是60°，则(＋2)·(－)= (____)。 A．－11　　B．－14　　C．－17　　D．1 8．在空间直角坐标系中，已知E(1,0,1)，F(2,1,3)，G(0,2,2)，则点G到直线EF的距离是(____)。 A．　　B．　　C．　　D． 评卷人 得分 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．设{，，}是空间的一个基底，在下面四个判断中成立的有(____)。 A．，，＋2这三个向量共面 B．＋，＋，＋可以作为空间的一个基底 C．＋，－，＋可以作为空间的一个基底 D．若=3＋2，则，，这三个向量共面 10．给定= (2,3,6)与= (6,2,3)，判断下列结论，其中正确的有(____)。 A．＋2的坐标是(8,5,9) B．||=|| C．cos〈，〉= D．⊥(－) 11．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=3，AC=2，PA=2，点N是棱BC的中点。以A为原点，AB、AC、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则下列结论中正确的是(____)。 A．平面PAC的一个法向量是(1,0,0) B．平面PBC的一个法向量是(3,2,2) C．直线AN与直线PB所成角的余弦值等于 D．直线PN与平面ABC所成角的正弦值是 评卷人 得分 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，且以A为起点的三条棱两两所成的角都是60°。记=，=，=，则·的值是(____)。 13．已知平面α的一个法向量是= (2,－1,3)，直线l的方向向量是= (p,4,q)。若直线l⊥平面α，则p= (____)，q= (____)。 14．设A，B，C，D是空间中不共面的四点，M是线段AB的中点，N是线段CD的中点。记=，=，=，则= (____)；若||=||=||=2，且，，两两垂直，则||= (____)。 评卷人 得分 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，记=，=，=，M是棱A1D1的中点，点N在棱CC1上且C1N=2NC。 (1)用基底{,,}表示向量； (2)若||=||=||=1，且〈，〉=〈，〉=〈，〉=60°，求||。 16．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，各条棱的长都是2。 (1)化简＋＋，并把化简的结果写成以图中某两个顶点为起点和终点的向量； (2)求|－＋|； (3)求(＋)·(＋)。 17．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长等于2，在棱AB上取中点M，在棱BC上取中点N。 (1)写出向量与的坐标，并求·； (2)求|＋|； (3)求与的夹角的余弦值。 18．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=4。 (1)求证：BD⊥A1C； (2)棱AA1上是否存在点P，使DP⊥BC1？若存在，求出AP的长；若不存在，请写出判断的依据； (3)求△BDC1的面积。 19．如图，四棱锥P－ABCD的侧棱PA垂直于它的底面，底面是正方形，正方形的边长与PA的长都等于2。 (1)以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出B，C，D，P四点的坐标，并求·； (2)棱PC上是否存在异于P，C的点Q，使与互相垂直？若存在，求出PQ的长；若不存在，请写出判断的依据； (3)求平面PBD与平面PBC的夹角的余弦值。 试卷第 1 页，共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $