15.4 二次根式的混合运算课时作业2026-2027学年冀教版数学八年级上册

**基本信息** 该同步练以“二次根式混合运算”为核心，通过“课前热身-基础巩固-能力提升-拓展探究-综合应用”五级分层，构建从旧知复习到综合创新的知识巩固路径，强化运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |课前热身|乘除/加减运算、公式回顾|5道基础题激活旧知，为混合运算铺垫| |基础巩固|运算顺序、公式应用、符号判断|判断/选择/填空（25题）强化单一知识点，突出运算准确性| |能力提升|综合运算、分母有理化、几何计算|12道解答题整合公式与整体思想，结合长方形面积计算体现空间观念| |拓展探究|规律探究、大小比较|3题引导发现裂项相消等方法，培养创新意识| |综合应用|实际问题解决|5题关联花园面积等生活情境，发展应用意识与模型观念|

15.4　二次根式的混合运算 冀教版数学八年级上册　第十五章　二次根式　课时作业 一、学习目标 1．掌握二次根式混合运算的顺序，能正确进行加、减、乘、除、乘方的混合运算； 2．会把整式中的运算律和乘法公式迁移到二次根式的运算中； 3．掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法； 4．会用整体代入的思想进行化简求值，并能解决简单的几何计算问题。 二、知识梳理 知识点1　二次根式混合运算的顺序 二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序完全相同：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号里面的；同级运算从左到右依次进行。 运算中的每一步都要及时把二次根式化成最简二次根式，这样可以大大简化运算，也便于发现同类二次根式。 知识点2　运算律与乘法法则的迁移 实数的运算律（交换律、结合律、分配律）以及整式的乘法法则，对二次根式的运算同样适用。 【例题1】计算：。 【解】原式 。 知识点3　乘法公式的应用 　　 把公式中的 、 换成二次根式，公式依然成立。例如： 易错提醒：。完全平方公式中间的“”这一项绝不能漏掉。 知识点4　用平方差公式进行分母有理化 形如 与 的两个式子，它们的积不含根号，我们把它们叫做互为有理化因式。利用它可以化去分母中的根号： 　（） 【例题2】化简：。 【解】原式 。 知识点5　化简求值中的整体思想 【例题3】已知 ，求 的值。 【解】由 得 ，两边平方得 ，所以 ， 所以原式 。 整体代入比直接把 代入去展开要简便得多，遇到形如 、 这类式子时，应优先考虑配方后整体代入。 三、课前热身（复习乘除与加减） 1．计算： ＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿。 2．计算： ＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿。 3．化简： ＿＿＿＿＿＿。 4．用字母表示平方差公式： ＿＿＿＿＿＿； 完全平方公式： ＿＿＿＿＿＿。 5．计算： ＿＿＿＿＿＿； ＿＿＿＿＿＿。 四、基础巩固 （一）判断题（正确的打“√”，错误的打“×”） 1．。（　　） 2．。（　　） 3．。（　　） 4．。（　　） 5．二次根式的混合运算中，应先算加减，后算乘除。（　　） （二）选择题 1．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 3．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 5．化简 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．若 ，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 7．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 8．下列计算正确的是（　　） A．　　B． C．　　D． 9．已知 ，，则 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 10．计算 的结果是（　　） A．　　B．　　C．　　D． （三）填空题 1．计算： ＿＿＿＿＿＿。 2．计算： ＿＿＿＿＿＿。 3．计算： ＿＿＿＿＿＿。 4．化简： ＿＿＿＿＿＿。 5．计算： ＿＿＿＿＿＿。 6．已知 ，则 ＿＿＿＿＿＿。 7．计算： ＿＿＿＿＿＿。 8．计算： ＿＿＿＿＿＿。 9．已知 ，，则 ＿＿＿＿＿＿， ＿＿＿＿＿＿。 10．计算： ＿＿＿＿＿＿。 五、能力提升 （一）解答题 1．计算下列各式。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 2．计算下列各式。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 3．计算下列各式。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 4．把下列各式分母有理化。 （1）；　　（2）；　　（3）。 5．先化简，再求值：，其中 。 6．已知 ，求 的值。 7．已知 ，，求下列各式的值。 （1）；　　（2）；　　（3）。 8．计算：。 9．一个长方形的长为 cm，宽为 cm，求这个长方形的面积和周长。 10．如图，大正方形的边长为 cm，在它的一角剪去一个边长为 cm 的小正方形（图中“甲”）。 （1）求剩余部分（图中“乙”所示的区域）的面积； （2）求大、小两个正方形的边长之差。 第 10 题图 11．计算下列各式。 （1）；　　（2）； （3）；　　（4）。 12．已知 ，，求下列各式的值。 （1）；　　（2）；　　（3）。 六、拓展探究 1．阅读下面的材料，然后解答问题。 观察下列各式： ，，，…… （1）请用含正整数 的式子表示上面的规律； （2）利用你发现的规律，计算：。 2．已知 ，，求下列各式的值。 （1）；　　（2）；　　（3）。 3．比较 与 的大小，并说明理由。 七、错例辨析 下面是四位同学的解题片段，请你判断对错，并写出正确的解法。 错例1　。 【诊断】漏掉了完全平方公式中的中间项 。【正解】。 错例2　。 【诊断】用分配律时，第二项只乘了一半，把 错算成 3。【正解】原式 。 错例3　。 【诊断】误把平方差公式写到了根号里面。【正解】原式 。 错例4　。 【诊断】分母用平方差公式时，应是 而不是 。【正解】原式 。 八、综合应用 1．计算：。 2．已知 ，求 的值。 3．某长方形花园的长为 m，宽为 m，求这个花园的面积和周长。 4．先化简，再求值：，其中 。 5．判断 与 是否相等，并说明理由。 参考答案与解析 三、课前热身 1．；。 2．；。 3．。【解析】。 4．；。 5．；。【解析】前者用 ，后者用 。 四、基础巩固 （一）判断题 1．√ 　【解析】原式 。 2．× 　【解析】漏掉中间项，正确结果是 。 3．√ 　【解析】原式 。 4．√ 　【解析】。 5．× 　【解析】运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减，与实数运算完全相同。 （二）选择题 1．【答案】A　【解析】原式 。故选 A。 2．【答案】A　【解析】原式 。故选 A。 3．【答案】A　【解析】原式 。故选 A。 4．【答案】A　【解析】，，所以原式 。故选 A。 5．【答案】A　【解析】原式 。故选 A。 6．【答案】A　【解析】，把 代入得 。故选 A。 7．【答案】A　【解析】原式 。故选 A。 8．【答案】C　【解析】A 中不是同类二次根式，不能合并；B 中漏掉中间项；D 中 ；C 中 ，正确。故选 C。 9．【答案】A　【解析】。故选 A。 10．【答案】A 【解析】，， 所以原式 。故选 A。 （三）填空题 1．【答案】　【解析】原式 。 2．【答案】　【解析】原式 。 3．【答案】　【解析】原式 。 4．【答案】　【解析】原式 。 5．【答案】　【解析】，，所以原式 。 6．【答案】　【解析】由 两边平方得 ，所以 。 7．【答案】　【解析】原式 。 8．【答案】　【解析】，，所以原式 。 9．【答案】；　【解析】；。 10．【答案】　【解析】原式 。 五、能力提升 （一）解答题 1．【解】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 （4）原式 。 2．【解】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 （4）原式 。 3．【解】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 （4）原式 。 4．【解】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 5．【解】原式 。 当 时，原式 。 6．【解】由 得 ，两边平方得 ，所以 。 所以 。 7．【解】（1）。 （2）。 （3）。 【点拨】求 时，利用恒等式 ，可以避免逐个平方展开，运算更简便。 8．【解】原式 。 9．【解】面积 （cm²）。 周长 （cm）。 10．【解】（1）大正方形的面积为 （cm²），小正方形的面积为 （cm²）， 所以剩余部分的面积为 （cm²）。 （2）（cm），即两个正方形的边长之差为 cm。 11．【解】（1）原式 。 （2）原式 。 （3）原式 。 （4）原式 。 12．【解】（1）。 （2）。 （3），而 ， 所以 。 六、拓展探究 1．【解】（1）规律为：（ 为正整数）。 理由：。 （2）原式 。 中间各项依次抵消，得原式 。 【点拨】这种前后相消的方法叫做“裂项相消”，关键在于先把每一项分母有理化。 2．【解】先化简：；同理 。 （1）。 （2）。 （3）。 3．【解】，。 因为 ，所以 ， 即 。 【点拨】两个正数的差不易直接比较时，可以先把它们写成分子为 1 的分数，再比较分母的大小。 八、综合应用 1．【解】把 看作一个整体，原式 。 2．【解】先化简：。 由 两边平方得 ，所以 ， 所以 。 3．【解】面积 （m²）。 周长 （m）。 4．【解】原式 。 当 时，原式 。 5．【解】相等。理由：， 与 完全相同，所以两式相等。 九、课堂小结 1．混合运算的顺序与实数运算一致：先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号。 2．整式运算中的运算律和乘法公式可以直接搬到二次根式中使用，其中平方差公式与完全平方公式使用频率最高。 3．分母中含两项根式时，用有理化因式（平方差公式）化去根号；分母中只含一项根式时，直接同乘这个根式。 4．化简求值先考虑配方与整体代入，能大幅减少运算量；最后结果必须化成最简形式。 第 1 页 / 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $