第一章空间向量与立体几何章节测试-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量与立体几何单元核心，通过基础（如空间直角坐标系对称点）、能力（如线面角最小值）、创新（如探究性二面角问题）三级梯度设计，考查空间观念、运算能力与推理意识，适配单元复习巩固与素养提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|空间向量表示、夹角计算、共面条件|单选考基础（如三棱柱向量表示），多选考综合（如基底与重心判断）| |填空题|3题/15分|投影向量、点面距离、二面角|结合几何直观（如三棱锥二面角与线面角关联）| |解答题|5题/77分|向量表示、长度计算、线面垂直、体积与夹角探究|解答题19含参数探究（λ值），体现创新应用，符合高考命题趋势|

空间向量与立体几何章节测试 人教A版强化版 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：空间向量与立体几何 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的 1.在空间直角坐标系中，O为坐标原点，对空间中一点P2,-3,4,则下列叙述正确的是() A.点p关于x轴的对称点是P,仁2，-3,4B.点p关于平面y02的对称点是P,2,3-4到 C.点p关于y轴的对称点是P,-2,-3,-4D.点p关于原点的对称点是P,-23,4 2.如图，在三棱柱ABC-A,B,C中，设AA,=a'店=iAC=2'M是BC的中点，则A可表示 为() 1/10 B M B 1-*6+ B.AM=a+b+-c 2 1 C.AM=a+b+与c D.AM=号a+i+c 2 3.已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意一点P,都有PO=-2A+5PB+mP亡， 则实数m的值为() A.0 B.-2 C.-1 D.2 4在四面体OABC中，点M满足OM=3MAN在BC上.若MN=xAB+yOC则x-y=（） M B 1 A.0 B. 3 D. 5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1,AD=2,AA1=3,且AB与AD的夹角为60°，AB与 AA的夹角为g0,AA,与AD的夹角为120，则体对角线AC,的长度为() A.6, B.2V2 c.V10 D.23 2/10 6.如图，二面角a-I-B的大小为写点A,B分别在半平面a,B内，AC1I于点C,BD11于点D. 若AC=5,BD=6,CD=52,则AB=() A.V141 B.7 C.8 D.9 7.四棱锥P-ABCD的底面为正方形，且PD⊥平面ABCD,若PD=AD,E为PB的中点，PF=λ函， PCn平面t=G,且PC=3 则入=() “GC21 A.1 B.2 C.2 D.3 8.在正方体ABCD-A1B,C1D1中，点O为线段AC的中点，点P在线段A1C1上，直线OP与平面 A1BC,所成的角为g则os9的最小值为（） 7 6 A. B. 3 3 3 c.3 2 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 3/10 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列命题为真命题的是() A.已知a=(1,-1,1),6=(-2,20),=21,-3则（à+6-(a+=-6 V14 B.已知空间三点A1,1,1,B2,2,2,C3,2,4,则向量AB与AC的夹角余弦值为 14 C.“存在实数x,y,使c=xā+yb”是“与ā，b共面”的充分不必要条件 D.已知OA,O丽，0心是空间的一个基底，且O办=O1+号Oi+号DC,则点D在平面ABC内，且 3 D为△ABC的重心 10.如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，BC1与B,C相交于点O,∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°， A1A=2'AB=AC=1'则下列说法正确的是() A Ak B A.AO⊥BC B.A0=7 2 4/10 C.AO与AB所成角的余弦值为 9V11 22 D.AO·AA1=3 11.己知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，E,F分别为边AB,A1B1的中点，且存在点P,满足 AP=λAB+μAD,入，μ∈(0,1，则下列选项中正确的是() A.若直线C1P/I平面AB1D1,点P的轨迹长度为2V2 B.若=则直线D,p与A,C,所成角的取值范围是工， 6’2 C.若入=2μ，则平面ABP⊥平面DEF D.若=2μ，则D,P)+PF的最小值为21 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知后=2,13r6=03,3则a在6上的投影向量为 13.在空间直角坐标系中，已知E(1,2,0),F(-1,2,0),G(0,1,3),P(0,0,3),则点P到平面EFG的 距离是 14.如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点，若点M在 棱BC上，且二面角M-PA-C的大小为30°，则PC与平面PAM所成角的正弦值为一· 5/10 A B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在三棱柱ABC-A1BC1中，底面边长和侧棱长都等于2， ∠BAA1=∠CAA1=60°，M为BC的中点，N为线段A1B1上靠近A1的三等分点. M A--C B ()设AB=ā，A记=6，A1,=2试用向量a,6,表示M亦： (2)求线段MN的长度. 6/10 16.(15分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1所有的棱长均为2， ∠DAB=∠DAA=∠AAB=60°，CM=CC,E为AD,的中点，设AB=a,AD=b,AA=C D E B D B )用a,b,c表示AM,BE (2四求AM·BE 的值. 7/10 17.(15分)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AD=AB=2,AA1=1,点C在平面AB1D1上的射 影为H. A B D B A D ()设B,i=xBA+yB,D:求xy的值： ②已知BP=B,D,:BQ=λBA,其中0<1<1若C京∥平面CPQ求，的值. 8/10 18.(17分)在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D,E,F分别是棱AB,BC,CP的中 点，AB=AC=2,PA=3. P (I)求点P到直线EF的距离； (2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值 9/10 19.(17分)如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD为平行四边形，△SAB为正三角形，AC⊥平面SAB, ∠ABC=60°，BC=4,点T满足S7=λSD(0<λ<1). A ④若入=时，求三棱锥B-ATC的体积： (2)若平面c过直线BT,且AC/平面Q,平面Q与侧棱SC,SA分别交于点E,F.是否存在点T,使得平 面ABCD与平面α的夹角为？若存在，请说明点T的位置，并求此时△BEF的面积；若不存在，请说明 理由. 10/10 空间向量与立体几何章节测试 人教A版·强化版 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：空间向量与立体几何 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．在空间直角坐标系中，为坐标原点，对空间中一点，则下列叙述正确的是（   ） A．点关于轴的对称点是 B．点关于平面的对称点是 C．点关于轴的对称点是 D．点关于原点的对称点是 【答案】C 【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称坐标变换规则，逐一验证各选项即可. 【详解】 选项A，任意点，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，A错误； 选项B，关于平面对称的点坐标为：因此关于平面的对称点为，B错误； 选项C，关于轴对称的点坐标为：因此关于轴的对称点为，C正确； 选项D，关于原点对称的点坐标为：因此关于原点的对称点为，D错误. 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 3．已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 4．在四面体中，点满足，在上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算及空间向量基本定理，将分别用基底表示，通过对应系数相等建立方程组求解的值即可. 【详解】由题意，在四面体 中，， 所以 ， 因为点在上，设，其中，则， 又因为， 由于不共面，根据空间向量基本定理，对应系数相等， 可得，解得，，所以 ， 则，故C正确. 5．在平行六面体中，，，，且与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，则体对角线的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以 ， 所以体对角线的长为. 6．如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 7．四棱锥的底面为正方形，且平面，若，为的中点，，平面，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接建立空间直角坐标系，再由共面，进而可得共面，由平面向量基本定理可得. 【详解】因为底面，底面为正方形，设，以为原点，分别为轴， 得各点坐标： ，是中点，得. 由，所以，， . 设，由，所以，， 所以 . 因为平面，所以共面，因此共面，且不共线， 由平面向量基本定理，设，则， 所以，解得. 8．在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题为真命题的是（　　） A．已知，则 B．已知空间三点，，，则向量与的夹角余弦值为 C．“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件 D．已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心 【答案】CD 【详解】对于A：，, 所以，A错误； 对于B：因为，，所以向量 与的夹角余弦值为，B错误； 对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”， “与共面”不一定能推出“存在实数，使”， 因为当共线但与不共线时，与共面成立， 但不存在实数，使，C正确； 对于D：因为，所以， 即，即， 所以共面且有公共点，所以点在平面内，取中点， 则有，同理取中点，则有， 所以为的重心，D正确. 10．如图，在三棱柱中，与相交于点，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，根据空间向量的线性运算可得，，进而验证即可判断；对于BCD，根据空间向量的数量积的定义及运算律求解判断即可. 【详解】对于A，由题意，四边形为平行四边形，则为的中点， 因， ， 则 ， 则，即，故A正确； 对于B，由A知，， 则 ，即得，故B正确； 对于C，由A知，，， 则 ， 则， 即与所成角的余弦值为，故C错误； 对于D，由A项知，，， 则 ，故D正确. 11．已知正方体棱长为2，，分别为边，的中点，且存在点，满足，，，则下列选项中正确的是（   ） A．若直线平面，点P的轨迹长度为 B．若，则直线与所成角的取值范围是 C．若，则平面平面 D．若，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，由线面平行的性质，线面角，线面垂直的性质以及平面对称的向量求法即可求解. 【详解】依题意，如图以A为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，， 因为，则， 对于A，设平面的法向量为， 因为，，， 所以，故可取 ，由平面可得，即， 即点三条共线，故的轨迹为线段，而，故A正确； 对于B，当时，，所以，， 设与所成角为， 则， 当时，在，，故， 则有，故B错误； 对于C，设平面法向量为， 因为，， 则，故可取， 设平面的法向量为， 当时，，， ，故可取， ，故平面平面，即C正确； 对于D，当时，点在平面内， 关于平面的对称点，连接交平面于点， 连接，则，因， 由图知 则当三点共线且点在之间时，取得最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，，则在上的投影向量为________． 【答案】 【详解】，， 在上的投影向量为. 13．在空间直角坐标系中，已知，则点到平面的距离是__________. 【答案】/ 【详解】因为， 所以 ， 设平面EFG的一个法向量为， 则，令，得， 所以点到平面的距离. 14．如图，在三棱锥中，，，为的中点，若点在棱上，且二面角的大小为，则与平面所成角的正弦值为______． 【答案】 【分析】方法一：建立空间直角坐标系，得到相关点及相关向量的坐标，设出点坐标，结合二面角的向量求法及已知条件求出点，根据线面角的向量求法求解即可. 方法二：根据三正弦定理求解即可. 【详解】方法一：因为，为的中点，所以，且. 连接，因为，，， 所以是等腰直角三角形，又为的中点，所以，且. 在中，，所以是直角三角形，且. 所以，，两两垂直， 以点为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，，，， 设 . 则，， 设平面的法向量为， 则，即，取，则，， 所以. 易知平面，所以平面的一个法向量为. 又二面角的大小为，所以， 整理得，解得或（舍去），所以. 又，设与平面所成角为， 所以， 所以与平面所成角的正弦值为. 方法二：设与平面所成角为．由题意知，，二面角的大小是， 由三正弦定理得． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于2，为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据即可求解； （2）由题意可得，根据空间向量的数量积运算即可求解. 【详解】（1）因为为的中点，为线段上靠近的三等分点， 所以,， 所以 . （2）因为底面边长和侧棱长都等于2， 所以， 所以 . 16．(15分)如图，已知平行六面体所有的棱长均为，，，为的中点，设. (1)用表示； (2)求的值. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）用向量的线性运算即可求解； （2）用向量数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由于，，所以，因此， 又因为为的中点，，因此. （2）由（1）可知，， 所以. 因为， 所以. 17．（15分）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 18．（17分）在三棱锥中，平面分别是棱的中点，. (1)求点到直线的距离； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，利用点到直线距离的向量公式即可求解； （2）求出平面的一个法向量，然后利用线面角的向量公式即可求解. 【详解】（1）根据题意，平面，， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系， 各点坐标为： ，由中点坐标得， 向量，，设点到直线的距离为， 则. （2）直线的方向向量取，设平面的法向量为， 由,取得， 设直线与平面所成角为， 则. 19．（17分）如图，四棱锥的底面为平行四边形，为正三角形，平面，，，点 满足（ ）． (1)若时，求三棱锥的体积； (2)若平面过直线，且平面，平面与侧棱，分别交于点，．是否存在点 ，使得平面与平面的夹角为？若存在，请说明点 的位置，并求此时的面积；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)连接，， 由平面过直线，且，平面，则平面是平面， 因为平面，平面平面，所以， 结合（1）的空间直角坐标系， 不妨设，则，， 又，，，， 则，所以， ，所以， 所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 显然是平面的一条法向量， 又平面与平面的夹角为， 则， 整理得，解得，或（舍去）， 即点，分别为侧棱，的中点，且平面的法向量为， 又点 满足（ ）， 结合（1）有， 则， 又平面，则， 所以，解得， 所以存在点（为的三等分点，且靠近处），使得平面与平面的夹角为． 结合（1），在中有，则， 在正三角形中，有，则， 又平面，，则平面， 又平面，则， 所以此时的面积为． 【分析】（1）先根据线面垂直的性质，及三角形的性质证明线线垂直，从而建立空间直角坐标系，再根据空间向量的线性关系确定点的坐标，进而利用等体积法即可求出三棱锥的体积； （2）先根据线面平行的性质证明，再结合（1）的空间直角坐标系，利用空间向量夹角的余弦值求出点，的位置，再根据平面的法向量与平面内直线的关系求出的值即可判断是否存在点，并求处此时的面积即可． 【详解】（1）取的中点，取的中点，连接，，则， 又平面，则平面， 又平面，则，， 所以以为原点，直线，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 在，由，， 则，，，， 在正三角形中，，则， 所以，，， 又点 满足（ ）， 则，则， 若，则，即点到平面的距离为， 所以三棱锥的体积为． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $