专题02 空间向量的综合应用8大重点题型归纳（必考40题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题02 空间向量的综合应用8大重点题型归纳（必考40题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 利用空间向量证明线、面的平行关系 1．（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解题思路】以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得结果． 【解答过程】以为坐标原点，正方向为，，轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 设，则,0, ,0,,,,,, ， 所以，，，， 设平面的法向量， 则，令，得，，所以； 由可得是的中点，， 由可得， 所以， 因为平面，所以，解得． 故选：C. 2．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论可能正确的是（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【解题思路】建立空间直角坐标系，求出相关线段对应直线的方向向量、平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析判断. 【解答过程】在正四棱柱中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 令，是底面的中心，分别是的中点， 则 ， 所以，，，， 对于A，显然与不共线，即不成立，不正确； 对于B、C，设平面的法向量为，则， 令，得，，因此与不垂直，也不与平行， 即既不平行于平面，也不垂直于平面，不正确； 对于D，设平面的法向量为，则， 令，得，则， 所以，而平面，正确. 故选：D. 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为__________. 【答案】 【解题思路】建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量的方法即可求解. 【解答过程】 根据已知条件，建立如图所示： 以为坐标原点，、、分别为、、轴的空间直角坐标系， ，，，，， ，， ， ， 设平面的一个法向量， ，，则， 令，有，，所以， 平面，则，即， 解得. 故答案为：. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【解题思路】建立空间直角坐标系，利用法向量即可求解. 【解答过程】证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形， 所以AB，AP，AD两两垂直， 以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则． 所以，，，， 设是平面EFG的法向量， 则，，即，得， 令，则，，所以， 设是平面PBC的法向量， 由，，即，得， 令，则，，所以， 所以，所以平面EFG∥平面PBC． 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，根据正方体性质可知为平面的一个法向量，然后证明即可得证； （2）证明也是平面MNP的一个法向量即可. 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则，，，，，． 由正方体的性质，知平面， 所以为平面的一个法向量． 由于， 则， 所以． 又平面， 所以平面． （2）证明：因为为平面的一个法向量， 由于，， 则， 即也是平面MNP的一个法向量， 所以平面平面． 题型2 利用空间向量证明线、面的垂直关系 6．（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【解题思路】通过建立空间直角坐标系，对于每个选项，先确定相关点的坐标，进而得到向量与的坐标，再计算它们的数量积进行判断. 【解答过程】对于选项A，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，. 因为，根据向量垂直的性质可知，即满足，故A正确. 对于选项B，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为.    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，.则与不垂直.故B错误. 对于选项C，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，.则.则与不垂直.故C错误. 对于选项D，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为，    根据正方体的性质以及点的位置，可得，，，. ，，则.则与不垂直.故D错误. 故选：A. 7．（25-26高三上·四川达州·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 【答案】D 【解题思路】首先以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法，判断垂直和平行关系. 【解答过程】如图，建立空间直角坐标系，设棱长为， A.，，，，，， ，所以与不垂直，故A错误； B.平面的法向量为，，所以与平面的法向量不垂直，则与平面不平行，故B错误； C.，，，，所以，则，故C错误； D.，，，，， ，，，平面，所以平面，故D正确. 故选：D. 8．（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则______． 【答案】 【解题思路】建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，设点，求得，通过平面，建立关于的方程，确定的值，结合两点间的距离公式即可求解. 【解答过程】如图，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，得． 设，则． 因为平面，所以，则，解得，， 所以，，故． 故答案为：. 9．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面； (2)求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量再应用向量相等即可证明； （2）先应用线面垂直判定定理证明平面，再应用面面垂直判定定理证明. 【解答过程】（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，. 设平面的法向量为，则. 令，解得，.. 又， 所以平面； （2）证明：因为，又因为平面，平面， 所以平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. 10．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 【解题思路】（1）以D为原点，、、为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，计算即可证明； （2）求出面与面EBD的法向量，根据法向量垂直计算即可． 【解答过程】（1）证明：以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 设正方体的棱长为a，则． 设，， ， ∴，即； （2）证明：设平面和平面EBD的法向量分别为，． ， ，即，令，则，则， ，即，令，则，则． 由平面平面，得. ，即. ∴当E为的中点时，平面平面. 题型3 空间中线、面位置关系的探索性问题 11．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 【答案】C 【解题思路】建立空间直角坐标系，由直线的方向向量与平面的法向量的位置关系判断说法A；由计算两条直线的方向向量的数量积判断说法B；利用向量数量积验证垂直关系判断说法C；利用向量的模和向量夹角的计算，验证说法D. 【解答过程】以B为原点，的方向分别为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的坐标系，    设正方体的棱长为， 则。 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，则，即， 若，解得， 则时，，又平面，平面， 即为中点时，平面，故A正确. ，， 故对任意的点都有，故B正确. ， 若平面，则有，方程组无解， 所以不存在点，使得平面，故C错误. ， ， 则中，，都是锐角， ，也是锐角， 所以对于任意点，都是锐角三角形，故正确. 故选：C. 12．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 【答案】D 【解题思路】利用线面平行判定定理证明即可判断A正确，以为坐标原点建立空间直角坐标系，由法向量的关系可证明得出B正确，易知当点为的中点时，使得平面，可得C正确，由空间向量证明可得，可得D错误, 【解答过程】对于A，取的中点为，连接，如下图所示： 由中位线性质可得，显然，所以, 即可得四点共面，即四边形即为平面截正方体所得截面， 易知，所以四边形为等腰梯形，即A正确； 对于B，以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 设正方体的棱长为2，可得， 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，令，可得； 所以 易知， 设平面的一个法向量为， 可得，解得，可得，； 所以， 显然，即，所以平面平面，即B正确； 对于C，取的中点为，连接，如下图所示： 当为的中点时，可得，且， 又且，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 又平面，平面，即平面； 所以存在点为的中点时，使得平面，可得C正确； 对于D，由B选项中空间直角坐标系如下图所示： 可得，即， 设，则； 此时，即不成立； 所以不存在点，使得，即D错误. 故选：D. 13．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在；点Q为点B 【解题思路】（1）应用线面平行判定定理得出面面平行即可证明； （2）建立直角坐标系，设点的坐标满足线面垂直即线线垂直计算求参. 【解答过程】（1）证明：分别是的中点， ，∴四边形为平行四边形， ．平面平面,∴平面, 平面平面，平面． 又平面， ∴平面平面． （2）假设在线段上存在一点Q，使平面． 取的中点O，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设，则， ． 平面， ，解得， ∴在线段上存在一点Q，使平面，此时点Q为点B． 14．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，P为线段的中点 【解题思路】（1）根据题意，以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面与平面的法向量，由法向量平行，即可证明面面平行； （2）由空间向量的坐标运算，由与平面的法向量垂直，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）证明：以D为原点，DA，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， 则. 取，则，，所以平面的一个法向量为. 因为，即，所以平面平面. （2）设线段上存在点P使得平面，. 由（1）得，，平面的一个法向量为， 所以. 所以，解得. 所以当P为线段的中点时，平面. 15．（25-26高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)存在， 【解题思路】（1）取中点，连接，依题意可得、即可证明平面，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，求出平面、平面的一个法向量，根据平面垂直可得法向量数量积为求解即可. 【解答过程】（1）证明：取中点，连接，如图，    又为的中点， ，由，则， 又为等腰直角三角形，，， ，又，平面， 平面，又平面， （2）平面平面，平面平面，，平面， 平面，平面，故， 故以为原点，为、、轴正方向的空间直角坐标系，设，    ， 则，，， 若存在使得平面平面，且，， 则，解得，， 则，， 设为平面的一个法向量，则， 令，即， 设是平面的一个法向量， 则， 令，则， ，可得． 存在使得平面平面，此时 题型4 16．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间关系可证明线面垂直，从而可建立空间直角坐标系，表示各点坐标，即可用空间向量法求出点到平面的距离. 【解答过程】由取的中点为，连接，则， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又因为，所以可如图建立空间直角坐标系：    由，则， 可得：， 又因为为的中点，所以， 即， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离为， 故选：A. 17．（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用空间向量法求解点面距即可. 【解答过程】以为原点建立如图空间直角坐标系，    ，，，， ，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则 令，解得，，得到， 设点到平面的距离为，． 故选：C． 18．（2026高三·天津·专题练习）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为___________.    【答案】 【解题思路】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量，再由点到平面的距离公式求解即可. 【解答过程】以点为坐标原点，为轴，为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系如图所示：    则， 所以，， ， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，故， 所以点到平面的距离为. 故答案为：. 19．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）先得到，，再利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面的距离公式直接计算即可. 【解答过程】（1）证明：长方体中，，平面， 因为平面,所以， 因为，平面， 所以平面. （2）由题意可知两两垂直，所以以为原点所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 由题意可得 则， 设平面的法向量为， 则，令，得到； 因为,所以点D到平面的距离. 20．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．    (1)求证：平面； (2)若，，四棱锥的体积为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据条件，利用线面垂直的判定定理得 平面 ，从而得，再由面面垂直的性质得平面 ，进而可得，即可求解； （2）根据条件，由棱锥的体积公式得，建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量及，再由点面距的向量法，即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为底面为正方形，所以， 又，且，平面 ，所以 平面， 又 平面，所以， 连接，易知， 因为平面平面，平面 平面， 平面，所以平面 ，又 平面 ，则， 又因为，平面，所以平面． （2）由题意，则正方形的面积为， 又，得到， 由（1）知平面，又 平面，则， 以 点为坐标原点，以，，所在直线为，， 轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，由，所以， 则， 所以，，． 设平面 的法向量为，则，即， 令，得，所以， 则点到平面 的距离为． 题型5 21．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【解答过程】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 22．（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】将问题转化为点到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【解答过程】以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向，并均以1为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，，，，，， 所以，，，， 所以，因为四点不共线，所以∥， 由面，面，则面， 因为，，分别是棱，的中点，所以∥， 同理，∥平面，而，面， 所以平面∥平面面，故平面， 所以平面和平面之间的距离，就是到平面的距离，也就是点到平面的距离． 设平面的法向量为，则，不妨取，则， 所以点到平面的距离 ， 即平面和平面之间的距离是． 故选：B. 23．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【解题思路】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【解答过程】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2. 24．（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直线到平面的距离等于点到平面的距离，利用向量求解可得； （2）平面与平面间的距离等于点到平面的距离，利用向量法求解即可． 【解答过程】（1）以D为原点，为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则 所以，所以，即， 又平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于点到平面的距离． 设平面的一个法向量为， 则，令，则，又， 所以点到平面的距离.      （2）由（1）知平面，同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 即平面与平面间的距离等于点到平面的距离． 由（1）知，点到平面的距离. 所以平面与平面间的距离为. 25．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置的向量证明推理即得. （2）由（1）中信息，利用点到平面的距离公式计算即得. 【解答过程】（1）证明：在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则， ，于是， 即，因此直线， 而平面，则平面； 又，则，直线， 而平面，则平面，又点平面， 所以平面平面.    （2）由（1）得，平面的一个法向量为，而， 则点到平面的距离， 由平面平面，得平面与平面的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面的距离为. 题型6 向量法求线面角 26．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用线线平行转化线面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角的正弦值，再求解出线面角的正切值. 【解答过程】 因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以， 因此，直线与平面所成角即为直线与平面所成角， 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系,则 ，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，解得，，所以法向量， 设直线与平面所成角为，， 则， ， 因此，. 故选：D. 27．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，用向量的方法直接计算线面角的正弦值. 【解答过程】因为平面，平面，所以. 又因为，所以， 故以A点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 又因为分别是棱的中点，所以. 设平面的法向量为，. 由，得，令，则，即. 因为，所以直线与平面所成角的正弦值为 . 故选：C. 28．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为__________. 【答案】 【解题思路】根据几何体特征可证明平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系并求出平面的法向量，由线面角的向量求法计算可得结果. 【解答过程】如下图，连接，因为为BC中点， 所以，又平面底面， 平面底面平面， 所以平面， 又因为平面，所以，故两两垂直， 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图： 设，可得 由，可得， 所以， 设平面的一个法向量为，则，即， 令，得， 设直线与平面夹角为，则， 所以直线与平面夹角的余弦值为. 故答案为：. 29．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【解题思路】（1）取的中点通过题中条件证得四边形为平行四边形，从而得到，利用线面平行判定定理得到平面. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，设与平面所成的角为，利用向量的数量积求出，利用公式求出，即为直线与平面所成角的余弦值. 【解答过程】（1）证明：取的中点，连接，. 为的中点，且， 又，，，，且， 四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面. （2）以为原点，直线为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ，， ，，，，，， ，， ，， 设平面的法向量为， 则有，取，则，， 则平面的法向量为， 则，. 设与平面所成的角为， 则有， ， ， 直线与平面所成角的余弦值为. 30．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）根据线面垂直性质可知，再由线面垂直判定定理可证明平面，即可得平面平面； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法计算可得结果. 【解答过程】（1）证明：底面为矩形， 所以， 又因为平面，平面，所以， 又平面， 所以平面，又平面， 可知平面平面； （2）由（1）可知两两垂直，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 易知， 则， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 可得， 所以； 因此直线与平面所成角的正弦值为. 题型7 向量法求二面角 31．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】建系标点，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【解答过程】设为的中点，由正三棱柱的性质，，，两两垂直， 以为原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系．    则，，，，，， 可得，， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 平面的法向量， 设平面与平面所成角为， 则， 可得，所以. 故选：C． 32．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【解答过程】由平面，且平面，所以 又由，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，，且为中点， 可得，则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的角为，则. 故选：B. 33．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】 【解题思路】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【解答过程】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 34．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直平面的法向量； （2）求平面的法向量，结合（1）中平面的法向量，然后由夹角公式求解二面角. 【解答过程】（1）证明：因为，平面，则，， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，，底面为直角梯形，解得． 则，，，． 在平面中，，．     设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得． 因为点E在上，设， 则． 因为平面，所以，解得， 故E为线段的中点． （2）在平面中，，． 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，解得．由（1）知，， 记面与面的夹角为，则， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 35．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线； (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【解题思路】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明平面； （2）首先根据体积公式求侧棱长，再以点为原点建立空间直角坐标系，根据垂直关系，分别求平面和平面的法向量，再代入向量公式，即可求解. 【解答过程】（1）证明：因为平面，平面， 所以， 因为点分别是的中点，所以， 因为，所以， 所以，且，平面， 所以平面，平面， 所以； （2）因为，则，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，即，得， 如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系，连结， 因为平面，平面，所以， 因为，所以， 又因为，且，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， 因为 平面平面，且平面平面， 又，点是的中点，所以， 所以平面， 所以平面的一个法向量是， ，，，， ，， 设平面与平面所成锐二面角为， 则, 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 题型8 空间角与空间距离中的探索性问题 36．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点．    (1)求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； (2)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【解题思路】（1）建系求出平面的法向量，再应用线面角正弦公式计算求解； （2）设，再应用点到平面距离向量公式计算求参，再应用模长公式计算. 【解答过程】（1）因为，，两两垂直，所以以D为坐标原点建立如图空间直角坐标系，    ，，，，， 得，，， 设平面的一个法向量为， 得，令，得， 所以 所以 所以直线与平面所成角的正弦值是． （2）假设在线段上存在点，使得点到平面的距离是， 设，则，， 设平面的一个法向量为 由，得， 令，得，得， 所以， ∴点到平面的距离是，， 即，存在点满足题意， 此时，所以. 37．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在点Q为PB的中点， 【解题思路】（1）连接BE，通过说明，，即可求证； （2）建系，设，得到， 求得平面法向量和直线方向向量，结合夹角公式列出方程求解即可. 【解答过程】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，，，E为CD中点， ∴四边形ABED为菱形，∴， ∴，，即，，且， 平面POB，平面POB，∴平面POB. （2）由（1）可知四边形ABED为菱形，∴， 在等腰梯形ABCD中，，∴为正三角形， ∴，同理， ∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， 以O为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系Oxyz， 则，，，，， ，，， 设，， 设平面AEQ的一个法向量为， 则即 取，，得，∴， 设直线PC与平面AEQ所成角为θ，， 则，即， 化简得：，解得λ=， ∴存在点Q为PB的中点，即时， 使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为． 38．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． (1)求证： 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在，. 【解题思路】（1）连接FG，则由三角形中位线定理可得，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得， ，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解； （3）假设存在点H，设，利用空间向量求解即可. 【解答过程】（1）证明：连接FG，在△中，F、G分别为的中点， 所以.又因为平面， 平面， 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以.又，所以. 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系. 则，. 所以，. 设平面SCD的一个法向量为. 则，即， 令，得.所以平面SCD的一个法向量为. 又平面ESD的一个法向量为. 所以 所以平面SCD与平面ESD夹角的余弦值为. （3）假设存在点H，设， 则.31301266 由（2）知，平面的一个法向量为. 则， 即，所以. 故存在满足题意的点H，此时. 39．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)存在， 【解题思路】（1）通过面面垂直的性质定理和判定定理即可证得； （2）推导出平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出； （3）设，利用空间向量法可知，平面的法向量与平面的法向量的夹角余弦值的绝对值为，可得出关于的方程，解方程即可. 【解答过程】（1）证明：为等腰梯形，，， 又平面平面，平面平面， 平面， 又 平面，平面平面； （2），， 平面平面，平面平面，，平面， 平面，又平面， ，故两两互相垂直， 以为坐标原点，为轴，建立空间直角坐标系， 在等腰梯形，，，，， ，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 设直线与平面所成角为，则； （3）设，则， 设平面的法向量为，则，即， 取，则，则， 由题（2）可知，平面的法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 故棱（不包括端点）上存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，此时. 40．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在； 【解题思路】（1）在上取点，使，通过证明是平行四边形，有，平面， 平面，故 平面； （2）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，先求出平面 的法向量，与平面 所成角的正弦值，就是的方向向量与平面 的法向量夹角的余弦值，通过夹角余弦值公式即可求解. （3）由题意可设，再使用点到平面距离公式，即点到平面 的距离即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【解答过程】（1）证明：在上取点，使，连接，，如下图： 因为，即，且，故四边形是平行四边形， 则有且，因为是正方形，则有且， 故且，即四边形是平行四边形，则有， 因为平面， 平面，故 平面； （2）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如下图： 则， ， 设平面 的法向量，则有， 令，则，即，直线的方向向量为， 设直线与平面 的夹角为，则有 ， 故直线与平面 所成角的正弦值为. （3）已知，平面 的法向量，且， 设是线段上一点，由可设， 则， 点到平面 的距离， 令，解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量的综合应用8大重点题型归纳（必考40题专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 利用空间向量证明线、面的平行关系 1．（25-26高二上·四川遂宁·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面，底面是正方形，，E，F分别为，的中点，，，若平面，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（25-26高二上·浙江·阶段检测）如图，在正四棱柱中，是底面的中心，，分别是，的中点，则下列结论可能正确的是（   ） A． B．平面 C．平面 D．平面 3．（25-26高二上·湖南长沙·期末）在长方体中，，，，是的中点，点满足，当平面时，的值为__________. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面． 5．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）如图，已知在正方体中，，，分别是，，的中点．证明：    (1)平面； (2)平面平面． 题型2 利用空间向量证明线、面的垂直关系 6．（25-26高二上·北京密云·期末）如图，下列各正方体中，为下底面中心，为其所在棱的中点，，为正方体的顶点，则满足的是（    ） A．   B．   C．   D．   7．（25-26高三上·四川达州·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为所在棱的中点，则（    ） A． B．平面 C．直线与为异面直线 D．平面 8．（25-26高二上·广东广州·期中）《九章算术》是我国古代数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．如图，在阳马中，底面，底面是矩形，，，是的中点，．若点在矩形内，且平面，则______． 9．（25-26高二上·浙江嘉兴·阶段检测）在正四棱柱中，，P为的中点. (1)取中点，中点，求证：平面； (2)求证：平面平面. 10．（25-26高二上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知正方体中，E为棱上的动点． (1)求证：； (2)若平面平面，求证：E为的中点． 题型3 空间中线、面位置关系的探索性问题 11．（25-26高二上·北京丰台·期末）如图，正方体中、是线段上的动点，则下列结论中不正确的是（   ）    A．存在点，使得平面 B．对于任意点， C．存在点，使得平面 D．对于任意点，都是锐角三角形 12．（25-26高三下·北京·阶段检测）如图，正方体中，分别是上的中点，是上的动点.下列结论错误的是（   ） A．平面截正方体所得截面为等腰梯形 B．平面平面 C．存在点，使得平面 D．存在点，使得 13．（25-26高二下·全国·课后作业）如图，在正三棱柱中，分别是的中点． (1)求证：平面平面． (2)在线段上是否存在一点Q，使平面？若存在，确定点Q的位置；若不存在，也请说明理由． 14．（25-26高二上·天津蓟州·阶段检测）如图，在长方体中，，，. (1)求证：平面平面. (2)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 15．（25-26高二上·重庆梁平·开学考试）平面上两个等腰直角和，既是的斜边又是的直角边，沿边折叠使得平面平面，为斜边的中点．    (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型4 16．（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面， ，为的中点，则点到平面的距离为（   ）    A． B． C． D． 17．（25-26高二上·浙江·期中）在直三棱柱中，，，，分别是棱，上的点，且，，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 18．（2026高三·天津·专题练习）如图，在三棱柱中，所有棱长均为1，且底面，则点到平面的距离为___________.    19．（25-26高二上·新疆昌吉·期末）如图，长方体中，，点P为的中点． (1)求证：平面； (2)求点D到平面的距离． 20．（2026·湖北宜昌·模拟预测）如图，在四棱锥中，底面为正方形，，平面平面．    (1)求证：平面； (2)若，，四棱锥的体积为，求点到平面的距离． 题型5 21．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·全国·课后作业）正方体的棱长为2，，，，分别是棱，，，的中点，则平面和平面之间的距离为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 24．（25-26高二下·全国·课堂例题）设正方体的棱长为2，求： (1)求直线到平面的距离； (2)求平面与平面间的距离. 25．（25-26高二上·新疆巴州·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，点E在线段上，且，D、F、G分别为的中点.    (1)求证：平面EGF平面ABD； (2)求平面EGF与平面ABD的距离. 题型6 向量法求线面角 26．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）如图，长方体的底面是边长为2的正方形，，点、分别为棱、的中点.若平面平面，则直线与平面所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·广东惠州·阶段检测）在三棱锥中，平面，，分别是棱的中点，，，则直线与平面所成角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）如图，三棱锥中，，且平面与底面垂直，为中点，，则直线与平面夹角的余弦值为__________. 29．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）如图，在四棱锥中，，，底面，，，是的中点． (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的余弦值． 30．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，，为的中点. (1)证明：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型7 向量法求二面角 31．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）如图，在棱长均为2的正三棱柱中，、分别为、的中点，为线段上的点，，则平面与平面所成角的正切值为（   ）    A．1 B． C． D． 32．（25-26高二上·广东东莞·阶段检测）如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，则平面与平面的余弦值为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    34．（26-27高二上·湖南邵阳·开学考试）如图，在多面体中，四边形是直角梯形，，，，均与平面垂直，且． (1)在棱上取一点E，使得平面，证明：E为棱的中点； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 35．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，. (1)求证：直线； (2)若，且三棱锥的体积为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 题型8 空间角与空间距离中的探索性问题 36．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）如图，在四棱锥中，DP，DA，DC两两垂直，四边形ABCD是梯形，，，M为棱PC的中点．    (1)求直线BM与平面PAB所成角的正弦值； (2)在线段PA上是否存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是？若存在，求出线段CQ的长度；若不存在，说明理由． 37．（26-27高二上·湖南长沙·开学考试）如图所示，等腰梯形ABCD中，，，，E为CD中点，AE与BD交于点O，将沿AE折起，使点D到达点P的位置（平面ABCE）. (1)证明：平面POB； (2)若，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 38．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，． (1)求证： 平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在一点H，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 39．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图1所示，在等腰梯形，，，垂足为，，，将沿折起到的位置，如图2所示，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在棱（不包括端点）上是否存在点，使平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 40．（25-26高二上·北京昌平·期末）如图，是边长为4的正方形，平面，，且. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. (3)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $