15.4二次根式的混合运算（题型专练）数学冀教版2024八年级上册

15.4二次根式的混合运算 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 分母有理化 题型二 会用分母(分子)有理化比较二次根式的大小 题型三 二次根式的混合运算 题型四 已知字母的值，化简求值 题型五 已知条件式，化简求值 题型六 二次根式混合运算的实际应用 能力提升题 题型一 二次根式的混合运算中的错题复原问题 题型二 二次根式混合运算中的新定义类问题 题型一 分母有理化 1．在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，分母有理化，能找出分母的有理化因式是解题的关键． 根据分母有理化计算法则解答即可． 【详解】解：A、，故本选项正确，不符合题意； B、，故本选项正确，不符合题意； C、，故本选项正确，不符合题意； D、，故本选项错误，符合题意； 故选：D 2．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理化因式，二次根式的混合运算，二次根式的化简，利用有理化因式进行变形计算后即可一一判断，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：①，故①错误，不合题意； ②，故②正确，符合题意； ③ ， 若， 则， 解得， ∴，故③错误， ④∵， 又∵， ∴，故④正确，符合题意； 综上，结论正确的有个， 故选：． 3．无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，无理数，分母有理化，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据倒数的意义结合分母有理化求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 4．式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数的定义，分母有理化，根据二次根式分母有理化的方法进行化简即可，掌握分母有理化的方法是解题的关键． 【详解】解：的倒数是 ， 故选：． 5．若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 【答案】A 【分析】本题主要考查了分母有理化，解题关键在于掌握运算法则．把的分子分母同乘，进一步化简与a比较得出结论即可． 【详解】解：， ∴a与b互为相反数. 故选：A． 6．当，时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分母有理化，平方差公式，熟练掌握分母有理化是解题的关键．根据平方差公式进行分母有理化，即可得到答案． 【详解】解：． 故选C． 7．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 8．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对二次根式进行分母有理化，然后合并同类二次根式即可； （2）先对二次根式分母有理化，再化简即可． 【详解】（1）解：原式 . （2）解：原式. . 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算法则. 9．【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述．其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：___________． 【能力提升】 （2）若是的小数部分，求的值． （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】此题考查了分母有理化，二次根式的混合运算，代数式求值以及实数的估算，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键． （1）找出分母有理化因式，再进行分母有理化即可求解； （2）先求出，得到的小数部分为，再代入所求式子进行求解即可； （3）把原式各项分母有理化，再合并即可得到结果． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， ， 的整数部分是， 的小数部分为， ； （3） ． 题型二 会用分母(分子)有理化比较二次根式的大小 10．设，，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分母有理化，代数式之间大小关系的比较．根据题意先计算出，再利用作差法即可比较大小． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11．已知那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数大小比较，分母有理化，掌握倒数法比较大小的方法是解题关键．利用倒数法比较大小即可． 【详解】解：∵ ∴，，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 12．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较，分母有理化， 先分别表示出，再比较分母即可. 【详解】解：，，， ， ， 即. 故选：D. 13．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把化为再结合从而可得答案． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 【点睛】本题考查的是二次根式的大小比较，二次根式的混合运算，掌握“二次根式的大小比较的方法”是解本题的关键． 题型三 二次根式的混合运算 14．计算的结果是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】C 【详解】本题需要运用二次根式的乘法法则来计算，然后得出结果并与选项进行对比． 故答案选：C ． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则以及乘法分配律是解题的关键． 15．计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解法1：先对括号内合并同类二次根式，再进行运算；解法2：先把括号内每一项除以，再把所得的商相加即可. 【详解】解：解法1： 原式= 解法2： 原式 故选： ． 16．计算等于（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据多项式乘法法则将原式展开，再合并同类项即可；熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 17．已知实数，则实数a的值在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的计算，实数的估算，掌握相关知识是解决问题的关键．先利用乘法分配律计算，然后用平方法估算的值，进而可估算的值． 【详解】解：， ， ∵， ， ， ． 故选：C． 18．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，分母有理化．根据二次根式的加减、乘除法则计算，判断即可．注意二次根式的加减可以类比合并同类项法则，化简后只有被开方数相同才能进行合并． 【详解】解：，故A项错误； ，故B项错误； ，故C项错误； ，故D项正确； 故选：D． 19．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ）． A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式混合运算，根据二次根式混合运算步骤逐步计算进行判断即可． 【详解】解： （小明解答正确）， （小丽解答错误）， （小红解答错误）， （小亮解答正确）； 小丽和小红解答错误， 故选：B． 20．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则与同类二次根式的合并是解题的关键． 先进行二次根式的乘除法，再合并即可． 【详解】解： ． 故选D ． 21．化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，积的乘方与同底数幂乘法；逆用积的乘方与同底数幂的乘法进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：C． 22．计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，零次幂，负整数指数幂，绝对值，平方差及完全平方化简求值，掌握相关计算是解题的关键． （1）利用二次根式化简，再合并即可； （2）由零次幂，负整数指数幂，绝对值及二次根式化简求值即可； （3）根据二次根式的乘除计算即可； （4）由平方差及完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ; （3）原式 ； （4）原式 ． 23．计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、零次幂、完全平方公式、分母有理化等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键 （1）先运用二次根式的性质、零次幂化简，然后再运用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）先运用二次根式、完全平方公式、分母有理化计算，然后再合并同类二次根式即可； 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 24．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则以及二次根式的性质是解题的关键． （1）根据平方差公式化简，再合并同类二次根式即可求解； （2）先算乘法，再算加减即可求解．． 【详解】（1）解： ； （2） ． 题型四 已知字母的值，化简求值 25．若，则代数式的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，二次根式计算，掌握相关知识是解决问题的关键．先将因式分解，再代入求值即可． 【详解】解：当时， ， ， ， ， ． 故选：C． 26．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理数，已知字母的值求代数式的值，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用，分别求出，，，再代入计算即可． 【详解】解：当时，， ， 所以， 所以，，， 所以 ， 故选：A． 27．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 28．若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据分母有理化化简x，y的值，求出，，再根据完全平方公式的变形计算解题． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选：D． 29．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先通分括号内，再计算除法，最后化简原式等于，再代入，进行分母有理化，即可作答． 【详解】解： 当时，原式． 30．已知，． (1)求及的值； (2)求不超过的最大整数． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题主要考查二次根式的运算及规律探究，熟练掌握乘法公式、完全平方公式以及通过递推找规律是解题的关键． （1）对于求和的值，利用乘法公式和完全平方公式变形计算； （2）通过分析的幂次规律，进而确定不超过的最大整数． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴即 ∴，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， 将代入得 ， ∵， ∴ ∴不超过的最大整数为． 31．已知：是的小数部分，． (1)求的值． (2)若a，b都是实数，且，求的值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值以及二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式有意义的条件． （1）先确定的范围，求出其小数部分，再对进行化简，最后将代入式子，利用完全平方公式化简求值． （2）根据二次根式有意义的条件求出的值，进而得到的值，再将、、、代入式子进行计算． 【详解】（1）解：， ， 的小数部分， ， ； （2）解：有意义， 且， ， ， ． 题型五 已知条件式，化简求值 32．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件确定，y的值，代入求值即可． 【详解】由二次根式有意义的条件，得， 解得， 当时，， ∴， 故选：C． 33．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 【答案】C 【分析】本题主要查了求代数式的值．根据题意可得，再代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C 34．若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，代数式求值，解题的关键是根据题意得到．先求得，代入，再根据二次根式分母有理化，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：A． 35．若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，由题意得出，，再根据二次根式的性质化简得到原式，然后通分后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：A． 36．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．通过对等式进行变形，凑成完全平方的形式，根据非负数的性质求出和的值，进而计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，， 解得，， ∴ ， 故选：D． 37．若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式的化简求值，解题的关键是利用二次根式的性质及绝对值的意义将原式化简，再进行加减运算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 故选：D． 38．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，根据绝对值的性质得，即，所以，，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质及绝对值的意义是解题的关键．也考查了完全平方公式的应用． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：A． 39．已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的求值，分式的求值．根据已知，利用完全平方公式计算得到，去分母得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴， 故选：A． 40．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 41．已知，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是已知条件式，求解分式的值，由条件可得，再计算分式的混合运算，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴ ； ； 题型六 二次根式混合运算的实际应用 42．把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的计算， 先分别求出两个阴影部分的周长，再求和即可. 【详解】解：由题知，小长方形的长为 因为左下方阴影长方形的宽为：， 所以左下方阴影长方形的周长为： 因为右上方阴影长方形的长为2cm，宽为：， 所以右上方阴影长方形的周长为：， 所以图中两块阴影部分的周长之和为： 故选：B. 43．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查正方形的性质，二次根式的运用，看清图意，搞清小长方形的长和宽之间的关系是解决问题的关键．首先由正方形的面积是75，开方求得边长，也就是小长方形的长与宽的和，减去，得出宽，进一步利用长减去宽再乘4得出答案即可． 【详解】解：小正方形边长为： 所以这个小正方形的周长为：． 故选：D． 44．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简．熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．将代入公式计算即可． 【详解】解：由题意得：当时，， 即从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为， 故选：A． 45．10月25日是茗茗的妈妈的生日，茗茗特地做了两张大小不同的正方形的卡片送给妈妈，一张是生日卡片，面积是，一张是全家福卡片，面积是，茗茗想如果用红色的彩带将这两张卡片的边包上会很漂亮，她现在手中有长的红色彩带，请你帮她算一算，她的红色彩带够用吗？如果不够，还需买多长的红色彩带？（取） 【答案】不够，还需 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据正方形的性质计算出生日卡片的边长为，全家福卡片的边长为，再计算出两张卡片的周长，然后与进行大小比较即可． 【详解】解：生日卡片的边长＝， 全家福卡片的边长＝， 两张卡片的周长的和＝， ， 所以长的红色彩带不够用，还需红色彩带的长度为． 46．某公路规定汽车行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑行的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，．请你判断一下，肇事汽车当时是否超过了规定的速度？ 【答案】超过了规定的速度 【分析】本题考查了二次根式的应用以及数值大小比较．先将已知的刹车距离和摩擦系数代入经验公式计算出车速，再与规定速度比较，判断是否超速． 【详解】解：把，代入， ， ∴肇事汽车当时的速度超过了规定的速度． ． 题型一 二次根式的混合运算中的错题复原问题 47．下面是王倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是___________（用含的式子表示，并写出的范围）． 任务二：第___________步开始出现错误，该式运算后的正确结果是___________． 【答案】任务一：；任务二：二，． 【分析】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键； 任务一：根据二次根式的性质可进行求解； 任务二：根据二次根式的运算法则可进行求解． 【详解】解：任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是； 故答案为； 任务二： ； ∴原计算从第二步开始出现错误，该式运算后的正确结果为； 故答案为二，． 48．有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 【答案】小明的解法不对．见解析 【分析】根据二次根式的性质，再判断的值的正负性即可. 【详解】解：小明的解法不对．改正如下： ， ， 原式. 把代入，得原式． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是判断正误的关键. 49．阅读下面的解题过程，回答问题．   ……………………………    第一步 …………………………    第二步 ………………………………    第三步 …………………………………    第四步 (1)以上解题过程从第几步开始出现错误？ (2)比较与的大小，并写出你的判断过程．   【答案】(1)第二步 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质，是解题的关键． （1）根据二次根式性质进行判断即可； （2）先根据二次根式性质进行化简，然后比较大小即可． 【详解】（1）解： ． ∴解题过程从第二步开始出现错误； （2）解：，理由如下： ，， ∵， ∴． 题型二 二次根式混合运算中的新定义类问题 50．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新运算，根据新运算的规则，把转化为一般形式的运算，可得：原式，再根据二次根式的性质进行运算即可． 【详解】解：由题意可得：． 故选：A． 51.对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______， ______； (2)若，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，解分式方程： （1）根据新运算的法则，列出算式进行计算即可； （2）分和，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∵， ∴ ； 故答案为：，； （2）当，即：时，则：，解得：， 经检验，是原方程的解， ∵， ∴（舍去）； 当，即：时，则：， ∴或（舍去）； ∴． 52.定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则　 　； (2)若与是关于的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据因子二次根式的定义进行计算即可； （2）根据因子二次根式的定义得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴； 故答案为： （2）由题意，得：， ∴， ∴． 【点睛】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． 53．如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…… (1)_______． (2)若n为正整数，则_______． (3)求的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3) 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据的定义进行代入运算即可； （2）猜想，代入式子中进行化简求证； （3）根据规律，即可得到的值． 【详解】（1）解：． 故答案为：1． （2）解：猜想，理由如下： ． 故答案为：1． （3）解：原式 ． 54．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)　　　； (2)化简：； (3)若， ①求的值； ②求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题考查了二次根式的化简求值的知识，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．也考查了分母有理化的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． （1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式计算； （2）先分母有理化，然后合并二次根式即可； （3）先分母有理化得到，移项后再平方得到，再把原式化简变形为，接着利用整体代入法计算得到原式，再应用同样方法计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：①∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴ ． 55．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 【答案】(1)6；3； (2)；； (3)10； 【分析】本题主要考查了二次根式的应用、配方法的应用，解题时要熟练掌握并能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为6，进而可以判断得解； （2）依据题意，当时，由，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为，进而可以判断得解； （3）依据题意，由米，则米，则篱笆的总长度，又，则，当且仅当，即时，有最小值，最小值为40，最后可以判断得解． 【详解】（1）由题意，当时，， ，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：6； （2）由题意，当时， ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 故答案为：； （3）由题意，米，则米， 篱笆的总长度 ， ， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为 答：当这个矩形花园的宽为米时，所用的篱笆的总长度最短，最短为米． 故答案为：； 56．阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 【答案】(1)； (2) (3)2025 (4) 【分析】本题考查了有理化因式和分母有理化的概念，熟练掌握有理化因式和分母有理化的概念是解决本题的关键． （1）根据有理化因式与分母有理化的概念求解即可． （2）将分母变为，再结合分母有理化的概念，求解即可． （3）先进行分母有理化，结合裂项相消求和，再使用平方差公式求解即可． （4）先进行分母有理化，结合裂项相消求和求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的一个有理化因式：； ； 故答案为：；． （2）解： ； 故答案为：． （3）解：， ， ， ， ∴ ， ∴ ． （4）解：由（2）知，， ∴， ∴，， ，， ∴ ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 15.4二次根式的混合运算 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 分母有理化 题型二 会用分母(分子)有理化比较二次根式的大小 题型三 二次根式的混合运算 题型四 已知字母的值，化简求值 题型五 已知条件式，化简求值 题型六 二次根式混合运算的实际应用 能力提升题 题型一 二次根式的混合运算中的错题复原问题 题型二 二次根式混合运算中的新定义类问题 题型一 分母有理化 1．在二次根式的运算中，一般要求分母中不含二次根式，如果含有二次根式，我们往往可以按照下面的过程进行计算：，这个过程叫做分母有理化．据此判断，下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 2．若、为正有理数，则有得到有理数结果，例如：．我们把称为“的有理化因式”，与互称为“有理化因式”．某同学利用有理化因式，得到如下结论： ①； ②； ③若（其中为有理数）则； ④若，则． 以上结论正确的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 4．式子的倒数是（      ） A． B． C． D． 5．若，则与的关系是（   ） A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数 6．当，时，代数式的值是（   ） A． B． C． D． 7．化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 8．计算： (1)． (2)． 9．【阅读材料】 黑白双雄，纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述．其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如，，它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式． 于是，二次根式除法可以这样解：如，．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化． 【解决问题】 （1）将下列式子分母有理化：___________． 【能力提升】 （2）若是的小数部分，求的值． （3）计算：． 题型二 会用分母(分子)有理化比较二次根式的大小 10．设，，则a与b的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．已知那么的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．已知：，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 题型三 二次根式的混合运算 14．计算的结果是（    ） A． B．4 C． D． 15．计算的结果是（    ） A．5 B． C． D． 16．计算等于（    ） A． B． C．3 D． 17．已知实数，则实数a的值在（   ） A．1与2之间 B．2与3之间 C．3与4之间 D．4与5之间 18．下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 19．老师设计了一个“接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学，他完成一步解答后交给第二位同学，依次进行，最后完成计算．规则是每人只能看到前一人传过来的式子．接力中，自己负责的式子出现错误的是（   ）． A．小明和小丽 B．小丽和小红 C．小红和小亮 D．小丽和小亮 20．计算的结果正确的是（   ） A． B． C． D． 21．化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 22．计算下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)． 23．计算： (1)； (2). 24．计算： (1) (2) 题型四 已知字母的值，化简求值 25．若，则代数式的值为（    ）． A．0 B．1 C．2 D． 26．已知，则（   ） A． B． C． D． 27．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 28．若，则的值为（   ） A．90 B．91 C．93 D．95 29．先化简，再求值：，其中 30．已知，． (1)求及的值； (2)求不超过的最大整数． 31．已知：是的小数部分，． (1)求的值． (2)若a，b都是实数，且，求的值． 题型五 已知条件式，化简求值 32．若，则的值为（ ） A． B． C． D． 33．若，则代数式的值是（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D． 34．若，则的值是（   ） A． B． C． D．或 35．若，，则式子的值为（　　） A．3 B． C． D． 36．已知，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D． 37．若，则等于（   ） A． B． C． D． 38．已知，则化简的结果为（　　） A． B． C． D． 39．已知，则的值为（    ） A． B． C．2025 D．2020 40．已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 41．已知，，求的值． 题型六 二次根式混合运算的实际应用 42．把四张形状、大小完全相同的宽为1cm的小长方形卡片不重叠地放在一个底面长为，宽为4cm的长方形盒子底部（如图），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图中两块阴影部分的周长之和为（    ） A． B．16cm C． D． 43．用四张一样大小的长方形纸片拼成一个正方形，如图所示，它的面积是75，，图中空白的地方是一个正方形，那么这个小正方形的周长为（   ） A． B． C．3 D． 44．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．则从高空抛物到落地所需时间（单位：s）为（    ） A． B． C． D． 45．10月25日是茗茗的妈妈的生日，茗茗特地做了两张大小不同的正方形的卡片送给妈妈，一张是生日卡片，面积是，一张是全家福卡片，面积是，茗茗想如果用红色的彩带将这两张卡片的边包上会很漂亮，她现在手中有长的红色彩带，请你帮她算一算，她的红色彩带够用吗？如果不够，还需买多长的红色彩带？（取） 46．某公路规定汽车行驶速度不得超过千米/时，当发生交通事故时，交通警察通常根据刹车后车轮滑行的距离估计车辆的行驶速度，所用的经验公式是，其中v表示车速（单位：千米/时），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：米），表示摩擦系数．在一次交通事故中，经测量米，．请你判断一下，肇事汽车当时是否超过了规定的速度？ ． 题型一 二次根式的混合运算中的错题复原问题 47．下面是王倩同学进行实数运算的过程，认真阅读并完成相应的任务： 第一步 第二步 第三步 第四步 第五步 任务一：以上化简步骤中第一步化简的依据是___________（用含的式子表示，并写出的范围）． 任务二：第___________步开始出现错误，该式运算后的正确结果是___________． 48．有一道练习题：对式子先化简，再求值，其中a． 小明的解法如下： ． 把代入，得原式． 小明的解法对吗？如果不对，请帮他改正． 49．阅读下面的解题过程，回答问题．   ……………………………    第一步 …………………………    第二步 ………………………………    第三步 …………………………………    第四步 (1)以上解题过程从第几步开始出现错误？ (2)比较与的大小，并写出你的判断过程．   题型二 二次根式混合运算中的新定义类问题 50．对于任意两个不相等的正实数、，定义运算“”：，如，那么等于（ ） A． B． C． D． 51.对于任意两个非零实数a、b，定义运算如下： 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： (1)______， ______； (2)若，求x的值． 52.定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则　 　； (2)若与是关于的因子二次根式，求m的值． 53．如果记，并且表示当时y的值，即；表示当时y的值，即；…… (1)_______． (2)若n为正整数，则_______． (3)求的值． 54．在数学小组探究学习中，小华与他的小组成员遇到这样一道题： 已知，求的值．他们是这样解答的： ∴， ∴ ∴即 ∴ ∴ 请你根据小华小组的解题方法和过程，解决以下问题： (1)　　　； (2)化简：； (3)若， ①求的值； ②求的值． 55．【阅读材料】当，时， ，， 【获得结论】 当，时，； 当且仅当时，等号成立，即； 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在最值问题中有着广泛的应用． 【应用举例】 例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 【解决问题】 (1)函数，y的最小值为______，此时，______． (2)当时，的最小值为______，此时，______． (3)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙墙足够长，其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形花园的宽为______时，所用的篱笆的总长度最短，最短为______米． 56．阅读与思考：下面是小美的阅读笔记，请认真阅读，并完成相应任务． 关于二次根式的化简 概念1：裂项相消求和：将求和中的每一项进行分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的． 例如：． 概念2：有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如：． 我们称的一个有理化因式是的一个有理化因式是． 概念3：分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母” 例如：． 典例1： 典例2： 请完成以下任务： (1)写出的一个有理化因式：______；将分母有理化的结果是_______． (2)猜想：_______（n为正整数）． (3)计算：______． (4)计算：_______． 1 学科网（北京）股份有限公司 $