精品解析：河南郑州外国语学校2026-2027学年高三上学期调研1数学试卷

郑州外国语学校2026-2027学年高三上期调研1试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】求得，再求出，即可得答案. 【详解】因为， 所以，共8个元素. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【详解】命题“，”为存在量词命题， 其否定为：，. 3. 对实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】应用不等式性质结合充分必要条件的定义求解即可. 【详解】对实数，当时，，则， 当时，，则， 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 4. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出函数关系式，再代入求值. 【详解】由题意得，是正的常数， 故，两边取对数得，故， 所以14h后所剩污染物为. 5. 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在同一坐标系中作出的图象，利用函数零点思想，结合图象逐一判断即得. 【详解】如图在同一坐标系中分别作出函数的图象， 依题意直线与三个函数都有交点，设交点的横坐标依次为， 则需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系. 由图知，有三种不同的情况：当直线在①位置时，显然有：； 当直线在②位置时，显然有：； 当直线在③位置时，显然有：，故D错误. 6. 已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的对称性，再通过求导判断函数的单调性，计算即可. 【详解】，即， ， 令，解得：， 当时，，，则在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减； ， 即， 关于对称， ， ，即， 两边平方得， 解得， 则实数的取值范围是. 7. 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】判断的图象关于直线对称，再求证和的周期均为4即可求解. 【详解】由， 令，得， 所以的图象关于直线对称，所以. 将换为代入得. 又，因此， 即，则①， 所以， 对①两边求导得，故， 故和的周期均为4， 于是，. 在中，取得. 在中取得， 所以. 8. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数性质画出函数图象，将方程根的问题转化成函数的图象交点问题. 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 又，得函数的图象关于直线对称， 从而函数是周期为4的周期函数. 又当时，，则， 即是的单调递增函数，，，可画出的部分图象， 又方程的根即与的交点横坐标，如图 两函数的图象共有17个交点，并且关于点对称，故所有根之和为17. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据基本不等式可得，进而可判断A；根据基本不等式“1”的妙用计算可判断B；根据基本不等式计算可判断C；利用换元法结合二次函数性质计算可判断D. 【详解】对于A选项，因为，，，所以， 当且仅当时取等号，即，所以，所以A选项不正确； 对于B选项，因为， 当且仅当时取等号，所以B选项正确； 对于C选项，因为，所以， 当且仅当时取等号，所以C选项正确； 对于D选项，因为，，， 所以， 又因为，所以，所以D选项正确. 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（ ） A. B. 函数图象的对称轴方程为 C. 不等式的解集为 D. 直线与函数的图象恰有3个交点 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意作出函数图象，即可判断A，结合函数图象分析周期性和对称性，即可判断B；根据图象交点判断CD. 【详解】如图，在图中一段一段的扇形上运动， 对于选项A：初始时在原点，当时，即为正三角形的高， 所以，故A正确； 对于选项B：由图可知：的一条对称轴为，周期为6，每经过半个周期均为的对称轴， 所以函数的对称轴方程为，故B错误； 对于选项C：如图所示， 若，解得， 所以不等式的解集为，故C正确； 对于选项D：令，解得， 结合图象可知：直线与函数的图象恰有3个交点，故D正确. 11. 对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（ ） A. 若集合，则 B. 若集合，则 C. 若集合，则 D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，用裂项相消法求和；选项B，通过试根分解多项式，判断实根个数后计算集合模长；选项C，构造函数求导分析单调性与最值，确定方程根的个数，再通过函数关系推导两根之和的范围；选项D，找到周期内最大和规律后计算不同值下的模长差值. 【详解】选项A， ，A正确； 选项B，解方程得：， 二次方程判别式，无实根，故集合，模，B错误； C选项，设，求导得， 时，递增；时，递减； 最大值，且，因此一个零点； 又，因此另一个零点， 则，C正确； 选项D，集合元素差为或，均小于，因此可将按每个数分为一组，组间不产生符合条件的差，只需每组取最大和即可， 时，中，要使元素和最大，选，满足条件，最大和； 每组（第组，）的和为，因此时总和： ， ，D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，用，表示______. 【答案】 【解析】 【分析】对给定的等式两边取常用对数，再利用对数运算法则，结合方程的思想求解. 【详解】由，得，则； 由，得，则， 因此，所以. 故答案为： 13. 已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分、两种情况，结合一元二次不等式恒成立列不等式计算求解. 【详解】可化为， 由题意可知，恒成立， 当时，原不等式为，解得，不合题意； 当时，依题意得，解得， 综上所述，的取值范围为． 14. 已知函数，若存在实数，，满足，且，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】画出函数的图象，利用图像确定a，b，c的位置及范围，利用进而得到关于a，b，c的等式，将转化为只有b的式子，利用b的范围，即可求的范围. 【详解】作出图象如下： 因为，且， 则，且， 则， 所以， 因为，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为三角形中角A,B,C成等差数列，， 所以，由余弦定理知，， 得，又因为，可得， 则， 整理得，根据三角形的面积公式可得； 【小问2详解】 在中， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值为. 16. 如图，在三棱锥中，. （1）证明：； （2）若二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 如图，取的中点，连接和， 因为，所以， 又因为，且平面， 所以平面， 因为平面，所以，因， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，由条件证明平面，再由线面垂直的性质推得，结合线段中垂线的性质即可得证； （2）由题意建系，利用几何法推得二面角的平面角为，求出相关点的坐标，利用向量夹角的坐标公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，平面平面， 所以二面角的平面角为，即， 在平面内，过点作，易知两两相互垂直， 如图，以分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，所以满足，即， 则， 于是， 因为，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 设平面的法向量为， 则，即，故可取， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. （1）若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： （2）现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 【答案】（1） （2）该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大 【解析】 【分析】（1）记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件，结合全概率公式，即可求解； （2）当该运动员第一次选择2分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值；当该运动员第一次选择3分球时，得到变量可取值有，求得相应的概率，列出分布列，求得期望值，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：记选择2分球为事件，选择3分球为事件，投一次篮命中为事件， 则 所以. 【小问2详解】 解：当该运动员第一次选择2分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 4 0.1 0.16 0.1 0.64 所以 当该运动员第一次选择3分球时，记他两次投篮的得分为，可取值有， 可得， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 2 3 6 0.1 0.4 0.25 0.25 所以， 因为，即， 所以该运动员第一次选择2分球可以使得两次投篮总得分的期望最大. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． （1）求的大小； （2）若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）（ii）存在点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）根据离心率得出与的关系，利用直角三角形中正切值求出，再由椭圆对称性得解； （2）（i）联立直线与椭圆方程，分别求出的坐标，即可求出直线方程；（ii）设直线的方程为,联立直线与椭圆方程，根据韦达定理及斜率公式表示出，化简后根据求出，可知直线过定点，由题意确定点轨迹为以为直径的圆，据此可得解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以， 将代入方程，得， 所以，所以， 又，所以， 由椭圆的对称性知，. 【小问2详解】 因为为的上顶点，所以，即，所以， 所以，所以椭圆的方程为. （i）若，则直线DM，DN的方程分别为， 由，可得，解得，所以， 即，同理可求得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （ii）设直线的方程为， 由，消去并整理可得， 则， 且. 由，可得 ，解得，满足， 所以直线的方程为，所以直线过定点. 由题意知点在以为直径的圆上， 所以当点为线段的中点时，，为圆的半径，即为定值. 19. 已知函数（）． （1）求的单调区间； （2）当时，设的两个极值点为，，求的最小值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数结合分类讨论的单调性； （2）利用已知条件，求出，构造函数并求导，利用函数单调性求最小值； （3）化简已知不等式，构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 函数求导得， 当时，，仅当时导数为0，则在上单调递减； 当时，，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，，时，，单调递减； 时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递减； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增； 当时，时，，单调递减； 时，，单调递增． 【小问2详解】 当时，，故的两个极值点为，， ，， 令，，求导得， 当时，，故， 在上单调递增，最小值在处取得：． 【小问3详解】 ， ，整理得， 令，求导得， 令，求导得， 在上单调递增，， 当时，，故，在上单调递增， 需，解得，结合，得； 当时，存在唯一使得，即， 在单调递减，单调递增，故， 代入得 ， 解得，即， 令，，故在上单调递减， 故：， 综上可得，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2026-2027学年高三上期调研1试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则中的元素个数是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 对实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：h）间的关系为，其中是正的常数．如果在前7h消除了的污染物，那么14h后所剩污染物为（ ） A. B. C. D. 5. 设x、y、，若，则下列结论中不可能成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若关于的不等式成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义在上的可导函数满足是偶函数；；，，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 8. 已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正三角形ABC沿着x轴连续滚动(滚动时无滑动)，若顶点A在滚动中恰好经过坐标原点，设顶点满足函数关系式，则下列判断正确的有（ ） A. B. 函数图象的对称轴方程为 C. 不等式的解集为 D. 直线与函数的图象恰有3个交点 11. 对于一个有限集合，定义集合的模为该集合中所有元素的和，记作，即，则下列说法中正确的是（ ） A. 若集合，则 B. 若集合，则 C. 若集合，则 D. 记集合，且中任意两个数的差的绝对值不等于3，也不等于8，若的最大值为的最大值为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，用，表示______. 13. 已知命题，若为真命题，则的取值范围为______． 14. 已知函数，若存在实数，，满足，且，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，． （1）求的面积； （2）若是的中点，求的最小值． 16. 如图，在三棱锥中，. （1）证明：； （2）若二面角的大小为，且，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某篮球运动员在训练中进行投篮练习.已知其2分球的命中率为0.8，3分球的命中率为0.5，且每次投篮结果相互独立.在每次投篮前，他可以根据场上情况选择投2分球或3分球. （1）若该运动员等可能地选择投2分球或3分球，求他投一次篮命中的概率： （2）现该运动员拥有连续2次投篮的机会，他制定了如下策略： 若第一次命中，则第二次继续选择同一类型的投篮；若第一次未命中，则第二次更换为另一种类型的投篮，求该策略下，这名运动员第一次投篮应该怎么选择可以使得两次投篮总得分的期望最大. 18. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过且与轴垂直的直线交于A，B两点． （1）求的大小； （2）若为的上顶点，斜率为的直线与交于M，N两点（异于的上、下顶点），记直线DM，DN的斜率分别为． （i）若，求的方程； （ii）若，过作的垂线，垂足为，是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19. 已知函数（）． （1）求的单调区间； （2）当时，设的两个极值点为，，求的最小值； （3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $